第十二章重積分

第十二章重積分第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)一、問題的提出二、二重積分概念三、二重積分性質(zhì)柱體體積=底面積×高特點(diǎn)：平頂柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂1.曲頂柱體的體積一、問題的提出曲頂柱體曲頂柱體：以曲面∑：z=f(x,y)為頂，一般z=f(x,y)在D上連續(xù)。以平面有界區(qū)域D為底，側(cè)面是柱面，該柱面以D為準(zhǔn)線，母線平行于z軸。求曲頂柱體體積的步驟如下：用若干個(gè)小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，播放求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、作和、取極限”的方法，如下動畫演示?D

z

=f(x,y)yxz(1)分割(2)近似(3)作和(4)取極限令將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量2、求平面薄片的質(zhì)量定義1設(shè)f(x,y)是有界閉域D上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小區(qū)域存在，則稱其為f(x,y)在D上的二重積分，記為二、二重積分的概念其中i表示第i個(gè)小區(qū)域，也表示它的面積。在每個(gè)任意取(i

,i)，作積、作和，若極限積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量面積元素曲頂柱體體積對二重積分定義的說明：平面薄片的質(zhì)量(1)二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分和介點(diǎn)選取是任意的。(2)當(dāng)f(x,y)在閉區(qū)域上連續(xù)時(shí)，定義中和式的極限必存在，即二重積分必存在。二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積。當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值。若位于xoy面上方柱體的體積為正值；位于xoy面下方柱體的體積為負(fù)值，二重積分的幾何意義是柱體的體積的代數(shù)和。在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素為積分變量二重積分的具體形式dxdy性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時(shí)，性質(zhì)２（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)３對區(qū)域具有可加性性質(zhì)４若為D的面積，性質(zhì)５若在D上特別地則有（比較定理）性質(zhì)６性質(zhì)７（積分中值定理）（估值定理）解例1解例2解例3oxy121例4解三角形三條邊的方程為D求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、作和、取極限”的方法，如下動畫演示．求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、作和、取極限”的方法，如下動畫演示．求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、作和、取極限”的方法，如下動畫演示．求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、作和、取極限”的方法，如下動畫演示．求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、作和、取極限”的方法，如下動畫演示．求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、作和、取極限”的方法，如下動畫演示．返回第二節(jié)二重積分的計(jì)算一、直角坐標(biāo)系下的計(jì)算方法二、極坐標(biāo)下的計(jì)算方法如果積分區(qū)域?yàn)椋浩渲泻瘮?shù)、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分［X－型］X型區(qū)域的特點(diǎn)：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,［X－型］先對y后對x的二次積分在D內(nèi)任取一點(diǎn)x,作平行于yoz面的截面.曲邊梯形如果積分區(qū)域?yàn)椋海踄－型］Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式小結(jié)［Y－型］［X－型］注:(1)如果D既是X型域又是Y型域,則(2).如果D既不是X型域又不是Y型域,則用平行于坐標(biāo)軸的直線將D分成若干子域,利用積分的可加性進(jìn)行計(jì)算.選擇積分域和積分次序是計(jì)算的關(guān)鍵例如:分塊越少越好第一次積分要易于計(jì)算11解:(1)畫圖求交點(diǎn)［X－型］［Y－型］21［X－型］［Y－型］21［Y－型］［Y－型］22［X－型］［X－型］性質(zhì)8例xyo二、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系中,設(shè)D的邊界與過極點(diǎn)的射線相交不多于兩點(diǎn),用過極點(diǎn)的射線和以極點(diǎn)為圓心的圓周將D分成若干子域,如圖可知:(1)區(qū)域特征如圖注:.只研究先對后對的積分次序;區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖(2).如果D是曲邊扇形:極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積區(qū)域特征如圖(3).如果D包含極點(diǎn):二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式小結(jié)注意:下列情形適合用極坐標(biāo)計(jì)算(1).積分區(qū)域適于極坐標(biāo)表示,例如:圓,圓環(huán);(2).被積函數(shù)形如;(3).用直角坐標(biāo)系計(jì)算不出時(shí).

例1計(jì)算解解解解xyz2a2a第三節(jié)三重積分的概念與性質(zhì)一、問題的提出二、三重積分概念三、三重積分性質(zhì)變密度物體的質(zhì)量一、問題的提出設(shè)物體位于空間有界閉域上,密度為連續(xù)函數(shù).(1)分割(2)近似(3)求和(4)取極限定義1設(shè)f(x,y,z)是有界閉域Ω上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域Ω任意分成n個(gè)小區(qū)域存在，則稱其為f(x,y,z)在V上的三重積分，記為二、三重積分的概念其中Vi表示第i個(gè)小區(qū)域，也表示它的體積。在每個(gè)任意取，作積、作和，若極限積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量體積元素變密度空間立體的質(zhì)量對三重積分定義的說明：(1)三重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分和介點(diǎn)選取是任意的。(2)當(dāng)f(x,y,z)在閉區(qū)域上連續(xù)時(shí)，定義中和式的極限必存在，即三重積分必存在。性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時(shí)，性質(zhì)２（三重積分與二重積分有類似的性質(zhì)）三、三重積分的性質(zhì)性質(zhì)３對區(qū)域具有可加性性質(zhì)４若在D上性質(zhì)5第四節(jié)三重積分計(jì)算一、在直角坐標(biāo)系計(jì)算三重積分二、在柱坐標(biāo)系計(jì)算三重積分

三、在球坐標(biāo)系計(jì)算三重積分一、直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分．1若積分區(qū)域Ω為Z型區(qū)域Ω的邊界曲面與平行于z軸的直線相交不多于兩點(diǎn).{}若D是X型域先對z后對y再對x的三次積分同理,可將投影到y(tǒng)oz面或zox面上,使三重積分化成其他順序的三次積分:

例1計(jì)算解其中由三個(gè)坐標(biāo)面及圍成將向xoy面作投影,則..xyz11

例2計(jì)算其中由坐標(biāo)面和球面所圍成的第一卦限的區(qū)域xyz..

例3計(jì)算其中由及圍成4yxz..滿足上述特點(diǎn)的積分值為零2截面法的一般步驟其結(jié)果為z的函數(shù)F(z)

xyz2解原式二、利用柱面坐標(biāo)系計(jì)算三重積分柱面坐標(biāo)系實(shí)際上是平面直角坐標(biāo)系加上Z軸構(gòu)成2、柱坐標(biāo)系的三坐標(biāo)面分別為圓柱面；半平面；xyzoxzyoxyzo平面．例1解積分區(qū)域如圖所示由重積分性質(zhì)9,有解所圍成的立體如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如圖，三、利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分圓錐面；球面；2、球面坐標(biāo)系的三組坐標(biāo)面是xyzoxyzo半平面．xzyo4、體積元的關(guān)系例3解小結(jié)三重積分有三種坐標(biāo)系，選擇坐標(biāo)系的一般原則是第五節(jié)重積分的應(yīng)用一、求曲面的面積二、物體的質(zhì)心三、物體的轉(zhuǎn)動慣量四、引力五、廣義重積分一、問題的提出把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中.若要計(jì)算的某個(gè)量U對于閉區(qū)域D具有可加性(即當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時(shí)，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域時(shí)，相應(yīng)地部分量可近似地表示為的形式，其中在內(nèi)．這個(gè)稱為所求量U的元素，記為，所求量的積分表達(dá)式為二、曲面的面積衛(wèi)星１設(shè)曲面的方程為：如圖，曲面S的面積元素曲面面積公式為：３．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：２．設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：解三、平面薄片的重心當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心.由元素法四、平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量薄片對于

軸的轉(zhuǎn)動慣量薄片對于

軸的轉(zhuǎn)動慣量解幾何應(yīng)用：曲面的面積物理應(yīng)用：質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、引力六、小結(jié)定義幾何意義性質(zhì)計(jì)算法應(yīng)用二重積分定義幾何意義性質(zhì)計(jì)算法應(yīng)用三重積分第13章第一型的曲線積分與曲面積分一、第一型曲線積分二、第一型曲面積分三、應(yīng)用第一節(jié)第一型的曲線積分一、第一型曲線積分的概念性質(zhì)二、第一型曲線積分的計(jì)算三、應(yīng)用一、問題的提出實(shí)例:不均勻曲線的質(zhì)量均勻曲線的質(zhì)量分割求和取極限精確值近似二、第一型曲線積分的概念定義設(shè)f(x,y)是定義在曲線L上的有界函數(shù),將L任意分成n個(gè)子弧段，其長度記為設(shè)在每個(gè)子弧段上任取一點(diǎn)作和式如果當(dāng)λ→0時(shí)，這和式的極限存在,且極限值不依賴于對L的分法,也不依賴于在子孤段上的取法,則稱此極限值為函數(shù)f(x,y)在曲線L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分,記為被積函數(shù)積分弧段積分和式（1）不均勻曲線的質(zhì)量（4）推廣定理1.（存在條件）：注意：性質(zhì)(4)對稱性若平面曲線L關(guān)于y軸對稱，函數(shù)關(guān)于x為偶函數(shù)，則L1是在y軸右側(cè)的部分弧。若平面曲線L關(guān)于y軸對稱，函數(shù)關(guān)于x為奇函數(shù)，則三、第一型曲線積分的計(jì)算法1.設(shè)曲線L的參數(shù)方程為x=x(t），y=y(t）（α≤t≤β）則注意：定積分的下限α一定要小于上限β。2.設(shè)曲線L的方程為y=y(x）（a≤x≤b）視為特殊的參數(shù)方程:x=x，y=y(x）（a≤x≤b）3.設(shè)曲線L的方程為推廣:解L：x=Rcost，y=Rsint（0≤t≤π）由公式例2計(jì)算

其中L為連接O(0,0),A(1,0),B(0,1)的閉折線因?yàn)長=OA+AB+BO所以例1計(jì)算其中L是的上半圓弧解oABOA:

AB:同理于是oAB例3計(jì)算其中L是o例4解例5解由對稱性,知四、物理應(yīng)用例7Oxy求IX解：微元法分析1.若已知雙紐線其上任一點(diǎn)處的密度，等于該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，求：該雙紐線關(guān)于極軸的轉(zhuǎn)動慣量。

2.已知擺線上任一點(diǎn)（1）該擺線弧的質(zhì)量；（2）該擺線弧的質(zhì)心坐標(biāo)；（3）該擺線弧關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動慣量。處密度等于該點(diǎn)的縱坐標(biāo)，試求：解：擺線上任一點(diǎn)(x,y)處的密度為

（1）質(zhì)量：

小結(jié)1.對弧長曲線積分的概念2.對弧長曲線積分的計(jì)算3.對弧長曲線積分的應(yīng)用思考對弧長的曲線積分的定義中的符號可能為負(fù)嗎？的符號永遠(yuǎn)為正，它表示弧段的長度.第二節(jié)第一型的曲面積分一、第一型曲面積分的概念性質(zhì)二、第一型曲面積分的計(jì)算三、應(yīng)用一.第一型曲面積分的概念與性質(zhì)引例非均勻曲面的質(zhì)量設(shè)有一曲面∑，∑上各點(diǎn)的面密度μ(x,y,z)在∑上連續(xù)，求∑的質(zhì)量M.若面密度是常數(shù)μ，則M=μS當(dāng)面密度是變量μ(x,y,z)時(shí),分割近似求和取極限定義作和式

設(shè)f(x,y,z)是定義在曲面∑上的有界函數(shù),在每小塊上任取一點(diǎn)如果當(dāng)各小塊曲面直徑的最大值λ→0時(shí)，這和式的極限存在,則稱此極限值為函數(shù)f(x,y,z)在曲面∑上對面積的曲面積分或第一類曲面積分,記為積分曲面

(同時(shí)表示其面積)將∑任意分成n小塊(1)若L是封閉曲面，則上述積分記為(2)如果f(x,y,z)在曲面∑上連續(xù)，則曲面積分存在注:(3)曲面積分具有與其它積分類似的性質(zhì),如(4)非均勻曲面的質(zhì)量二、對面積的曲面積分的計(jì)算法1.設(shè)曲面∑的方程為z=z(x,y)∑在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)閦=z(x,y)在上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)由重積分知識:化成二重積分3.若曲面∑的方程為x=x(y,z）∑在yoz面上的投影區(qū)域?yàn)閯t2.設(shè)曲面∑的方程為y=y(z,x)∑在zox面上的投影區(qū)域?yàn)榻?例2計(jì)算xyzxyzxyzxyz積分概念的聯(lián)系定積分二重積分曲面積分曲線積分三重積分曲線積分計(jì)算上的聯(lián)系第14章第二型的曲線積分與曲面積分一、第二型曲線積分二、格林公式三、第二型曲面積分四、高斯公式五、斯托克斯公式第一節(jié)第二型的曲線積分一、第二型曲線積分的概念性質(zhì)二、第二型曲線積分的計(jì)算三、兩類曲線積分的聯(lián)系一.第二型曲線積分的概念與性質(zhì)曲線的方向：一條曲線有兩個(gè)方向，任意規(guī)定一個(gè)方向?yàn)檎?，?-個(gè)方向便是負(fù)向L-LL為非封閉曲線：一般用從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向表示其正向L為平面封閉曲線：正向規(guī)定為：沿此方向前進(jìn)時(shí)，閉曲線L所圍成的平面域D總在他的左邊注意:在第二型的曲線積分中,曲線的方向尤為重要實(shí)例:變力沿曲線所作的功分割若F是常力,質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動位移向量是，現(xiàn)在F是變力且質(zhì)點(diǎn)沿曲線L移動求和取極限近似值精確值設(shè)在每個(gè)子弧段上任取一點(diǎn)定義設(shè)L是x0y面上的從點(diǎn)A到B的分段光滑的有向曲線,記為作和式如果當(dāng)λ→0時(shí)，這和式的極限存在,且極限值不依賴于對L的分法,也不依賴于在子孤段上的取法,則稱此極限值為函數(shù)F(x,y)在曲線L上從A到B的第二型曲線積分,記為將L任意分成n個(gè)子弧段

向量值函數(shù)在L上有定義且有界,1.W=功微元性質(zhì)即對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).推廣二、第二型曲線積分的計(jì)算法1.設(shè)曲線L的參數(shù)方程為x=x(t），y=y(t）則注意：下限α對應(yīng)于L的起點(diǎn),上限β對應(yīng)于L的終點(diǎn)2.設(shè)曲線L的方程為y=y(x）視為特殊的參數(shù)方程:x=x，y=y(x）注意：a對應(yīng)于L的起點(diǎn),b對應(yīng)于L的終點(diǎn)L:x=x(y)時(shí)同理3.設(shè)空間曲線Γ的參數(shù)方程為x=x(t),y=y(t),z=z(t)則注意：下限α對應(yīng)于Γ的起點(diǎn),上限β對應(yīng)于Γ的終點(diǎn)三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系：

例1計(jì)算其中L為（1）上按逆時(shí)針方向的上半圓；（2）從點(diǎn)A(1,0)沿x軸到B(-1,0)的直線段（1）L的參數(shù)方程：x=cost，y=sint.t從0變到π，解ABAB（2）L的方程：y=0，x從1變到-1，兩個(gè)曲線積分的被積函數(shù)相同,起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同,但沿不同路徑得出的積分值并不相同例2計(jì)算其中L(1)從O(0,0)到B(1,1)的一段?。?2)直線y=x從O(0,0)到B(1,1)直線段；(3)連接O(0,0),A(1,0),B(1,1)的有向折線解(1)L：,x從0到1，(2)L：y=x，x從0到1ABO(3)L=OA+AB

ABOOA：y=0，x從0到1；

AB：x=1，y從0到1.被積函數(shù)與起點(diǎn)、終點(diǎn)相同而路徑不同的曲線積分,其值也可能相同,說明有些曲線積分與積分路徑無關(guān)其中Γ為從點(diǎn)A（1,1,1）到B（2,3,4）的直線段例3計(jì)算解AB的方程為

化成參數(shù)方程：x=t+1，y=2t+1，z=3t+1，t從0到1第二節(jié)格林公式一、格林公式二、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、全微分與全微分求積一、格林公式正向規(guī)定為：沿此方向前進(jìn)時(shí)，邊界曲線L所圍成的平面域D總在他的左邊定理2(1)先假設(shè)區(qū)域D既是X-型又是Y-型證同理(2)D注意到沿輔助曲線的曲線積分相互抵消GDFCEAB(3)由(2)知G1.簡化曲線積分2.簡化二重積分3.計(jì)算平面面積xyoGyxo二、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件BA定義：如果在區(qū)域G內(nèi)有設(shè)D為一平面域，如果D內(nèi)任意閉曲線所包圍的全體點(diǎn)都屬于D，則稱D為單連通域.否則稱D為復(fù)連通域DD從直觀上看，單連通域是不含有“洞”的區(qū)域．定理3設(shè)函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在單連域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下面三個(gè)條件相互等價(jià)：(3)在D內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān).(1)

在D內(nèi)恒成立；(2)對于D內(nèi)任一閉曲線C，證明：(1)→(2)顯然(2)→(3)于是對于閉曲線C=AmB+BnA,在D內(nèi)任取兩條連接A、B的曲線AmB、AnBABDmn即(3)成立(3)→(1)用反證法證明(1)假設(shè)D內(nèi)有一點(diǎn)M，使設(shè)因?yàn)檫B續(xù)使從而設(shè)C為的正向邊界，則由格林公式知矛盾,則(1)得證.注意:1.常用(1)來判斷曲線積分與路徑無關(guān);2.當(dāng)曲線積分與路徑無關(guān)時(shí)，常選擇最簡路徑——平行于坐標(biāo)軸的直線段組成的折線作為積分路徑;3.如果D是復(fù)連通域，即使，曲線積分也不一定與路徑無關(guān)。例計(jì)算L是通過O(0,0),A(1,0)和B(1,2)的圓周OAB解：因?yàn)樗苑e分與路徑無關(guān),取折線OAB作為積分路徑.書例9解：因?yàn)樵谏习肫矫鎯?nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。所以積分與路徑L無關(guān),O三．二元函數(shù)的全微分求積1.原函數(shù):如果存在一個(gè)函數(shù)φ(x,y)，使得dφ(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy原函數(shù)全微分式例如全微分式原函數(shù)2.判別定理定理5設(shè)函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在單連通域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則P(x,y)dx+Q(x,y)dy在D內(nèi)為某一函數(shù)全微分

在D內(nèi)恒成立.注:可以將定理3,5合并記憶為四命題等價(jià).3.全微分求積當(dāng)Pdx+Qdy為全微分式時(shí)，求其原函數(shù)φ(x,y)的過程.與路徑無關(guān)，可選平行于坐標(biāo)軸的折線作為積分路徑.如圖取為積分路徑,得如圖取為積分路徑,得例驗(yàn)證全微分式并求其原函數(shù).取起點(diǎn)為(0,0),由公式全微分式O在右半平面(x＞0)取起點(diǎn)為(1,0),全微分式注意:全體原函數(shù)為φ(x,y)+C.定理6設(shè)函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在單連通域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，若φ(x,y)是微分形式P(x,y)dx+Q(x,y)dy在D內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則曲線積分的微積分基本定理書例12一階微分方程即存在二元函數(shù)φ(x,y),使得則稱(1)式為全微分方程或恰當(dāng)方程。結(jié)論：若(1)是全微分方程，則的通解為φ(x,y)=C積分因子：若(1)不是恰當(dāng)方程，但乘上一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)μ(x,y),稱μ(x,y)為積分因子。小結(jié)與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條件等價(jià)命題第三節(jié)第二型的曲面積分一、曲面的分類二、第二型曲面積分的概念性質(zhì)三、第二型曲面積分的計(jì)算四、兩類曲面積分的聯(lián)系一、曲面的分類觀察以下曲面的側(cè)(假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面的分類:1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面(莫比烏斯帶).典型雙側(cè)曲面定義：設(shè)∑是一光滑曲面，若對∑上的任意一點(diǎn)，在選定了該點(diǎn)處的單位法向量的正向后，當(dāng)此點(diǎn)及它所對應(yīng)的單位法向量沿曲面∑上任意閉曲線連續(xù)移動一周而返回該點(diǎn)時(shí)，其正法向量保持與原方向一致，稱曲面∑是可定向曲面或雙側(cè)曲面，否則稱為不可定向曲面或單側(cè)曲面，為一曲面:由曲面上法向量的方向來確定正負(fù)側(cè).方法：在曲面上任意點(diǎn)處確定法向量的正向，確定了正向的法向量為曲面的正法向量，正法向量所指的方向?yàn)榍娴恼齻?cè)。決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.例如:曲面z=z(x,y),則曲面上任意點(diǎn)處的單位法向量若取上側(cè)為正側(cè)，法向量取正號若取下側(cè)為正側(cè)，法向量取負(fù)號同理:曲面x=x(y,z),如果正法向量指向前,則確定前側(cè)為正側(cè),后側(cè)為負(fù)側(cè)。曲面y=y(x,z),如果正法向量指向右,則確定右側(cè)為正側(cè),左側(cè)為負(fù)側(cè)。二、第二型曲面積分的概念性質(zhì)實(shí)例:流向曲面一側(cè)的流量.1.分割則該點(diǎn)流速為.法向量為.2.求和3.取極限定義設(shè)Σ為光滑的有向曲面,其單位正法向?yàn)橄蛄恐岛瘮?shù)在Σ上有界,如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值且此極限值與曲面的分法和點(diǎn)的取法無關(guān)，則稱此極限為向量值函數(shù)沿有向曲面∑的第二型曲面積分，記為第二型曲面積分的坐標(biāo)表示形式存在條件:物理意義:性質(zhì):有向性分域性質(zhì)線性性質(zhì)三、計(jì)算法注意：Σ取上側(cè)時(shí)為正號;Σ取下側(cè)時(shí)為負(fù)號.注意：Σ取前側(cè)時(shí)為正號;Σ取后側(cè)時(shí)為負(fù)號.注意：Σ取右側(cè)時(shí)為正號;Σ取左側(cè)時(shí)為負(fù)號.注意:對坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).

例1計(jì)算解其中Σ為外側(cè)在的部分上側(cè)下側(cè)兩者的投影域相同,為對坐標(biāo)曲面積分的計(jì)算時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)a.曲面的側(cè)b.“一投,二代,三定號”四、兩類曲面積分之間的聯(lián)系第四節(jié)高斯公式一、高斯公式二、簡單的應(yīng)用三、物理應(yīng)用-通量和散度一、高斯公式證明根據(jù)三重積分的計(jì)算法根據(jù)曲面積分的計(jì)算法同理Gauss公式的實(shí)質(zhì)表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.由兩類曲面積分之間的關(guān)系知高斯公式的另一種形式：使用Guass公式時(shí)應(yīng)注意:二、簡單的應(yīng)用解：顯然P,Q,R在全空間上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),且積分沿Ω的邊界面的外側(cè)。由高斯公式解：顯然P,Q,R在全空間上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),且積分沿Ω的邊界面的外側(cè)。由高斯公式解：顯然P,Q,R在全空間上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),由高斯公式例4高斯公式三、物理意義----通量與散度1.通量的定義:則在Σ圍成的閉區(qū)域Ω內(nèi)必然有源有匯，即在Ω內(nèi)有些點(diǎn)處流體離我們而去，有些點(diǎn)