第二節(jié)二重積分的計算法

第二節(jié)二重積分的計算法一問題的提出二利用直角坐標(biāo)計算二重積分三利用極坐標(biāo)計算二重積分四小結(jié)與思考判斷題(Calculationofdoubleintegral)4/7/20231按定義:二重積分是一個特定乘積和式極限然而，用定義來計算二重積分，一般情況下是非常麻煩的.那么，有沒有簡便的計算方法呢?這就是我們今天所要研究的課題。下面介紹:一問題的提出4/7/20232二、利用直角坐標(biāo)計算二重積分

二重積分僅與被積函數(shù)及積分域有關(guān),為此,先介紹：

1、積分域D:4/7/20233如果積分區(qū)域為：（1）、X-型域［X－型］放大圖象

X型區(qū)域的特點：a、平行于y軸且穿過區(qū)域的直線與區(qū)域邊界的交點不多于兩個；b、4/7/20234（2）、Y-型域：［Y－型］放大

Y型區(qū)域的特點：a、穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界的交點不多于兩個。b、4/7/202352、X-型域下二重積分的計算:由幾何意義，若?(x,y)≥0，則此為平行截面面積為已知的立體的體積.截面為曲邊梯形面積為：4/7/20236yZ4/7/20237注:若?(x,y)≤0仍然適用。注意:1）上式說明:二重積分可化為二次定積分計算;2）積分次序:X-型域先Y后X;3）積分限確定法:

域中一線插,內(nèi)限定上下，域邊兩線夾，外限依靠它。為方便，上式也常記為：4/7/202383、Y-型域下二重積分的計算：同理：［Y－型域下］4/7/20239

1）積分次序:Y-型域,先x后Y;

2）積分限確定法:

“域中一線插”,須用平行于X軸的射線穿插區(qū)域。注意:4/7/202310

注意：二重積分轉(zhuǎn)化為二次定積分時，關(guān)鍵在于正確確定積分限,一定要做到熟練、準(zhǔn)確。4、利用直系計算二重積分的步驟（1）畫出積分區(qū)域的圖形,求出邊界曲線交點坐標(biāo)；（3）確定積分限，化為二次定積分；（2）根據(jù)積分域類型,確定積分次序；（4）計算兩次定積分，即可得出結(jié)果.4/7/202311解：［X－型］4/7/202312［Y－型］4/7/202313例2解：X-型4/7/202314例3解：（如圖）將D作Y型-124/7/2023155、若區(qū)域為組合域，如圖則：06、如果積分區(qū)域既是X－型，又是[Y－型],則有4/7/202316解：積分區(qū)域如圖xyo231原式4/7/202317解：原式4/7/202318例6解：先去掉絕對值符號，如圖4/7/202319縮小圖象［X－型］7小結(jié)4/7/202320返回［Y－型］4/7/202321三利用極坐標(biāo)系計算二重積分當(dāng)一些二重積分的積分區(qū)域D用極坐標(biāo)表示比較簡單，或者一些函數(shù)它們的二重積分在直角坐標(biāo)系下根本無法計算時，我們可以在極坐標(biāo)系下考慮其計算問題。4/7/2023221直系與極系下的二重積分關(guān)系（如圖）（1）面積元素變換為極系下：（2）二重積分轉(zhuǎn)換公式：4/7/202323（3）注意：將直角坐標(biāo)系的二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積分需要進(jìn)行“三換”：4/7/2023242極系下的二重積分化為二次積分用兩條過極點的射線夾平面區(qū)域，由兩射線的傾角得到其上下限任意作過極點的半射線與平面區(qū)域相交，由穿進(jìn)點，穿出點的極徑得到其上下限。將直系下的二重積分化為極系后，極系下的二重積分仍然需要化為二次積分來計算。4/7/202325（1）區(qū)域如圖1具體地（如圖）圖14/7/202326（2）區(qū)域如圖2圖24/7/202327（3）區(qū)域如圖3圖34/7/202328（4）區(qū)域如圖4圖44/7/202329解4/7/202330解4/7/2023314/7/2023324/7/202333解4/7/2023344/7/202335解在極系下：（如圖）4/7/202336o2aD4/7/202337解4/7/202338計算二重積分應(yīng)該注意以下幾點：四小結(jié)先要考慮積分區(qū)域的形狀，看其邊界曲線用直系方程表示簡單還是極系方程表示簡單，其次要看被積函數(shù)的特點，看使用極坐標(biāo)后函數(shù)表達(dá)式能否簡化并易于積分。首先，選擇坐標(biāo)系。其次，化二重積分為二次積分。根據(jù)區(qū)域形狀和類型確定積分次序，從而穿線確定內(nèi)限，夾線確定外限。最后，計算二次積分。