線性代數(shù)答案3章習(xí)題

第一節(jié)向量的概念及其運(yùn)算一.已知解:第三章習(xí)題答案解:二.已知向量滿足關(guān)系式求解:三.

已知向量滿足關(guān)系式：其中四、

把向量表示為其余向量的線性組合1、2、解：

1、設(shè)解線性方程組則有:2、設(shè)解線性方程組則有:解方程組得：第二節(jié)線性相關(guān)與線性無關(guān)一.用定義判斷下列向量組的線性相關(guān)性(1)解:線性相關(guān)2、解:所以向量組線性無關(guān).二.判斷向量組的線性相關(guān)性，并說明理由1、解:線性無關(guān)兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量不成比例2、解:線性相關(guān)包含零向量的向量組線性相關(guān)3、解:所以向量組線性無關(guān)4、因?yàn)橄蛄總€(gè)數(shù)大于向量維數(shù)，所以向量組線性解:相關(guān)。三.

判斷題1、

若線性無關(guān)，且則√（）√3、

包含零向量的向量組必線性無關(guān)。（）2、

單獨(dú)的一個(gè)零向量是線性相關(guān)的。（）×√4、

一個(gè)向量組若線性無關(guān)，則它的任何部分組都線性無關(guān)。（）5、

設(shè)是互不相等的數(shù)，則向量組是線性無關(guān)的?！粒ǎ?、

向量組線性相關(guān)，則向量必可√7、

若向量組線性無關(guān)，則其中任意一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示。（）由線性表示。（）四.

填空題1、

向量線性無關(guān)的充要條件是兩向量線性相關(guān)的充要條件是

。則__.對(duì)應(yīng)分量成比例2、若向量組線性相關(guān)，則線性

關(guān)。相3、n維單位向量組一定線性

關(guān)。無4、若向量組

線性無關(guān)，則k

.解:要使線性無關(guān),則有5、若向量組線性相關(guān)，則t=

.解:要使線性相關(guān),則有解:要使線性無關(guān),則有6、設(shè)線性無關(guān)，則a，c必滿足關(guān)系式

。7、由m個(gè)n維向量組成的向量組，當(dāng)m

n時(shí)向量組一定線性相關(guān)。（填>，=，<）8、若向量組線性無關(guān)，向量組線性相關(guān)，則向量能由向量組

線性表示。（填“不惟一”或“惟一”）惟一五.

選擇題則

().(Ⅰ)1、設(shè)向量組(A)(Ⅰ)相關(guān)B(Ⅱ)(Ⅱ)相關(guān)(B)(Ⅰ)無關(guān)(Ⅱ)無關(guān)(C)

(Ⅱ)無關(guān)(Ⅰ)無關(guān)(D)(Ⅰ)相關(guān)(Ⅱ)無關(guān)線性無關(guān)的充要條件是().都不是零向量；2、n維向量組(A)(B)中任一向量均不能由其它向量(C)中任意兩個(gè)向量都不成比(D)B線性表示；中有一個(gè)部分組線性無關(guān)；中至少有一個(gè)零向量；3、n維向量組線性相關(guān)的充要(A)(B)中至少有兩個(gè)向量成比例；(C)中任意兩個(gè)向量都不成比例；(D)D中至少有一個(gè)向量可由其它向量條件是().線性表示；一.填空題1、若向量組的秩為3，則向量組線性______.第三節(jié)向量組的秩相關(guān)2、設(shè)向量組(Ⅰ)的秩為向量組(Ⅱ)的秩為相等解:因?yàn)槎蛄拷M等價(jià),則它們的秩相等.應(yīng)填:相等或且(Ⅰ)≌(Ⅱ)，若向量組的秩為4，則向量組線性______.無關(guān)3、若向量組和向量組都是向量組的極大線性無關(guān)組，則=4、已知向量組的秩為2，則t=

。解:r

t.二.求下列向量組的秩，并判斷其線性相關(guān)性解:(必須有解題過程)向量組線性相關(guān)解:向量組線性無關(guān)解:向量組線性無關(guān)四.利用矩陣的初等變換求下列向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組,并將其余向量用此極大線性無關(guān)組線性表示.解:無關(guān)組為：向量組的極大線性且有:解:無關(guān)組為向量組的極大線性且有:3、解:向量組的極大線性無關(guān)組為：且有:一.在向量空間中，求向量在基下的坐標(biāo)。解:第四節(jié)向量空間一.在向量空間中，求向量在基下的坐標(biāo)。解:第四節(jié)向量空間二、已知向量1、將化為單位向量；解:2、向量是否正交？所以正交三.把向量組解:正交化一.選擇題1、設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組綜合練習(xí)題三線性相關(guān)的是（）（A）C（C）（D）（B）解:（A）所以向量組線性無關(guān)一.選擇題1、設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組綜合練習(xí)題三線性相關(guān)的是（）（A）C（C）（D）（B）解:(B)所以向量組線性無關(guān)一.選擇題1、設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組綜合練習(xí)題三線性相關(guān)的是（）（A）C（C）（D）（B）解:(C)所以向量組線性相關(guān)2、設(shè)向量組線性相關(guān)，線性無關(guān)，則（）（A）C（C）（D）（B）解:線性相關(guān)線性無關(guān)3、設(shè)向量組的秩為r，則（

）（A）A（C）（D）（B）中至少有一個(gè)由

r個(gè)向量組部分組線性無關(guān)；成的部分組線性無關(guān)；線性無關(guān)；都線性無關(guān)；4、若向量組的極大線性無關(guān)組，則下列論斷不正確的是（）（A）B（C）（D）（B）5、設(shè)n維向量組（）（A）向量組B（C）（D）任一向量都不能由其余向量線性表示（B）向量組6、設(shè)A為n階方陣，，則在A的n個(gè)（A）必有r個(gè)列向量線性無關(guān)A（C）任意r個(gè)列向量都構(gòu)成極大線性無關(guān)組（D）任何一個(gè)列向量都可以由其它r個(gè)列向量線（B）任意r個(gè)列向量線性無關(guān)列向量中（

）性表出；7、設(shè)A、B為n階方陣，且（A）D（C）（D）（B），則（

）8、已知向量（A）B（C）（D）（B）都是四維列向量，且四列式則行列式（）解:9、

以下說法不正確的是（

）（A）正交向量組必線性無關(guān)；B（C）正交向量組不含零向量；（D）線性無關(guān)向量組不含零向量；（B）線性無關(guān)向量組必正交；解:選項(xiàng)（B）的反例：線性無關(guān)不正交二、已知向量組可以由向量組

線性表示？若可以，寫出，問：向量

是否其表達(dá)式.解:二、已知向量組可以由向量組

線性表示？若可以，寫出，問：向量

是否其表達(dá)式.解:三、設(shè)向量組足什么條件時(shí)向量組線性無關(guān)，問常數(shù)線性相關(guān)？解:設(shè)因?yàn)榫€性無關(guān)要使線性相關(guān)要滿足有非零解四、設(shè)向量組的秩為3，向量組證明：向量組

線性無關(guān)解:設(shè)因?yàn)榫€性無關(guān)所以線性無關(guān)五、設(shè)向量組線性相關(guān)，向量組也線性相關(guān),問向量組解:不一定是否一定線性相關(guān)？試舉例說明之當(dāng)向量組中出現(xiàn)零向量時(shí)，向量組線性相關(guān)，如否則，線性無關(guān)，如六、求下列向量組的秩（提示：需要對(duì)

進(jìn)行討論）解:當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，七.

已知向量組(1)求(2)求向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余解:的秩為3的向量用極大線性無關(guān)組線性表示?！獭獭糖耶?dāng)時(shí)，將矩陣的第3行加到第四行可將第四行化為零行，則向量組的極大線性無關(guān)組為八.

已知3維向量空間中的向量在基(1)求由基

到基

的過渡矩陣；解（1）設(shè)下的坐標(biāo)為與

在基

下的坐標(biāo)

滿足(2)求基.由題設(shè)知（2）由知：九.已知向量組向量組的秩為2,線性表示；證明:（1），且表達(dá)式唯一。（2）(1)根據(jù)向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)可得：的秩為3，證明：能由不能由線性表示。線性表示能由因?yàn)榫€性無關(guān)，則線性無關(guān)，線性相關(guān),又因?yàn)榫€性表示能由用反證法證明：證明：即：(2)代入上式得：不能由線性表示能由線性表示設(shè)由（1），可設(shè)即能由線性表示線性相關(guān).與已知條件矛盾，假設(shè)不成立，故命題成立.九.已知向量組向量組的秩為2,線性表示；（1）（2）的秩為3，證明：能由不能由線性表示。十.已知向量組若各向量組的秩分別為:(Ⅱ)(Ⅲ)R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3,R(Ⅲ)=4