高等數(shù)學重要知識點

資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除一章函數(shù)與極限會集與函數(shù)1.1會集的看法擁有某種特定性質(zhì)的事物的的全體。全體非負整數(shù)（自然數(shù)）構成的會集{0,1,2,3......}記為N。全體正整數(shù)構成的會集{1,2,3....}記為。全體整數(shù)構成的會集{....-1,0,1,2....}(記為Z).全體實數(shù)構成的會集R.反對冪指三是基本初等函數(shù).將基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的復合運算所獲取的且能用一個式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù).x22xcos{yy0){sintanx(xy(1)有界函數(shù)F(x)在x上有界的充分必需條件為:存在常數(shù)M>0,使得|f(x)|≦M,對任意x屬于X.這時稱風f(x)在x上有一個界.(2)奇偶函數(shù)----完好版學習資料分享----資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除F(x)=f(-x),稱為偶函數(shù).F(-x)=-f(x),稱為奇函數(shù).(3)周期函數(shù)f(x+L)=f(x)恒成立,稱f(x)為周期函數(shù).L為f(x)的最小正周期.設有數(shù)列{an},若存在常數(shù)a，對任意給定的ε>0,總存在正整數(shù)N，當n>N時，恒有|an-a|<ε成立，則數(shù)列{an}以a為極限。記作:limanaana(a).n,或此時稱數(shù)列{an}{an}沒有極限，或稱它為發(fā)散.（極限的獨一性）假如數(shù)列{an}收斂，那么它的極限必獨一.（有界性）收斂數(shù)列必定有界.（保號性）設有數(shù)列{an}，{bn}分別收斂于a,b,并且b>a,那么存在正整數(shù)N，當n>N時，恒有bn>an.設有數(shù)列{an}，{bn}分別收斂于a,b,并且存在正整數(shù)Ｎ，當ｎ＞Ｎ時，恒有bnan，那么ba（5）數(shù)列}收斂于a的充分必需條件是它的任何一個子集數(shù)列都收斂于a.（1）設函數(shù)f(x)在的某去心鄰域有定義.若存在常數(shù)Ａ，使對任給的ε>0，總存在δ＞０，當０＜｜ｘ－x0｜＜δ時，恒有｜ｆ（ｘ）－Ａ｜＜ε恒成立，則稱當xx0時，ｆ（ｘ）以Ａ為極限．記作：limf(x)A，當xx0．xx0＝Ａ或f(x)（２）函數(shù)極限的性質(zhì)１.（獨一性）假如存在，那么極限是獨一的。２.（局部有界性）假如存在，那么存在常數(shù)ｍ，Ｍ和δ＞０，使適合０＜｜ｘ－x0｜＜δ時，恒有ｍ≦ｆ（ｘ）≦Ｍ．----完好版學習資料分享----資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除３．局部保號性x0的某去心鄰域有定義并且limf(x)＝Ａ．假如{xn}是一個在該去心領域取值的xx0數(shù)列，xn0（ｎ＝１,2,....)lim0x且nx則有l(wèi)imf(xn)n＝Ａ．f(x)Alimg(x)５．假如limx，xx＝Ｂ，并且存在常數(shù)δ＞０，使適合０＜｜x00ｘ－x0｜＜δ，有f(x)g(x)，那么ＡＢ。３極限存在的準則與兩個重要極限３.１（夾逼準則）設數(shù)列{xn}，{yn}，{zn}滿足（１）從某一項起，即存在正整數(shù)N0，當ｎ＞N0時，恒有{xn}≦{yn}≦{zn}；（２）limxnlimzna．那么nnlimyn＝ａn３.２單調(diào)有界數(shù)列必有界限。兩個重要的極限xsinxlim(11elim1)xxxx0４無量小量與無量大批在自變量的某一變化過程中，ｆ（ｘ）＝Ａ的充分必有條件是ｆ（ｘ）＝Ａ＋φ，此中φ是在自變量同一變化過程中的無量小。4.2無量小量與有界變量的乘積仍為無量小量。α,β為同一過程下的無量小，且α≠lim0，稱β是比α高階的無量小，記作β=o(α)（這時也稱α是比β低階的無量?。?；limc0,稱ɑ與β是同階無量??；----完好版學習資料分享----資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除lim1，稱ɑ與β是等價無量小，記作α~β；limkc0，稱是β關于α的k階無量?。ù酥衚是正實數(shù)）。4.4無量小量與無量大批是倒數(shù)關系。sinx~xtanx~xarcsinx~x12n1x1arctanx~x1-cosx~1~x2xn注意：利用等價無量小代換時一定將一個因式“整體”作代換。函數(shù)的連續(xù)性及中止點(x)點x0的某領域U(x0)內(nèi)有定義，若limx0ylimx0[f(x0x)f(x0)]0，或limxf(x)f(x0)f(x)在點x0連續(xù)。x0，則稱函數(shù)ylimf(x0)limf(x0)若xx0稱f(x)在x0點右連續(xù)；若xx0，則稱f(x)在x0點左連續(xù)；5.2f(x)在x0點連續(xù)f(x)在x0點既右連續(xù)又左連續(xù)。5.3若函數(shù)在區(qū)間上每一點處都連續(xù)，稱函數(shù)在該區(qū)間連續(xù)。注意：假如區(qū)間包含端點，那么在端點談論函數(shù)的連續(xù)性只好是單側(cè)連續(xù)。即在左端點右連續(xù)，在右端點左連續(xù)。5.4函數(shù)f(x)在點x0連續(xù)一定滿足三個條件：（1）f(x)在點x0有定義；（2）在xx0時，f(x)有極限；limf(x)的值等于f(x0)。（3）極限xx0----完好版學習資料分享----資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除極限存在的是第一類中止點，反之，為第二類中止點。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與初等函數(shù)的連續(xù)性f(x)，g(x)在點x0皆連續(xù)，那么函數(shù)f0)在點x0也是連續(xù)的。g(x)f(x),f?g,g(g(x0)6.2若函數(shù)yf(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增添（或單調(diào)減少）且連續(xù)，那x1(y)么它的反函數(shù)在對應的區(qū)間Iy{y|yf(x),xIx}上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù)。6.3設函數(shù)yf[g(x)]是由函數(shù)yf(u)與函數(shù)ug(x)復合而成，并且在x0的某領域U(x0)內(nèi)有定義。若（1）函數(shù)ug(x)在點xx0連續(xù)，且g(x0)u0；（2）函數(shù)yf(u)在點uu0連續(xù)則復合函數(shù)yf[g(x)]在點x0也連續(xù)，既有l(wèi)imf[g(x)]f[g(x0)]xx06.4設有復合函數(shù)yf[g(x)]，函數(shù)g(x)在點x0的某去心領域內(nèi)有定義且limxg(x)u0在點u0連續(xù)則有x0，而函數(shù)flimf[g(x)]f(u0)xx0。6.5三個等價無量小(當x0時)x(1x)-1~xln(1x)~xe-1~x6.6基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。全部初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。6.7閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上有界，并且必定能獲得最大值與最小值。6.8介值定理----完好版學習資料分享----資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除設函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在該區(qū)間的兩端點處罰別取值A,B（A≠B,那么,對A,B之間的任意一個數(shù)C，在該區(qū)間（a,b)內(nèi)最少存在一點§使得f()c6.9零點定理設函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)且f(a)和f(b)異號（即f(a)?f(b)0）那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)最少存在一點使得f()0平時把滿足方程f(x)0的x的值§稱作函數(shù)yf(x)的零點.第二章一元函數(shù)微分學函數(shù)的導數(shù)的看法yf(x)在點x0的某領域U(x0)內(nèi)有定義，當自變量x在x0獲取增量x（點xx仍在U(x0)內(nèi)）時，相應的函數(shù)值有一個增量yf(xx)f(x0)，假如極限limylimf(xx)f(x0)xx存在，則稱y0可導，并稱該極x0x0f(x)在點x限/值為yf(x)在點x0處的導數(shù)（微商），記作f(x0)。即/(x0)yf(xx)f(x0)flimxlimx。x0x0若函數(shù)yf(x)在點x0處可導，那么曲線yf(x)在點M(x0,f(x0))處有切/線，并且導數(shù)f(x0)就是該切線的斜率。f(xx)f(x0)limx存在，稱該單側(cè)極限為yf(x)在x0點的若單側(cè)極限x0----完好版學習資料分享----資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除/右導數(shù)，記作f(x0)；近似地，稱f(xx)f(x0)limxx0為yf(x)在點x0的左導數(shù)，記作左導數(shù)和右導數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導數(shù)。

/f(x0)。yf(x)在點x0可導yf(x)在點x0的左導數(shù)和右導數(shù)都存在，并且相等。（1）若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導，在區(qū)間的端點處有相應的單側(cè)導數(shù)，則函數(shù)在該區(qū)間上可導。（2）假如函數(shù)f(x)在某區(qū)間I可導那么關于任意一點xI都對應一個確立/的導數(shù)值f(x)，這就獲取了區(qū)間I的一個函數(shù)，稱為f(x)在區(qū)間I上的導//函數(shù)，記作f(x)或y。1）若函數(shù)yf(x)在點x0可導，那么它在點x0必連續(xù)1）設在區(qū)間I上，有F/(x)f(x)，則稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)。（2）若函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)，那么函數(shù)F(x)c（c為任意常數(shù)）都是f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)。函數(shù)的微分f(x)在點x0的某領域內(nèi)有定義,在點x0給x一增量xx（仍屬于該領域）。假如存在不依賴于x的常數(shù)A，使得相應的函數(shù)值的增量能表示為yA?x(x)，則稱yf(x)在點x0可微（分），并稱A?x為yf(x)在點x0的微分，----完好版學習資料分享----資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除記作dy即dyAx。函數(shù)在一點可導與可微是等價的。兩者不加差別。若函數(shù)yf(x)在點x0可微，那么它在點x0必連續(xù)。給自變量一個增量，那么縱坐標有一個增量（函數(shù)的微分）/dyy?x函數(shù)的求導法規(guī)(a,b)可導，那么，他們的和、差、積、商（分母不為零）在(a,b)內(nèi)也可導。f(y)在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導且f/若函數(shù)x(y)0，則xf(y)的反函數(shù)f/Iy}內(nèi)也可導，并且有y(x)存在且在區(qū)間Ix{x|xf(y),ydy1f1/11dxdx|[(x)]//1dy1f(y)f(f(x))或yf(x)。簡言之：一個可導函數(shù)的反函數(shù)也可導，其導數(shù)等于該函數(shù)的導數(shù)的倒數(shù)。設函數(shù)ug(x)在點x處可導，而yf(u)在對應的點ug(x)處可導。則復合函數(shù)df[g(x)]////yf[g(x)]在點x可導，并且dxf(u)?g(x)f[g(x)]?g(x)或?qū)懗蒬f[g(x)]dy?dudxdxdx。/對函數(shù)yf(u)來說，不論u是自變量還是中間變量，微分公式dyf(u)du----完好版學習資料分享----資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除都是成立的。(c)/dc(1)0,0(x/1dx1(2))x,xdx/(3)(sinx)cosx,dsinxcosxdx(4)/dcosxsinxdx(cosx)sinx,/22(5)(tanx)secx,d(tanx)secxdx/22(6)(cotx)cscx,d(cotx)cscxdx(secx)/(7)secxtanxd(secx)secxtanxdx/(8)(cscx)cscxcotx,(ax)/axlna,/x(ex)(10)e,/1(logax)(11)xlna,(lnx)/1(12)x,/1(arcsinx)2(13)1x,/1(arccosx)2(14)1x,(15)/1,(arctanx)1x2/1(arccotx)2(16)1x,(shx)/(17)chx,/(chx)shx,高階導數(shù)

d(cscx)cscxcotxdxxxd(a)alnadxxxd(e)edxd(logax)1dxxlnad(lnx)1dxxd(arcsinx)1dx21xd(arccosx)1dx21xd(arctanx)12dx1xd(arccotx)12dx1xd(shx)chxdxd(chx)shxdx----完好版學習資料分享----資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)。萊布尼茲公式n形象記憶;將兩個函數(shù)和的n次冪(uv)按二項式定理睜開為：(unn0n11n(n1)n220nv)uvnuv2!uv......uv把uv換成u?v，而后再將K次冪換成k階導數(shù)(簡言之，加換乘，乘冪換導數(shù))。隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確立的函數(shù)的導數(shù)直接求導，利用微分形式不變性和復合函數(shù)求導法規(guī)。第三章微分中值定理與導數(shù)的應用微分中值定理函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值；使函數(shù)獲得極值的點稱為極值點。設函數(shù)f(x)在點x0處獲得極值，并且在點x0處可導。那么/f(x0)0。平時稱導數(shù)等于零的點為函數(shù)的駐點。若函數(shù)f(x)滿足：1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；2）在開區(qū)間(a,b)上可導；（3）f(a)f(b)。則最少存在一點(a,b)，使得f/()0設函數(shù)f(x)滿足（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導則最少存在一點(a,b)，使得----完好版學習資料分享----資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除/f(b)f(a)f()a。b推論：函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導數(shù)恒為零的充分必需條件是f(x)在I上恒為常數(shù)。假如F(x)為f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，那么F(x)C不但是f(x)的原函數(shù)，并且它是f(x)在區(qū)間I上的全部原函數(shù)，此中C為任意常數(shù)?；蛘f，f(x)的全體原函數(shù)可以用函數(shù)簇{F(x)C|C為任意常數(shù)}設函數(shù)f(x)，g(x)滿足（）在區(qū)間[a,b]上連續(xù)（2）在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導（3）對任意x/(a,b)，g(x)01f(b)f(a)g(b)g(a)那么最少存在一點(a,b)使得

fg

/()/()。洛必達法規(guī)00型不定式/設函數(shù)f(x)，g(x)在U(a)內(nèi)皆可導，g(x)0；并且limf(x)limg(x)0（1）xaxa；/limf(x)/（2）xag(x)存在（或為）；那么limf(x)limf/(x)/xag(x)xag(x)。注意:(1)先考據(jù)所談論的式子是不定式，不然不可以用洛必達法規(guī)。----完好版學習資料分享----資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除limxa（2）若

fg

/(x)/(x)仍為不定式，且滿足定理的條件，可以對它連續(xù)使用洛必達法規(guī)。（3）洛必達法規(guī)與等價無量小代換、初等恒等變形等技巧結合起來使用limxa（4）當

fg

/(x)f(x)/(x)limxag(x)也必定不存在（如：不存在時，其實不是說f(x)x2cos1x）x，g(x)型不定式/設f(x)，g(x)在U(a)內(nèi)皆可導，g(x)0，并且limf(x)limg(x)（1）xaxa；/limf(x)/（2）xag(x)存在（或為）則有f/f(x)lim(x)lim/xag(x)xag(x)。將他們變換為基本種類，在用洛必達法規(guī)。泰勒中值定理若f(x)在點x0處N階可導，稱pn(x)f(x0)f(x0)(xxo)21!f(x0)(xxo)....n1!f(x0)(xxo)的多///2(n)n項式pn(x)為函數(shù)f(x)在點x0的（n次）泰勒多項式。3.2泰勒中值定理若函數(shù)f(x)在點x0的某領域U(x0)內(nèi)有n1階導數(shù)，pn(x)所示的f(x)在點x0的泰勒多項式，那么對任意的xU(x0),有----完好版學習資料分享----資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除f(x)pn(x)Rn(x)或x0)2.....1f(x)f(xo)f(x0)(xx0)2!1f(x0)(xfn(x0)(xx0)nRn(x)///n!n此中f(n1)(xx0)n1()Rn(x)(n1)!（介于x與x0之間）。n或Rn(x)((xx0))。上述的Rn(x)稱作余項。分別為拉格朗日型余項和佩亞諾余項。泰勒中值定理的增補拉格朗日中值公式是泰勒公式的特例，即f(x)只有一階導數(shù)。取x00泰勒公式變?yōu)閤2....n1!fxn(xn)f(x)f21!f(0)(0)///n的麥克勞林公式x121nne1x2!x....n!x(x)。sinx13....xx（0,1，-1,0的循環(huán)）。3!cosx11x2....2!（也是近似的循環(huán)）。1213n11nnln(1x)x2x3x.....(1)nx(x)。(1x)(1)2(1)...(n1)nn11!x2!x...n!x(x)。利用導數(shù)研究函數(shù)（一）設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導----完好版學習資料分享----資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除(a,b)，f/（1）若對任意的x(x)0，那么f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)增添。(a,b)，f/0，那么f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減。（2）若對任意的x(x)推論：假如函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)在區(qū)間(a,b)可導則（1）在(a,b)內(nèi)若f/(x)0，且等號只在有限個點處成立，那么f(x)在區(qū)間[a,b]單調(diào)增添。（2）在(a,b)內(nèi)若f/(x)0，且等號只在有限個點處成立，那么f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)減少。4.2函數(shù)極值的求法（極值存在的必需條件）設函數(shù)f(x)在點x0可導并且獲得極值，那么x0必/是f(x)的駐點即有f(x)0駐點不必定是極值點。這就是說，函數(shù)的極值點可以分為兩類：駐點和不行導點；但駐點和不行導點都未必必定是函數(shù)的極值點。（第一充分條件)設函數(shù)yf(x)在x0處連續(xù)，并且在x0的去心領域U(x0,r)內(nèi)可導，則有/r時，f/（1）當x0rxx0時，f(x)0；而當x0xx0(x)0；那么yf(x)在x0處獲得極大值/r時，f/（2）若x0rxx0時，f(x)0；而當x0xx0(x)0；那么yf(x)在x0處獲得極小值總之：假如連續(xù)的函數(shù)在其駐點或不行導點的雙側(cè)導數(shù)存在且異號，那么該點是函數(shù)的極值點。/（第二充分條件）設函數(shù)yf(x)在(a,b)內(nèi)可導，在x0(a,b)處二階可導，f(x0)0，//并且f(x0)0那么//（1）當f(x0)0時，函數(shù)在處獲得最大值；//（2）當f(x0)0時，函數(shù)在處獲得極小值。----完好版學習資料分享----資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除//注：在f(x0)0，不可以判定x0能否為函數(shù)的極值點。1）求導找出函數(shù)的駐點以及不行導點；2）求駐點、不行導點及區(qū)間端點處的函數(shù)值；3）比較值的大小，最大者為最大值，最小者為最小值。利用導數(shù)研究函數(shù)（二）設函數(shù)yf(x)在區(qū)間I上連續(xù)，假如關于I上的任意兩點x1，x2，恒有f(x1x2)f(x1)f(x2)22則稱曲線yf(x)在區(qū)間I上是凹的，區(qū)間I稱為曲線yf(x)的凹區(qū)間。假如關于I上的任意兩點x1，x2，恒有f(x1x2)f(x1)f(x2)22。則稱曲線yf(x)在區(qū)間I是凸的，區(qū)間I稱為曲線yf(x)的凸區(qū)間。f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)二階可導。則(a,b)，都有f//（1）若關于任意的x(x)0，那么曲線yf(x)在[a,b]上是凹的；(a,b)，都有f//（2）若關于任意的x(x)0，那么曲線yf(x)在[a,b]上是凸的。若函數(shù)yf(x)在點x0連續(xù)，在點(x0,f(x0))雙側(cè)曲線有不一樣的凹凸性，則稱點(x0,f(x0))為曲線yf(x)的拐點。limxf(x)），則稱直一般的，若x0（或x從x0的一側(cè)趨于x0時f(x)線xx0為曲線ylimf(x)a時f(x)的鉛直漸近線；若x（或x僅趨于或時，f(x)a）則稱直線ya為曲線yf(x)的水平漸近線。----完好版學習資料分享----資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除當x（或趨于或）時，點(x,f(x))與直線ykxb的距離趨于零；稱直線ykxb為曲線yf(x)的斜漸近線。一般描繪圖形的步驟：（1）觀察函數(shù)的定義域、奇偶性、周期性。（2）求出函數(shù)的一階導數(shù)，利用它確立函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）求出函數(shù)的二階導數(shù)和極值，并利用它確立出曲線的凹凸區(qū)間和拐點；（4）觀察曲線的漸近線；（5）描繪特別點。曲率//|y|K(1y/2)

32第四章不定積分第一節(jié)不定積分的看法和性質(zhì)1.1函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的全部原函數(shù)的表示式稱為f(x)的不定積分，記作：f(x)dx此中，稱作積分符號，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱作積分表達式，x稱為積分變量。n1xx1c(n1)1dxln|x|cxdx1(1)n,(2)x1arctanxc1dxarcsinxc2dx2(3)1x,(4)1x(5)cosxdxsinxc(6)sinxdxcosxc,2c,2(7)secxdxtanx(8)cscxdxcotxc(9)secxtanxdxsecxc(10)cscxcotxdxscosxc,(11)x1xc(a0,a1)(12)edxecxx----完好版學習資料分享----資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除chxdxshxc,shxdxchxc(13)(14)1）設f(x)，g(x)的原函數(shù)都存在，則[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx。（2）設f(x)的原函數(shù)存在，k為非零實數(shù)，則kf(x)dxkf(x)dx第二節(jié)不定積分的換元法（一）設f(u)擁有原函數(shù)F(u)，并且u(x)可導，那么/(x)[F(u)c]u(x)f((x))(x)dx[f(u)du]uF((x))c。1dxarcsinx22catanxdxln|cosx|c（1）ax（2）（3）cotxdxln|sinx|c（4）secxdxln|secxtanx|c11cosxdxln|cscxcotx|c22dxarctanxc（5）axa（6）212dx1ln|ax|c（7）ax2aax。第三節(jié)不定積分的換元法（二）/0，又f((u))/設x(u)是單調(diào)的可導函數(shù)，并且(u)(u)擁有原函數(shù)，則有f(x)dx[f(/du]|u/1(x)，(u))(u)/1此中u(x)是x(u)的反函數(shù)。----完好版學習資料分享----資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除2u1u22uxsinxtanx2cosx22utan1u1u1u2222aarcsinx1x22axdxaxc（1）2a2。12222dxln(xax)c（2）ax。12222dxln|xxa|c（3）xa。第四節(jié)不定積分的分部積分設u,v是兩個可微的函數(shù)則udvuvvdu。記注：反對冪指三。第五章定積分及其應用第一節(jié)定積分的看法和性質(zhì)f(x)是定義在區(qū)間[a,b]上的有界函數(shù)，（1）切割在[a,b]中任意插入1個分點，axxx.....xxb012n1n將[a,b]分成個n小區(qū)間[x0,x1]，[x1,x2]，。。。。[xn1,xn]。記每一個小區(qū)xxx(i1,2,...,n)間的長度為iii1；（2）近似在每一個小區(qū)間[xi1,xi]上任意取一點做乘積f()xi(i1,2,...,n)；nf(i)xi（3）作和將（2）所得的各值累加起來，得i1；（3）取極限記(T)max{xi:1in}，若不論對[a,b]怎么切割，也不----完好版學習資料分享----資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除論i在[xi1,xi]上怎么采納，總有nf(i)xiIlim(T)0i1成立（此中I為常數(shù)），則稱f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，并稱極限值I為在區(qū)間[a,b]上的定積分，記為bf(x)dxa即有：nxbf()f(x)dxlimiai。此中f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為積分表達式，x稱為積分變量，[a,b]ni)xif(稱為積分區(qū)間，a,b稱為積分的下限與上限，i1稱作積分和式，也稱作黎曼和。該極限僅與被積函數(shù)f及積分區(qū)間有關，而與積分變量所采納的那個字母沒關。我們商定：b（1）當af(x)dx=0；b時，abaf(x)dx（2）當af(x)dxb時，ab。定積分存在的條件與幾何意義（1）函數(shù)有界僅是定積分存在的必需條件。（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。（3）若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限此中止點，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。bc(ba)cdx（1）a（c為常數(shù)）；bbb[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx（2）aaa----完好版學習資料分享----資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除bbkf(x)dxkf(x)dx（K為常數(shù)）。（3）aa（4）區(qū)間的可加性bcaf(x)dx設a,b,c為三個實數(shù)，則有f(x)dxf(x)dxaac。bf(x)dxbb)（5）（比較原理）當f(x)g(x)，ag(x)dx(aa。bg(x)dx0（(a推論一：（保號性）當ab)）時，特其余，若f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(x)0不恒為零，則有b0f(x)dxa。推論2（估值定理）設M，m分別為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值，則有bM(ba)m(ba)f(x)dxa。推論3（絕對值可積性）若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則|f(x)|在[a,b]上也bf(x)dx|b||f(x)|dx可積，并有aa。（5）定積分中值定理假如函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上最少存在一點，使得bf()(ba)(ab)f(x)dxa。第二節(jié)微積分基本公式(1)設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，因此對任意的x[a,b]，f(x)在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)，所以是可積的，即定積分xf(t)dt(x[a,b])a是存在的。積分下限a確準時，它是上限x的函數(shù)，稱為f(x)的積分上限的函數(shù)。（2）假如函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則其積分上限的函數(shù)。xF(x)f(t)dt(x[a,b])a在[a,b]可導，并且其導數(shù)等于被積函數(shù)在積分上限處的值，即----完好版學習資料分享----資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除/F(x)f(x),x[a,b]。增補：區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)f(x)必定存在原函數(shù)，并且xf(x)dxf(t)dtc此中a為I上的任意一點。a假如函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，函數(shù)F(x)是f(x)在[a,b]的一個原函數(shù)，則bf(x)dxF(b)F(a)a。bb又常寫作af(x)dxF(x)|a。第三節(jié)定積分的換元法與分部積分設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)；函數(shù)滿足（1）()a，()b；/(2)在以，為端點的區(qū)間上有連續(xù)的導數(shù)(t)，并且(t)的值域為[a,b]。則有bf((t))/f(x)dx(t)dta。函數(shù)在區(qū)間[a,a]上的積分等于它在[0,a]上積分的2倍；奇函數(shù)在區(qū)間[a,a]上的積分為零。周期函數(shù)在任何一個周期上的積分都是相等的。設f(x)為在實數(shù)集上連續(xù)的周期函數(shù)，周期為T，對任意的實數(shù)a，則有attf(x)dxf(x)dx0a。設u(x)，v(x)在[a,b]上有連續(xù)的導函數(shù)，則有b/bb/au(x)v(x)dx[u(x)v(x)]|aau(x)v(x)dx。第四節(jié)失常積分4.1無量（限)積分----完好版學習資料分享----資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,]上連續(xù)，對任意的ba，假如極限bf(x)dxlimba存在，則稱該極限為f(x)在無量區(qū)間[a,]上的失常積分，簡稱無量積分，記作af(x)dx，即f(x)dxlimbf(x)dxaab這時也稱該無量積分收斂，并稱該極限為這個無量積分的值；若上述極限不存在，則該無量積發(fā)散散。4.2瑕積分（無界函數(shù)的積分）設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b]上連續(xù)，a為f(x)的瑕點。任取A滿足aAb，若極限blimAaA

f(x)dxbf(x)dx收斂，并稱此極限值為該瑕存在，則稱瑕積分abbf(x)dxf(x)dxlim積分的值。記作aAaA；blimf(x)dx若果極限AaA不存在，則稱該瑕積發(fā)散散。第五節(jié)定積分的應用旋轉(zhuǎn)體的體積X型b2b2Vaf(x)dxaf(x)dx(yf(x)。Y型d2Vcg(x)dx（曲線xg(y)）。X-y型bV2f(x)dxa。第六章微分方程第一節(jié)微分方程的基本看法----完好版學習資料分享----資料內(nèi)容僅供您學習參照，若有不妥之處，請聯(lián)系改正也許刪除1.1含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的等式稱為微分方程，習慣簡稱方程。微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的高階導數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階。1.2假如將函數(shù)yf(x)代入某微分方程之中，能使該微分方程成為恒等式，則稱函數(shù)yf(x)為這個微分方程的解。假如微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且互相獨立的任意常數(shù)的個數(shù)恰好等于微分方程的階數(shù)，這樣的解稱為微分方程的通解。1.3微分方程的通解是一簇數(shù)。從幾何上看，通解的圖形是坐標平面內(nèi)的一曲線簇，稱它們?yōu)槲⒎址匠痰姆e分曲線。一般的，稱能確立微分方程的通解中任意常數(shù)的條件y|xx0y0,/xy1,....,y(n1)xyn1,y|x0|x0為初始條件。與通解想對應，方程的不含有任意常數(shù)的解稱為該微分方程的特解。求微分方程滿足初始條件的特解的問題，稱為微分方程的初值