必修5第三章總結(jié)與試題

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第三章不等式

一.本章的知識網(wǎng)絡(luò)

不等式的有關(guān)概念

實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，不等式的基本性質(zhì)及應(yīng)用

不等關(guān)系與不等式

比較大小

比較法

用一元二次方程的根，二次函數(shù)的圖像，

一元二次不等式的解之間的關(guān)系求解

一元二次不等式的解法

一元二次不等含有參數(shù)的一元二次不等式的解法

一元二次不等式的概念式及其解法一元二次方程根的分布

一元二次不等式的應(yīng)用實(shí)際應(yīng)用問題

二元一次不等式(組)與平面區(qū)域

相關(guān)概念

二元一次不等式（組）

簡單線性規(guī)劃與簡單線性規(guī)劃問題

二元一次線性規(guī)劃問題中，最優(yōu)解的求法

基本不等式:

簡單線性規(guī)劃在實(shí)際生活中的應(yīng)用

不等式基本不等式:若a,b都是正數(shù),則a?b?2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí),等號成立ab?a?b2基本不等式與最大（?。┲嫡龜?shù)x,y,若x?y?s(定值)，則當(dāng)x?y時(shí)，s2積xy取得最大值4正數(shù)x,y,若xy?p(定值),則x?y時(shí),和x?y取得最小值2p二．方法技巧歸納

1.比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小最基本的方法是比較法:a.作差比較法

(1).依據(jù)：a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b.(2).步驟：作差變形判斷符號結(jié)論.

其中變形是關(guān)鍵，一般通過因式分解、通分、配方、分母有理化等變形手段，將差變形為幾個(gè)因式積的形式或配成完全平方形式。b.作商比較法

(1).依據(jù)：若a?0,b?0,則

aaa?1?a?b;?1?a?b;?1?a?b.bbb變形判斷商與1的大小結(jié)論.

(2).步驟：作商2.含參數(shù)的一元二次不等式的解法

解含參數(shù)的一元二次不等式，與解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分類探討思想的應(yīng)用。其探討標(biāo)準(zhǔn)是：

(1),對二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行大于零、小于零、等于零的分類探討；

(2).當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于零時(shí)，再對判別式進(jìn)行大于零、小于零、等于零的分類探討；(3).當(dāng)判別式大于零時(shí)，再對兩根的大小比較進(jìn)行探討，最終確定出解集。

3.一元二次不等式恒成立狀況小結(jié)：

?a?0ax2?bx?c?0(a?0)恒成立??.???0?a?0ax2?bx?c?0(a?0)恒成立??.??0?4.二元一次不等式表示平面區(qū)域的判斷方法

對于直線Ax?By?C?0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x,y)，代數(shù)式Ax?By?C的符號一致，所以只需在直線某一側(cè)任取一點(diǎn)(x0,y0)代入Ax?By?C，由Ax0?By0?C的符號即可判斷出Ax?By?C?0(或?0)表示的是直線哪一側(cè)的點(diǎn)集。

當(dāng)直線Ax?By?C?0中的C?0時(shí)（即直線不過原點(diǎn)時(shí)），可選取(0,0)作為特別點(diǎn)代入判斷，這尋常叫做“直線定界，原點(diǎn)定域〞。當(dāng)C?0時(shí)（即直線過原點(diǎn)時(shí)）,可選取(1,0)，

(?1,0)，(0,1)，(0,?1)等點(diǎn)作為特別點(diǎn)代入判斷。

畫出二元一次方程Ax?By?C?0表示的直線定邊界，其中要注意實(shí)線或虛線。5.解決線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟：

審題轉(zhuǎn)化求解作答

6.利用基本不等式求最值時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)各項(xiàng)或各因式必需為正數(shù)；

(2)各項(xiàng)或各因式的和(或積)必需為常數(shù)；(3)各項(xiàng)或各因式能夠取相等的值。

以上三個(gè)條件常簡稱為“一正，二定，三相等〞，三者缺一不可，在應(yīng)用時(shí)應(yīng)特別注意。常用方法有：拆項(xiàng)法、分開常數(shù)法。

不等式單元測試題

一、選擇題

1．a(chǎn),b是任意實(shí)數(shù)，且a?b，則以下結(jié)論正確的是（）

A.a2?b2B.

b1?1C.lg(a?b)?lgD.3?a?3?baa?b2．以下各一元二次不等式中，解集為空集的是（）

A．(x+3)(x－1)>0B．(x+4)(x－1)0

3．不等式ax?bx?2?0的解集是{x|?211?x?}，則a?b等于（）23A．-14B．14C．-10D．10

4．若0＜a＜1，則不等式（x－a）(x－

1)>0的解集是（）a11A．(a，)B．(，a)

aa11C．(－∞，a)∪(，+∞)D．(－∞，)∪(a，+∞)

aa?y?x?5．設(shè)變量x、y滿足約束條件?x?y?2，則目標(biāo)函數(shù)z?2x?y的最小值為

?y?3x?6?()

A．2B．3C．4D．9

14

6．設(shè)x,y為正數(shù),則(x+y)(+)的最小值為()

xy

A.6B.9C.12D.15

7．不等式

2?x?1的解集是（）x?2A、(?3,?2)?(0,??)

C、(?3,0)

B、(??,?3)?(?2,0)D、(??,?3)?(0,??)

8．已知平面區(qū)域D由以A(1，3)，B(5,2)，C(3,1)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部及邊界組成，若在

區(qū)域D上有無窮多個(gè)點(diǎn)(x,y)可使目標(biāo)函數(shù)z?x?my取得最小值，則m等于()

A.－2B.－1C.1D.4

二、填空題

9．不等式x?x?2?0解集是__________.

?x?y?2≤0b?2?10．動(dòng)點(diǎn)P(a，b)在不等式組?x?y≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，則??a?1?y≥0?2的取值范圍是_____________．

211.已知x?0，當(dāng)x?_______時(shí)，x?81的最小值，最小值是x214+≥m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是xy12．已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)x、y滿足x+y=4,則使不等式__________.三、簡答題

13.正數(shù)a,b,c，滿足a?b?c

14.設(shè)f(x)??1，求證：(1?a)(1?b)(1?c)?8abc

16x(x?0).2x?8（1）求f(x)的最大值.

（2）證明對任意實(shí)數(shù)a,b，恒有f(a)?b?3b?

221.415.如下圖，公園要把一塊邊長為2a的等邊三角形地ABC修成草坪，DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上.（1）設(shè)AD?x(x?a),DE?y,試用x表示函數(shù)y.

（2）假使DE是澆灌水管，希望它最短，DE的位置應(yīng)當(dāng)在哪里？

AxDB

答案

一、選擇題

DCACBBAC二、填空題

EyC

（-?，-2）?（1，??）9.;10．(??,?2]?[2,??);11.?3,1812.(－∞,

三、簡答題

13.證明：?a?b?c?1

?1?a?b?c1?b?a?c1?c?a?b?a?0b?0c?0?b?c?2bc?0a?c?2ac?0a?b?2ab?0

9］4?(b?c)(a?c)(a?b)?8abc即(1?a)(1?b)(1?c)?8abc

14.（1）解：f(x)?16x16?.28x?8x?x?x?0

?x?888?2x??42（當(dāng)且僅當(dāng)x?，即x?22時(shí)，取\?\）.

xxx?當(dāng)x?22時(shí)，x?8有最小值，f(x)有最大值22x（2）證明：令g(b)?b?3b??當(dāng)b?221,b?R.43時(shí)，g(b)min?3.2?f(x)max?22,?g(b)min?f(x)max?對任意實(shí)數(shù)a,b,恒有f(a)?b?3b?221.4

15.解:（1）??ABC的邊長為2a，D在AB上且x?a，

?a?x?2a

?S?ADE?1S?ABC2111?x?AEsin600??(2a)2sin600.2222a2?AE?

x在?ADE中，由余弦定理得

4a4y?x?AE?2x?AE?cos60?x?2?2a2.

x222024a4?y?x?2?2a2(a?x?2a)

x244a424a2（2）?x?2?2x?2?4a

xx24a4（當(dāng)且僅當(dāng)?x?2，即x?2a時(shí)，取\?\），

x24a42?當(dāng)x?2a時(shí)，x?2的最小值為4a.

x2?當(dāng)x?2a時(shí)，ymin?2a.

2a時(shí)，線段DE最短.

?以A為基點(diǎn)，分別在AB、AC上截取AD?AE?

（2）證明：令g(b)?b?3b??當(dāng)b?221,b?R.43時(shí)，g(b)min?3.2?f(x)max?22,?g(b)min?f(x)max?對任意實(shí)數(shù)a,b,恒有f(a)?b?3b?221.4

15.解:（1）??ABC的邊長為2a，D在AB上且x?a，

?a?x?2a

?S?ADE?1S?ABC2111?x?AEsin600??(2a)2sin600.2222a2?AE?

x在?ADE中，由余弦定理得

4a4y?x?AE?2x?AE?cos60?x?2?2a2.

x222024a4?y?x?2?2a2(a