寧夏長(zhǎng)慶高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試題理含解析

PAGE17-寧夏長(zhǎng)慶高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試題理（含解析）一、選擇題：（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分）1.已知函數(shù)，且，則的值為（）A.1 B. C.-1 D.0【答案】A【解析】【詳解】由題意得，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，因?yàn)椋?，所以，故選A．2.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為(

)A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由曲線(xiàn)y＝x3－3x2＋1，所以，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為：，此處的切線(xiàn)方程為：，即.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程．點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、關(guān)鍵是求出直線(xiàn)的斜率，正確利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，考查計(jì)算能力．3.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得導(dǎo)函數(shù)，由此解方程求得的值.【詳解】依題意，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查乘法的導(dǎo)數(shù)，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.4.已知，的值是（）A.3 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義與極限的運(yùn)算可得．【詳解】．故選：B．5.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且時(shí)，，則時(shí)（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】由條件知：是奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)；是偶函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)；所以在內(nèi)是增函數(shù)；在內(nèi)是減函數(shù)；所以時(shí)，故選B6.函數(shù)在處有極值10，則點(diǎn)（）A. B.C.或 D.不存在【答案】B【解析】【詳解】試題分析：，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在定義域上為增函數(shù)，無(wú)極值，舍去.當(dāng),,為極小值點(diǎn),符合,故選B考點(diǎn)：1.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；2.函數(shù)在某一點(diǎn)取極值的條件.【易錯(cuò)點(diǎn)睛】本題主要考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問(wèn)題，要求掌握可導(dǎo)函數(shù)取得有極值的條件，是函數(shù)取得極值的必要不充分條件.求解之后要注意檢驗(yàn)，本題中，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在定義域上為增函數(shù)，無(wú)極值，不符合題意，舍去.本題容易錯(cuò)選A，認(rèn)為兩組解都符合，一定要注意檢驗(yàn).7.已知是R上的單調(diào)增函數(shù)，則b的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三次函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)其導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究，求出導(dǎo)數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)恒大于0即可解決問(wèn)題．【詳解】∵，∴，∵函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)，∴在上恒成立，∴，即.∴故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上（或）（在該區(qū)間的任意子區(qū)間都不恒等于0）恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，從而獲得參數(shù)的取值范圍，本題是根據(jù)相應(yīng)的二次方程的判別式來(lái)進(jìn)行求解.8.函數(shù)在上的最大值和最小值分別是（）A.5，15 B.5， C.5， D.5，【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)數(shù)，確定單調(diào)性，極值，并求出端點(diǎn)處函數(shù)值，比較后可得最大值和最小值．【詳解】由已知，得或（舍去），時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以最小值＝極小值＝，又，，所以最大值＝5．故選：C．9.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程，求出切線(xiàn)的橫截距和縱截距后可得所求的面積.【詳解】，故切線(xiàn)的斜率為，故切線(xiàn)方程為：，化簡(jiǎn)得到.令，則；令，則.故切線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線(xiàn)方程的應(yīng)用，對(duì)于曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題，注意“在某點(diǎn)處的切線(xiàn)”和“過(guò)某點(diǎn)的切線(xiàn)”的差別，切線(xiàn)問(wèn)題的核心是切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，本題屬于基礎(chǔ)題.10.設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性，從而得到在相應(yīng)范圍上的符號(hào)和極值點(diǎn)，據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知，在上為增函數(shù)，且在上存在正數(shù)，使得在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故在有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且在這兩個(gè)零點(diǎn)的附近，有變化，故排除A，B.由在上為增函數(shù)可得在上恒成立，故排除C.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)圖象的識(shí)別，此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性來(lái)考慮導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與零點(diǎn)情況，本題屬于基礎(chǔ)題.11.給出以下命題：（1）若，則；（2）；（3）的原函數(shù)為，且是以T為周期的函數(shù)，則；其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A1 B.2 C.3 D.0【答案】B【解析】【分析】由微積分基本定理判斷．【詳解】（1）若，則，（1）錯(cuò)；（2），（2）正確；（3）因?yàn)槭侵芷诤瘮?shù)，周期為，則，所以，令，則，（3）正確．故選：B．12.若函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化成：函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).即：方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，再轉(zhuǎn)化成：有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，討論的單調(diào)性并畫(huà)出簡(jiǎn)圖，結(jié)合圖象即可列不等式求解．【詳解】由題可得：，因?yàn)楹瘮?shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).令，等價(jià)轉(zhuǎn)化成有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，記：，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在此區(qū)間上遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在此區(qū)間上遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在此區(qū)間上遞減，作出的簡(jiǎn)圖如下：要使得有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，即：，整理得：.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，還考查了轉(zhuǎn)化思想及計(jì)算能力，考查了函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，屬于難題．二、填空題：（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)函數(shù)，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，再利用單調(diào)性求最值即可.【詳解】，求導(dǎo)得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故答案為：14.已知為一次函數(shù)，且，則=_______.【答案】【解析】【詳解】設(shè)，則.即，所以..15.計(jì)算=_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)定積分的幾何意義求得，由定積分的計(jì)算公式，求得，再根據(jù)定積分的性質(zhì)，即可求解．【詳解】由定積分的性質(zhì)可得，根據(jù)定積分的幾何意義，可知表示的面積，即半徑為的一個(gè)個(gè)圓的面積，所以，又由，所以，【點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分的計(jì)算，以及定積分的幾何意義的應(yīng)用，其中熟記定積分的計(jì)算和定積分的幾何意義是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．16.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】由題意首先確定m，n的值，然后利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性，最后由函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值即可．【詳解】由函數(shù)的解析式可得：f′（x）＝x2+2mx+n，導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，則m＝0，故f（x）x3+nx+2，f（1）n+2，∴n＝﹣3，函數(shù)的解析式為f（x）x3﹣3x+2，f′（x）＝x2﹣3，故g（x）＝ex（x2﹣3），g′（x）＝ex（x2﹣3+2x）＝ex（x﹣1）（x+3），所以函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，2]上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）的最小值為，故答案為：﹣2e．三、解答題：（本大題共7小題，共80分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.用長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器，先在四角分別截去一個(gè)小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)，再焊接而成（如圖），問(wèn)該容器的高為多少時(shí)，容器的容積最大？最大容積是多少？【答案】見(jiàn)解析【解析】【詳解】分析：設(shè)容器的高為，得容器的容積為與之間的關(guān)系，是關(guān)于的三次函數(shù)，求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值.詳解：設(shè)容器的高為，容器的體積為，，由得，（舍）．又當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，有極大值．所以當(dāng)時(shí)，有最大值．答：當(dāng)容器的高為時(shí)，容器的容積最大，最大容積為點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)應(yīng)用題，在解題的過(guò)程中，需要對(duì)題中的條件，認(rèn)真分析，找到變量之間的關(guān)系式，建立起對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像的走向，從而求得結(jié)果.18.已知在時(shí)有極大值，在時(shí)有極小值．（1）求，，的值；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）,,；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.【解析】【詳解】試題分析：(1)兩根為-2,1(2)的最大值為，最小值為考點(diǎn)：函數(shù)極值最值點(diǎn)評(píng)：函數(shù)在極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零，函數(shù)最值出現(xiàn)在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處，因此求出極值和邊界值比較大小即可19.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間，上是減函數(shù)，又（1）求的解析式；（2）若在區(qū)間上恒有成立，求的取值范圍【答案】（1）（2）【解析】【詳解】（1）由已知，即解得（2）令，即或又在區(qū)間上恒成立，20.在曲線(xiàn)上某一點(diǎn)A處作一切線(xiàn)與曲線(xiàn)及坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積為，試求：（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）過(guò)切點(diǎn)A的切線(xiàn)方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)切點(diǎn).過(guò)作于點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)得切線(xiàn)斜率，從而可寫(xiě)出切線(xiàn)方程，求出切線(xiàn)與交點(diǎn)的坐標(biāo)，用定積分的幾何意義求得曲線(xiàn)，直線(xiàn)，軸圍成的圖象面積，再減去面積等于，從而求得切點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由（1）求得切線(xiàn)斜率，得切線(xiàn)方程．【詳解】（1）如圖所示，設(shè)切點(diǎn).過(guò)作于點(diǎn)，由知過(guò)A點(diǎn)切線(xiàn)方程為且，即.令，得.設(shè)由曲線(xiàn)與過(guò)A點(diǎn)的切線(xiàn)及x軸圍成的面積為S，則曲線(xiàn)∵曲線(xiàn)，∴.解得，所以，即．（2）由（1）知又時(shí)，，則切線(xiàn)方程.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查微積分的幾何意義，解題方法是設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線(xiàn)方程，作出在軸上的射影，由微積分基本定理求得曲邊三角形面積，用切線(xiàn)坐標(biāo)表示出題中面積后求得切點(diǎn)坐標(biāo)．21.設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若當(dāng)時(shí)，，求的最大值.【答案】（1）在單調(diào)減少，在，單調(diào)增加，極大值，極小值；（2）7.【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由的正負(fù)確定單調(diào)區(qū)間，從而可得極值；（2）利用（1）的單調(diào)性可得出在的的最大值和最小值，從而得出滿(mǎn)足的不等關(guān)系，由不等式的性質(zhì)得出的最大值【詳解】解：（1）.于是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在單調(diào)減少，在，單調(diào)增加.當(dāng)時(shí)，取得極大值；當(dāng)時(shí)，取得極小值.（2）根據(jù)（Ⅰ）及在的最大值為4，最小值為1.因此，當(dāng)時(shí)，的充要條件是，，，所以，即，所以的最大值為7.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與單調(diào)區(qū)間，求出導(dǎo)函數(shù)，解方程，分類(lèi)確定的正負(fù)，得單調(diào)區(qū)間，得極值．22.已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）若是的極大值點(diǎn)，求．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【詳解】分析：（1）求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性證明即可．（2）分類(lèi)討論和,構(gòu)造函數(shù),討論的性質(zhì)即可得到a的范圍．詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，.設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)時(shí)，，且僅當(dāng)時(shí)，，從而，且僅當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞增.又，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）（i）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，這與是的極大值點(diǎn)矛盾.（ii）若，設(shè)函數(shù).由于當(dāng)時(shí)，，故與符號(hào)相同.又，故是的極大值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)是的極大值點(diǎn)..如果，則當(dāng)，且時(shí)，，故不是的極大值點(diǎn).如果，則存在根，故當(dāng)，且時(shí)，，所以不是的極大值點(diǎn).如果，則.則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以是的極大值點(diǎn)，從而是的極大值點(diǎn)綜上，點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值證明不等式，第二問(wèn)分類(lèi)討論和,當(dāng)時(shí)構(gòu)造函數(shù)時(shí)關(guān)鍵，討論函數(shù)的性質(zhì)，本題難度較大．23.已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)，和，分別是的導(dǎo)函數(shù)，若在區(qū)間上恒成立，則稱(chēng)和在區(qū)間上單調(diào)性一致．（Ⅰ）設(shè)，若函數(shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)且，若函數(shù)和在以為端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間上單調(diào)性一致，求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【詳解】由已知，，，；（Ⅰ）由題設(shè)“單調(diào)性一致”定義知，在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，因，所以，所以，在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，而在上最大值所以，，即；（Ⅱ）由“單調(diào)性一致”定義知，在以為端點(diǎn)的