高等數(shù)學復習第12章微分方程2012版

第十二章微分方程一、教學目標及基本要求構，并知道n階線性方程的通解與有類似的結構。16f(xf1x二、本章各節(jié)教學內容及學時分配

f2(x)的二階常系數(shù)非齊次第二節(jié)可分離變量的微分方 學第三節(jié)齊次方 學第四節(jié)一階線性微分方 學第五節(jié)全微分方 學第六節(jié)可降階的高階微分方 學第七節(jié)高階線性微分方 學第八節(jié)常系數(shù)齊次微分方 學第九節(jié)常系數(shù)非齊次微分方 學三、本章教學內容的重點和難點四、本章教學內容的深化和拓寬：6、方程1、 高等數(shù)學同步精講（下冊）學苑2、等 高等數(shù)學全程指導（下冊）沈 東學3、黃光谷等編高等數(shù)學學習指導與習題解析（下冊）第二版、華技大學2002解下列方程（1-6題1、(1xyyx,y(0)2f(xexe

xfx2dx,f03 sin2yy2xsin2ye4、y43x2dyxydx5y2xy20,y(0)1,y(0)26yxyy7f(x滿足xf(x)dxf(x1求f(1)和f(x1f2(x)8、已知1f(ax)da1f(x)1,f可微求f(x 9、求與曲線族2x23y2C相交成45D10100L10kg3L的作業(yè)第一節(jié)微分方程的基一、內容要點：二、教學要求和講稿內是一個函數(shù)，這類方程稱為函數(shù)方程。如高等數(shù)學中隱函數(shù)問1已知一條曲線過點(0,1，且在該曲線上任意點M(xy為2x2x，y(0)解：yy(x yx2c（c為任意常數(shù)），把條件y(0)1代入上式得c1 yx2例2 設質量為m的物體，在時間t0時自由下落，在空氣中受到的阻力建立運動方程：設 為物體下落的距離，于是物體下落的速度和加速度 d2別為v和a，根第二定律Fma，可列出方 dtmd2 mmg

dt kdx我們現(xiàn)在只考慮k0的情形，即物體在真空中下落無阻力，此時(1.2)d2 dt為了求出物體下落的距離，將上式積分兩次，得到x1gt2ct 其中c1及c2為兩個常數(shù)，考慮自由下落物體的初始狀態(tài)，由于選取物體的初始位置為坐標原點，所以x(0)0，又由于物體為自由下落，所以初始速度vx/(0)0，將這兩個條件代入上述兩式，可解得 ，

00c0，于是，自由下落物體的距離

x1gt 例 0將物體放置于空氣中，在時刻t0時，測量得它的溫度為u150DC01a分鐘后測量得溫度為u100DC，我們要求決定此物理體的溫度u和時間t的關系，并計算20分鐘后物體的溫度。假設此時空氣的溫度保持為u24DC。1a設t時物體的溫度為u(t，則溫度的變化速度可以表示為dudt總從高到低，因此

dt0duk(u(t)u a求解該方程得u(t) ektaut0u0150,ut10u1得u24t卻與空氣中的溫度一樣。事實上，當t3小時，u24.01DC，與空氣的溫度幾微分方程含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程稱為微分方程。微分方程又分dyp(xy2q(xyr(x)（Riccati方程x2yxyx2n2y0（nBessel方程y'p(xyq(xyn(n0,1（Bernoulli方程y/xy，(t2x)dtxdx0，y//2y/3yex，y(3)y(4)2(y)3lnxu u 2u2u2u y 0，

0（Lace方程微分方程的階方程中含有未知函數(shù)的導數(shù)的最高階數(shù)。如上面例子。一階常微分方程的一般形式可以表為：F(x,y,y0（隱式方程）如果能對y′解出，則得到方程：y/f(x,y)（顯式方程） M(x,y)dxN(x,y)dy0 n階顯式方程的一般形式記 y(n)f(x,y,y/,y(n1)線性和非線性若微分方程對未知函數(shù)及其出現(xiàn)的各階導數(shù)而言是一次1線性微分方程的一般形式為y(n)a(x)y(n1)1

(x)yan(x)yf微分方程的解y(x)在區(qū)間(ab1至n階導數(shù)(t),(t),"(n(t)存在，若x(ab)F(x,(x),",(n(x))0y(x(abF(x,y,y/,y//,y(n))0(ab)y(x yc1cosxc2sinx是二階微分方程y//y0 ,+例y2x2cx是2xyy/x2y25微分方程的通解在微分方程的解中，有些含有任意常數(shù)，有些不含任意常數(shù)。把含有n個相互獨立的任意常數(shù)c1c2c3cny(xc1c2cn，稱為n微分方程的通解。不含任意常數(shù)的解，稱為微分方程的特解。4ycexy/yyc1sinxc2cosxy″+y=0初值問題微分方程解的存在性和唯一性是微分方程理論的問題，由于 y(x)y,y/(x)y,y( 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題。n階微分方程的初值 F(x,y,y/,y(n))y(x)y,y/(x)y,y(n1)

0)5y//y0y()

1,y/

)14yc1sinxc2cosxy/c1cosxc2sinxc c c c ：c10,c2 2cos積分曲線為了便于研究方程的解的性質，我們?？紤]方程解的圖形，并且稱之為微分方程的積分曲線，以后只為敘述簡便，我們對解和積分曲線這兩y2xyx2c表示以c為參數(shù)y/2xy(01yx21表示過(0,1)的那條積分曲線。一、內容要點

二、教學要求和注意問題：(x)dx通常只表示一個原函數(shù)，積分常數(shù)C有時寫成講稿內容：yf(x,y；或寫為對稱的形式P(x,y)dxQ(x,y)dy0.yf(x)dx

f 直接積分型例求dy

dy2xy

f(x)gy)或

(x)N1(y)dx

2

(ydy0程稱為可分離變量的微分方程dy2xy例yxyex2lny求sec2xtanydxsec2ytanxdy0的通解。例dy10xy的通解。求微分方程cosydx1ex)sinydy0

4 1exdxtanydy01exdxtanydy0ln(1通解為1exccosy，代入初始條件得c

)lncosyln特解為1ex22cosy

x(ts)x(t)1解在已知式子中，令t0x(0)x(t)x(s)x(t)limx(ts)x(t)lim1limx(s)

1x2

limx(s)x(0)

1x2 1 1 1x2

dx兩邊積分得arctanx(t)x(0)tx(0)0可求得C0x(ttanx(0)t例（例某些方程不是可分離變量的方程，但可作代換化為可分離變量的微程3dy

x2

的通解解令ux2y，代入原方程得duu x2y2cey xyyy解：方程變形為(xy)yln(xy)xyuduulnu ycos(yyxudu1cosu dx1cosudu cosu sin2cotucscuxCcot(yx)csc(yx)xdyx124y1)28xy解dyx4y)22(x4ydyx4y1)2令x4y1u，則1(du1)u22 積分

423arctan3u4xC13(x4y1)tan(6x1 已知(tx)dtn(x)，求0 1 解：已知方程左端，令txu，則(tx)dtx(u)du，從而原方程可 x為nx(x(u)dunx(xn(x)(x，即有(x)0nx(x(1n)(x)，解得(x)Cxn內容要點：

次講稿內f(齊次方程(HomogeneousEquations)：f(

g( 或M(xy)dxN(xy)dy0，其中M(xyN(xy為同次齊次函數(shù)。齊次函數(shù)：若M(txtytkM(xy，則稱M(xy)為k次齊次函數(shù)。

f(令u

yyx

y則y/xu/u，將它代入方程y/ f()中，得xxu/uf(u)xu/f(u)u f(u)

1dx例1 求解2xyy/x2y2 原方程可變形

y/x2y

x2 yuyxuyx

uxu，代入上式得：u/u2分離變量：2u u2du1 再積分：lnu21lnxlnc，即u21x y2x2例 求解方程

x2y 原方程變形dy

y(0) x2yuyuxyx則原方程變?yōu)閡xu/

uxu/ u即xdu 1u 1u1u x分離變量：u duxdx(u3u)dux2u

lnulnxlncx2 2通解為y y2，又 y(0)1，所以c1，故所求之解為ye22另解：原方程可

dxx2y2dxxy xvxyvdxvydv (vydvv11dyvdvlny1v2clny1 x2c 2y(例求解微分方程ydx(x x2y2)dy0可化為齊次的方

dyaxby

a1xb1ycc10，方程（A） bk（x,y的對應系數(shù)成比例）或寫為 b

此時方程（A）變?yōu)閐yk(a1xb1y)cf(axb 1 axby 作代換axbyu，（B）duabf(u

0，及cc1

xXyYdxdXdydY，方程（A）dY

aXbYabca1Xb1Ya1b1c1

abc 要使上方程為齊次方程，只需ab

0，有唯一解，所作代換將（A）由推導過程知該類方程的求解步驟為： 。求解方程組abc abc 2xXyY3。方程（A）變?yōu)?/p>

aXbYa1X

3y/xyxy

f(axbyca1xb1yxy1 x 令xy3 y xX

dYX作變換yY2代入原方程

XX

uYuX可將方程化為X

1u1

即11u

duXdu du 1dX，arctgu1ln(1u2)lnXln1u 1u 即 cY

X

atctg用uX

X(x1),Yy2cearctgyxdy

y62x。2xy5x2y y62x 1dy3y62x xy2(2y3 3 x(2y3

13

u22x2uxx通解為(2xy333xy57

2x33xy23x2y2y3y

2x23y21dy

2x23y2x

3x22y2 dx

3x22y2x2uy2vdv2u3v1 3u2v一、內容要點

第四節(jié)導出線性非齊次一階方程的求通解以后，可順利導出滿足條件y(x0)y0的特解，還應兩點：第一，當P(x),Q(x),C時，線性方程的湊微分或令y1nz解伯努利方程。二、教學要求和講稿內我們知道ny(n)a(x)y(n1)"a(x)yfn當n1yp(xyq(x——稱為一階線性微分方程其中自由項q(x)0時，稱為一階線性非齊次微分方程；當q(x0時，稱為一階線性齊次微分方程由于齊線性與非齊線性方程的左端一樣，我們先考慮線性齊次方程y'p(xy0y0dyylnyp(x)dxlnc，即ycepx)dxy0不論c取怎樣的常數(shù)，ycepx)dxy'p(xyq(x解，將其常數(shù)c改為函數(shù)c(x)，設yc(x)p( 則yc'(x)epx)dxc(xp(x)ep將這兩式代入非齊次方程得：c'(x)q(x)ep積分得：c(x)q(x)epx)dxdx非齊方程的通解：yepx)dx(q(x)epx)dxdx若把上式改寫為兩項之和得：ycepx)dxepx)dxq(x)ep易知右端第一項是齊次方程的通解，可驗證第二項是非齊次方程的一個特dxpy)xqxepy)dy(Cqy)epydy

2x

(x1) 因為p(x)p(

xp(

q(x)(x1)

52y

(5

dxc)

x

((x1)2

dx (x1)2(x1)2(x1)2dxc (x1)2(x1)2dxc(x1)2 (x1)2c 1) 例求解方程(x dynye1)

(x

yex(x xndx n yex1Cex(x1)n

x1dx(x1)n(exdy

2xy 2dy

2 方程： xy，通解為xe

C

ydyy2(Clny

例（）求解方程(y3xy)y1,y(0)dxyxy3

dxyxy所以xep(y)dy(qy)ep(y)dydyc)eydy(y3eydydyy y y y ye2(y3e2dyc)e2(y2e22ye2dyye2(y

y2

y2

yy22cey(0)0，可得cyx2e2y2例求解方程(x2xyy2dyy2dx解dx12yx1xCy2e1yy2 y有些方程雖不是線性方程，但可作代換化為線性方程。例求解方程(1x2)sin2ydyxcos2y2x 0解：注

dcos2ysin2y原方程可化為1x2dcos2

xcos2y 令cos2yz，方程進一步變?yōu)?1x2)dzxz 解此一階線性非齊方程得通解cos2y1x2Cln(1x2y

y22y(x x

y2 x

(y2) x

y2 xy2zdz

zx

xy2C(x1)x1)ln(x1) y'p(xyq(xyn(n0,1)xypy)xqy)xn(n0,1方程。當n0時，為一階線性微分方程，當n1時為可分離變量的微分方程。yn，得到y(tǒng)ny'p(xy1n進一步有：1y1n)p(xy1n1

dz1np(x)z1n)q(x（最好記住例（）求解方 y'

yx 2 原方程即

y'

x

zy2，原方程變?yōu)閦'1zp(

p(

1

1z

(

dxc)ex(x2e

dxxelnx(x2elnxdxc)x(x21dxc)x(xdxxx(x2c)cx y

cxx2dy6yxy 解zy121ydz1zxzC1x 1C1x2y 例求解方程ylnx2)ydx解：方程變形為dy2ylnxy2— 方 xz1dz2zlnxz1lnx1Cx y(Cx22lnx1)4y例4 ）求解(y43x2)dyxy0滿足y(1)1的特解dxy4 3解

xyx x2zdz6z2y

6

zep(y)dy(q(y)ep(y)dydyc)

y(2

ydye6lny(2

y3e6lnydyc)e6lny

y31dyc)

dyc)

c)

(

c)

即x2y4cy6有些方程不是方程，可作代換化為方程。例xylnxsinycosy(1xcosy)0解xlnx(cosy)cosyxcos2y令cosyz，方程變?yōu)閤lnxzzxz2dz

xln

z1ln

z2——為方程(xCcosylnyxy2x3y2x解yxyyx22x0，令uyx 方程dux3uxu2 x2

4

x2 例f(xf(1)1x1C的積分為vyexf(xydxlnf(x)dy0fC xC解：已知積分PdxQdy與路L

PQ f(x)x

f(x)exf2z1z1zexz1Cex(x f(1)1得C2f(x2

ex(x1)

第五節(jié)P(x,y)dxQ(x,y)dy驗證PQ如果成立，則可把上式寫成duPdxQdy0解為U(x,y)C 求U(x,y線積分 2P(x,y)dxQ(x,y)dy0PQ，則可以尋求一個積分因子 (x,y

(P(Q，即存在U(x,y使得dU(PdxQdy)o而U(x,y)C二、教學要求和講稿內若微分方程P(x,y)dxQ(x,y)dy 的左端恰好是某個二元函數(shù)u(x,y的全微分，即duP(x,y)dxQ(x,y)dy，則P(x,y)dxQ(x,y)dy0為全微分方程。由全微分的定義知duudxu 與式子duP(x,y)dxQ(x,y)dyuPu 故微分方程（1）為全微分方程u(x,y使uPu 此時，方程（1）變?yōu)閐u0，從而方程的通解為u(x,y)例xdxydy0d1x21y201x21y2 例ydxxdy0d(xy)0xy例求方程(x3y)dxxy)dy0x3dx(ydxxdy)ydy0d(1x4xy1y2) 1x4xy1y2 若已經(jīng)知道了所給方程是全微分方程，如何求出u(x,(5x43xy2y3dx3x2y3xy2y2dy0(xcosycosxyysinxsiny0定理P(xy)dxQ(xy)dy0PQ在單連通區(qū)域GP(x,y)dxQ(x,y)dy0是

Q(xy

(x,y(x0,y0

PdxQdyC P(xy)dxQ(x0y)dyC，或P(xy0dxQ(xy)dy 例(5x43xy2y3dx3x2y3xy2y2dy解：因

6xy

u(x,y)(5x43xy2y3)dx y2dyx4

x2y2xy3 3 3

(5x43xy2y3)dx

y2dyx4 0x2y2xy3y3例求解方程(xcosycosxyysinxsiny解：原方程變形為(xcosycosx)dyysinxsiny)dx因PcosysinxQ u(x,y)0dx(xcosycosx)dyxsinyycos xsinyycosx另解：由于所給方程是全微分方程，所以存在u(x,y)uPysinxsinuQxcosycos

由第一式積分uycosxxsiny( cosxxcosy(y)uxcosycos故y)0y)ycosxxsinyC那么一個非全微分方程能否轉化為全微分方程，這種轉化是否容易呢？回答是：非全微分方程可以轉化為全微分方程，但較。ydxxdy

但A

:ydx1dy0 xdy0(A)y2:ydx同理，在方程的兩邊乘1 "均可使原方程變?yōu)槿⒎址匠蘹yx2定義P(x,y)dxQ(x,y)dy0(x,y)0，使方程P(x,y)dxQ(x,y)dy0變?yōu)槿⒎址匠?，則稱函數(shù)(xy)P(x,y)dxQ(x,y)dy0的積分因子PyQPy

f(x，則有積分因子(x)efgy，則有積分因子y)egy例yp(xyq(x的解。解原方程變形為(p(xyq(x))dxdy0PyQ

p(x)，方程有積分因子(x)epx)dxdx yepx)dxp(xyepx)dxq(x)epx)dx為全微分方程。dyyepx)dxq(x)epx)dxyepx)dxCq(x)edx 例求解微分方程(ex3y2dx2xydyxPyQx2，故方程有積分因子(x)e2dxx x2ex3y2)dx2x3ydy0為全微分方程，可用三種求其通用偏積分法：由題知，存在u(xy，使uxx2ex3y2uy2x3所以ux2exdx3x2y2dxy)(x22x2)exx3y2且有2x3yu2x3yyy)y(x22x2)exx3y2C線積分法（用積分與路徑無關 u x2exdx2x3ydy(x22x2)exx3 湊全微分法x2exdx(3x2y2dx2x3ydy)0x2exdxx3y2例求解方程(2xy2y)dxy2xy)dyP 2 解：P4xy1,Q1, x ，積分因子(y) x2xylnyCdxdyd(x ydxxdydydxxdyd(x ydxxdyd(y ydxxdy ydxxdydarctan d(lny x2 例(x2y22x)dx2ydy0(x2y2)dx(2xdx2ydy) 2 22 d(x2y2) y d y x2 xln(x2y2ydxxdyy2xdx0ydxxdydx(3x2y)dx(3x2x)dy03x2(dxdy)(xdyydx)(xdyydx)(y1)x2y2dy0(y1)d(xy)x2y2dyd(xy)x2

y

dy0

ln(y1)第六節(jié)一階微分方程的應用舉例（略建立實際問題的微分方程模型一般比較，因為這需要對與問題有關的物體冷卻模型例將某物體放置于空氣中，在時刻t0時，測量得它的溫度為1500C，10分鐘后測量得溫度為u1000C.求此物體的溫度u和時間t 關系，并計算20分鐘后物體的溫度（假設空氣的溫度保持為u240C。設物體在時刻t的溫度為uu(tdu。注意到熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導，因而u0u時溫差uu 得duk(uu 其中k0為比例常數(shù)。解此微分方程得uu并注意到u(0)1500C及u(10)從而u24126e0.051t其中k1lnu0u

1ln1.66 u1 力學問題建立力學模型主要依據(jù)是（Newton）第二定律，F(xiàn)力，它一般為時間tx和速度dx的已知函數(shù)。例如圖(3.1)所示，在一根長度為l細線上掛著一個質量為m的質點M，解設擺動線與鉛垂線的夾角為點沿圓周切向速度可表示為vld

M上的重力mg的法向分力mgcos與線的拉力大小相等、方向相反，相互抵消。因為質點M總是沿著圓周向平衡位置A的方向運動，即當角為正時向減小的方向運動；當角為負時，向增大的方向運動。所以質點M沿圓周切線方向的分力fmgsin即

因此，質點Mmdvmgsind

d2 mgsin

dt

sin l(1)如果擺只作微小振動，即比較小時，可取sin，式(3.23)d2gdt

d2gsin1Fdt fi圖 圖如圖(3.2所示，物體由高空下落，除受重力作用外，還受到空氣阻力的作用，在速度不太大的情況（45成正比，求速度和時間的關系式根據(jù)第二定律有

Fmgmdvmgkv2

v(0)v RLC電路問Q電路中隨時間t而變化的電壓V(t)I(t)或電量Q(t)C

EE0sint，今設時刻t0I0I與時間t的關系.解設時刻tII(tR (Kirdhoff)定律，有如關系式

EsintRIL dIRIE0sint

P(t)R,Q(t)E0sint 有 I(t)eP(t)dt(P(t)dtdt R L(

R 0sinteLdt LtRt teL( eL

sintdt

L R

tttLe2sinR LCeLtE0eLt

(RLsintL2

R2 (RsintLcost2R2I(0)I0

c R22

.R22I(t)(I

RLR22RL

(RsintLcost)R22 IR22L2(RsintLE sint cost)0R22 R22若令cos ,sin .R22~

R22LIE0sin(t其中角增長率問題

R)dx(b(t)dx(t可微，b(td(t(t稱為該生物種群數(shù)量的純增長率，它往往還與種群數(shù)量有關，即(t,x).于是，上面的微分方程可改寫為dx(t,x)x(t)

(t,x)k就得到（Malthus）人口發(fā)展方程，此時，式 變dxkx(t)xx0ekt由此可見，當t取離散值1,2,,"時，人口數(shù)量是以ek數(shù)量為M，這時該魚類種群數(shù)量的純增長率可取為xM方程(3.24)

dxrx(1x x(tlogisticdxx和消費者持有該種商品飽和程度axx(adxkx(ax)拋物線的光學性質問題在制造探照燈的反射鏡時，總是要求將點光源射出的光線平行地反射x軸平行于光的反射方向，如圖(3.4 L:yf yfz為求xoy平面上的曲線yf(x)的問題 過曲線L上任意一點M(x,y)作切NT，則由光的反射定律：入射角等于反射角，容易推得NMO從而OMdytanMNOMP，及MPy,NPNOOPOMOP yf(xdy

或dx yydv

sgn其中cy2z2c(c

第七節(jié)可降階的高階微分方程的三種類型：y(n)fFyyy0，找出解的表達式及解法。

F(x,y,y)能通過換元或者全微分等變成這三種類型進行求解。2y(n)f解應包含n個常數(shù)。,二、教學要求和yfy,yypdpypdp 講稿內 方程y(nx)

f 不顯含未知函數(shù)y的方程F(xyyyu,則yuF(xuu0若能求出此一階微分方程的通解uu(xc1yu，可得原方程的通解yu(xc1)dxC2(1x2)y例1求解方 y(0)1,y(0)yyuyu,(1x2)u兩端

1duu

1x1du 2xdxln|u|ln(1x2)ln|c|uc(1x2 1 即yc(1x2) 又y(0) 所以c 所以y3(1x2，故y3(1x2)dx3(x

3x)c23xx3x3又y(0) 所以1C2 則有y3xx3yx33x1。

yln(1x2)ln

yc1(1x2xyylnyx令uyxuulnuxzux

1dxzeC1x1即yeC1x1(x1)C原方程的通解為y zey1ex22 不顯含自x的方程Fyyy)作變換udyyuyddy)dududyududx dy Fyuudu)0，這是一個關于新未知函數(shù)u uu(y,c1 即yu(y,c1 u(y,c1

dyxc2例 求(2y1)y2y20的通

d2yu 代入原方程得(2y1)duu2u2

1duu

2yu1duu

2y

ln|u|ln|2y1|ln|c1u 再由udy，得dy 2y 2y即(2y1)dyc1dx，兩邊積 (2y1)dyy2yc1x另解：原方程可

22y

0lnyln2y1lnc12yyy

y2yc1x例求解方程yyy2y3.yuduu2u3由u0yyduuu2

1dy

即u C1y將uyxC1lnyyC2xC1lnyyC2及y 恰當導數(shù)方程F(xyyy0的左端恰為某一函數(shù)(xyyx)顯然可降低一階而成為(xyyc，再設法求解這個方程，這一段解法的技yyy2 原方程可改寫成：(yy)積分得：yy 即ydy例 求

y2c1xcyyy2

yy 先將兩端同乘以積分因 ,則 y yy c原方程即為d0 y

yc2e例f(x有二階連續(xù)導數(shù)，且滿足lnxf(x)ydxf(x)dy0 其中Cf(1)0,f(1)0，求f(x)。解：由題意知：曲線積分與路徑無y(lnxf f(x)xf(x)f(x)ln p(x)f(xp1pln p(xC1lnx1f(1)p(1)0知C p(x)

f(x)1lnx1f(x)lnxx(lnx2) f(10得C2f(x)lnxx(lnx2)2。一、內容要點：

第八 二階線性微分方二、教學要求和 (x)yf(x)的方程稱為n階線性微分方 （Second-orderLinearEquationsf(x0，則稱該方程為n階線性齊次 二階線性齊次方程解的性質與結構 yp(x)yq(x)y （c1,c2為任意常數(shù)yc1y1c2y2（1）的解，且含有兩個任意常數(shù)c1c2yc1y1c2若y1是（1）的解，則ky1也是（1）的解，則由齊線性方程的迭加原理yc1y1c2ky1(c1c2k)y1 (cc1c2k)凡解，由迭加原理知yC1y1仍是（1）的解，但顯然不是（1）的通解。的通解呢？從上面的例子及定義知：主要看c1,c2是否獨立，而c1,c2獨立與定義1 設函數(shù)組y1(x),y2(x),yn(x)在區(qū)間(a,b)上有定義，如果存在一組不全為0的常數(shù)k1,k2,kn，使得x(a,b)有k1y1(x)k2y2(x)knyn(x)成立，則稱函數(shù)組y1x),y2x,yn(x)在(ab)上是線性相關的。否則，稱y1xy2xyn(x在(ab如函數(shù)組1,cos2xsin2x在(,內是線性相關的因為取k11,

1kykyky1cos2xsin2x1 2 3而函數(shù)組1,x,x2,x3在任何區(qū)間(ab)1 2 3k11kxkx2kx30則必有k1k2k3k42又如er1xer2x"ex（rr"r互不相同）是線性無關1 （設有cer1xcer2xcernx0分別取x0,1,"n1得方可 得c1c2cn0由定義不難得到y(tǒng)(xy(x)在(ab線性無關y1(x)2 2yy1x，y2xyp(xyq(xy0程的任何一個解y(x，均存在常數(shù)c1，c2y(x)c1y1x)c2y2xy1x0yp(xyq(xy0的一個已知特解。則可設另一個與之線性無關的特解y2x)u(xy1x)，其中u(x)為待定的函數(shù)，求得y2y2y2代入齊次方程，并整理 2y1py1uy1u0 u(2y1 lnu2lny1p(x)dxln所以uc1ep(x)dx（只找特解，可取c1即u(x)

y1yy21epx)dx，再積分得u(x)y21

y221ep(x)dxdxy221取

0得u(x)1epx)dxy21y2故y(x)y(x)u(x) 1ep(x)dxdx——稱y 1y1ycycycyc 1ep(y1 2 1 21y1（1）若1p(xq(x)0,yp(xyq(xy0yp(xxq(x)0,yp(xyq(xy0ym，使得m2mp(xq(x)0yp(xyq(xy例1 求(x1)yxyy0的通解 將方程化為y x

y x

y0，p(x) x

,q(x) x1p(x)q(x)1x1x

x x x

xp(xxq(x)xx

x

0y2 e

常數(shù)，y與

ycxce1 1 例 解方程(1x2)y2xy2y y 1x2這里p(x) q(x) 1x 1x

y 1x

y因為p(x)xq(x) 1x

1x20y1則另一個與y1線性無關的2 y 1ep(x)dxdx 1ex2dxdx 1ex2d(1x)dx 1eln(1x2) y 1y1

x x

1 dxx1

1 1 x21x

x 1x

1x x11ln|1

xln1x 1x 1 ycxcxln1x 2 1 2。二階線性非齊次方y(tǒng)p(x)yq(x)yf yp(x)yq(x)y 1y(x（LN）的解，y(x（LH）y(xy(x（LN）3y1(xy2(x是（LH）方程的兩個線性無關的解，y*為（LN）方程的一個特解，則（LN）的任意解可表為y(x)c1y1x)c2xy2x)y*.y(x是（LN）2y(xy是（LH）解，再由齊線性方程的通解結構定理知：必存在常數(shù)c1,c2y(x)ycycyy(x)cycy1 2 1 2可見y(x)c1y1xc2xy2xy*通解，將常數(shù)c1c2變易為函數(shù)c1x),c2x)，假y(x)c1(x)y1c2(x)

因為y(xc1xy1c2xy(xc1(xy1c1(xy1c2(xy2c2xc1(x)y1c2(x)y2c1(x)y1c2(x)令c1(xy1c2(xy20（這樣使確定ci(x)的條件簡單所y,yyf(x)yp(x)yq(x)c1(x)(y1p(x)y1q(x)y1)c2(x)(y2p(x)y'2q(x)y2)c1(x)y1c2(x)所以最后得到c1(x),c2(x)應滿足的兩個方程c1(x)y1c2(x)y2c(x)yc(x)yf 它是一個關于c1(xc2(x)的線性方程組，求解之，可得唯一解c1(x),c2(x)，解出后積分并代入（A）式，便得到非齊次方程的通解或特解y。例 驗證y1cosx,y2sinx是yy0的兩個線性無關的解，并yy cosx

y*c(xcosx

yc1cosxc2sin(x)sinx是y//y 的一個特解，則c(x),c(x)

c(x)sinxc(x)cosx

cos 1 cosc1(xtgx 取c(x)lncosxc(x) c2(x)yc1cosxc2sinxcosxlncosxxsin例求方程txxt2于域t0解：先求對應齊次方程的兩個線性txx0x1lnxlntlncxctx1ct2 2 對應齊次方程的兩個線性無關的解1,tx

tc(t)c(t)t2

c1(t) t3c,c(t) t c2(t)2t

xcct21t 已知二階線性非齊次微分方程的兩個特解為y11xx3，y2x2對應的齊次方程的一個特解為y1xy(0)5,y(0)2y1~2ycycy1 2 yx32x4y1,y2yp(xyq(xyf1(x和yp(x)y'q(x)yf2y1y2yp(xy'q(xy

f1(xf2(x定理5yy1xiy2xyp(xy'q(xyf1xif2x解，則y1(x),y2(x)分別為yp(x)y'q(x)y的解 f1(x)yp(x)y'q(x)y f2y(n)(x)y(n)(x)iy(n) 根據(jù)此定義，把y'y1iy2 代入方程yp(x)y'q(x)yf1(x)if2

f1(x)if2

y1p(x)y1q(x)y1y2p(x)y2q(x)y2

f1f2 推論若yy(x)iy(x)是y//p(x)y/q(x)y0的解，則y(x), yyx2ex解yy0的通解為Yc1cosxc2sinxyyx2y1x22（yax2bxc是方程的解，為什么這么假設yyexy1ex（yAex是解，為什么 y

cosx

sinxx221ex2一、內容要點：

第九節(jié)常系數(shù)齊次線性微分方程 y(n)py(n1)"py p,"pnyerx為它的解，經(jīng)求導代入方程消去erx后得rnp1rn1"pnn次方程，它一定有n個根r1,"rn，其中ri可以k重實根，也可k重共軛復根i，每一個rin個線性無關的特解，利用線性微分方程解的結構，可構成n個任意常數(shù)的通解。二、教學要求和講稿內容ypyqy0（其中p,q為常數(shù) 特解y1y2呢？我們的思路是這樣的：先假設某個函數(shù)是方程（1）解，這個ypy0dypdxlnypxlnCyCepxyyerx，其中r待定，并注意指數(shù)函數(shù)的各階導數(shù)只相差一個常數(shù)因(erx)p(erx)qerx0r2erxprerxqerx0r2prq從而我們得到結論yyerx是方程（1）的解r是方程r2prq0注意微分方程的結構形式與其特征方程的結構形式的特點——微分方程設特征方程有兩個不相等的實根r1,r2，則微分方程對應兩線性無 yer1xyer2xyCer1xCe

p2yer1x，我們還需找另一個特解y

u(x常數(shù)（，將2yu(x)er1x2yer1x(ur yer1x(u2rur er1x(u2rur2u)per1x(uru)quer1x u2rp)ur2prq)u0（注意r是特征方程的二重根 u0uCuCx 取u(xxyxer1xyCCx)er2 注：另一特解也可 得到特征方程有一對共軛虛根r1,2y1e(ixy2e(i yCe(i)xCe(i) 原理，另找兩個實值形式的線性無關的解來代替y1y2y1e(ixex(cosxisiny2e(i)xex(cosxisiny1yyexcosx,y1yyexsin yex(C1cosx

sin1。寫出對應的特征方程r2prq02。求出特征r1,r2rryCer1xCer2x rryCCx)er2x 共軛虛根r1,2iyex(CcosxC2sin1例：y2y3y 通解：yC1exC2e3xd2例dt

s

例：y2y5y 通解：yex(C1cos2xC2sin例y5y0yx02,yx0yC1cos5xC2sin5xy2cos5xsin，一、內容要點：

第十節(jié)常系數(shù) 線性微分方特解之和，從而關鍵在于尋求特解，當自由項為Pm 二、教學要求和常系數(shù) 講稿內容形如ypyqyf 的方程(p,q為常數(shù))稱為二階常系數(shù)線性非的通解與它本身的一個特解之和，而方程的通解在上一節(jié)的討論中已得到解決，并且還可以從方程的通解出發(fā)，使用常數(shù)變易法求出非方程的一個特解。因而，原則上說，二階常系數(shù)非方程的求解問題已經(jīng)解決了。但是對某些特殊的自由項f(x)，可用待定系數(shù)法確定非方程的特解。f(x)pm(x)exf(x)ex[pm(x)cosxpn(x)sin其中pm(xpn(x)分別表示xm次和n次的已知多項式，我們之所以研究一、f(x)pm(x)ex為 ypy'qyexpm 的特解，由于方程的右端是m次多項式pm(x)與指數(shù)函數(shù)ex的乘積，左端的y*Q(x)ex，其中Q(x在看能否確定Q(x)設y*Q(x)exy*ex(Q(x)y*ex(2Q(x)2Q'(x)Q（10.1 若不是特征方程r2prq0的根。則2pq0，因為pm(x的次數(shù)為m次,要使(10.2)Q(x)的次數(shù)可m，記為Qm(x)即Q(x)axmaxm1a，代入（10.2）式，比較等式兩端的多項式，利 出a0a1...am，從而得到特解y*Qm若是特征方程r2prq02pq 2p從（10.2）式可看出左邊的次數(shù)應是Qx的次數(shù)，因為pm(x的次數(shù)為m次,要使(10.2)式成立，所以Q'(xm，則Q(xm+1，因而可令Q(x)xQm(x，并且用同樣的方法確定Qm(xy*xQm若是特征方程r2prq02pq 2p由（10.2）式可看出：左端的最高次數(shù)應是Q(x)的次數(shù)，因為pm(x)的數(shù)為m次,要使(10.2)式，則

Q(xm，所以Q(xy*x2Qm （用同樣的方法確定Qm(x)的系數(shù)綜上所述ypy'qypm(x)ex的特解為y*xkQm不是r2prq0的 是r2prq0的單 是r2prq0的重 y5y5x22x解對應方程的特征方程為r25r ,r2所以方程的通解為yc1c2由于0是單特征根，故非方程有如y*x(Ax2BxC)的特解3

BC y*13ycce5x1 例y2y'y解所給方程對應方程的特征方程為r22r1解得特征根為r1r2 ，所 方程的通解為y(c1c2又因1是特征方程的二重根，所以非方程的特解有形23B0，所以 方程的特解為y*2x3e3所求原方程的通解為y

x)ex2x3e33y2y'3y3x1ex解對應方程的特征方程為r22r30解得特征根為r r3，對應通解 ycexc 1在求非方程的特解時，由于f(x)3x1ex不屬于pm(x)ex的形式，但根據(jù)第7節(jié)的定理7y2y'3y3x1y*y2y'3yex1y*y*y*2

1y

2x1,y

14所以y*y*y*x11xex 故原方程的通解為ycexce3xx11 例設(x)為連續(xù)函數(shù)，且滿足(x)ext(t)dtx(t)dt，求(x) x解x求導，得(x)ex0x求導，得(x(x)ex，且(0)1,(0)求解該微分方程的初值問題，得(x)1(cosxsinxex2二f(x)exP(xcos