結構力學之矩陣位移法

本文格式為Word版，下載可任意編輯——結構力學之矩陣位移法第十二章矩陣位移法

圖a所示連續(xù)梁，EI=常數(shù)，只考慮桿件的彎曲變形。分別用位移法和矩陣位移法計算。

圖12-1

解：（1）位移法解

?基本未知量和基本結構的確定

用位移法解的基本結構如圖c所示。這里我們將結點1處的轉角也作為基本未知數(shù)，這樣此題僅一種基本單元，即兩端固定梁。

?位移法基本方程的建立

K11?1?K12?2?K13?3?R1P?0??K21?1?K22?2?K23?3?R2P?0?K31?1?K32?2?K33?3?R3P?0??將上式寫成矩陣形式

?K11?K?21??K31K12K22K32K13???1??R1P??0???????K23???2???R2P???0?

???????K33????3??R3P??0??系數(shù)項和自由項計算（須繪出單位彎矩圖和荷載彎矩圖）

由圖d，結點力矩平衡條件

?M?0，得?M?0，得

K11?4EIl，K21?2EIl，K31?0

由圖e，結點力矩平衡條件

K12?2EIl，K22?4EIl?4EIl?8EIl，K32?2EIl

由圖f，結點力矩平衡條件

?M?0，得?M?0，得

K13?0，K23?2EIl，K33?4EIl?4EIl?8EIl

由圖g，結點力矩平衡條件

R1p??Pl8，R2P??Pl8，R3P?0

將系數(shù)項和自由項代入位移法基本方程，得

??1??0??420???1?EI???Pl????282???2????1???0??l?8???0??0???????028????3???1?Pl2???解方程，得??2?????416EI?3??11????4???1????由疊加法繪彎矩圖，如圖h所示。

（2）矩陣位移法解

?對單元和結點編號（圖a）此題只考慮彎曲變形的影響，故連續(xù)梁每個結點只有一個角位移未知數(shù)。若用后處理法原始結構剛度陣為4?4階；用先處理法結構剛度陣為3?3階（已知角位移?4?0）。下面采用先處理法來說明矩陣位移法計算過程。單元標準形式為（圖b）

?4EI?l(e)?k?2EI??l2EI?l?4EI??l?(e)(e)?kii??(e)?kji(e)?kij?k(jje)??求局部坐標系下的單元剛度矩陣k(e)

因連續(xù)梁的局部坐標和整體坐標是一?求整體坐標下的單元剛度矩陣k(e)?TTk(e)T，致的，所以有k(e)?k(e)，得（注：此題用先處理法換碼）

(1)k(1)EI?l?42??24???1EI?42?(2)，k??2l??24?(2)2EI?42?(3)，k??3l??24?(3)30?按“對號入座〞規(guī)則集成總剛，得

?420?1EI??2282K?l??

??028??3?形成荷載列陣P

(1)計算單元固端列陣

??18?1??14?2??14?3(2)(3)，，PlPlFF(1)?Pl?F?F??????FF18214314??????0（2）將單元固端列陣反號，并按“對號入座〞規(guī)則送入荷載列陣P（此題結點荷載為

零）

?0??18??18?1??????P=PD?PE=?0??Pl??18?14??Pl?18?2

?0???14?14??0?3???????將結構剛度矩陣及荷載列陣代入矩陣位移法方程K??P，得

?18??420???1?EI?????282???2??Pl?18?

?l????0?????028????3???1?Pl2???解方程，得??2?????416EI?3??11????4???1????計算桿端彎矩

F(e)?FF(e)?k(e)?(e)?FF(e)?k(e)?(e)?FF(e)?k(e)T?(e)

F(1)??18?EI?42?Pl2=Pl?????18??l?24?416EI?11?Pl??52?Pl?52?Pl?0?????????????4?416?52?416?38?208?45?F(2)??14?EI?42?Pl2?4?Pl??104?Pl?14?Pl??45?=Pl?????????????????14?l?24?416EI??1?416?104?416?4?208?54???14?EI?42?Pl2??1?Pl??104?Pl??4?Pl??54?=Pl????24?416EI?0??416?104??416??2??208?51?14l????????????F(3)得各單元桿端彎矩后，再疊加上一相應簡支彎矩圖即得各單元彎矩圖。將各單元彎矩圖組合在一起，得整個結構的彎矩圖（圖h）。

小結：通過此題的計算可看到：（1）基本未知量和基本結構。位移法與矩陣位移法二者都是以結點位移為基本未知量，以單根桿件（單元）為計算對象。位移法為便利計算，有三類桿件；而矩陣位移法只有一類桿件，即兩端固定等截面梁。

（2）剛度矩陣與荷載列陣的形成。位移法是用單位彎矩圖和荷載彎矩圖并由結點的平衡條件計算系數(shù)項和自由項的，而后形成剛度矩陣與荷載列陣的；而矩陣位移法是以單元桿端剛度元素、單元桿端荷載元素，按“對號入座〞規(guī)則形成剛度矩陣與荷載列陣的。矩陣位移法基本方程的建立，歸結為兩個問題：一是根據(jù)結構的幾何和彈性性質建立整體剛度矩陣K，二是根據(jù)受載狀況形成整體荷載列陣P。（3）有（1）、（2）可知，二者的關系是：“原理同源，作法有別〞。因此矩陣位移法不是一個新方法，它是新的計算工具（電子計算機）與傳統(tǒng)力學原理（位移法）相結合的產(chǎn)物。

試求圖a所示結構原始剛度矩陣中的子塊K22，已知單元①的整體坐標的單元剛度矩陣如圖c所示。

圖12-2

解：此題每個結點有兩個基本位知量（豎向線位移和角位移），如圖b所示。單元剛度矩陣為4?4階（圖c）。由圖d所示子塊形式，K22的元素應為單元①的j端元素（圖c右下角子塊）與單元②i端元素（圖c左上角子塊乘以2）之和，即

(2)(1)(2)K22?K(jj1)?Kii?K22?K22

?3600??1447200??2163600??72???????????360020000??720230000??360060000?只計彎曲變形時，用先處理法寫出結構剛度矩陣K。(設EI=1)圖12-3

解：由圖d及先處理法結點位移編號圖c寫出各單元剛度矩陣，并按“對號入座〞規(guī)則集成整體剛度矩陣。

k(1)1.5?1.51.5?1?1.5?0.751.5?0.751.5?0??1.52.0?1.51.0?24?1.52?0,k(2)?1.5???????1.5?1.51.5?1.5?0??0.75?1.50.75?1.5?1????1.0?1.52.0?32?1.54?2?1.5?1.5?0.8891.333?0.8891.333?0?0?1.333?2.667?1.3331.3333,K??????1.5??0.889?1.3330.889?1.333?0???1.3331.333?1.3332.6674?0??k(3)0?1?2.2501.5610?2?

14.6671.333?3?01.3332.667?4用先處理法寫出圖a所示結構剛度矩陣K,E=常數(shù)。不計軸向變形影響。

圖12-4

解：此題雖然是剛架，但不計軸向變形影響，即每一個結點只有一個角位移未知量。根據(jù)圖b所示結點位移編號，則整體剛度矩陣為3?3階。由于每個單元桿端只有角位移未知量，故單元剛度矩陣為2?2