蘭大08年09年數(shù)分考研試題及解答

本文格式為Word版，下載可任意編輯——蘭大08年09年數(shù)分考研試題及解答蘭州大學(xué)2023年數(shù)學(xué)分析考研試題及解答

一．計(jì)算.1.求limlnn?1?n????1??2??n?1??1??????.n??n??n?解limlnn??nn1??2??n?1?k??ln?1????1???1????1???limn??n??n?n??k?1n?n????10ln?1?x?dx

2??1lnxdx??xlnx?x?

12?2ln2?1.2.設(shè)an?1?3?5??2n?1?2?4?6??2n?，?n?1,2,??，

求證（1）?an?單調(diào)遞減；（2）an?12n?1；

（3）求liman.

n??證明（1）由于

an?1an?2n?12n?2?1，

所以an?1?an，?n?1,2,??，于是?an?是單調(diào)遞減的；（2）由?2k?1??2k?1??1?3?5??2n?1?2?4?6??2n??2k?1???2k?1?2?2k，

得an??113?335?2n?12n?12n?1?12n?112n?1，?n?1,2,??

（3）由（2）知0?an?，

所以liman?0.

n??11?3?233求lim??x?3x???x?2x?2?.

x?????11?3?2解lim??x?3x?3??x?2x?2?

x?????11??3232?????limx??x?2???1???x?????x?x?????113?3?2?2?1??1????2?x?x????limx???1x

?lim?t?0?1?3t?213??1?2t?2t1

21??1?1?23?lim???1?3t??6t??1?2t?2??2??t?02?3??1.

4.求I?解I????0xsinx1?cosxxsinx2dx

0?01?cosx2dx?????0???y?sin???y?21?cos???y???dy?????0?x?sin???x?1?cosx2dx???所以I??sinx1?cosx2dx?I,

?22??0sinx1?cosx2dx

??21?111?tdt

??2arctant1?1???2?2??24.

x3y?x?y3?5.求lim?cos?x??,x??y?ax3.

y?x?y3?解lim?cos?x??,x??y?a

31??yy??cos?1?lim??1?cos?1?x?x??,??x??y?a??y??x?cos?1?3x??x?y

?ey?ay?x?lim?cos?1?x??,?x?x?y33，

33yx??x?2y?lim?cos?1??lim?2sin??33x??,x??,xx?yxx?y????y?ay?a??2limyx22x??,y?a?x33x?y??2limy1?2x??,y?ay3??2a2，

xx32y?x?y3??2a?e故lim?cos?x??,x??y?a.

6.求I???Lxdy?ydxx?y22，其中L是不過原點(diǎn)的簡單閉曲線.

xx?y22解記P??Q?x?P?y?yx?y22，Q?，

則

??0，?x,y???0,0?，

而由Green公式

若原點(diǎn)?0,0?在L所圍區(qū)域的內(nèi)部，則取??0充分小，使得B??0,0?,??包含在L所圍區(qū)域的內(nèi)部.

I?x?y?B??0,0?,??2?0?xdy?ydx22

????cos????cos????sin?????sin???d??2?.

2d?

?2?0二．設(shè)f?x?在x?0處可導(dǎo)，且f?0??0，f??0??1.證明存在??0，使得x??0,??時(shí)，有f?x??x.證明由題設(shè)條件，知

limf?x?x?limf?x??f?0?x?0?f??0??1，

x?0x?0于是存在??0，使得當(dāng)0?x??時(shí)，有

f?x?xf??0??12?1，

?從而當(dāng)x??0,??時(shí)，有f?x??x.

三．試證明f?x??x?2在?0,1?上不一致連續(xù)，但是對任何0???1，f?x??x?2在

??,1?上一致連續(xù).

證明（1）取xn?2n，yn?3421n，盡管lim?xn?yn??0，

n??但f?xn??f?yn??n???，?n????，

所有f?x??x?2在?0,1?上不一致連續(xù)；（2）f??x???2x?3，當(dāng)x???,1?時(shí)，

?3f??x???2x?2??3，

即f??x?在??,1?上有界，故f??x?在??,1?上一致連續(xù).對任意x1,x2???,1?，

f?x1??f?x2??1x12?1x22

?x1?x2xx2122x1?x2?2?3x1?x2，

由此，即得f?x?在??,1?上一致連續(xù).

四．設(shè)0????，?為實(shí)參數(shù)，記f??x??x??x???.

證明存在A?0，使得對任何???0,A?都存在??0，a?0，滿足f??a???.證明由于當(dāng)x?1，x??x??0，f??x??0，對x??0,1?，有x??1?x?????0，

存在0?a1?a2?1，使得當(dāng)x??a1,a2?時(shí)，x??x??0，

x?x?min??x??a1,a2?x???x???b?0，

取A?b3，則對任何???0,A?,

當(dāng)x??a1,a2?，

f??x??x?x???b???b3?23b，

取??23b，對x??a1,a2?，都有f??a???.

?五．設(shè)p?0，探討級數(shù)?n?1xnnp的斂散性.

解設(shè)u?x??xnnp，

當(dāng)x?0時(shí)，顯然級數(shù)收斂，當(dāng)x?0時(shí)，由于limun?1?x?un?x??n??lim??x?xn??n?1??,

n??所以當(dāng)x?1時(shí)，原級數(shù)絕對收斂，當(dāng)x?1時(shí)，原級數(shù)發(fā)散，

?當(dāng)x??1時(shí)，由???1?n?1p1np收斂，

當(dāng)x??1，p?1時(shí)，原級數(shù)條件收斂，

當(dāng)x??1，p?1時(shí)原級數(shù)絕對收斂，當(dāng)x?1，p?1，原級數(shù)發(fā)散，當(dāng)x?1，p?1原級數(shù)絕對收斂.

六．設(shè)f?x?在?a,b?上有界，記f??x??max?f?x?,0?，f??x??max??f?x?,0?，證明f?x?在?a,b?上可積的充分必要條件是f??x?，f??x?在?a,b?上均可積，并且?f?x?dx?ab?baf??x?dx??abf??x?dx.

證明必要性設(shè)f?x?在?a,b?上可積，我們知道f?x?上可積，由

f??x??f?x??f?x?2，f??x??f?x??f2?x?

得f??x?，f??x?在?a,b?上均可積，顯然f?x??f??x??f??x?，所以?f?x?dx?ab?baf??x?dx??abf??x?dx；

充分性設(shè)f??x?，f??x?在?a,b?上均可積，由f?x??f??x??f??x?，知f?x?在?a,b?上可積，且?f?x?dx?ab?baf??x?dx??abf??x?dx.

七．設(shè)二元函數(shù)f?x,y?對x連續(xù)，對y連續(xù)且關(guān)于其中一個(gè)變元單調(diào)，證明它關(guān)于兩個(gè)變元是混合連續(xù)的.證明不妨設(shè)f?x,y?關(guān)于y單增，

對于任意固定的?x0,y0?，由于f?x0,y?關(guān)于y連續(xù)，對任意??0，存在?1?0，使得當(dāng)y?y0??1時(shí)，有f?x0,y??f?x0,y0???4，（1）

由于f?x,y0??1?，f?x,y0?，f?x,y0??1?關(guān)于x連續(xù)，

對于上述??0，存在?2?0，使得當(dāng)x?x0??2時(shí)，有f?x,y0??f?x0,y0??ff?4，

???x,y0??1??f?x0,y0??1??x,y0??1??f?x0,y0??1??4，，

?4現(xiàn)對任意的?x,y?滿足

x?x0??2，y?y0??1，

當(dāng)y0?y?y0??1時(shí)，

f?x,y??f?x0,y0??f

?f?x,y??f?x,y0??x,y??f?x0,y0?

?f?x,y0??1??f?x,y0??f?x,y??f?x0,y0??f?x,y0??1??f?x0,y0??1??f?x0,y0??1??f?x0,y0??f?x0,y0??f?x,y0??f?x,y0??f?x0,y0?

??，

同理當(dāng)y0??1?y?y0時(shí)f?x,y??f?x0,y0???，于是得f?x,y?在?x0,y0?處連續(xù)，結(jié)論得證.

八．設(shè)連續(xù)函數(shù)f?x?滿足f?1??1，記F?t??2???2f?x?y?z22222?dxdydz，

x?y?z?t證明F??t??4?.證明F?t???2?0d??d??f?r00t0?t2?r2sin?dr

?4??r2f?r2?dr，

F??t??4?tf?t22?，

F??1??4?f?1??4?.

九．稱f?x?是凸函數(shù)，假使對任意的???0,1?，x,y?I,均有

f??x??1???y???f?x???1???f?y?，

（1）試著給出凸函數(shù)的幾何解釋；

（2）若f?x?是區(qū)間I上的凸函數(shù)，試探討f?x?在I上的連續(xù)性質(zhì)；

（3）若f?x?有下界，即存在常數(shù)M,使得對任何x，都有f?x??M，問f?x?是否有最小值？證明你的結(jié)論.

解（1）聯(lián)結(jié)f圖像上兩點(diǎn)直線段總在這兩點(diǎn)間f圖像的上方.（2）對任意x1,x2,x3?I,滿足x1?x2?x3，記

??x3?x2x，

3?x1而x2??x1??1???x3，

f?x2??f??x1??1???x3?

??f?x1???1???f?x3??x3?x2xf?xx11??x2?3?x1xf?x3?，

3?x1x3?x2xf?xx2?x1?x?x2x2?x12??,

3?x1x2??x33?xf1xf?x1??xf?x3?3?x13?x1x3?x2x(f?x2??f?x1?)?x2?x1x(f?x3??f?x2?),

3?x13?x1由此可得，

f?x2??f?x1??f?x3??f?x2?x2?x1x，

3?x2進(jìn)而

f?x2??f?x1?fx3??f?x2??f?x3??f?x1?x2?x??1x3?x2x3?x;

1（3）對任意固定x0?(a,b)，任取x1,x2,x4?(a,b),x4?x0?x1?x2則有

f(x4)?f(x0)f(x1)?f(x0)f(x2)?f(x0)x4?x?0x1?x?0x2?x，

0則F(x,x0)?f(x)?f(x0)x?x0,(x?x0)，關(guān)于x單調(diào)遞增，且有下界，于是存在右極限，

即f?'(x0)存在，同理可證f?'(x0)存在，由極限的保不等式性，可得f??(x0)?f??(x0)。

于是f(x)在(a,b)內(nèi)右導(dǎo)數(shù)存在，f(x)在(a,b)內(nèi)左導(dǎo)數(shù)存在，且f??(x)?f??(x)。

(4)對任意a?????b,??x3?x1?x2?x4??,

f(x3)?f??x3????f?x1??f?x3?x1?x3?f?x2??f?x1?x2?x1?f?x4??f?x2?x4?x2?f(?)?f?x4???x4，

從而有

f??(?)?f?x2??f?x1?x2?x1?f??(?)

于是有

|f?x2??f?x1?|?L|x2?x1|，

即得f?x?在[?,?]上是Lipschitz連續(xù)的,從而f?x?在[?,?]上是連續(xù),

故可得知f?x?在I內(nèi)連續(xù).

當(dāng)I有端點(diǎn)時(shí)，f?x?在斷點(diǎn)處未必連續(xù).(5)f?x?未必有最小值，例1設(shè)f?x????1,2x?0?x,0?x?1，顯然此函數(shù)在?0,1?上是凸函數(shù),

但是f?x?在?0,1?上無最小值，f?x?在x?0處不連續(xù).例2設(shè)f?x??1x，x??0,???，

f?x?在x??0,???上是凸函數(shù)，且有下界，

但是f?x??

1x在x??0,???上無最小值.

蘭州大學(xué)2023年數(shù)學(xué)分析考研試題及解答

一．計(jì)算題

1.求limx?0??sint?0x0x232dt?.

?t?t?sint?dt2x?sinx2解原式?limx?0?32?x?x?sinx?2??x?3

?limx?0?x?sinx

?12xsinx?limx?0x2?6x2?1?cosx32?lim?x?0??12

2注：limx?0??sint?0x0dt??t?t?sint?dt?12，lim?x?0??sint?0x0x32dt??12

?t?t?sint?dt2.求?arctanxdx.解原式?xarctanx??111?x21?1x?12?xdx

?xarctanx??xarctanx?dx?21?xx21?21?yy2dyy??x?

?xarctanx?y?arctany?C??x?1?arctanx?y?C.3.計(jì)算?dx?12xx1yyyedy??x?42dx?2x1yedy.

?x解原式???21221dy?1yedx

?x??y?1?e?y?ydy

?2???ye?21??2e?e.

?1

4.求拋物線y2?4x與它在?1,2?處的法線所圍成的有限區(qū)域的面積.解在?1,2?處，

dydxx?1dydx?2y，

k??1，

法線的斜率為?1，

設(shè)法線方程為y?2???x?1?，x?3?y，法線與拋物線交于?1,2?，?9,?6?，于是所求的面積

S??2?6dy?y243?y2?y?dx???3?y??dy?64??223?12y???3y?y??212??

?6?3?8?12???32??1?24?16?563??1264?224

3.

n?15.求冪級數(shù)???1?n?1x2n?1n2n?1的收斂域與和函數(shù).

解設(shè)un?x????1?xn，

un?1?x?un?x??n?22?lim?x?x?n???n?1?當(dāng)x?0時(shí)，由于lim,

n??當(dāng)x?1時(shí)，原冪級數(shù)絕對收斂，

?當(dāng)x??1時(shí)，?n?1???1?nn為條件收斂，

當(dāng)x?1時(shí)，?n?1??1?nn?1為條件收斂，

當(dāng)x?1時(shí)，原冪級數(shù)發(fā)散，

?S?x?????1?n?1n?1x2n?1n??2x????1?n?1n?1x2n2n

??2x2x?x0x0??n2n?1??1t?????dt?n?1???dt????n1??2????t?t?n?1

??2x?1x1xx01?dt2t1?txt2?????2t1?t20dt

ln?1?t2?x0??ln?1?xx2?，?x?1?.

limln?1?xx2?2x?lim1?xx?01L2x?0?0.

6.計(jì)算曲線積分??exsiny?b?x?y??dx??excosy?ax?dy，其中L是從?2a,0?沿著曲線y?2ax?x2到點(diǎn)?0,0?的一段.解記P?exsiny?b?x?y?,Q?excosy?ax,則

?P?y?ecosy?b，

x?Q?x?ecosy?ax，于是

?Q?x??P?y?b?a，

曲線y?2ax?x2，即

x?2ax?y?0，y?0，

22?x?a?D?2?y?a22，y?0，

2??x,y?:?x?a??y?a,y?0，

22?由Green公式原曲線積分????b?a?dxdy?D???bx?dx

022a??b?a???a2?b?2a?

2211????4?ab??a232n??.

二．證明：limsinn不存在.證明由于區(qū)間??2k????4,2k???3??，k?0,1,2,??長度為?1，而存在整數(shù)?4?2??3???；nk??2k??,2k???44??同理存在mk??2k??，,2k???44??假若limsinn?a存在，

n???5?7??則有l(wèi)imsinnk?a，limsinmk?a，

k??k??由于

2222?sinnk?1，?1?sinmk??22，

從而?a?1，?1?a??22，

這是矛盾的，所以limsinn不存在.

n??三．設(shè)函數(shù)f:?a,b???a,b?，滿足f?x??f?y??Lx?y，任意x,y??a,b?其中

L?,?為正常數(shù).

證明（1）當(dāng)??1時(shí)，f?x?恒為常數(shù)；

（2）當(dāng)L?1,??1,存在唯一的???a,b?，使得f?????.證明（1）當(dāng)??1時(shí)，由0?f?y??f?x?y?x?Ly?x??1?0，?y?x?，

知f??x??0，?x??a,b?，于是f?x?恒為常數(shù)；（2）顯然f?x?連續(xù)，又a?f?x??b，

存在???a,b?，使得f?????，下證唯一性.

設(shè)???a,b?，也滿足f?????，則????f????f????L???,由于0?L?1，所以????0，???，

故存在唯一的???a,b?，使得f?????.

四．設(shè)f?x?是區(qū)間I上的有界函數(shù)，證明f?x?在區(qū)間I上一致連續(xù)的充分必要條件是對任給的??0，總存在正數(shù)

fM，使得當(dāng)x,y?I，x?y，且

?y??f??xy?x?M時(shí)，就有f?y??f?x???.

證明充分性用反證法.

假若f?x?在區(qū)間I上不一致連續(xù)，則存在?0?0，存在?xn?,?yn??I，使得xn?yn?即有

f?xn??fxn?yn1n，但f?xn??f?yn???0，

?n?0，

?0，只需要n充分大，

?yn??02由假設(shè)條件，對

就有f?xn??f?yn??矛盾

?02，

所以f?x?在區(qū)間I上一致連續(xù)；必要性設(shè)f?x?在區(qū)間I上一致連續(xù)，用反證法若結(jié)論不成立，

則存在?0?0，對任意正整數(shù)n，存在?xn?,?yn??I，使得

f?xn??fxn?yn?yn??n，

但f?xn??f?yn???0.即有xn?yn?2Mn?，??M?supf?x??，?x?I?這與f一致連續(xù)矛盾.

注：對函數(shù)f?x??C，或者f?x??x，顯然在I上一致連續(xù)，不成立必要性的結(jié)論，反證法中的?xn?，?yn?不存在，所以此題應(yīng)只有充分性，應(yīng)無必要性.五．設(shè)f:R2?R2是連續(xù)映射，若對R2中任何有界閉集K，f?1?K?均是有界的，證明f?R2?是閉集.

證明設(shè)y是f?R2?的任意一個(gè)極限點(diǎn)，則存在?xn??R2，使得limf?xn??y，

n??而集合A??f?xn?:n?1,2,????y?，

作為R2中的有界閉集（有界是由于極限存在，而閉性是由于極限唯一）其原像f?1?A?是有界的，現(xiàn)因xn?f?1?A?，所以?xn?是有界的，

由Weierstrass聚點(diǎn)定理，存在子列?xn?及x?R2，

k使得limxn?x，

k??k由f得連續(xù)性，limf?xnk??k??f?x??y，

所以y?f?x??f?R2?，故f?R2?是閉集.六．證明二元函數(shù)f?x,y??但在點(diǎn)?0,0?處不可微.

xy在點(diǎn)?0,0?處連續(xù)，fx?0,0?，fy?0,0?存在

證明（1）顯然limf?x,y??0?f?0,0?，

x?0y?0所以f?x,y?在點(diǎn)?0,0?處連續(xù)，