走進(jìn)數(shù)學(xué)建模世界分析

走進(jìn)數(shù)學(xué)建模世界分析走進(jìn)數(shù)學(xué)建模世界分析/走進(jìn)數(shù)學(xué)建模世界分析走進(jìn)數(shù)學(xué)建模世界華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院06級(jí)本科生(510631)黃澤君編者按：由中國(guó)教育部國(guó)際溝通司與師范司，以及東芝企業(yè)共同舉辦的第二屆“東芝杯·中國(guó)師范大學(xué)師范專業(yè)理科大學(xué)生講課技術(shù)創(chuàng)新實(shí)踐大賽”2009年11月15日在上海落下帷幕。經(jīng)過(guò)緊張的數(shù)學(xué)模擬講課、講課方案評(píng)選、即席演講三項(xiàng)總決賽，最后華南師范大學(xué)的黃澤君奪得冠軍，南京師范大學(xué)的向坤獲亞軍，陜西師范大學(xué)的金濤獲季軍。三名獲獎(jiǎng)選手每人除了獲獎(jiǎng)賞高級(jí)筆錄本電腦一臺(tái)以外，并獲取免費(fèi)赴日進(jìn)行短期訪學(xué)。本刊登載獲取第一名的講課方案,以饗讀者?！窘滩摹咳私贪鏀?shù)學(xué)必修①3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用【課時(shí)安排】第4課時(shí)【講課對(duì)象】高一學(xué)生【講課教師】華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院黃澤君【教材分析】數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)新課程的新增內(nèi)容，但《標(biāo)準(zhǔn)》中沒(méi)有對(duì)數(shù)學(xué)建模的課時(shí)和內(nèi)容作詳細(xì)安排，但是建議將數(shù)學(xué)建模穿插在有關(guān)模塊的講課中。而“3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用”一節(jié)但是經(jīng)過(guò)六個(gè)例子介紹一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)在解決實(shí)詰問(wèn)題中的作用，為此后的數(shù)學(xué)建摸實(shí)踐打基礎(chǔ)，還未能使學(xué)生真切理解數(shù)學(xué)建模的真切全過(guò)程。本節(jié)課經(jīng)過(guò)一個(gè)較為真切的數(shù)學(xué)建模事例，以填補(bǔ)教材的這一不足?！緦W(xué)情分析】高一學(xué)生在進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)以前，需要熟習(xí)前面已學(xué)過(guò)的二次函數(shù)與三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)?！局v課目的】知識(shí)與技術(shù)1）初步理解數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模兩個(gè)見(jiàn)解；2）掌握框圖2——數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。過(guò)程與方法1）經(jīng)歷解決實(shí)詰問(wèn)題的全過(guò)程，初步掌握函數(shù)模型的思想與方法；2）提升學(xué)生經(jīng)過(guò)成立函數(shù)模型解決實(shí)詰問(wèn)題的能力。感神情度價(jià)值觀1）體驗(yàn)將實(shí)詰問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)識(shí)題的數(shù)學(xué)化過(guò)程；2）感覺(jué)數(shù)學(xué)的適用價(jià)值，加強(qiáng)應(yīng)企圖識(shí)；（3）領(lǐng)悟數(shù)學(xué)以不變應(yīng)萬(wàn)變的魅力?！局v課要點(diǎn)】框圖2——數(shù)學(xué)建模的過(guò)程?！局v課難點(diǎn)、要點(diǎn)】方案二中答案的研究；要點(diǎn)是運(yùn)用合情推理?！局v課方法】指引研究、討論溝通?！局v課手段】計(jì)算機(jī)、PPT、幾何畫(huà)板?！局v課過(guò)程設(shè)計(jì)】一、講課流程設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)企圖：與大學(xué)數(shù)學(xué)建模比較，過(guò)去的中學(xué)實(shí)詰問(wèn)題化為數(shù)學(xué)建模缺乏理想化（模型假定）這一重要的設(shè)計(jì)企圖：展現(xiàn)將理想化問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)識(shí)題理想化問(wèn)題化為的數(shù)學(xué)化過(guò)程。求解數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)企圖：展現(xiàn)“解?！边^(guò)程。數(shù)學(xué)建模過(guò)程最優(yōu)解的研究什么是牛刀小試小結(jié)與思慮

設(shè)計(jì)企圖：聯(lián)合這一實(shí)詰問(wèn)題的解決過(guò)程，歸納出數(shù)學(xué)建設(shè)計(jì)企圖：1.讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模中的優(yōu)化過(guò)程；設(shè)計(jì)企圖：1.使學(xué)生獲取科學(xué)的數(shù)學(xué)建模理論：數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)模型的見(jiàn)解、數(shù)學(xué)建模的詳細(xì)過(guò)程；設(shè)計(jì)企圖：1.依據(jù)桑代克的練習(xí)律與斯金納的加強(qiáng)原理設(shè)設(shè)計(jì)企圖:1.小結(jié)意在加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模理論，形成知識(shí)組塊；二、講課過(guò)程設(shè)計(jì)講課

教師

學(xué)生

設(shè)計(jì)教

學(xué)

內(nèi)

容環(huán)節(jié)

活動(dòng)

活動(dòng)

意圖現(xiàn)有寬為a的長(zhǎng)方形板材，請(qǐng)將它設(shè)計(jì)制（一）成向來(lái)的張口的長(zhǎng)條形水槽，使水槽能經(jīng)過(guò)的流水量最大。實(shí)質(zhì)教師學(xué)生與大學(xué)問(wèn)題指引聽(tīng)講數(shù)學(xué)建化為學(xué)生思慮模比較，理想閱讀過(guò)去的化問(wèn)理解中學(xué)數(shù)題1.初步理想化問(wèn)題學(xué)建模估計(jì)在單位時(shí)間內(nèi)，該水槽能經(jīng)過(guò)的流水量取，缺乏理時(shí)間決于水流速度和它的橫截面積。我們將問(wèn)題并將想化這2理想化，假定水流速度是必定的。那么，要其理一重要分鐘在單位時(shí)間內(nèi)獲取最大的流水量，就應(yīng)當(dāng)將想化的環(huán)節(jié)。水槽設(shè)計(jì)成橫截面積最大。于是，問(wèn)題化歸本環(huán)節(jié)為：意在恢現(xiàn)有寬為a的長(zhǎng)方形板材，請(qǐng)將它設(shè)計(jì)制成復(fù)數(shù)學(xué)一張口的長(zhǎng)條形水槽，使水槽的橫截面積最建模的大?！闭媲忻?.進(jìn)一步理想化目。假如將水槽的橫截面設(shè)計(jì)成矩形，那么這一實(shí)詰問(wèn)題能夠轉(zhuǎn)變?yōu)槔硐牖瘑?wèn)題：以以下列圖所示，要建筑一個(gè)橫截面為矩形ABCD的水槽,而且AB,BC,CD的長(zhǎng)度之和等于a.問(wèn)應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計(jì)水槽的深度和寬度,使水槽的橫截面積最大?ADBC1.找尋變量以及變量之間的關(guān)系在此問(wèn)題中，水槽的深度是一個(gè)變量，寬展示將（二）度是另一個(gè)變量，橫截面積也是一個(gè)變量。教師學(xué)生理想化設(shè)ABx，BCy.矩形ABCD的面積為S.指引聽(tīng)講問(wèn)題轉(zhuǎn)將理那么，這三個(gè)變量之間的關(guān)系是Sxy.解說(shuō)思慮化為數(shù)想化變量S由兩個(gè)變量x和y確立.假如我們學(xué)識(shí)題問(wèn)題能使面積S表達(dá)式只由一個(gè)變量確立，那么的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變我們研究的問(wèn)題就能夠簡(jiǎn)化，這就需要找尋化過(guò)程。為數(shù)兩個(gè)變量x和y之間的關(guān)系。明顯,學(xué)識(shí)2xya.題2.成立數(shù)學(xué)模型估計(jì)Sx(a2x)時(shí)間將實(shí)詰問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)純數(shù)學(xué)識(shí)題：3a）當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)Sx(a2x)（0x分鐘.2有最大值？因?yàn)镾x(a2x)a22(xa)2a2，848（三）因此，當(dāng)xa時(shí)，S有最大值0.125a2.4此時(shí)，yaa2x.2求解數(shù)學(xué)模型當(dāng)水槽的橫截面設(shè)計(jì)成矩形時(shí)，只需將深度、寬度分別設(shè)計(jì)為a和a時(shí)，可獲取最大的橫42截面積，從而可獲取最大的流水量。解說(shuō)數(shù)學(xué)結(jié)果可將上述數(shù)學(xué)建模的過(guò)程歸納為下邊的估計(jì)框圖1：時(shí)間2

教師學(xué)生展指引聽(tīng)講示分析思慮解解說(shuō)求解模模型過(guò)程分鐘實(shí)詰問(wèn)題理想化問(wèn)題找尋變量關(guān)系成立數(shù)學(xué)模型純數(shù)學(xué)識(shí)題聯(lián)合這（四）教師學(xué)生一實(shí)際求解數(shù)學(xué)模型指引聽(tīng)講問(wèn)題的數(shù)學(xué)解說(shuō)思慮解決過(guò)建模解說(shuō)數(shù)學(xué)結(jié)果程，歸納過(guò)程出數(shù)學(xué)建模的估計(jì)基本過(guò)時(shí)間程，以實(shí)2分現(xiàn)由具鐘.體到抽象的升華。（五）我們前面的設(shè)計(jì)是將橫截面設(shè)計(jì)成矩形，將深度、寬度分別設(shè)計(jì)為a和a時(shí)，可獲取教師學(xué)生1.讓學(xué)42最優(yōu)最大的橫截面積，將學(xué)著手生經(jīng)歷解的假如將水槽的橫截面分別依據(jù)以下列圖中的生疏研究數(shù)學(xué)建研究五種方案進(jìn)行設(shè)計(jì)，結(jié)果又如何呢？成五各自模中的估計(jì)個(gè)小的優(yōu)化過(guò)時(shí)間組，設(shè)計(jì)程；7并巡方案2.培育分鐘視指學(xué)生的導(dǎo)學(xué)探究意生解識(shí)。決問(wèn)題.因?yàn)槿狈?dǎo)數(shù)工具，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用察看、試算、估計(jì)、來(lái)探究方案二的答案.下邊，我們將全班分紅5個(gè)小組，分別研究五個(gè)方案的設(shè)計(jì)。最后派代表報(bào)告本小組的研究結(jié)果.方案一：S1x(ax)sin1x(ax)教師22a21(x1a)2a20.125a2.總結(jié)最優(yōu)822890，且x1a時(shí)，Smax0.125a2.討論解的當(dāng)2研究方案二：S1(2a2asin)acos最后2333總結(jié)a2教師(1sin)cos演示9數(shù)學(xué)估計(jì)（演示數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)）實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)時(shí)間30時(shí)，Smas0.144a2答案,7方案三（四個(gè)底角為67.5的等腰三角形）：并指出運(yùn)分鐘S41aatan67.50.151a2.用導(dǎo)248數(shù)工方案四（五個(gè)底角為72的等腰三角形）：具可以證S51aatan720.154a2.明我2510們的答案方案五：是正確的.

學(xué)生通過(guò)觀代表察、試解說(shuō)算、估計(jì)各自與數(shù)學(xué)方案實(shí)驗(yàn)，培的答養(yǎng)學(xué)生案的合情推理能力和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力.ra,ra.S1r2a20.159a2.22經(jīng)過(guò)比較以上五種方案和橫截面設(shè)計(jì)為矩形時(shí)的狀況能夠得出，方案五是這個(gè)實(shí)質(zhì)問(wèn)題的最優(yōu)解，即：將水槽的橫截面設(shè)計(jì)為半徑為a的半圓形時(shí)，從而可獲取最大的流水量。以上我們進(jìn)行了六種設(shè)計(jì)方案的研究后，才找到了該問(wèn)題的最優(yōu)解。這就表示，數(shù)學(xué)建模需要對(duì)所獲取的結(jié)果進(jìn)行查驗(yàn)討論，以確教師學(xué)生1.使學(xué)認(rèn)結(jié)果能否合理，是不是較好的結(jié)果。假如解說(shuō)聽(tīng)講生獲?。┙Y(jié)果不滿意，就需要從頭回到“理想化問(wèn)題”歸納思慮科學(xué)的這一環(huán)節(jié)。于是，我們就能夠歸納出一個(gè)較數(shù)學(xué)建什么為圓滿的數(shù)學(xué)建模過(guò)程的框圖。模理論：是框圖2：數(shù)學(xué)建數(shù)學(xué)模與數(shù)建模學(xué)模型的見(jiàn)解、估計(jì)數(shù)學(xué)建時(shí)間模的具6體過(guò)程；分鐘2.領(lǐng)悟數(shù)學(xué)以不變應(yīng)萬(wàn)變的實(shí)詰問(wèn)題從頭理想化理想化問(wèn)題純數(shù)學(xué)識(shí)題求解數(shù)學(xué)模型結(jié)果不理想結(jié)果能否合理是問(wèn)題獲取解決

找尋變量及關(guān)系成立數(shù)學(xué)模型

魅力；3.填補(bǔ)《標(biāo)準(zhǔn)》中數(shù)學(xué)的建模理論的不足。依據(jù)這個(gè)框圖，我們就能夠往返答什么是數(shù)學(xué)建模？數(shù)學(xué)建模(MathematicalModelling)：就是運(yùn)用數(shù)學(xué)化的手段從實(shí)詰問(wèn)題中提煉、抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，查驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?，從而使這一實(shí)詰問(wèn)題得以解決的過(guò)程。數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)來(lái)描繪客觀事物的特點(diǎn)及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)構(gòu)造表達(dá)式。比方，各樣函數(shù)、方程、不等式、不等式組等等都是比較常有的數(shù)學(xué)模型。世界上最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型是表示數(shù)的字母a.數(shù)學(xué)模型“a”有雙方面的含義：作為結(jié)果，她表示的是一個(gè)確立的數(shù)值，能夠參加運(yùn)算；作為過(guò)程，她表示的是一個(gè)變量：小大由之；可正可負(fù)；能夠是有理數(shù)也能夠使無(wú)理數(shù)。因?yàn)閿?shù)學(xué)模型擁有高度的抽象性、歸納性和構(gòu)造確實(shí)定性，因此數(shù)學(xué)模型能以不變應(yīng)萬(wàn)變。不論是中文仍是英文，一個(gè)字所能表達(dá)的意義十分有限，但我們的數(shù)學(xué)模型“a”卻能夠表示無(wú)量無(wú)盡的對(duì)象——流動(dòng)的世界。又比方說(shuō)勾股定理，這一模型能夠用來(lái)辦理數(shù)以億計(jì)的實(shí)詰問(wèn)題。從小到斜邊長(zhǎng)為一微米的直角三角形到大至斜邊長(zhǎng)為十萬(wàn)八千里的直角三角形，只假如直角三角形，它們竟然都知足相同的構(gòu)造模型：斜邊的平方等于兩條直角邊的平方之和.我不知道，這個(gè)世界上還有什么學(xué)科象數(shù)學(xué)這樣這樣簡(jiǎn)短，這樣歸納，這樣一致。我只知道：“數(shù)學(xué)的魅力在于，她能以堅(jiān)固的模式駕御流動(dòng)的世界！”（七）牛刀小試估計(jì)時(shí)間14分鐘

以以下列圖，某房地產(chǎn)企業(yè)擁有一塊“缺角矩形”荒地ABCDE，邊長(zhǎng)和方向以以下列圖，欲在這塊地上建一座地基為長(zhǎng)方形東西走向的公寓，請(qǐng)劃出這塊地基，并求地基的最大面積.北A100mE西東60m80mBC70mD數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

1.依據(jù)練習(xí)律教師學(xué)生和強(qiáng)化解說(shuō)著手原理，強(qiáng)說(shuō)明解決化剛剛問(wèn)題.問(wèn)題獲取的最后數(shù)學(xué)建演示模理論；數(shù)學(xué)2.培育實(shí)驗(yàn).學(xué)生的問(wèn)題解決能力。1.小結(jié)1.小結(jié)這節(jié)課，我們經(jīng)過(guò)解決一個(gè)實(shí)詰問(wèn)題，意在強(qiáng)（八）帶大家走進(jìn)了數(shù)學(xué)建模世界。教師學(xué)生化數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模就是；解說(shuō)內(nèi)化建模理小結(jié)數(shù)學(xué)模型就是；點(diǎn)化數(shù)學(xué)論，形成與數(shù)學(xué)建模的詳細(xì)過(guò)程.建模知識(shí)組課后我們還感覺(jué)到了理論塊；思慮“數(shù)學(xué)的魅力在于，2.設(shè)計(jì)她能以堅(jiān)固的模式駕御流動(dòng)的世界！”四個(gè)課估計(jì)2.課后思慮后思考時(shí)間（1）將各方案中的圖形沿虛線向上翻折，并察看思問(wèn)題，目2考：周長(zhǎng)為2a的凸多邊形，什么時(shí)候面積最大？教師學(xué)生的是培分鐘（2）家庭物理小實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)思慮養(yǎng)學(xué)生先將一條長(zhǎng)度固定的嬌貴絲線的兩端連結(jié)起問(wèn)題準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)來(lái)，再將此關(guān)閉的曲線輕輕放在一個(gè)蒙有肥皂膜的解決探究能正方形（邊長(zhǎng)約5cm）鐵絲框上的肥皂膜上（注意，問(wèn)題1:問(wèn)題力、著手是讓學(xué)別弄破肥皂膜！），最后用小釘將曲線內(nèi)的肥皂膜刺生研究實(shí)踐能發(fā)現(xiàn)周問(wèn)題2:破。你察看到什么現(xiàn)象，說(shuō)了然什么問(wèn)題？長(zhǎng)必定讓學(xué)生力和數(shù)的凸多通過(guò)動(dòng)邊形中手實(shí)踐學(xué)創(chuàng)新（3）請(qǐng)你幫助吉東皇后解決問(wèn)題發(fā)現(xiàn)周，正多邊形的長(zhǎng)一定意識(shí)。吉東是泰雅皇帝的女兒，歷經(jīng)周折，逃到非洲，的圖形面積最大.中，圓且成為迦太基的創(chuàng)始人和第一位奇怪的皇后。剛到的面積非洲時(shí)，吉東要在靠海岸線的地方購(gòu)置“一張獸皮”最大.問(wèn)題3：是等周問(wèn)的土地：她把獸皮剪成細(xì)條，結(jié)成長(zhǎng)繩，剩下的問(wèn)題在解決實(shí)詰問(wèn)題題是：怎么圍，才會(huì)獲取最多的土地呢？中的應(yīng)用.（4）用數(shù)學(xué)家的目光看世界問(wèn)題4：是將平面音樂(lè)家關(guān)注聲響，文學(xué)家關(guān)注人性，而數(shù)學(xué)家內(nèi)的等周問(wèn)題拓展則本能關(guān)注對(duì)象的數(shù)目關(guān)系、空間形式和構(gòu)造。用到了空間.數(shù)學(xué)家的目光看世界，就是從數(shù)學(xué)的角度察看，感受，認(rèn)識(shí)，描繪客觀對(duì)象，從而提出創(chuàng)辦性的問(wèn)題。少兒嬉戲時(shí)吹出的肥皂泡，老是一個(gè)個(gè)在空中起舞的彩球；水銀落在桌面上，老是呈球形轉(zhuǎn)動(dòng)；清早荷萍樹(shù)葉上的露珠，老是聚成一個(gè)個(gè)晶瑩剔透的水珠；冬日里為避寒而盤(pán)成一團(tuán)的看家狗。面對(duì)這些現(xiàn)象，物理學(xué)家想到了表面張力的作用。以數(shù)學(xué)家的目光，你看到了什么？你有什么勇敢的猜想？【板書(shū)設(shè)計(jì)】（此略）附：本講課方案的創(chuàng)新之處1.數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)新課程的新增內(nèi)容，但卻沒(méi)有教材，沒(méi)有詳細(xì)內(nèi)容?！稑?biāo)準(zhǔn)》中建議由教師靈巧掌握，但教師們感覺(jué)不好掌握。本節(jié)課經(jīng)過(guò)一個(gè)較為真切的數(shù)學(xué)建模事例，彌補(bǔ)了教材與《標(biāo)準(zhǔn)》的這一不足，并充分圓滿了《標(biāo)準(zhǔn)》中的數(shù)學(xué)建模理論。與大學(xué)數(shù)學(xué)建模比較，過(guò)去的中學(xué)數(shù)學(xué)建模缺乏理想化（模型假定）這一重要的環(huán)節(jié)。本設(shè)計(jì)恰巧解決了這一問(wèn)題，恢復(fù)了數(shù)學(xué)建模的真切面目