微分方程和差分方程模型

微分方程和差分方程模型第1頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四在研究實際問題時,我們常常不能直接得出變量之間的關系,但卻能容易得出包含變量導數(shù)在內的關系式,這就是微分方程.

在現(xiàn)實社會中,又有許多變量是離散變化的,如人口數(shù)、生產(chǎn)周期與商品價格等,而且離散的運算具有可操作性,差分正是聯(lián)系連續(xù)與離散變量的一座橋梁.

不管是微分方程還是差分方程模型，有時無法得到其解析解(必要時,可以利用計算機求其數(shù)值解),既使得到其解析解,尚有未知參數(shù)需要估計(這是可利用第二章參數(shù)估計方法).

而在實際問題中,討論問題的解的變化趨勢很重要，因此，以下只對其平衡點的穩(wěn)定性加以討論.第2頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四3.1微分方程模型

如果則稱平衡點x0是穩(wěn)定的.稱代數(shù)方程

f(x)=0的實根x=x0為方程(3-1)的平衡點(或奇點).它也是方程(3-1)的解.設第3頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四穩(wěn)定性判別方法由于在討論方程(3-1)的來代替.穩(wěn)定性時，可用易知

x0也是方程(3-2)的平衡點.(3-2)的通解為關于x0是否穩(wěn)定有以下結論：①若則x0是穩(wěn)定的；②

若則x0是不穩(wěn)定的.這個結論對于(4-1)也是成立的.第4頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四關于常微分方程組的平衡點及其穩(wěn)定性,設代數(shù)方程組的實根x=x0,y=y0稱為方程(3-3)的平衡點,記作P0(x0,y0).它也是方程(3-3)的解.第5頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四如果則稱平衡點P0是穩(wěn)定的.下面給出判別平衡點P0是否穩(wěn)定的判別準則.設

則當p＞0且q＞0時,平衡點P0是穩(wěn)定的；當p＜0或q＜0時,平衡點P0是不穩(wěn)定的.第6頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四3.2差分方程模型

對于k階差分方程F(n;xn,xn+1,…,xn+k)=0(3-6)若有xn=x(n),滿足F(n;x(n),x(n+1),…,x(n+k))=0,則稱xn=x(n)是差分方程(3-6)的解,包含個任意常數(shù)的解稱為(3-6)的通解,x0,x1,…,xk-1為已知時稱為(3-6)的初始條件,通解中的任意常數(shù)都由初始條件確定后的解稱為(3-6)的特解.若x0,x1,…,xk-1已知,則形如xn+k=g(n;xn,xn+1,…,xn+k-1)的差分方程的解可以在計算機上實現(xiàn).第7頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四若有常數(shù)a是差分方程(3-6)的解,即F(n;a,a,…,a)=0,則稱

a是差分方程(3-6)的平衡點.

又對差分方程(3-6)的任意由初始條件確定的解

xn=x(n)都有xn→a(n→∞),則稱這個平衡點a是穩(wěn)定的.

一階常系數(shù)線性差分方程

xn+1+axn=b,(其中a,b為常數(shù),且a≠-1,0)的通解為xn=C(-

a)n+b/(a+1)

易知b/(a+1)是其平衡點,由上式知,當且僅當|a|＜1時,b/(a+1)是穩(wěn)定的平衡點.第8頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四二階常系數(shù)線性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r為常數(shù).

當r=0時,它有一特解x*=0；

當r≠0,且a+b+1≠0時,它有一特解x*=r/(a+b+1).

不管是哪種情形,x*是其平衡點.設其特征方程2+a+b=0的兩個根分別為=1,=2.第9頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四

①當1,2是兩個不同實根時,二階常系數(shù)線性差分方程的通解為xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;

②當1,2=是兩個相同實根時,二階常系數(shù)線性差分方程的通解為xn=x*+(C1+C2n)n;

③當1,2=(cos+isin)是一對共軛復根時,二階常系數(shù)線性差分方程的通解為xn=x*+

n(C1cosn+C2sinn

).

易知,當且僅當特征方程的任一特征根|i|＜1時,平衡點x*是穩(wěn)定的.則第10頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四對于一階非線性差分方程xn+1=f(xn)其平衡點x*由代數(shù)方程x=f(x)解出.

為分析平衡點x*的穩(wěn)定性,將上述差分方程近似為一階常系數(shù)線性差分方程時,上述近似線性差分方程與原非線性差分方程的穩(wěn)定性相同.

因此當時,x*是穩(wěn)定的；當時,x*是不穩(wěn)定的.當?shù)?1頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四3.3觀眾廳地面設計1問題的提出在影視廳或報告廳，經(jīng)常會為前邊觀眾遮擋住自己的視線而苦惱。顯然，場內的觀眾都在朝臺上看，如果場內地面不做成前低后高的坡度模式，那么前邊觀眾必然會遮擋后面觀眾的視線。試建立數(shù)學模型設計良好的報告廳地面坡度曲線。第12頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四建立坐標系oo—處在臺上的設計視點bb—第一排觀眾的眼睛到x軸的垂直距離xyadda—第一排觀眾與設計視點的水平距離d—相鄰兩排的排距—視線升高標準x—表示任一排與設計視點的水平距離求任一排x與設計視點o的豎直距離函數(shù)使此曲線滿足視線的無遮擋要求。問題第13頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四2問題的假設觀眾廳地面的縱剖面圖一致，只需求中軸線上地面的起伏曲線即可。同一排的座位在同一等高線上。每個坐在座位上的觀眾的眼睛與地面的距離相等。每個坐在座位上的觀眾的頭與地面的距離也相等。所求曲線只要使觀眾的視線從緊鄰的前一個座位的人的頭頂擦過即可。第14頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四3建模設眼睛升起曲線應滿足微分方程初始條件obxyadd1）從第一排起，觀眾眼睛與o點的連線的斜率隨排數(shù)的增加而增加，而眼睛升起曲線顯然與這些直線皆相交，故此升起曲線是凹的。第15頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四2）選擇某排和相鄰排oyx-dC(x,0)C2(x+d,0)MM2M1xN1ABN相似于D第16頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四再計算相似于第17頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四4模型求解微分不等式（比較定理）設函數(shù)定義在某個區(qū)域上，且滿足1）在D上滿足存在唯一性定理的條件；2）在D上有不等式則初值問題與的解在它們共同存在區(qū)間上滿足第18頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四第19頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四所求曲線的近似曲線方程（折衷法）折衷法第20頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四5總結與討論有時只需求近似解。方法利用微分不等式建模；模型討論obxyadd1）視點移動時升起曲線如何求得？2）怎樣減少地面的坡度？調整參數(shù)、相鄰排錯位。3）衡量經(jīng)濟的指標？座位盡量多、升起曲線占據(jù)的空間盡量少等。第21頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四

3.4碳定年代法考古、地質學等方面的專家常用14C測定法（通常稱碳定年代法）來估計文物或化石的年代。

第22頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四

14C的蛻變規(guī)律14C是一種由宇宙射線不斷轟擊大氣層，使大氣層產(chǎn)生中子，中子與氮氣作用生成的具有放射性的物質。這種放射性碳可氧化成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而植物又作為動物的食物，于是放射性碳被帶到各種動植物體內。14C是放射性的，無論在空氣中還是在生物體內他都在不斷蛻變，這種蛻變規(guī)律我們可以求出來。通常假定其蛻變速度與該時刻的存余量成正比。第23頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四設在時刻t（年），生物體中14C的存量為x(t),生物體的死亡時間記為t0=0,此時14C含量為x0,由假設，初值問題

（1.1）的解為（1.2）其中，為常數(shù)，k前面的符號表示14C的存量是遞減的。（1.2）式表明14C是按指數(shù)遞減的，而常數(shù)k可由半衰期確定，

第24頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四若14C的半衰期為T,則有

(1.3)將（1.3）代入（1.2）得

即有（1.4）第25頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四碳定年代法的根據(jù)活著的生物通過新陳代謝不斷攝取14C,因而他們體內的14C與空氣中的14C含量相同，而生物死亡之后，停止攝取14C，因而尸體內的14C由于不斷蛻變而不斷減少。碳定年代法就是根據(jù)生物體死亡之后體內14C蛻變減少量的變化情況來判斷生物的死亡時間的。第26頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四碳定年代法的計算由（1.4）解得

(1.5)由于x(0),x(t)不便于測量，我們可把(1.5)作如下修改.對(1.2)式兩邊求導數(shù)，得

(1.6)而(1.7)第27頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四(1.6)和(1.7)兩式相除，得將上式代入(1.5)，得

(1.8)這樣由(1.8)可知，只要知道生物體在死亡時體內14C的蛻變速度和現(xiàn)在時刻t的蛻變速度,就可以求得生物體的死亡時間了，在實際計算上，都假定現(xiàn)代生物體中14C的蛻變速度與生物體死亡時代生物體中14C的蛻變速度相同。第28頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四馬王堆一號墓年代的確定馬王堆一號墓于1972年8月出土，其時測得出土的木炭標本的14C平均原子蛻變數(shù)為29.78/s,而新砍伐木頭燒成的木炭中14C平均原子蛻變數(shù)為38.37/s,又知14C的半衰期為5568年，這樣，我們可以把,，T=5568年代入(1.8)，得這樣就估算出馬王堆一號墓大約是在2000多年前。第29頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四兩個注記（1）馬王堆中的古代科技之謎素紗蟬衣：兩件輕薄的衣服，絲綢，極輕且兩千年不腐，南京云錦研究所接受國家科技攻關，用了二十年時間，于1990年成功研制出類似素紗蟬衣的復制品，但該復制品比漢代的還重50克，已不可能再輕了。女尸千年不腐：病理知識：女尸解剖顯示患有非常嚴重的冠心病；肺部有肺結核的鈣化，肺部鈣化是肺結核痊愈后的表現(xiàn)。2000年后的今天，要想控制肺結核，除自身的第30頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四抵抗力要強外，還要有好的營養(yǎng)，要想痊愈是很困難的。兩處膽結石，其一在膽總管，有蠶豆大，膽道被堵得水泄不通。三種寄生蟲，其中竟有血吸蟲，其癥狀應為腹脹如鼓，骨瘦如柴，但該女子皮下脂肪異常豐滿，顯然血吸蟲被有效的控制住了。該西漢貴婦生前病魔纏身，但從其遺體上未發(fā)現(xiàn)長期臥床養(yǎng)病的跡象。一個同時患有這么多疾病的人，能夠長期穩(wěn)定控制病情，在今天也是一個奇跡，說明漢代醫(yī)術已達到了相當高的水平。。。。。。。。。。第31頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四（2）碳定年代法的不足現(xiàn)在，14C年代測定法已受到懷疑，在2500----10000年前這段時間中與其他斷代法的結果有差異。1966年，耶魯實驗室的MinzeStuiver和加利福尼亞大學圣地亞哥分校的HansE.Suess在一份報告中指出了這一時期使14C年代測定產(chǎn)生誤差的根本原因。在那個年代，宇宙射線的放射強度減弱了，偏差的峰值發(fā)生在大約6000年以前。第32頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四這兩位研究人員的結論出自對Brist/econe松樹所作的14C年代測定的結果，因為這種松樹同時還提供了精確的年輪斷代。他們提出了一個很成功的誤差公式，用來校正根據(jù)14C斷代定出的2300----6000年前這期間的年代：真正的年代=14C年×1.4—900。第33頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四3.4

范.梅格倫偽造名畫案第二次世界大戰(zhàn)比利時解放后，荷蘭保安機關開始搜捕納粹分子的合作者，發(fā)現(xiàn)一名三流畫家H.A.Vanmeegren曾將17世紀荷蘭著名畫家Jan.Vermeer的一批名貴油畫盜賣給德寇，于1945年5月29日通敵罪逮捕了此人。

Vanmeegren被捕后宣稱他從未出賣過荷蘭的利益，所有的油畫都是自己偽造的，為了證實這一切，在獄中開始偽造Vermeer的畫《耶穌在學者中間》。當他的工作快完成時，又獲悉他可能以偽造罪被判刑，于是拒絕將畫老化，以免留下罪證。第34頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四為了審理這一案件，法庭組織了一個由化學家、物理學家、藝術史學家等參加的國際專門小組，采用了當時最先進的科學方法，動用了X-光線透視等，對顏料成份進行分析，終于在幾幅畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代物質諸如現(xiàn)代顏料鈷藍的痕跡。這樣，偽造罪成立，Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在獄中心臟病發(fā)作而死去。但是，許多人還是不相信其余的名畫是偽造的，因為，

Vanmeegren在獄中作的畫實在是質量太差，所找理由都不能使懷疑者滿意。直到20年后，1967年，卡內基梅隆大學的科學家們用微分方程模型解決了這一問題。第35頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四原理著名物理學家盧瑟夫（Rutherford）指出：

物質的放射性正比于現(xiàn)存物質的原子數(shù)。設時刻的原子數(shù)為，則有為物質的衰變常數(shù)。初始條件第36頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四半衰期碳-14鈾-238鐳-226鉛-210能測出或算出，只要知道就可算出這正是問題的難處，下面是間接確定的方法。斷代。第37頁，共45頁，2023年，2月20日，星期四油畫中的放射性物質白鉛（鉛的氧化物）是油畫中的顏料之一，應用已有2000余年，白鉛中含有少量的鉛(Pb210)和更少量的鐳(Ra226)。白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生的，而鉛金屬是經(jīng)過熔煉從鉛礦中提取來出的。當白鉛從處于放射性平衡狀態(tài)的礦中提取出來時，Pb210的絕大多數(shù)來源被切斷，因而要迅速蛻變，直到Pb210與少量的鐳再度處于放射平衡，這時Pb210的蛻變正好等于鐳蛻變所補足的為止。第38頁，共45