2.1等式的性質(zhì)與不等式-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)講義

新教材必修第一冊(cè)2.1：等式的性質(zhì)與不等式課標(biāo)解讀：不等式與不等式的概念.（理解）實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù).（理解）等式的性質(zhì).（理解）不等式的性質(zhì).（掌握）學(xué)習(xí)指導(dǎo)：通過(guò)具體實(shí)例，體會(huì)不等號(hào)表示不等關(guān)系的簡(jiǎn)潔性，認(rèn)識(shí)不等式在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用.在回顧等式及性質(zhì)的基礎(chǔ)上類(lèi)比學(xué)習(xí)不等式及其性質(zhì)，并注意區(qū)分它們之間的差異.知識(shí)導(dǎo)圖：等式與等式的性質(zhì)、， ［不等關(guān)系——用不等式（組）表示不等關(guān)系 不等關(guān)系與不等式^ 實(shí)數(shù)大小比較的依據(jù)不等式V不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用教材全解知識(shí)點(diǎn)1：不等關(guān)系與不等式.不等關(guān)系與不等式(1)在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，用數(shù)學(xué)符號(hào)“w”、“〉”、“三”、“<”“^”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系.含有這些不等符號(hào)的式子叫做不等式.(2)“〈”或“>”連接的不等式叫做嚴(yán)格不等式；用“W”或“三”連接的不等式叫做非嚴(yán)格不等式..不等關(guān)系在實(shí)際生活中的體現(xiàn)不等關(guān)系反映在日常生活的方方面面，比如：(1)常量與常量之間的不等關(guān)系，如鐵的密度大于水的密度；(2)變量與常量之間的不等關(guān)系，如某卡車(chē)的承載質(zhì)量G小于或等于10t.(3)函數(shù)與函數(shù)之間的不等關(guān)系，如當(dāng)X>X時(shí)，方案一的費(fèi)用y小于方案二的費(fèi)用y.01 2(4)一組變量之間的不等關(guān)系，如買(mǎi)圓珠筆的費(fèi)用2X與買(mǎi)作業(yè)本的費(fèi)用y的和不超過(guò)200元..用不等式組表示不等關(guān)系當(dāng)問(wèn)題情境中包含兩個(gè)或兩個(gè)以上的不等關(guān)系時(shí)，需要不等式組來(lái)表示不等關(guān)系.例1-1：李輝準(zhǔn)備用自己存的零花錢(qián)買(mǎi)一臺(tái)學(xué)習(xí)機(jī)，他現(xiàn)在已存60元，計(jì)劃從現(xiàn)在起以后每個(gè)月節(jié)省30元，直到他至少有400元.設(shè)x個(gè)月后他至少有400元，則他可以用于計(jì)算所需要的月數(shù)x之間的不等式是（ ）A.30x-60>400 B.30x+60>400C.30x-60<400 D.30x+40<400答案：B.例1-2：完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工需支付工資每人400元，請(qǐng)瓦工需支付工資每人500元，要求工人工資預(yù)算不超過(guò)20000元。設(shè)木工x人，瓦工j人，則下列關(guān)系式正確的是（）A.4x+5j<200 B.4x+5j<200C.5x+4j<200 D.5x+4j<200答案：A.知識(shí)點(diǎn)2：實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)（重點(diǎn)）.實(shí)數(shù)的特征（1）任意實(shí)數(shù)的平方不小于0；（2）任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小，反之，可以比較大小的數(shù)一定是實(shí)數(shù)..實(shí)數(shù)大小比較的依據(jù)在數(shù)軸上，不同的點(diǎn)A與點(diǎn)B分別表示兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)〃與b，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大.如果a—b是正數(shù)，那么a>b；如果a—b是等于0，那么a=b；如果a—b是負(fù)數(shù)，那么a<b.反過(guò)來(lái)也對(duì).這可表示為a>boa一b>0;a=boa一b=0;a<boa一b<0.例2-3:設(shè)p=2a（a一3）+3,Q=（a一1）（a一3）,aeR，則有（ ）A.PNQ B.P〉Q C.P<Q D.PWQ答案：A.例2-4：已知a>0,b>0,M-a+,bN=E,則（）A.M〉N B.M=N C.M<N D.不能確定答案：A.知識(shí)點(diǎn)3：等式的性質(zhì)（重點(diǎn)）等式有下面的基本性質(zhì)性質(zhì)1：如果a=b，那么b=a；性質(zhì)2：如果a=b,b=c，那么a=c；性質(zhì)3：如果a=b，那么a±c=b土c；性質(zhì)4：如果a=b，那么ac=bc；性質(zhì)5：如果a=b,c豐0，那么a=b.cc例3-5：利用等式的基本性質(zhì)，在橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù).（1）若2x―3二一5，則U2x=，x=；（2）若5x+2=2x一4，則U3x=，x=；（3）若1x=2x一3，則一5x= ，x= .3

答案：（1）-2-1; （2）-6 -2； （3）-3 95知識(shí)點(diǎn)4：不等式的性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意性質(zhì)1對(duì)稱性a>b0b<a可逆性質(zhì)2傳遞性a〉b,b〉c0a〉c同向性質(zhì)3可加性a>b0a+c>b+c可逆性質(zhì)3的推論移項(xiàng)法則a+b>c0a>c—b可逆性質(zhì)4可乘性a〉b] a〉b]bnac〉bc; bnac<bcc〉0J c<0Jc的符號(hào)性質(zhì)5同向可加性a〉b]>na+c〉b+dc〉dJ同向性質(zhì)6同向同正可乘性a〉b〉0]>nac〉bdc〉d〉0J同向、同正性質(zhì)7可乘方性a〉b〉0nan〉bn，(ngN,n>2)同正例4-6:已知a>b,c〉d且c,d均不為0,那么下列不等式一定成立的是（）A.ad〉bc B-ac〉bd C-a—c〉b—d D-a+c〉b+d答案：D-例4-7：下列命題為真命題的是（）b1C.a>bn—<1a答案：D.重難拓展知識(shí)點(diǎn)5：比較大小時(shí)常用的作差法和作商法的解題依據(jù)以及應(yīng)用范圍和步驟如下:作差法作商法依據(jù)a-b>00a>ba-b=00a=ba-b<00a<ba>0,b>0,則a>1oa>b;ba1一 7aj一/—=1oa=b;—<1oa<b.b ba<0,b<0,則a>1oa<b;ba 1一 7aj一 、7—=1oa=b;—<1oa>b.b b應(yīng)用范圍兩數(shù)（式）的大小關(guān)系不明顯.作差后積、商且易于判斷與0的大小關(guān)系的形式同號(hào)兩數(shù)（式）比較大小，兩數(shù)（式）的大小關(guān)系不明顯，作商后易于判」斷與1的大小關(guān)系步驟①作差；②變形；③判斷差與0的大小關(guān)系；④下結(jié)論.①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④下結(jié)論.例4-8：若a>b>0,c<d<0，求證：—-->---(a-c)2 (b-d)2答案:<c<d<0,/.-c>-d>0.又a>b>0./.a-c>b-d>0,/.(a-c)2>(b-d)2>0,0<-1—<—1—(a-c)2 (b-d)2又e<0,「.——-——>——-——(a-c)2 (b-d)2解題指導(dǎo)題型1：實(shí)數(shù)的大小比較(1)例9:已知a>0,b>0,試比較二+A與7+跖的大小.bad答案：作差法、作商法、平方法均可證明工+A三1+而4bda變式訓(xùn)練1：若m<n,p<1,且(p-m)(p—n)<0,(q-m)(q-n)<0，則m,n,p,q從小到大的排列順序是().A.m<p<q<n B.p<m<q<nC.m<p<n<q D.p<m<n<q答案：A.變式訓(xùn)練2：某學(xué)習(xí)小組在調(diào)查鮮花市場(chǎng)的鮮花價(jià)格后得知，購(gòu)買(mǎi)2枝玫瑰花與1枝康乃馨所需要的費(fèi)用之和大于8元，而購(gòu)買(mǎi)4枝玫瑰與5康乃馨所需要的費(fèi)用之和小于22元.設(shè)購(gòu)買(mǎi)2枝玫瑰所需要的費(fèi)用為A元，購(gòu)買(mǎi)3枝康乃馨所需費(fèi)用為B元，則A，B的大小關(guān)系是()A.A>B B.A<BC.A=B D.A,B的大小關(guān)系不能確定答案：A.題型2：不等式性質(zhì)的應(yīng)用.判斷命題的真假例10:已知Q也CEA且cwO，則下列命題中是真命題的是().A汝口果1”,那么2/ B.如果“°>慶，那么ccC如果〃>人那么1/D.如果那么巴〉2ab c2c2答案：D..證明不等式例11:已知a>〃>0,c<d<0,e<0，求證：.a—ch-d答案：作差法，證明略..利用不等式的性質(zhì)求范圍：例12：(工)已知1<〃<4,2<6<8，試求2〃+3b與的取值范圍;(2)已知1<“<4,2<〃<8，求色的取值范圍；b(3)已知-6<a<8,2<》<3，求2的取值范圍.例13:已知—+ 4<a-6<2,求2a-48的取值范圍.答案：-17<2〃-跖<7變式訓(xùn)練：已知一1<X+y<4,且2<X-y<3,則z=2x-3y的取值范圍是答案：3<z<8.實(shí)際應(yīng)用例14：有一批襯衣原價(jià)為每件80元，甲、乙兩商場(chǎng)均有銷(xiāo)售.現(xiàn)在每個(gè)商場(chǎng)都推出了促銷(xiāo)政策：到甲商場(chǎng)買(mǎi)一件襯衣優(yōu)惠4元，買(mǎi)兩件襯衣優(yōu)惠8元，買(mǎi)三件襯衣優(yōu)惠12元 以此類(lèi)推，直到減至半價(jià)為止；乙商場(chǎng)則一律按原價(jià)的7折酬賓.某單位欲為每位員工買(mǎi)一件該襯衣，問(wèn)到哪個(gè)商場(chǎng)買(mǎi)比較合算？答案：若員工不超過(guò)5人，到乙商場(chǎng)合算。若員工恰為6人，甲、乙商場(chǎng)一樣合算。若員工超過(guò)6人，到甲商場(chǎng)合算.易錯(cuò)題型易錯(cuò)點(diǎn)1：忽略不等式成立的條件例15：給出下列命題：①若a<b,c<0，則c<b;②若ac-3>bc-3，③若a>b且keN，貝Uak>bk；+④若c>a>b>0，貝IJ士>工-a-b其中正確命題的序號(hào)是答案：④易錯(cuò)點(diǎn)2：誤用同向不等式的性質(zhì)例16:已知12<a<36，求a的取值范圍.b答案：C品味高考考向1：不等關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用例17：（浙江高考題）有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只能使用一種顏色，且三個(gè)房間的顏色各不相同.已知三個(gè)房間的粉刷面積（單位：平方米）分別為x,y,z，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用（單位：元/m?）分別為a,b,c,在不同的方案中，最低總費(fèi)用（單位：元）是（）A.ax+by+cz B-az+by+cxC.ay+bz+cx D-ay+bx+cz答案：B考向2：不等式性質(zhì)的應(yīng)用例21:若a>b>0,c<d<0，則一定有（ ）ab ab ab abA._>_ B._<_ C._>_ D._>_cd cd dc dc答案：D

變式訓(xùn)練1:設(shè)a,b,ce凡且a〉b,則（ ）A-ac〉bc B--<— C.a2〉b2 D-a3〉b3ab答案：D變式訓(xùn)練2:能說(shuō)明“若a>b,則1<1”為假命題的一組a,b的取值依次是ab答案：1,-1（答案不唯一）基礎(chǔ)鞏固:1-下列運(yùn)用等式性質(zhì)變形不正確的是（）B-若a=b，則ac=bcA-若x=y，B-若a=b，則ac=bcC-若a=—，則Ua=b D-若x=y，則UX=—cc aa.已知0<a<1,0<b<1，記M=a.b,N=a+b-1，則M與N的大小關(guān)系是（A-M<NB-M=NC-M>ND.A-M<NB-M=NC-M>ND.不確定.已知a+b<0,且a>0，則（ ）-A-a2<A-a2<一ab<b2B-b2<-ab<a2C-a2<b2<-abD--ab<b2<a2.設(shè)a，凡b=7；7-,仄c=6v6-72，則a,b,c的大小關(guān)系是（ ）-A-a>b>cB-a>c>b C-b>a>A-a>b>c.用不等式表示如圖兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系為

.如圖所示的兩種廣告牌，其中圖（1）是由兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成，圖（2）是一個(gè)矩形，從圖形上確定這兩個(gè)廣告牌面積的大小關(guān)系，并將這種關(guān)系用含字母〃力的不等式表示為 .某化工廠制定明年某產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，受下面幾個(gè)條件的制約：生產(chǎn)次產(chǎn)品的工人不超過(guò)200人；每個(gè)工人的年工作時(shí)間為2100h，預(yù)計(jì)次產(chǎn)品明年的銷(xiāo)售量至少為80000袋；生產(chǎn)每袋產(chǎn)品需要4h；生產(chǎn)每袋產(chǎn)品需要原料20kg；本年年底庫(kù)存原料600t，明年可補(bǔ)充1200t.試根據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)明年的產(chǎn)量..若x<y<0，試比較1,1,X2,y2的大小.xy能力提升.有外表一樣、質(zhì)量不同的四個(gè)小球，它們的質(zhì)量分別是a,b,c,d，已知a+b=c+d,a+d>b+c,a+c<b，這四個(gè)小球的質(zhì)量由大到小的排列順序是（）A.d>b>a>c B-b>c>d>aC-dC-d>b>c>aD-c>a>d>b.設(shè)a,beR，定義運(yùn)算“A”和“V”如下:aAb」a，a<b，aVb=/，a<b，Ib,a>b Ia,a>b若正數(shù)a,b,c,d滿足ab>4,c+d<4，則（）A.aA.aAb三2,cAd<2A.aAb三2,cVd三2A.aA.aVb三2,cAd<2A.aVb三2,cVd三2.若x>y,a>b,則在①a-x>b-y'②a+x>b+y，③ax>by，④x-2b>y-2a,⑤）>b這yx五個(gè)不等式中，恒成立的不等式序號(hào)是.已知-1<a<0，A=1+a2