人大版-微積分-函數(shù)的連續(xù)性課件

數(shù)信學(xué)院Email:微積分鏈接目錄第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分第四章

中值定理,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五章不定積分第六章定積分第七章

無(wú)窮級(jí)數(shù)(不要求)第八章多元函數(shù)第九章微分方程復(fù)習(xí)第二章極限與連續(xù)數(shù)列極限函數(shù)極限變量極限無(wú)窮大與無(wú)窮小極限的運(yùn)算法則兩個(gè)重要的極限函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)的連續(xù)性描述函數(shù)的漸變性態(tài),在通常意義下，對(duì)函數(shù)連續(xù)性有三種描述：當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，因變量的變化也是微小的；自變量的微小變化不會(huì)引起因變量的跳變；連續(xù)函數(shù)的圖形可以一筆畫(huà)成,不斷開(kāi).一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量2.連續(xù)的定義注意例1證由定義2知例2解右連續(xù)但不左連續(xù),4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例3證二、函數(shù)的間斷點(diǎn)1.跳躍間斷點(diǎn)例5解2.可去間斷點(diǎn)例6如例6中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為第一類(lèi)間斷點(diǎn).特點(diǎn)3.第二類(lèi)間斷點(diǎn)例7解例8解注意不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).★在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,但其絕對(duì)值處處連續(xù).判斷下列間斷點(diǎn)類(lèi)型:例9解三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理證明直接用極限的運(yùn)算法則就可以了如：[解]非初等函數(shù)連續(xù)性問(wèn)題舉例[解]四、在區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有著十分優(yōu)良的性質(zhì)，這些性質(zhì)在函數(shù)的理論分析、研究中有著重大的價(jià)值，起著十分重要的作用。下面我們就不加證明地給出這些結(jié)論，好在這些結(jié)論在幾何意義是比較明顯的。1.有界性定理：定理(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.2.最大最小值定理（最值定理）：注意:1.若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立.3.零點(diǎn)定理：4.介值定理：推論：f(x)g(x)[證]構(gòu)造輔助函數(shù)

介值定理的證明例1證由零點(diǎn)定理,推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.例2證由零點(diǎn)定理,例3證由零點(diǎn)定理知總之注①方程f(x)=0的根函數(shù)f(x)的零點(diǎn)②有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)命題的證明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20間接法（輔助函數(shù)法）：先作輔助函數(shù)，再利用零點(diǎn)定理輔助函數(shù)的作法（1）將結(jié)論中的ξ(或x0或c)改寫(xiě)成x（2）移項(xiàng)使右邊為0，令左邊的式子為F(x)則F(x)即為所求區(qū)間一般在題設(shè)中或要證明的結(jié)論中已經(jīng)給出，余下只須驗(yàn)證F(x)在所討論的區(qū)間上連續(xù)，再比較一下兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值的符號(hào)，或指出要證的值介于F(x)在所論閉區(qū)間上的最大值與最小值之間。則有且[解]試算根據(jù)代數(shù)基本定理三次多項(xiàng)式最多有三個(gè)實(shí)根[證][證][證][證]矛盾！五、利用函數(shù)性連續(xù)求函數(shù)極限閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有著十分優(yōu)良的性質(zhì)，這些性質(zhì)在函數(shù)的理論分析、研究中有著重大的價(jià)值，起著十分重要的作用。下面我們就不加證明地給出這些結(jié)論，好在這些結(jié)論在幾何意義是比較明顯的。注意定理七、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類(lèi)與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類(lèi)間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類(lèi)間斷點(diǎn):無(wú)窮型,振蕩型.間斷點(diǎn)(見(jiàn)下圖)四個(gè)定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．閉區(qū)間；2．連續(xù)函數(shù)．這兩點(diǎn)不滿(mǎn)足上述定理不一定成立．解題思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.輔助函數(shù)法:先作輔助函數(shù)F(x),再利用零點(diǎn)定理;第一類(lèi)間斷點(diǎn)oyx可去型oyx跳躍型第二類(lèi)間斷點(diǎn)oyx無(wú)窮型oyx振蕩型思考題思考題解答且但反之不成立.例但練習(xí)題練習(xí)題答案思考題下述命題是否正確？思考題解答不正確.例函數(shù)注意定理七、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類(lèi)與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類(lèi)間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類(lèi)間斷點(diǎn):無(wú)窮型,振蕩型.間斷點(diǎn)(見(jiàn)下圖)四個(gè)定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．閉區(qū)間；2．連續(xù)函數(shù)．這兩點(diǎn)不滿(mǎn)足上述定理不一定成立．解題思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.輔助函數(shù)法:先作輔助函數(shù)F(x),再利用零點(diǎn)定理;第一類(lèi)間斷點(diǎn)oyx可去型oyx跳躍