變量與函數(shù)經(jīng)典例題

精品文檔精品文檔PAGE精品文檔例1、下面的表分別給出了變量x與y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，判斷y是x的函數(shù)嗎？如果不是，說(shuō)明出理由.x12345y3691215x12345y71181215x12321y2510-5-2x12345y99999解：（1）y是x的函數(shù)；

2）y是x的函數(shù)；

3）y不是x的函數(shù)，因?yàn)閷?duì)于變量x=1，變量y有1與-1兩個(gè)值與它對(duì)應(yīng)；

4）y是x的函數(shù)

說(shuō)明：對(duì)于 x的每一個(gè)值， y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng) .第四個(gè)是常數(shù)函數(shù)它符合函數(shù)的定義 .

例2、判斷下列關(guān)系是不是函數(shù)關(guān)系？（1）長(zhǎng)方形的寬一定時(shí)，其長(zhǎng)與面積；（2）等腰三角形的底邊長(zhǎng)與面積；

（3）某人的年齡與身高；

（4）關(guān)系式|y|=x中的y與x.

分析：判斷一個(gè)關(guān)系是不是函數(shù)關(guān)系， 第一要看是不是一個(gè)變化過(guò)程； 第二要看在這個(gè)變化

過(guò)程中，是不是有兩個(gè)變量； 第三要看自變量每取一個(gè)確定值， 函數(shù)是不是都有唯一確

定的值與它對(duì)應(yīng) .

解：（1）長(zhǎng)方形的寬一定時(shí)，其長(zhǎng)所取的每一個(gè)確定的值，面積都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以長(zhǎng)與面積是函數(shù)關(guān)系.

2）因?yàn)槿切蔚拿娣e受底和高兩個(gè)因素的影響，當(dāng)?shù)妊切蔚牡兹∫粋€(gè)定值時(shí)，

它的面積又受高的影響，不能有唯一確定的值和底相對(duì)應(yīng)，所以底邊長(zhǎng)與面積不是函數(shù)關(guān)系.

3）人的任意一個(gè)確定的年齡，都有唯一確定的身高與之相對(duì)應(yīng)，所以某人的年齡與身高是函數(shù)關(guān)系.（4）x每取一個(gè)正值， y都有兩個(gè)值與它對(duì)應(yīng)，所以 |y|=x不是函數(shù)關(guān)系 .

說(shuō)明：年齡與身高的變化不按某種規(guī)律， 但某人每一個(gè)確定的年齡， 必有唯一確定的身高和

它相對(duì)應(yīng)，因此函數(shù)關(guān)系是一定的， 所以不要以為存在一定比例關(guān)系或一定規(guī)律， 能用

解析式表示的才是函數(shù)關(guān)系 .

例3、汽車由北京駛往相距 850千米的沈陽(yáng)，它的平均速度為 80千米/小時(shí)，求汽車距沈陽(yáng)

的路程S（千米）與行駛時(shí)間 t（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量的取值范圍

分析：北京距沈陽(yáng) 850千米，汽車距沈陽(yáng)的路程等于全程減去已行駛的路程， 已行駛的路程

等于速度乘以時(shí)間 .

.

解：S 850 80t

S 0Q0

85080t得t 0

0t85.8S85080t，自變量t的取于是汽車距沈陽(yáng)的路程S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為值范圍是0t85.8例4、求下列函數(shù)中自變量x的取值范圍：（1）y3x25（2）y2x1（3）y2（4）yx12x22x3x（5）y23x（6）yx3x2（7）yx22x4（8）y6x336x分析：求自變量的取值范圍，應(yīng)考慮自變量的取值使函數(shù)解析式有意義.（1）、（2）小題函數(shù)解析式是整式，故自變量可取任意實(shí)數(shù)；（3）、（4）小題解析式是分式，自變量可取使分母不為0的任意實(shí)數(shù)；（5）、（7）、（8）小題的解析式是二次根式，自變量取值應(yīng)使被開方數(shù)非負(fù)；（6）小題既有分母又有二次根式，自變量取值應(yīng)使分母不為0，又要使二次根式的被開方數(shù)非負(fù).解：（1）函數(shù)y3x25的自變量x的取值范圍是軀體實(shí)數(shù)（2）函數(shù)y2x1的自變量x的取值范圍是軀體實(shí)數(shù)（3）Qx20,x2,當(dāng)x2時(shí)，分母x20，函數(shù)y2的自變量的取值范圍是x2；x2（4）由x22x30解得x13,x21,當(dāng)x3或x1時(shí)，分母x22x30，函數(shù)yx1的自變量x的取值范圍是x3且x1x22x3（5）由23x0解得x3，2

函數(shù)y23x的自變量x的取值范圍是x3；2（6）由x30得x3，由x20得x2，當(dāng)x2時(shí)，分母x20，函數(shù)yx3的自變量x的取值范圍是x3且x2；x2（7）Qx22x4x22x13(x1)230,即對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，x22x4都是非負(fù)的，函數(shù)yx22x4的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)；16x30x1,得2x（8）由6x01,32x2因此，函數(shù)y6x336x的自變量x的取值范圍是1x.2

典型例題五

例已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A(1,4)、B(2,2)兩點(diǎn)，請(qǐng)你寫出滿足上述條件的兩個(gè)不同的函數(shù)解析式，并簡(jiǎn)要說(shuō)明解答過(guò)程.（2002年山東省青島市中考題）

分析 ：由于題中所經(jīng)過(guò) A(1,4)、B(2,2)兩點(diǎn)的函數(shù)解析式的類型未告知， 因此所確定函數(shù)解

析式的形式可能是直線型，也可能是雙曲線、拋物線型，還可能是其他形狀的，故可采用下列幾種途徑來(lái)確定滿足題設(shè)條件的解析式：趕崢販臍鴟芻鄰縈鑽紗樅鈸鋏餳隱。（1）若經(jīng)過(guò) A、B兩點(diǎn)的函數(shù)的圖象是直線，設(shè)其解析式為

y kx b，則有

4kb,k2,22kb.解之，得6.b此時(shí)，函數(shù)解析式為 y 2x 6.

（2）由于A、B兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的積相等，都等于 4，所以，經(jīng)過(guò) A、B兩點(diǎn)的函數(shù)的圖

4象還可以是雙曲線，其解析式為： y .x（3）如果經(jīng)過(guò) A、B兩點(diǎn)的函數(shù)的圖象是拋物線，設(shè)其解析式為

y ax2 bx c（a 0），則有

4 a b c,

2 4a 2b c.

解之，得b3a2,ca6.因此，只要a、b、c同時(shí)滿足關(guān)系式b3a2和c2a6，即可保證二次函數(shù)yax2bxc（a0）的圖象經(jīng)過(guò)A(1,4)、B(2,2)兩點(diǎn)；顯然，這樣的二次函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè).如取a=1，則有b=-5，c=8，相應(yīng)圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為：yx25x8.（4）其他略.

典型例題六

例（北京市海淀區(qū)，1999）如圖，在矩形ABCD中，AB4,BC7,P是BC邊上與B點(diǎn)不重合的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P直線交CD的延長(zhǎng)線于R，交AD于Q（Q與D不重合），且RPC450。設(shè)BPx，梯形ABPQ的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求自變量x的取值范圍。解在矩形ABCD中，ADBC7，ABDC4,C900?！逺PC450，∴R450RPC.∴PCRC.∵BPx,∴PC7x.∵AD∥BC，∴QDRD。PCRC∴QDRDRCDC7x43x.∴AQADQD7(3x)4x.∵1∴y4x8.梯形ABCD(AQ),S2BPAB當(dāng)Q與D重合時(shí)，PCDC4,BP3.

∵P與B不重合，Q與D不重合，

∴自變量x的取值范圍是 0 x 3.

典型例題七

例下列函數(shù)中與y=3x表示同一函數(shù)的是（）（1）y33x3（2）y3x2x

（3）y3(x)2（4）y(3x)2（5）y33x3分析：只有對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，自變量的取值范圍相同，函數(shù)值的取值范圍也相同的函數(shù)才是同一函數(shù).解：（1）y33x333x與y=3x的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以它們不是同一函數(shù).3x20，而y=3x中x可取任意實(shí)數(shù)，因此，自變量的取值范圍不同，（2）y中x不能取x

它們不是同一函數(shù) .

（3）y3(x)2中x的取值范圍是非負(fù)數(shù)，所以它與y=3x表示不同的函數(shù).（4）y(3x)2|3x|中函數(shù)值范圍是非負(fù)數(shù).所以y(3x)2與y=3x不是同一函數(shù).（5）y33x33x因?yàn)閥33x3與y=3x的對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，函數(shù)值的取值范圍也相同，所以它們是同一函數(shù) .

典型例題八

例求下列函數(shù)中自變量

x的取值范圍：

（1）

y

3x2

5

（2）

y

2x

1

（3）y2（4）yx12x22x3x（5）y23x（6）yx3x2（7）yx22x4（8）y6x336x分析：求自變量的取值范圍，應(yīng)考慮自變量的取值使函數(shù)解析式有意義。（1）、（2）小題函數(shù)解析式是整式，故自變量可取任意實(shí)數(shù)；（3）、（4）小題解析式是分式，自變量可取使分母不為0的任意實(shí)數(shù)；（5）、（7）、（8）小題的解析式是二次根式，自變量取值應(yīng)使被開方數(shù)非負(fù)；（6）小題既有分母又有二次根式，自變量取值應(yīng)使分母不為0，又要使二次根式的被開方數(shù)非負(fù)。解：（1）函數(shù)y3x25的自變量x的取值范圍是軀體實(shí)數(shù)（2）函數(shù)y2x1的自變量x的取值范圍是軀體實(shí)數(shù)（3）Qx20,x2,當(dāng)x2時(shí)，分母x20，函數(shù)y2的自變量的取值范圍是x2；x2

（4）由x22x30解得x13,x21,當(dāng)x3或x1時(shí)，分母x22x30，函數(shù)yx1的自變量x的取值范圍是x3且x1x22x3（5）由23x0解得x3，23函數(shù)y23x的自變量x的取值范圍是x；2（6）由x30得x3，由x20得x2，當(dāng)x2時(shí)，分母x20，函數(shù)yx3的自變量x的取值范圍是x3且x2；x2（7）Qx22x4x22x13(x1)230,即對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，x22x4都是非負(fù)的，函數(shù)yx22x4的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)；6x30x121,得x（8）由6x01,3x22因此，函數(shù)y6x336x的自變量x的取值范圍是1x2

典型例題九

例下列函數(shù)中與 y 5x表示同一函數(shù)的是一個(gè)函數(shù)？

（）x與y(x)2x；1y（2）y2x與y32x3；（3）y3x與y(3x)2；（4）y1與yxxx2.解：（1）它們不是同一函數(shù)。

x的取值范圍不同）

2）它們不是同一函數(shù)。（函靈敏的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同）

3）它們不是同一函數(shù)（函數(shù)值的取值范圍不同）

4）它們是同一函數(shù)

（對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，自變量，函數(shù)值的取值范圍均相同）

覓艷張涇塒諜綾閃証蠶蕢涇窩詩(shī)鵓。典型例題十例求下列函數(shù)自變量的取值范圍：（1）y1x3；（2）y21；2x（）yx3；（）y35x2；34（5）yx1；（6）y1x3x2.2x4解：（1）自變量x的取值范圍是一切實(shí)數(shù)（函數(shù)表達(dá)式為整式，x取一切實(shí)數(shù)）（2）2x0，x2（函數(shù)表達(dá)式為分式，取分母不為0的一切實(shí)數(shù)）（3）x30x3（函數(shù)表達(dá)式為二次根式取被開方數(shù)不小于 0的實(shí)數(shù)）

4）x取一切實(shí)數(shù)

（函數(shù)表達(dá)式為三次根式，x為任意實(shí)數(shù)）闞釧貺癮貯鋮覡蠱識(shí)饞標(biāo)覽鎵夾鑷。

5）

解得

x10x3（這里不能用“或”應(yīng)用“且”）01

3

自變量的取值范圍是 x 1，且x 3的一切實(shí)數(shù)

（6） x2 2x 4 (x 1)2 3 0

（配方是關(guān)鍵）

x為任意實(shí)數(shù)時(shí)， y均有意義即自變量 x的取值范圍為一切實(shí)數(shù) .

典型例題十一

隉齲徹?cái)S較輳續(xù)幀傷錸嗶鈣箋標(biāo)嬤。例已知函數(shù)ya26a12時(shí)，y1，（1）確定此函數(shù)（14x，當(dāng)x2）求當(dāng)x2時(shí)，y的值解：（1）當(dāng)x2，y1（要理解函數(shù)值的定義）時(shí)，有

1a26a1即a26a9042（實(shí)際是解方程）解出：a3把a(bǔ)a26a13，代入y4x得（求出的a值代回函數(shù)中）y2自變量的取值范圍是x0的全體實(shí)數(shù)x（這一步要注明）（2）y212當(dāng)x時(shí)，y4x212（實(shí)際是求代數(shù)式的值）1時(shí)，函數(shù)值y是4.當(dāng)x2

典型例題十二

例一盛滿10噸水的水箱，每小時(shí)流出 0.5噸水。水箱中水量 y（噸）與時(shí)間 x（時(shí)）

之間有什么函數(shù)關(guān)系？ x的取值范圍是什么？

蕁賕穡鯖尷樣贈(zèng)銃駭嚀嘯紺辦濘鐸。解∵每小時(shí)流出0.5噸水，∴x小時(shí)流出0.5x噸?！鄖100.5x.x0,∴0x20.∴y100.5x(0x20).顯然，有0.5x100.說(shuō)明：本題考查函數(shù)式的列法，解題關(guān)鍵是要弄清各數(shù)量之間的關(guān)系，易錯(cuò)點(diǎn)是忽視在實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍.選擇題1.在VABC中，它的底邊長(zhǎng)是a，底邊上的高是h，則三角形面積S1ah，當(dāng)a為定長(zhǎng)2時(shí)，在此式子中（）（A）S、h是變量，a是常量（B）S、h、a是變量，1是常量2（C）a、h是變量，1、S是常量（D）S是變量，1、a、h是常量222.在函數(shù)y1中，自變量x的取值范圍是（）23x（A）x 1 （B）x 1

（C）x3且x1（D）x3或x13.已知函數(shù)y2x1，當(dāng)xm時(shí)函數(shù)值為1，則m值為（）x2（A）1（B）3（C）-3（D）-14.若函數(shù)yx2x2，與函數(shù)值y0對(duì)應(yīng)的x的值是（）x22（A）x1或x2（B）x1x2或（C）x1且x2（D）x1或x25.自變量的取值范圍是11的函數(shù)是（）x3（A）yx1（B）y3x13x1x1（C）yx1（D）y113x11x3x16．函數(shù)yx1中，自變量x的取值范圍是（）3x4444A．xB．x1且x1D．x3C．x337．函數(shù)y1的自變量x的取值范圍是（）24x1D．x1A．x2B．x2C．x228．下列函數(shù)中，自變量取值范圍選取錯(cuò)誤的是（）A．yx2中，x取全體實(shí)數(shù)B．y11中，x0xC．yx1中，x1D．yx1中，x19．如果每盒圓珠筆有12支，售價(jià)18元，那么圓珠筆的售價(jià)y（元）與圓珠筆的支數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式是（）A．y3xB．y2xC．y12xD．y18x2310．已知函數(shù)yx2的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范x24x4m圍是（）A．m1B．m1C．m1D．m111．已知函數(shù)y1x;y2x2;y3x2;y4(x)2;y53x3，其中相同的兩個(gè)函數(shù)是x

（ ）

A．y1與y2 B．y1與y3 C．y1與y4 D．y1與y5

12．有一內(nèi)角為 120°的平行四邊形，它的周長(zhǎng)為 l，如果它的一邊為 x，與它相鄰的另一邊

長(zhǎng)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及 x的取值范圍是（ ）儀頂犢訴鈽簡(jiǎn)銳蹣齪髏苧總掙麩媧。A．y1(l2x)0x1B．22C．y 1(lx)0xl D．2

答案

y1(l2x)0x122y1(lx)0xl21.A 2.C3.B4.A 5.D 6．A 7．C 8．B 9．A 10．A 11．D 12．B.

填空題1．函數(shù)yxx1中自變量x的取值范圍是_______.22．函數(shù)yxx的自變量x的取值范圍是_________.33．函數(shù)y12x中自變量x的取值范圍是______；函數(shù)y1中自變量x的取值范圍是_______.x14．14.y1xx中自變量x的取值范圍是______.2x5．圓錐的體積為 50cm3，則圓錐的高 h（cm）與底面積S(cm2)之間的函數(shù)關(guān)系是 ________.

瓏鉚媼擬籮糲嚨縑訌羥櫚噲堊鯨勛。6．將xy1(y2)改用x的代數(shù)式表示y的形式是_____；其中x的取值范圍是________.y27．函數(shù)yx11x2)0x2中自變量x的取值范圍是________.(x8．物體從離A處20m的B處以6m/s的速度沿射線AB方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，t秒鐘后物體離A處的距離為 sm，則s與t之間的函數(shù)關(guān)系式是 ________，自變量t的取值范圍是 _______.

9．等腰三角形的周長(zhǎng)是 50cm，底邊長(zhǎng)是 xcm，一腰長(zhǎng)為 ycm，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式

是______；自變量x的取值范圍是______.

平行四邊形相鄰的邊長(zhǎng)為x、y，它的周長(zhǎng)是30，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是_______，

自變量x的取值范圍是 .

11.某水果批發(fā)市場(chǎng)規(guī)定，批發(fā)水果不少于 100千克時(shí)，批發(fā)價(jià)為每千克 2.5元.小于攜帶現(xiàn)

金3000元到市場(chǎng)采購(gòu)蘋果 ,并以批發(fā)價(jià)買進(jìn) ,如果購(gòu)買的蘋果為 x千克,小王付款后的剩余

現(xiàn)金為y元,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是＿＿＿ ,自變量x的取值范圍是 .

用50牛的力推動(dòng)一個(gè)物體,所做的功W(焦)與物體移動(dòng)距離S(米)之間的函數(shù)關(guān)系式是

,自變量S的取值范圍是 .寵報(bào)際齟潛檔塢僉場(chǎng)褲騸悶頇躑巹。

答案1．x12．x0且x33．x114．x11502x1,x5．h6．,x12S1x7．x0且x1和28．S206t,t09．y50x,0x25210.y15x,0x1511.y30002.5x,100x120012.W50s,s0.

解答題

1、分別指出下列各關(guān)系式中的變量與常量：

(1)球的表面積2)與球半徑R(cm)的關(guān)系式是2S(cmS=4πR;(2)設(shè)圓柱的底面半徑R(cm)不變，圓柱的體積V(m3)與圓柱的高h(yuǎn)(m)的關(guān)系式是2v=πRh;以固定的速度VO(米／秒)向上拋一個(gè)小球，小球的高度h(米)與小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t(秒)之

間的關(guān)系式是h=VOt-4.9t2.

2、分別寫出下列函數(shù)關(guān)系式，并指出式中的自變量與函數(shù)：

(1) 設(shè)一長(zhǎng)方體盒子高為10cm，底面是正方形，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積V(cm3)與底面邊長(zhǎng)a(cm)的關(guān)系；

(2)秀水村的耕地面積是 106(m2)，求這個(gè)村人均占有耕地面積 x(m2)與人數(shù)n的關(guān)系

設(shè)地面氣溫是20℃，如果每升高1km，氣溫下降6℃，求氣溫t(℃)與高度h(km)的關(guān)系.

3．已知(x 2)(y 3) 1。

（1）用含x的代數(shù)式表示 y，并指出x的取值范圍；

紆孌譾噯闕鱈穢島藶貼磧爾訃專燙。（2）求當(dāng)x0時(shí)，y的值；當(dāng)y0時(shí)，x的值。4y與底角x的函數(shù)關(guān)系式，并求