2022-2023學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高一下學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)集合，利用一元二次不等式的解法化簡(jiǎn)集合，逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可.詳解：，，，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查了解一元二次不等式，求集合的補(bǔ)集與交集，屬于容易題，在解題過(guò)程中要注意在求補(bǔ)集與交集時(shí)要考慮端點(diǎn)是否可以取到，這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，同時(shí)將不等式與集合融合，體現(xiàn)了知識(shí)點(diǎn)之間的交匯.2．下列命題中的假命題是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)全稱命題和特稱命題的含義，結(jié)合三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，，，，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，值域?yàn)?，，，D正確.故選：C.3．設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以，即，所以，故選：A.4．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出的定義域?yàn)椋缓蟀褏^(qū)間端點(diǎn)代入，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷．【詳解】的定義域?yàn)?，，，，，因?yàn)?，由函?shù)零點(diǎn)存在定理得：零點(diǎn)所在的區(qū)間為．故選：B．5．下列化簡(jiǎn)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】逆用差角正弦公式求值可判斷A；倍角正弦公式化簡(jiǎn)求值可判斷B；和角正切公式化簡(jiǎn)求值可判斷C；同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，故A不正確；對(duì)于B，，故B不正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D不正確；故選：C.6．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由分段函數(shù)的單調(diào)性列不等式組求解.【詳解】由題意可列，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B7．將函數(shù)，的圖象上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則（

）A．圖象的一條對(duì)稱軸為 B．圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為C．的最小正周期 D．在區(qū)間上為增函數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)圖象變換得到，然后求對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、最小正周期和單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】將函數(shù)的圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，得到，再將所得圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，即，所以函數(shù)的最小正周期為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；由，，得的圖象的對(duì)稱軸為，，當(dāng)時(shí)，得，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；由，，得，，即圖象的對(duì)稱中心為，，當(dāng)時(shí)，得，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；由，，得，，當(dāng)時(shí)，得，即為的增區(qū)間，故D正確.故選：D．8．定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)]時(shí)，，若關(guān)于x的方程至少有8個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件可得出函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，作出，的圖象，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)兩函數(shù)圖象至少有4個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】因?yàn)?，且為偶函?shù)所以，即，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，作出，在同一坐標(biāo)系的圖象，如圖，因?yàn)榉匠讨辽儆?個(gè)實(shí)數(shù)解，所以，圖象至少有8個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)，的圖象都為偶函數(shù)可知，圖象在y軸右側(cè)至少有4個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，當(dāng)時(shí)，只需，即，當(dāng)時(shí)，只需，即，當(dāng)時(shí)，由圖可知顯然成立，綜上可知，.故選：B【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．二、多選題9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是D．冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則的值為1【答案】AD【分析】計(jì)算抽象函數(shù)定義域得到A錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，先求定義域，再判斷單調(diào)性判斷B；計(jì)算單調(diào)區(qū)間得到C錯(cuò)誤；根據(jù)冪函數(shù)的定義結(jié)合單調(diào)性計(jì)算得到D正確，得到答案.【詳解】解：對(duì)選項(xiàng)A：函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)闈M足，解得，故定義域?yàn)椋_；對(duì)選項(xiàng)B：的定義域?yàn)?，故根?jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：冪函數(shù)，則，解得或，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，排除；當(dāng)，，滿足條件，故，正確.故選：AD10．下列函數(shù)中，最小值為4的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用基本不等式求函數(shù)最值的條件逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可．【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取得等號(hào)，而，所以函數(shù)，不滿足題意，故A不正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)為僅當(dāng)，即時(shí)取等，故B正確；對(duì)于C，時(shí)，，所以，不滿足題意，故C不正確；對(duì)于D，由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，即取得等號(hào)，所以的最小值為4，滿足題意，故D正確.故選：BD.11．如圖，一圓形摩天輪的直徑為100米，圓心到水平地面的距離為60米，最上端的點(diǎn)記為.現(xiàn)在摩天輪開(kāi)始逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，30分鐘轉(zhuǎn)一圈，以摩天輪的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)距離水平地面的高度與時(shí)間（分鐘）的函數(shù)為B．點(diǎn)距離水平地面的高度與時(shí)間的函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為C．經(jīng)過(guò)10分鐘點(diǎn)距離地面35米D．摩天輪從開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，點(diǎn)距離水平地面的高度不超過(guò)85米的時(shí)間為20分鐘【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，由條件求得，然后根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，在分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，所以以為終邊的角為，所以點(diǎn)距離水平地面的高度與時(shí)間的關(guān)系為，故A正確；由，得，所以不是對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤；經(jīng)過(guò)10分鐘，，故C正確；由，解得，得，解得，共20分鐘，故D正確.故選:ACD12．設(shè)函數(shù)，集合，則下列命題正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)C．若集合M有三個(gè)元素，則k的取值范圍為D．若（其中），則【答案】ABD【分析】解一元二次方程直接求解集即可判斷A，由題設(shè)易知集合中方程無(wú)解即可判斷B，畫(huà)出的圖象，令根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及所得的圖象判斷CD正誤即可.【詳解】A：時(shí)，或，結(jié)合解析式：時(shí)有或，時(shí)有，所以，正確；B：時(shí)，由，知方程無(wú)解，則，正確；由解析式可得其函數(shù)圖象如下圖示：令，開(kāi)口向上且對(duì)稱軸為，若，則，即，有以下情況：1、，：此時(shí)，令，則在上有一個(gè)零點(diǎn)，∴，可得，2、，，由A知：.綜上：，故C錯(cuò)誤；若，由函數(shù)的性質(zhì)及圖象知：必有，.此時(shí)，，，所以，，所以，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：C、D選項(xiàng)中，畫(huà)出大致圖象，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷給定集合對(duì)應(yīng)的的可能取值，再結(jié)合圖象判斷正誤.三、填空題13．已知，，是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【分析】由充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，，因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14．如圖是杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽.名為“潮涌”，形象象征著新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義大潮的涌動(dòng)和發(fā)展.如圖是會(huì)徽的幾何圖形.設(shè)弧的長(zhǎng)度是，弧的長(zhǎng)度是.幾何圖形面積為，扇形面積為，若，則___________.【答案】8【分析】設(shè)，根據(jù)，得到，再利用扇形面積公式求解.【詳解】解：如圖所示：設(shè)，則，因?yàn)?，所以，則，由扇形面積公式得，所以，則，故答案為：815．已知函數(shù)，則不等式在上的解集為_(kāi)_____.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，列出不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椴坏仁?，也即，所以，則，因?yàn)?，所以，故答案為?16．已知函數(shù)，是定義在R上的函數(shù)，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且.若對(duì)于任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】由函數(shù)的奇偶性可得，從而可求得函數(shù)的解析式，再根據(jù)，可得，令，則函數(shù)在上遞增，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分和結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，又，則，兩式相加可得，若對(duì)于任意，都有，可變形為，令，則函數(shù)在上遞增，當(dāng)時(shí)，在上遞增，符合題意，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)為二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，所以或，解得或，綜上所述，.故答案為：.四、解答題17．（1）計(jì)算求值：；（2）解不等式：.【答案】(1)7；(2).【分析】(1)根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可求得答案；(2)因?yàn)槭菧p函數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)定義域，即可求得答案.【詳解】(1)(2)又是減函數(shù)則，即，解得：,故原不等式的解集為.18．已知，.(1)求的值；(2)若，且，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】(1)先利用兩角差的正切公式求得角的正切值，把所給的函數(shù)式進(jìn)行恒等變形，根據(jù)二倍角公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，進(jìn)行弦化切，代入即得結(jié)果；(2)由，結(jié)合所給的角的范圍，利用兩角和與差的三角函數(shù)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得，再利用和角的正切公式求解即可.【詳解】（1）∵，∴，解得.∴；（2）∵，且，∴，∴，∴，又，∴，∴.∴，又∵，∴.19．已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間的值域；(2)已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)首先化簡(jiǎn),再根據(jù)范圍求出范圍，即可得到其值域；(2)利用誘導(dǎo)公式和二倍角余弦公式結(jié)合分離參數(shù)得，再結(jié)合范圍，即可求出右邊最小值，即得到答案.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，所以，故函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)?（2）因?yàn)閯t所以設(shè)若不等式在上恒成立，只需.當(dāng)時(shí)，則，所以當(dāng)，即時(shí)，所以.實(shí)數(shù)的取值范圍為.20．已知函數(shù)(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，并證明結(jié)論；(2)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的定義判斷即可；（2）利用奇偶性定義可知為奇函數(shù)；利用誘導(dǎo)公式可化簡(jiǎn)所求不等式右側(cè)部分為，結(jié)合奇偶性得到；根據(jù)單調(diào)性可得自變量大小關(guān)系，通過(guò)對(duì)于范圍的討論，解一元二次不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）解：定義域?yàn)?，，為定義在上的奇函數(shù)，即；設(shè)，且，則；，，，在上為減函數(shù).綜上，函數(shù)在上為減函數(shù)，且為奇函數(shù).（2）解：由（1）知為定義在上的奇函數(shù)，即；∴，原不等式可化為，即；由（1）知：在上為減函數(shù)，，即；①當(dāng)時(shí)，由得：；②當(dāng)時(shí)，由得：；③當(dāng)時(shí)，由得：；綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為.21．某醫(yī)院購(gòu)入一種新型空氣消毒劑，已知在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的該消毒劑，空氣中釋放的濃度（單位：毫克/立方米）隨時(shí)間（單位：小時(shí)）的變化關(guān)系為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.若多次噴灑（或一次噴灑多個(gè)單位），則某一時(shí)刻空氣中該消毒劑的濃度為每次投放的消毒劑（或每個(gè)單位的消毒劑）在該時(shí)刻所釋放的濃度之和.由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中該消毒劑濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，才能起到有效殺毒的作用.(1)若一次噴灑2個(gè)單位的該消毒劑，則有效殺毒時(shí)間可達(dá)多久?(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的該消毒劑，6小時(shí)后第二次噴灑個(gè)單位的該消毒劑，要使第二次噴灑后的4小時(shí)內(nèi)能夠持續(xù)有效殺毒，試求的最小值.（最后結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)小時(shí)(2)1.6【分析】（1）根據(jù)噴灑2個(gè)單位的凈化劑后濃度為，由求解；（2）分別求出第一次噴灑2個(gè)單位消毒劑和第二次噴灑個(gè)單位該消毒劑，接下來(lái)4個(gè)小時(shí)的濃度，則接下來(lái)4個(gè)小時(shí)內(nèi)空氣中該消毒劑的總濃度為，化簡(jiǎn)利用基本不等式求解.【詳解】（1）一次噴灑2個(gè)單位的該消毒劑，其濃度為，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，則當(dāng)時(shí)，能起到有效殺毒的作用，故若一次噴灑2個(gè)單位的該消毒劑，有效殺毒時(shí)間可達(dá)小時(shí)；（2）由題知，第一次噴灑的2個(gè)單位消毒劑，經(jīng)6小時(shí)后，其濃度為4毫克/立方米，且接下來(lái)4個(gè)小時(shí)的濃度為，第二次噴灑個(gè)單位該消毒劑，接下來(lái)4個(gè)小時(shí)的濃度為，故接下來(lái)4個(gè)小時(shí)內(nèi)空氣中該消毒劑的總濃度為，令，則，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，接下來(lái)4個(gè)小時(shí)內(nèi)空氣中該消毒劑的總濃度最小，為，要符合題意，則，即，解得，又，則，故的最小值為.22．已知函數(shù)(常數(shù))．(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為?1，求a的值；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)－1；(2).【分析】(1)依題意，令，原函數(shù)轉(zhuǎn)化為，其對(duì)稱軸方程