平均指標(biāo)和變異指標(biāo)

平均指標(biāo)和變異指標(biāo)第1頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四第五章平均指標(biāo)和變異指標(biāo)本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解和掌握平均指標(biāo)和變異指標(biāo)的概念2.掌握平均指標(biāo)和變異指標(biāo)的種類3.掌握各類平均指標(biāo)的計算和應(yīng)用4.掌握各類變異指標(biāo)的計算和應(yīng)用5.掌握幾種平均指標(biāo)之間的關(guān)系第2頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四第一節(jié)平均指標(biāo)

一、什么是平均指標(biāo)

？平均指標(biāo)——是同質(zhì)總體各單位某一標(biāo)志在一定時間、地點、條件下所達到的一般水平，是總體的代表值，它描述分布數(shù)列的集中趨勢。二、平均指標(biāo)的特點1.同質(zhì)性2.代表性

3.抽象性

第3頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四第一節(jié)平均指標(biāo)

三、平均指標(biāo)的作用1.可以比較同類現(xiàn)象在不同單位、不同地區(qū)間的平均水平。2.可以比較同類現(xiàn)象在不同時期的平均水平。3.可用于研究事物之間的依存關(guān)系。4.利用平均數(shù)還可以進行推算和預(yù)測。第4頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四第一節(jié)平均指標(biāo)

四、平均指標(biāo)的分類

（五）幾何平均數(shù)（二）眾數(shù)（三）算術(shù)平均數(shù)（四）調(diào)和平均數(shù)（一）中位數(shù)位置平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)怎么計算呢？第5頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四數(shù)值平均數(shù)第6頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四（一）算術(shù)平均數(shù)概念：

算術(shù)平均數(shù)是總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志的平均數(shù)?；居嬎愎剑核阈g(shù)平均數(shù)=標(biāo)志總量÷總體總量算術(shù)平均數(shù)與強度相對數(shù)的比較①含義不同。強度相對數(shù)分子與分母是兩個性質(zhì)但又有聯(lián)系的指標(biāo)值；而平均數(shù)分子同一總體的某一標(biāo)志總量，而分母為總體總量。

②有些強度相對數(shù)的分子和分母可以互換，而平均數(shù)則不可以。

③平均數(shù)的分子與分母的數(shù)值存在著一一對應(yīng)關(guān)系。

第7頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四（一）算術(shù)平均數(shù)計算方法：由于掌握的資料不同和計算上的復(fù)雜程度不同，可分為簡單算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。（1）簡單算術(shù)平均數(shù)公式中：代表算術(shù)平均數(shù)

代表總體各單位標(biāo)志值

代表標(biāo)志值的項數(shù)

∑為求和符號

第8頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四（一）算術(shù)平均數(shù)計算方法：（2）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式中：代表算術(shù)平均數(shù)

代表總體各單位標(biāo)志值

代表各組的次數(shù)第9頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四【例5－3】某銷售公司12月份各天的銷售額數(shù)據(jù)如下表所示：

銷售額（萬元）銷售的天數(shù)（天）銷售額×天數(shù)230240260280290300389712690192023401960290600合計307800（一）算術(shù)平均數(shù)第10頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四解：＝7800/30

＝260（萬元）當(dāng)我們掌握的資料是組距數(shù)列時，用各組的組中值代替各組平均數(shù)，再用公式來計算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。（一）算術(shù)平均數(shù)第11頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四（一）算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì)：（1）算術(shù)平均數(shù)與總體單位數(shù)的乘積，等于各單位標(biāo)志值的總和。

（2）各單位標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差之和等于零。

（3）各單位標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差平方之和為最小。（4）對各單位標(biāo)志值加或減一個任意數(shù)則算術(shù)平均數(shù)也要增加或減少該數(shù)(5)對各單位標(biāo)志值乘以或除以任意一個非零數(shù),則算術(shù)平均數(shù)也要乘以或除以該數(shù)第12頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四（二）調(diào)和平均數(shù)概念：調(diào)和平均數(shù)又稱倒數(shù)平均數(shù)，是變量倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)?；居嬎愎剑?/p>

（簡單公式）（加權(quán)公式）第13頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四（二）調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的聯(lián)系：調(diào)和平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的變形。調(diào)和平均數(shù)的權(quán)數(shù)是算術(shù)平均數(shù)中的標(biāo)志值乘以總體單位數(shù)所得到的標(biāo)志總量，即：第14頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四（二）調(diào)和平均數(shù)運用調(diào)和平均數(shù)該注意的問題：（1）當(dāng)變量數(shù)列有一變量X的值為零時，調(diào)和平均數(shù)公式的分母將等于無窮大，因而無法求出確定的平均值。（2）調(diào)和平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)一樣，易受兩極端值影響。

（3）要注意區(qū)分調(diào)和平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的使用條件，因事制宜

。第15頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四【例5－4】某農(nóng)貿(mào)市場蘋果5元每斤、香蕉2元每斤、西瓜3元每斤，如果蘋果買了5元、香蕉買了8元、西瓜買了6元，請問買回來的水果平均每斤多少錢？解：價格＝則平均價格H為：（二）調(diào)和平均數(shù)第16頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四（三）幾何平均數(shù)概念：幾何平均數(shù)是個變量值連乘積的次方根，用Ｇ表示。

基本計算公式：

（簡單公式）（加權(quán)公式）銀行平均利率、各年平均發(fā)展速度、產(chǎn)品平均合格率等的計算就采用幾何平均法第17頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四（三）幾何平均數(shù)運用幾何平均數(shù)該注意的問題：（1）變量數(shù)列中任何一個變量值不能為0，一個為0，則幾何平均數(shù)為0。（2）用環(huán)比指數(shù)計算的幾何平均易受最初水平和最末水平的影響。（3）幾何平均法主要用于動態(tài)平均數(shù)的計算。第18頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四【例5－5】一位投資者持有一種投資產(chǎn)品，在2005、2006、2007、2008、2009和2010年的收益率分別是4.5％、2.5％、5％、4％、4.2％、4.6％。試計算該投資者在這六年內(nèi)的平均收益率。解：根據(jù)計算公式得：

（三）幾何平均數(shù)第19頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四幾何平均數(shù)的計算過程中往往要求開高次方，計算起來比較麻煩，因此可利用對數(shù)，將幾何平均數(shù)轉(zhuǎn)化為算術(shù)平均數(shù)：

(簡單)(加權(quán))（三）幾何平均數(shù)第20頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四【例5－6】一位投資者持有一種投資產(chǎn)品，在2001-2010年10年收益情況如下表所示，試計算該投資者在這幾年平均投資收益。收益率（％）

4.04.55.05.41.0401.0451.0501.05424510.017030.019110.021190.022840.034060.076440.105950.02284合計／10／0.26029（三）幾何平均數(shù)第21頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四解：由公式可知：G＝0.06177＝6.177％（三）幾何平均數(shù)第22頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四幾種平均數(shù)的關(guān)系（一）算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)的關(guān)系：（1）各自的適用場合不同。

（2）各種數(shù)值平均數(shù)在計算上的繁簡程度也不同

。第23頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四HG計算公式（簡單）計算公式（加權(quán)）單項式分組變量值為分組標(biāo)志值，實際值組距式分組變量值為組中值，近似值計算原則平均數(shù)=標(biāo)志總量÷總體總量適用范圍權(quán)數(shù)總和為總體總量（分母數(shù)據(jù)），如：總?cè)藬?shù)、總購買量、總天數(shù)權(quán)數(shù)總和為標(biāo)志總量（分子數(shù)據(jù)），如：總產(chǎn)值、總支出、總費用、總產(chǎn)量、總成本變量各值相互聯(lián)系，如發(fā)展速度、年收益率、流水作業(yè)條件下各車間及格率數(shù)值比較（同變量值、同權(quán)數(shù)）第24頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四位置平均數(shù)第25頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四眾數(shù)一、眾數(shù)1、眾數(shù)是指變量數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多或頻率最大的變量值。2、適用條件：只有集中趨勢明顯時，才能用眾數(shù)作為總體的代表值。3、特點：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值適合于數(shù)據(jù)量較多且有明顯的集中趨勢時使用不受極端值的影響(缺乏敏感性)一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個眾數(shù)第26頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四眾數(shù)(不惟一性)無眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):10591268

一個眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):659855多于一個眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):252828364242第27頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四眾數(shù)的計算方法（1）單項數(shù)列確定眾數(shù)，即出現(xiàn)次數(shù)最多（頻率最大）的標(biāo)志值就是眾數(shù)。（2）組距數(shù)列確定眾數(shù)：在等距數(shù)列條件下，先確定眾數(shù)組，然后再通過公式進行具體計算，找出眾數(shù)點的標(biāo)志值。第28頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四第一步：確定眾數(shù)所在的組，即從變量數(shù)列中找出頻率最大的組“眾數(shù)組”；第二步：根據(jù)與眾數(shù)組相鄰的兩個組的頻數(shù)，通過公式近似計算眾數(shù)值。

下限公式：Mo=上限公式：Mo=其中：L代表眾數(shù)組的下限值；U代表眾數(shù)組的上限值；表示眾數(shù)組次數(shù)與前一組次數(shù)之差；表示眾數(shù)組次數(shù)與后一組次數(shù)之差；i表示眾數(shù)組的組距。（一）眾數(shù)第29頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四身高人數(shù)（CM）（人）

152115421552156415711582159216012161716281634身高人數(shù)（CM）（人）

1643165816651673168716911705171217231741總計

83152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174【例】某年級女生的身高分布情況,求出眾數(shù)第30頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四例：某廠甲車間有200名工人，他們每月加工的零件數(shù)如下表所示：按日產(chǎn)量分組（件）x工人數(shù)f121316172313合計8則，日產(chǎn)量眾數(shù)為13或者17第31頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四現(xiàn)檢測某廠生產(chǎn)的一批電子產(chǎn)品的耐用時間，得到資料如下表所示：眾數(shù)位于第三組

L=800U=1000i=1000-800=200

＝244-161＝83

＝244-157＝87耐用時間產(chǎn)品個數(shù)（個）600以下84600-800161800-10002441000-12001571200-1400361400以上18合計700例題第32頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四代入公式得：第33頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四二、中位數(shù)1、中位數(shù)：將總體單位的某一數(shù)量標(biāo)志的各個數(shù)值按照大小順序排列，居于中間位置的那個數(shù)值就是中位數(shù)。2、中位數(shù)的特點和作用代表整個總體各單位標(biāo)志值的平均水平各單位標(biāo)志值與中位數(shù)離差的絕對值之和最小不受極端值的影響(缺乏敏感性)第34頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四計算方法

（1）由未分組資料確定中位數(shù)排序：確定中位數(shù)位置奇數(shù)：中間位置的標(biāo)志值為中位數(shù)。偶數(shù)：中間位置相鄰兩個變量值的簡單平均數(shù)是中位數(shù)。第35頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四（2）由分組資料確定中位數(shù)第一步：確定中位數(shù)所處位置，按確定（f為次數(shù)）。第二步：采用公式計算上限法：用“以上累計”法確定中位數(shù)。下限法：用“以下累計”法確定中位數(shù)。其中：U是中位數(shù)所在組的上限，L是中位數(shù)所在組的下限，fm是中位數(shù)所在組的次數(shù)，Sm+1是中位數(shù)所在組后面各組累計數(shù)，Sm-1是中位數(shù)所在組前面各組累計數(shù)，i是中位數(shù)所在組的組距。第36頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四

1、設(shè)有9個工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其日產(chǎn)量件數(shù)按大小順序排列為67778991014。則中位數(shù)位次即處于第5位的那個標(biāo)志值為中位數(shù)。即Me=8件。例題第37頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四2、設(shè)有10個工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其日產(chǎn)量件數(shù)按大小順序排列為6777899101418。則其中位數(shù)位次:

中位數(shù)處在第5個標(biāo)志值與第6個標(biāo)志值之間中點的位置。則Me=(8+9)/2=8.5第38頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四3、某學(xué)院1999到2000學(xué)年共有30名同學(xué)獲得獎學(xué)金

學(xué)生獲獎學(xué)金分布情況及計算表獎學(xué)金金額（元/人）人數(shù)（人）人數(shù)累計以下累計（人）以上累計（人）300500800100015003687639172430302721136合計30—

—

第39頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四從表中資料計算，中位數(shù)位置為：（人）中位數(shù)在第15人的位置上。無論是以下累計法還是以上累計法，所選擇的累計人數(shù)數(shù)值都應(yīng)是含15人的最小數(shù)值。表中的17和21符合這一要求，它們對應(yīng)的都是第三組，即800元就中位數(shù)。第40頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四4、現(xiàn)檢測某廠生產(chǎn)的一批電子產(chǎn)品的耐用時間，得到資料如下表所示：耐用時間產(chǎn)品個數(shù)累計次數(shù)以下累計以上累計600以下8484700600-800161245（Sm-1)616800-1000244(fm)4894551000-1200157646211（Sm+1)1200-140036682541400以上1870018合計700－－第41頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四第42頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四幾種平均數(shù)的關(guān)系數(shù)值平均數(shù)與位置平均數(shù)的關(guān)系：（1）它們代表的意義不同。

（2）受個別或少數(shù)極端值的影響程度不同

。（3）數(shù)值平均數(shù)與位置平均數(shù)各自適用的數(shù)據(jù)類型不同

。第43頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四圖5-1三種集中趨勢的關(guān)系幾種平均數(shù)的關(guān)系（4）三者關(guān)系：第44頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四第二節(jié)變異指標(biāo)

一、什么是變異指標(biāo)

？變異指標(biāo)——是指綜合反映總體各單位標(biāo)志值及其分布的差異程度的指標(biāo)，也稱為標(biāo)志變異度指標(biāo)。二、變異指標(biāo)的作用1.可以反映平均指標(biāo)的代表性程度2.說明現(xiàn)象或過程的均衡程度與穩(wěn)定程度

3.在抽樣調(diào)查中，變異度指標(biāo)是計算抽樣誤差和確定樣本量的依據(jù)第45頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四第二節(jié)變異指標(biāo)三、變異指標(biāo)的分類？1.全距和四分位差2.平均差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差和變異系數(shù)

3.偏度和峰度掌握它們的計算、特點和適用范圍。第46頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四全距和四分位差第47頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四全距概念：全距指總體各單位標(biāo)志值中最大值與最小值之差，因為它是總體中兩個極端值之差，故又稱為極差。計算公式：

優(yōu)點：計算簡單，涵義直觀，運用方便。缺點：①不夠全面。它僅僅取決于兩個極端值的水平，不能反映整個數(shù)列的分布情況；②不夠準(zhǔn)確。它受個別極端值的影響過于顯著，不符合穩(wěn)健性和耐抗性的要求。

第48頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四四分位差概念：四分位差是指四分位數(shù)中間兩個分位數(shù)之差。

計算公式：其中：為第三個四分位數(shù)，

的位置

為第一個四分位數(shù)，

的位置

全距和四分位差均只使用部分?jǐn)?shù)據(jù)進行計算。第49頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四四分位差例：在某城市隨機抽取9個家庭，調(diào)查得到每個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)如下（單位：元），計算人均月收入的四分位差

1500、750、780、1080、850、960、2000、1250、1630解：把題目所給數(shù)據(jù)排序，結(jié)果如下：

750、780、850、960、1080、1250、1500、1630、2000

Q1位置=（n+1）/4=10/4=2.5，Q1=780+（850-780）*0.5=815Q3位置=3（n+1）/4=3*10/4=7.5，

Q3=1500+（1630-1500）*0.5=1565

四分位差Qd=Q3—Q1=1565-815=750第50頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四平均差概念：平均差是指總體各單位標(biāo)志值對其算術(shù)平均數(shù)的離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)。一般用A.D表示。計算公式：或（簡單平均差）

(加權(quán)平均差)

第51頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四平均差優(yōu)點：①含義明確，它是根據(jù)總體各單位標(biāo)志值計算出來的，綜合了各單位標(biāo)志值的變異情況,所以它能夠充分、客觀地反映出了指標(biāo)值的平均變異程度；②計算也比較簡便。

缺點：平均差的計算需要對離差取絕對值，這就不便于進一步的代數(shù)運算了

第52頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四某車間50名工人日加工零件標(biāo)準(zhǔn)差計算表按零件數(shù)分組組中值(Xi)頻數(shù)(Fi)|Xi-X||Xi-X|Fi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.535814106415.710.75.70.74.39.314.347.153.545.69.843.055.857.2合計—50—312根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計算工人日加工零件數(shù)的平均差例題第53頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四方差概念：標(biāo)準(zhǔn)差的平方就是方差，一般用計算公式：或（簡單公式）

(加權(quán)公式)

表示。第54頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四標(biāo)準(zhǔn)差概念：標(biāo)準(zhǔn)差，是總體所有單位標(biāo)志值與其平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的正平方根。一般用來表示。

計算公式：或（簡單標(biāo)準(zhǔn)差）

(加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差)

第55頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四【例5－7】有三個生產(chǎn)小組，各有５個人，每人日產(chǎn)量如下：甲組：24，24，24，24，24乙組：20，22，25，26，27丙組：10，20，25，30，35分別計算各組的日產(chǎn)量差異程度（標(biāo)準(zhǔn)差和方差）。第56頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四解：由于甲組5個工人的日產(chǎn)量都是24件，各單位標(biāo)志值與平均數(shù)之間均無差異，因此，該組日產(chǎn)量方差和標(biāo)準(zhǔn)差均為零，即：第57頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四乙組丙組日產(chǎn)量(件))日產(chǎn)量(件）2022252627-4-2+1+2+31641494004846256767291020253035-14-4+1+6+11196161361211002006259001225合計0342914合計03703050乙組和丙組的標(biāo)準(zhǔn)差和方差計算表

第58頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四（件）（件）第59頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四計算結(jié)果表明，甲組方差和標(biāo)準(zhǔn)差均為0，說明該組工人日產(chǎn)量無差異；乙組方差和標(biāo)準(zhǔn)差居中，說明乙組工人日產(chǎn)量有差異，其差異程度大于甲組但小于丙組；丙組的方差和標(biāo)準(zhǔn)差在三組中是最大的。所以，盡管三組的算術(shù)平均數(shù)相等，但三個組的平均數(shù)對本組的代表程度不同，甲組的代表性最強，乙組其次，丙組最差。第60頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四若c=0，則

對分布數(shù)列而言，則

3、方差的簡捷計算第61頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四若分布數(shù)列是等距數(shù)列，則有a為中間組的組中值或次數(shù)最多的組中值，b為（x-a）的最大公約數(shù)第62頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四4.方差及標(biāo)準(zhǔn)差的計算一般的計算過程：列表簡捷計算方法：不計算離差方差及標(biāo)準(zhǔn)差

第一步計算均值

第二步計算離差

第三步離差平方

第四步乘以權(quán)數(shù)

第五步計算方差

第一步計算均值

第二步變量平方

第三步乘以權(quán)數(shù)

第四步計算方差第63頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四變量替換法：等距數(shù)列

第二步計算x’均值

第三步計算x’平方

第四步求x’方差

第五步求x方差

第一步變量替換x’第64頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四例4：某班50名學(xué)生統(tǒng)計學(xué)考試成績?nèi)缦卤硭荆嬎闫淇荚嚦煽兊臉?biāo)準(zhǔn)差成績（分）學(xué)生數(shù)（人）60以下460-701270-802080-901090以上4合計50第65頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四1、一般解法成績學(xué)生數(shù)fi組中值xixifixi-x(xi-x)2(xi-x)2fi60以下455220-19.6384.161536.6460-701265780-9.692.161105.9270-80207515000.40.163.2080-90108585010.4108.161081.6090以上49538020.4416.161664.64合計50/3730//5392.00第66頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四2、簡捷公式成績學(xué)生數(shù)fi組中值xixifixi2xi2fi60以下45522030251210060-70126578042255070070-8020751500562511250080-90108585072257225090以上495380902536100合計50/3730/283650第67頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四3、變量替換法（a=75，b=10）成績學(xué)生數(shù)fi組中值xixi’xi’

fixi’

2fi60以下455-2-81660-701265-1-121270-80207500080-9010851101090以上4952816合計50//-254