人教九年級數(shù)學(xué)第23章-旋轉(zhuǎn)-旋轉(zhuǎn)基礎(chǔ)知識及專題(word版-含答案)

第第1頁共11頁旋轉(zhuǎn)及綜合專題一、旋轉(zhuǎn)相關(guān)定義1、定義：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。、如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)?，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn)。、（1）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，即旋轉(zhuǎn)中心在對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線上；（2）對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前、后圖形全等。、把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對稱或中心對稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心。這兩個(gè)圖形的對稱點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對稱點(diǎn)。、（）關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心平分；（）關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形是全等圖形。6、把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對稱中心。二、旋轉(zhuǎn)相關(guān)結(jié)論

如圖，將ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角到A1點(diǎn)B和點(diǎn)1為對應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)C和1為對應(yīng)點(diǎn)。結(jié)論1：旋轉(zhuǎn)中心為對應(yīng)點(diǎn)所連線段垂直平分線的交點(diǎn)，也即對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線均經(jīng)過旋轉(zhuǎn)中心。如圖，線段B1的垂直平分線1線段C1的垂直平分線l2都經(jīng)過旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)A。利用這個(gè)結(jié)論我們可以利用對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)求出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)。由于對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線均經(jīng)過旋轉(zhuǎn)中心，因此只需求出兩組對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線解析式，然后聯(lián)立即可求出旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)。結(jié)論2對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所構(gòu)成的三角形均為等腰三角線且等腰三角形頂角均等于旋轉(zhuǎn)角。如圖，AB1和1均為等腰三角形，BA1CA1。結(jié)論：對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所構(gòu)成的三角形均相似。如圖，BA1∽1。結(jié)論：旋轉(zhuǎn)前、后圖形全等。如圖，ABCA1。示例1已知(,2)O(,0)將線段OA繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到線段11其中1(,)、1(,4)，1為點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)，1為點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。分析：旋轉(zhuǎn)中心為對應(yīng)點(diǎn)所連線段垂直平分線的交點(diǎn)，因此只要求出線段A1和線段O1的解析式，然后聯(lián)立即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。解析：∵(,2)，1(,4)∴直線A1:x3∴直線A1的垂直平分線1:y1∵O(,0)，1(,)∴直線O1:yx∴直線O1的垂直平分線l2:yx1點(diǎn)P為1與l2的交點(diǎn)，聯(lián)立：，可得：P(,)?！帱c(diǎn)P的坐標(biāo)為P(,)。附：在直角坐標(biāo)系中求線段的垂直平分線的方法（必須掌握知識點(diǎn)）已知點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)B(x2,y2)，求線段AB的垂直平分線l。處理方法如下：第一步根據(jù)點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)B(x2,y2)的坐標(biāo)首先求出直線AB的解析式1:y1x1。第二步：設(shè)線段AB的垂直平分線l的解析式為：l:yk2xb2。以為l2l1，所以1k21從而求出k2因此線段AB的垂直平分線l的解析式轉(zhuǎn)化為：第三步：根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式直接寫出線段AB中點(diǎn)M(,)。分析既然直線l為線段AB的垂直平分線所以直線l經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)也即線段AB的中點(diǎn)在直線l上。第四步：將線段AB的中點(diǎn)M(,)代入l:中求出2的值。最后將2的值代入中即可求出線段AB的垂直平分線的解析式。示例：已知點(diǎn)(,4)和點(diǎn)B(,2)，求線段AB的垂直平分線l。處理方式如下：第一步：由點(diǎn)(,4)和點(diǎn)B(,2)，可得直線AB的解析式1:yx3。第二步：設(shè)線段AB的垂直平分線l的解析式為：l:yk2xb2。以為l2l1，所以1k21從而求出k22因此線段AB的垂直平分線l的解析式轉(zhuǎn)化為l:y2xb2。第第4頁共11頁第三步：由點(diǎn)(,4)和點(diǎn)B(,2)，可得線段AB的中點(diǎn)M(0,3)。第四步：將點(diǎn)M(0,3)代入l:y2xb2中可得23。因此，例3：已知如圖，ABC為等邊三角形，A，B3，PC，求C的度數(shù)？分析：這里已知ABC為等邊三角形，符合旋轉(zhuǎn)條件，可以將ABC一邊C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60與另一邊AB重合解析：將APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60至AHB，則APCAHB，APAH，HAP60，PCHB∴AHP為等邊三角形∴HPA∴HB2HP2PB2

∴P90∴CB150。例4已知如圖四邊形DC60ABC30且ADAC求證AB2BC2BD2。分析：這里實(shí)際可知C為等邊三角形，滿足旋轉(zhuǎn)條件。解析：將ADB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60至ACH?？傻肁BH為等邊三角形，又∵ABC30從而可得CBH90，直角三角形就可以使用勾股定理了。例5如圖已知等邊ABC點(diǎn)D為ABC外一點(diǎn)且滿足C120試問，D，A，C是否有確定的數(shù)量關(guān)系？分析：這里ABC為等邊三角形，滿足旋轉(zhuǎn)條件。解析：將ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60至ACH。則有，DH，DH。ADH為等邊三角形∴DADH∵C120，C60∴DD180∴HD180∴D，C，H三點(diǎn)共線（必須證三點(diǎn)共線，否則扣分）∴ACB。變式拓展如圖已知等邊ABC點(diǎn)D為ABC外一點(diǎn)但BDC大小不確定D3DC4，試問A的最大值為多少？分析：這里ABC為等邊三角形，滿足旋轉(zhuǎn)條件。解析：將ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60至ACH。則有，DH，ADH為等邊三角形∴CHBD3，DADH∵HCH∴A7。

∴ACH例6：如圖，已知正方形D，E為正方形D外一點(diǎn)，AE2，DE1，求CE的最大值？分析：這里出現(xiàn)了正方形D（正方向可以看成是兩個(gè)等腰直角三角形組合而成），符合旋轉(zhuǎn)條件。解析：將C繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至HDA，則有：CA，CEAH，DEDH，EDH90∴EH2DE∴AHAEEH23∴CE3

五、旋轉(zhuǎn)相似旋轉(zhuǎn)相似是比較難的一種變換模式，難就難在不易發(fā)覺更不易構(gòu)造，掌握起來比較難。兩個(gè)相似三角形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，必然出現(xiàn)一對新的相似三角形。如圖，ABC∽A1，則有AB1∽1。證明：∵ABC∽A1∴C11，BA1CA1∵ABC∽A1∴∴∴ABB∽C例1：如圖，已知ABC為等邊三角形，D為AB的中點(diǎn)，DE1，EA2，求CE的最大值？分析：ABC為等邊三角形，D為AB的中點(diǎn)，則D30，C為直角三角形，可以利用這個(gè)D30特殊角進(jìn)行構(gòu)造相似三角形。解析：連D，則DD，且C2D，即。構(gòu)造tH，使得則tC∽tH∴DACEAH60∴DC又∵∴C∽D∴∴H2E2∵H60，H90∴EHAE2∴EHH∴CE22。小結(jié)：這里可以看出tC∽tH，則C∽D。例2：如圖，已知RtABC中，ACB90，，D3，AD，求BD的最大值？分析：這里ACB為直角三角形，，。可以利用這個(gè)直角三角形直角邊的比構(gòu)造相似三角形。解析：過點(diǎn)C作CHCD，且滿足，連DA，AH。則有：RtACB∽RtHCD。∴HD又∵∴B∽A∴∴BDAH又∵AHDHDA，DHCD3∴AH4∴BD2小結(jié)：這里B∽D，則有B∽A。六、旋轉(zhuǎn)的四種模型（僅作了解）（1）繞點(diǎn)模型普通繞點(diǎn)模型很容易看出旋轉(zhuǎn)中心一般在等腰三角形尤其是特殊的等腰三角形中可以繞頂點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使兩腰重合，從而構(gòu)造三角形全等來解題。ABAC，則有：BCCD，則有：BAD，則有：MNMNEF示例：如圖，正方形D內(nèi)有一點(diǎn)P，A=1，A=2，C=3。（）求PD的長；（）求∠APB的大??；（3）求正方形的邊長。分析：此題中出現(xiàn)了正方形，由于正方形四條邊長度相等，四個(gè)角均為直角，很適合利用旋轉(zhuǎn)來作答。解析：（）過點(diǎn)P作MN//AB交AD于M，交BC于N。則有四邊形M、四邊形M均為矩形∴M=N，DM=CN在RtΔAM中有：A2=AM2+PM2；在tΔC中有：PC2=CN2+PN2；在RtΔPBN中有：PB2=BN2+PN2；在RtΔPDM中有：PD2=DM2+PM2；∴A2+PC2=PB2+PD2又∵A=1，A=2，C=3∴PD=。（）將ΔC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得EBA，則有PBCEBA，BEBP∴BEBP，EC3，PEPB2，BPE45∵A2PE22(2)29AE2∴APE為直角三角形∴APE90∴BEE135∴APB135。（）過點(diǎn)B作BFAP于F∵APB135∴F45∴BFPFPB∴AFAPF1∴在tB中有：AB2BF2AF252∴AB，即正方形的邊長為在遇到等腰三角形時(shí)可以利用旋轉(zhuǎn)使腰剛好重合，構(gòu)造全等三角形解題。（2）空翻模型空翻與普通繞點(diǎn)的區(qū)別在于普通繞點(diǎn)可以一眼看出旋轉(zhuǎn)中心，而空翻則不能。AMCE，AENE，且AENE則有：ENDFDA ，BDCA ，CFAB作AGAD則有：DA（3）弦圖模型弦圖也叫三垂直結(jié)構(gòu)屬于極為特殊的空翻形式上分為內(nèi)弦圖外弦圖應(yīng)用上可以分為全等弦圖、相似弦圖。其基本模型有如下三種：外弦圖 內(nèi)弦圖 半弦圖（4）半角模型