高二數(shù)學(xué)必修五

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篇一：高中數(shù)學(xué)必修五知識(shí)點(diǎn)公式總結(jié)

必修五數(shù)學(xué)公式概念

第一章解三角形

1.1正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理

1、正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即正弦定理推論：①

abc

.??

sinAsinBsinC

abc

???2R（R為三角形外接圓的半徑）sinAsinBsinC

asinAbsinBasinA

,?,?②a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC③?

bsinBcsinCcsinC

abca?b?c

???④a:b:c?sinA:sinB:sinC⑤sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC

2、解三角形的概念：一般地，我們把三角形的各個(gè)角即他們所對(duì)的邊叫做三角形的元素。任何一個(gè)三角形都有六個(gè)元素：三條邊(a,b,c)和三個(gè)內(nèi)角(A,B,C).在三角形中，已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形。

4、任意三角形面積公式為：

111abc?bcsinA?acsinB?absinC?ABC

2224R

r

??(a?b?c)?2R2sinAsinBsinC

2S

1.1.2余弦定理

5、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍，即

222222222

a?b?c?2bccosA，b?a?c?2cacosB，c?a?b?2abcosC.

b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2

余弦定理推論：cosA?，cosB?，cosC?

2bc2ac2ab

1.2應(yīng)用舉例

1、方位角：如圖1，從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角。2、方向角：如圖2，從指定線到目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角。（指定方向線是指正北或正南或正西或正東）

3、仰角和俯角：如圖3，與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫做俯角。

（1）方位角（2）方向角（3）仰角和俯角（4）視角4、視角：如圖4，觀測(cè)物體的兩端，視線張開(kāi)的角度稱為視角。5、鉛直平行：于海平面垂直的平面。

6、坡角與坡比：如圖5，坡面與水平面所成的夾角叫坡角，坡面的鉛直高度與水平寬度的比叫坡比?i?

??h?

?.l?

（5）坡角與坡比

其次章數(shù)列

2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

1、數(shù)列的定義：依照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。數(shù)列中的每一項(xiàng)和它的序號(hào)有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（也叫首項(xiàng)），排在其次位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，?，排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)。所以，數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，?，an，?，簡(jiǎn)記為?an?.

2、數(shù)列的通項(xiàng)公式：假使數(shù)列?an?的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

3、數(shù)列的遞推公式：假使已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第2項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開(kāi)始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an?1（或前幾項(xiàng)）（n?2）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。定義式為an?2an?1?1（n?1）

4、數(shù)列與函數(shù)：數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*（或它的有限子集?1,2,3,4,…,n?）為定義域的函數(shù)an?f?n?，當(dāng)自變量依照從大到小的順序依次取值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。通項(xiàng)公式可以看成函數(shù)的解析式。

5、數(shù)列的單調(diào)性：若數(shù)列?an?滿足：對(duì)一切正整數(shù)n，都有an?1?an（或an?1?an），則稱數(shù)列?an?為遞增數(shù)列（或遞減數(shù)列）。

判斷方法：①轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性，求數(shù)列的單調(diào)性；②作差比較法，即作差比較an?1與an的大小；

2.2等差數(shù)列

1、等差數(shù)列的定義：一般地，假使一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。定義式為an?an?1?d（n?2，n?N*）或an?1?an?d（n?N*）

*

3、等差中項(xiàng)判定等差數(shù)列：任取相鄰的三項(xiàng)an?1，an，an?1（n?2,n?N），則an?1，an，an?1成等差數(shù)列?2an?an?1?an?1（n?2）??an?是等差數(shù)列。

4

5*

6、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）若n，m，p，q?N，且m?n?p?q，則am?an?ap?aq；（2）若m?n?2p，則am?an?2ap；

（3）若m，p，n成等差數(shù)列，則am，ap，an成等差關(guān)系；（4）若?an?成等差數(shù)列?an?pn?q（公差為p，首項(xiàng)為p?q）；（5）若?cn?成等差數(shù)列，則?an?也成等差數(shù)列；

（6）假使?an??bn?都是等差數(shù)列，則?pan?q?，?pan?qbm?也是等差數(shù)列。

2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

?S1?n?1?1、一般數(shù)列an與sn的關(guān)系為an??.

?Sn?Sn?1?n?2?

2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式：Sn?

n?a1?an?n?n?1??na1?d

22

n?n?1?dd??

d?n2??a1??n，222??

3、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征：（1）由Sn?na1?令A(yù)?

dd2

，則?an?為等差數(shù)列?Sn?An?Bn（A、B為常數(shù)，其中d?2A，B?a1?，22

a1?a?b）.若A?0，即d?0，則Sn是關(guān)于n的無(wú)常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)。若A?0，即

d?S?

d?0，則Sn?na1.（2）若?an?為等差數(shù)列，?n?也是等差數(shù)列，公差為

2?n?

（3）若?an?為等差數(shù)列，Sk,S2k?SK,S3k?S2k,?也成等差數(shù)列

（4）若Sn?m，Sm?n，則Sm?n???m?n?（5）若Sm?Sn，則Sm?n?0（6）若?an??bn?是均為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別是An與Bn，則有

amA2m?1

?bmB2m?1

（7）在等差數(shù)列?an?中，a1?0，d?0，則Sn存在最大值，a1?0，d?0，則Sn存在最小值。

2.4等比數(shù)列

1、等比數(shù)列：一般地假使一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比尋常用字母q表示?q?0?.定義式：

an

?q，(n?2,an?0,q?0).an?1

Gb

??G2?ab?G?aG

2、等比中項(xiàng)：假使在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比數(shù)列。a，G，b

成等比數(shù)列?

兩數(shù)同號(hào)才有等比中項(xiàng)，且有2個(gè)互為相反數(shù)。3、通項(xiàng)公式：an?a1q

n?1

?

a1n

?q其中首相為a1，公比為q.q

*

4、等比數(shù)列的性質(zhì)：an?amqn?m（n，m?N）.

2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

?na1?q?1??

1、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式：Sn??a1?1?qn?a?aq

1n??q?1??

1?q?1?q

2、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的函數(shù)特征：當(dāng)q?1時(shí)，Sn?

a1?1?qn?1?q

?

a1a

?1qn.記1?q1?q

A?

a1

，即Sn??Aqn?A.1?q

3、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)：在等比數(shù)列中：

（1）當(dāng)Sk，S2k?Sk，S3k?S2k，?均不為零時(shí)，數(shù)列成等差數(shù)列。公比為qk.（2）Sn?m?Sn?qnSm?Sm?qmSn（3）

am

?qm?n或am?an?qm?n（m、n?N*）an

（4）若m?n?p?q，則am?an?ap?aq（5）若?an?為等差數(shù)列，則C

??為等比數(shù)列

an

（6）若?an?為正項(xiàng)等比數(shù)列，則?logCan?是等差數(shù)列（7）若?an?、?bn?均為等比數(shù)列，則??an??

????an?k

??0a、a、a?b、??n?n??nn???等???an??bn?

篇二：高二數(shù)學(xué)必修五數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及解題技巧(含答案)猛烈推薦

數(shù)學(xué)數(shù)列部分知識(shí)點(diǎn)梳理

一數(shù)列的概念

1）數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的公式①Sn?a1?a2???an；an??

?S1(n?1)

?Sn?Sn?1(n?2)

2）數(shù)列的分類：①遞增數(shù)列:對(duì)于任何n?N?,均有an?1?an.②遞減數(shù)列:對(duì)于任何n?N?,均有an?1?an.③搖擺數(shù)列:例如:?1,1,?1,1,?1,?.④常數(shù)數(shù)列:例如:6,6,6,6,??.⑤有界數(shù)

1）通項(xiàng)公式an?a1?(n?1)d，a1為首項(xiàng)，d為公差。前n項(xiàng)和公式Sn?

1n或2

1

n(n?1)d.2

2）等差中項(xiàng)：2A?a?b。Sn?na1?

3）等差數(shù)列的判定方法：⑴定義法：an?1?an?d（n?N?，d是常數(shù)）??an?是等差數(shù)列；⑵中項(xiàng)法：2an?1?an?an?2(n?N?)??an?是等差數(shù)列.

4）等差數(shù)列的性質(zhì)：

⑴數(shù)列?an?是等差數(shù)列，則數(shù)列?an?p?、?pan?（p是常數(shù)）都是等差數(shù)列；

⑵在等差數(shù)列?an?中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，即⑶an?am?(n?m)d；an?an?b(a,b是常數(shù))；Sn?an2?bn(a,b是常數(shù)，

an,an?k,an?2k,an?3k,?為等差數(shù)列，公差為kd.

a?0)

⑷若m?n?p?q(m,n,p,q?N?)，則am?an?ap?aq；

?Sn?

?是等差數(shù)列；?n?

Sa

⑹當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n(n?N?)，則S偶?S奇?nd,偶?n?1；

S奇an

⑸若等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn，則?

S偶n?1

當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n?1(n?N?)，則S奇?S偶?an,.?

S奇

n

(7)設(shè)

(8)設(shè)則有(9)

；

是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則

；

，公差為

，前項(xiàng)和為；

，則

是等差數(shù)列，則

，

（

是常數(shù)）是公差為

，

的等差數(shù)列；

，

(10)其他衍生等差數(shù)列：若已知等差數(shù)列①．

為等差數(shù)列，公差為

②．

）為等差數(shù)列，公差

；

（即

③．（即）為等差數(shù)列，公差為.

二、等比數(shù)列1）通項(xiàng)公式：an?a1qn?1，a1為首項(xiàng)，q為公比。前n項(xiàng)和公式：①當(dāng)q?1時(shí)，Sn?na1

a1(1?qn)a1?anq②當(dāng)q?1時(shí)，Sn?.?

1?q1?q

2）等比中項(xiàng)：G2?a?b。

3）等比數(shù)列的判定方法：⑴定義法：

2

；

an?1

?q（n?N?，q?0是常數(shù)）??an?是等比an

數(shù)列；⑵中項(xiàng)法：an?1?an?an?2(n?N?)且an?0??an?是等比數(shù)列.

4）等比數(shù)列的性質(zhì)：

⑴數(shù)列?an?是等比數(shù)列，則數(shù)列?pan?、?pan?（q?0是常數(shù)）都是等比數(shù)列；

n?m

a?a?q(n,m?N?)nm（2）

（3）若m?n?p?q(m,n,p,q?N?)，則am?an?ap?aq；

（4）若等比數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn，則Sk、S2k?Sk、S3k?S2k、S4k?S3k是等比數(shù)列.（5）設(shè)（6）設(shè)

，

是等比數(shù)列，則

也是等比數(shù)列。

則

也是等比數(shù)列（即等比數(shù)

是等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且

列中等距離分開(kāi)出的子數(shù)列仍為等比數(shù)列）；（7）設(shè)

（8

）設(shè)

則有

；

，公比為

；（即

；

）為

，前項(xiàng)和為

，則

是正項(xiàng)等比數(shù)列，則

，

是等差數(shù)列；，

，

（9）其他衍生等比數(shù)列：若已知等比數(shù)列①．

②．等比數(shù)列，公比為

為等比數(shù)列，公比為

三、解題技巧：

A、數(shù)列求和的常用方法：

1、拆項(xiàng)分組法：即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特別數(shù)列求和。2、錯(cuò)項(xiàng)相減法：適用于差比數(shù)列（假使?an?等差，?bn?等比，那么?anbn?叫做差比數(shù)列）即把每一項(xiàng)都乘以?bn?的公比q，向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。3、裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。適

???1?用于數(shù)列?（其中?an?等差）?？闪秧?xiàng)為：?和a?a?nn?1?

11111?(?)?

an?

an?1danan?1d

B、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題：

1、若等差數(shù)列?an?的首項(xiàng)a1?0，公差d?0，則前n項(xiàng)和Sn有最大值。（?。┤粢阎?xiàng)an，則Sn最大??

?an?0

；

?an?1?0

q

的非零自然數(shù)時(shí)Sn最大；2p

（ⅱ）若已知Sn?pn2?qn，則當(dāng)n取最靠近?

2、若等差數(shù)列?an?的首項(xiàng)a1?0，公差d?0，則前n項(xiàng)和Sn有最小值（?。┤粢阎?xiàng)an，則Sn最小??

?an?0

；

a?0?n?1

q

的非零自然數(shù)時(shí)Sn最??；2p

（ⅱ）若已知Sn?pn2?qn，則當(dāng)n取最靠近?C、根據(jù)遞推公式求通項(xiàng)：1、構(gòu)造法：

1°遞推關(guān)系形如“an?1?pan?q〞，利用待定系數(shù)法求解2°遞推關(guān)系形如“，兩邊同除p

n?1

已知數(shù)列?an?中，a1?1,an?1?2an?3，求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式.

或待定系數(shù)法求解

a1?1,an?1?2an?3n，求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式.

3°遞推已知數(shù)列?an?中，關(guān)系形如“an?2?p?an?1?q?an〞，利用待定系數(shù)法求解4°遞推關(guān)系形如an?pan?1?qanan?,兩邊同除以anan?1（1p,q?0)數(shù)列?an?中，a1?2,an?1?

已知數(shù)列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?3an?1?2an，求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式.已知數(shù)列?an?中，an?an?1?2anan?an?的通項(xiàng)公式.（1n?2),a1?2，求數(shù)列?

2an

(n?N?)，求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式.

4?an

2、迭代法：

a、⑴已知關(guān)系式an?1?an?f(n)，可利用迭加法或迭代法；

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1

已知數(shù)列?an?中，a1?2,an?an?1?2n?1(n?2)，求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式

aaaaa

b、已知關(guān)系式an?1?an?f(n)，可利用迭乘法.an?n?n?1?n?2???3?2?a1

an?1an?2an?3a2a1

an?1

已知數(shù)列?an?滿足：n?(n?2),a1?2，求求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

an?1n?1

3、給出關(guān)于Sn和am的關(guān)系

設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1?a,an?1?Sn?3n(n?N?)，設(shè)

bn?Sn?3n，

求數(shù)列?bn?的通項(xiàng)公式．

五、典型例題：A、求值類的計(jì)算題（多關(guān)于等差等比數(shù)列）1）根據(jù)基本量求解（方程的思想）

已知Sn為等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，a4?9,a9??6,Sn?63，求n；2）根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)求解（整體思想）

已知Sn為等比數(shù)列?an?前n項(xiàng)和，Sn?54，S2n?60，則S3n?.B、求數(shù)列通項(xiàng)公式（參考前面根據(jù)遞推公式求通項(xiàng)部分）C、證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列1)證明數(shù)列等差

已知Sn為等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，bn?

Sn

(n?N?).求證：數(shù)列?bn?是等差數(shù)n

列.

2）證明數(shù)列等比

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}中，若an+Sn=n.設(shè)cn=an－1，求證：數(shù)列{cn}是等比數(shù)列；

D、求數(shù)列的前n項(xiàng)和

求數(shù)列{2n?2n?3}的前n項(xiàng)和Sn.（拆項(xiàng)求和法）求和：S=1+

111????（裂項(xiàng)相消法）1?21?2?31?2?3???n

x2

設(shè)f(x)?，求：⑴f()?f()?f()?f(2)?f(3)?f(4)；2

1?x

⑵f()?f()???f()?f(2023).)?f()?f(2)???f(2023

倒序相加

（

法）

若數(shù)列?an?的通項(xiàng)an?(2n?1)?3n，求此數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.（錯(cuò)位相減法）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=12n－n2，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn.E、數(shù)列單調(diào)性最值問(wèn)題

數(shù)列?an?中，an?2n?49，當(dāng)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn取得最小值時(shí)，n?

練習(xí)

1數(shù)列{an}滿足a1?2，an?an?1?1?0，(n∈N)，則此數(shù)列的通項(xiàng)an等于()

An2?1Bn?1C1?nD3?n2個(gè)數(shù)a,b,c，既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則a,b,c間的關(guān)系為()

Ab?a?c?bBb2?acCa?b?cDa?b?c?03差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)和是()A130B170C210D260

1

4差數(shù)列?an?中，已知a1?,a2?a5?4,an?33，則n為（）.

3

A48B49C50D51

1a?a?a?a

5知等比數(shù)列{an}的公比q??,則1357等于()

3a2?a4?a6?a8

11

A?B?3CD3

33

6各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列?an?中，若a5a6?9,則log3a1?log3a2???log3a10?（）.

A12B10C8D2?lo3g57和81之間插入兩個(gè)正數(shù)，使前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則

這兩個(gè)數(shù)的和等于（）.

A80B70C18D168兩各等差數(shù)列{an}、{bn}前n項(xiàng)和分別為An、Bn，滿足

a11

的值為（）b11

An7n?1?(n?N?)，Bn4n?27

則

A

73478BCD42371

9Sn是等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，S6?36,Sn?324,Sn?6?144(n?6)，則n等于

（）.

A15B16C17D18

1111

10列1,3,5,7,?,前n項(xiàng)和為（）

24816

1111

An2?n?1Bn2?n?1?Cn2?n?n?1

2222

篇三：高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)--必修5

高中數(shù)學(xué)必修5知識(shí)點(diǎn)

第一章：解三角形

1、正弦定理：在???C中，a、b、c分別為角?、?、C的對(duì)邊，R為???C的外接圓的半徑，則有

asin?

?

bsin?

a2R?

csinC

?2R．

2、正弦定理的變形公式：①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC；

②sin??

，sin??

b2R

，sinC?

c2R

；（正弦定理的變形經(jīng)常用在有三角函數(shù)的等式中）

③a:b:c?sin?:sin?:sinC；④

a?b?csin??sin??sinC

sin?sin?sinC

111

?bcsin??absinC?acsin?．222?

a

?

b

?

c

．

3、三角形面積公式：S???C

4、余定理：在???C中，有a2?b2?c2?2bccos?，b2?a2?c2?2accos?，

c?a?b?2abcosC．

2

2

2

5、余弦定理的推論：cos??

b?c?a

2bc

222

，cos??

a?c?b

2ac

222

，cosC?

a?b?c

2ab

222

．

6、設(shè)a、b、c是???C的角?、?、C的對(duì)邊，則：①若a2?b2?c2，則C?90?為直角三角形；

②若a2?b2?c2，則C?90?為銳角三角形；③若a2?b2?c2，則C?90?為鈍角三角形．

其次章：數(shù)列

1、數(shù)列：依照一定順序排列著的一列數(shù)．2、數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)．

3、有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列．

4、無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列．

5、遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．6、遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．

7、常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列．

8、搖擺數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．9、數(shù)列的通項(xiàng)公式：表示數(shù)列?an?的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系的公式．

10、數(shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an?1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系的公式．

11、假使一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)

常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差．

12、由三個(gè)數(shù)a，?，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，則?稱為a與b的等差中項(xiàng)．若

b?

a?c2

，則稱b為a與c的等差中項(xiàng)．

13、若等差數(shù)列?an?的首項(xiàng)是a1，公差是d，則an?a1??n?1?d．

通項(xiàng)公式的變形：①an?am??n?m?d；②a1?an??n?1?d；③d?⑤d?

an?amn?m

an?a1n?1

；④n?

an?a1

d

?1；

．

14、若?an?是等差數(shù)列，且m?n?p?q（m、n、p、q??*），則am?an?ap?aq；若?an?是等差

數(shù)列，且2n?p?q（n、p、q??*），則2an?ap?aq；下角標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)仍是等差數(shù)列；連續(xù)m項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列成等差數(shù)列。15、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式：①Sn?

n?a1?an?

2

；②Sn?na1?

n?n?1?2

d．

16、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)：①若項(xiàng)數(shù)為2n?n??*?，則S2n?n?an?an?1?，且S偶?S奇?nd，

S奇S偶

?anan?1

．②若項(xiàng)數(shù)為2n?1?n??*?，則S2n?1??2n?1?an，且S奇?S偶?an，

S奇S偶

?

nn?1

（其中

S奇?nan，S偶??n?1?an）．

17、假使一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個(gè)

常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．

18、在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，則G稱為a與b的等比中項(xiàng)．若G2?ab，則

稱G為a與b的等比中項(xiàng)．

n?1

19、若等比數(shù)列?an?的首項(xiàng)是a1，公比是q，則an?a1q．

n?m

20、通項(xiàng)公式的變形：①an?amq；②a1?anq

??n?1?

；③q

n?1

?

ana1

；④q

n?m

?

anam

．

*

21、若?an?是等比數(shù)列，且m?n?p?q（m、n、p、q??），則am?an?ap?aq；若?an?是等比數(shù)

*

列，且2n?p?q（n、p、q??），則an?ap?aq；下角標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)仍是等比數(shù)列；連續(xù)m

2

項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列成等比數(shù)列。

?na1?q?1?

?

22、等比數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和的公式：Sn??a1?1?qn?a?aq．

1n??q?1??

1?q?1?q

q?1時(shí)，Sn?

a11?q

?

a11?q

q，即常數(shù)項(xiàng)與q項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)。

nn

23、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)：①若項(xiàng)數(shù)為2n?n??

*

?，則S

S偶

奇

?q．

n

②Sn?m?Sn?q?Sm．③Sn，S2n?Sn，S3n?S2n成等比數(shù)列．

24、an與Sn的關(guān)系：an??

??Sn?Sn?1??S1

?n?2??n?1?

一些方法：

一、求通項(xiàng)公式的方法：

1、由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式：待定系數(shù)法

①若相鄰兩項(xiàng)相減后為同一個(gè)常數(shù)設(shè)為an?kn?b，列兩個(gè)方程求解；

②若相鄰兩項(xiàng)相減兩次后為同一個(gè)常數(shù)設(shè)為an?an2?bn?c，列三個(gè)方程求解；③若相鄰兩項(xiàng)相減后相除后為同一個(gè)常數(shù)設(shè)為an?aq2、由遞推公式求通項(xiàng)公式：

①若化簡(jiǎn)后為an?1?an?d形式，可用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入求解；②若化簡(jiǎn)后為an?1?an?f(n),形式，可用疊加法求解；

③若化簡(jiǎn)后為an?1?an?q形式，可用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式代入求解；

④若化簡(jiǎn)后為an?1?kan?b形式，則可化為(an?1?x)?k(an?x)，從而新數(shù)列{an?x}是等比數(shù)列，用等比數(shù)列求解{an?x}的通項(xiàng)公式，再反過(guò)來(lái)求原來(lái)那個(gè)。（其中x是用待定系數(shù)法來(lái)求得）3、由求和公式求通項(xiàng)公式：

①a1?S1②an?Sn?Sn?1③檢驗(yàn)a1是否滿足an，若滿足則為an，不滿足用分段函數(shù)寫。4、其他

（1）an?an?1?f?n?形式，f?n?便于求和，方法：迭加；

例如：an?an?1?n?1有：an?an?1?n?1a2?a1?3a3?a2?4?

an?an?1?n?1

各式相加得an?a1?3?4???n?1?a1?

n

?b，q為相除后的常數(shù)，列兩個(gè)方程求解；

?n?4??n?1?

（2）an?an?1

2

?anan?1形式，同除以anan?1，構(gòu)造倒數(shù)為等差數(shù)列；

an?an?1anan?1

?2?

1an?1

?

例如：an?an?1?2anan?1，則

?1?

，即??為以-2為公差的等差數(shù)列。an

?an?

1

（3）an?qan?1?m形式，q?1，方法：構(gòu)造：an?x?q?an?1?x?為等比數(shù)列；

例如：an?2an?1?2，通過(guò)待定系數(shù)法求得：an?2?2?an?1?2?，即?an?2?等比，公比為2。（4）an?qan?1?pn?r形式：構(gòu)造：an?xn?y?q?an?1?x?n?1??y?為等比數(shù)列；

nn

（5）an?qan?1?p形式，同除p，轉(zhuǎn)化為上面的幾種狀況進(jìn)行構(gòu)造；

由于an?qan?1?pn，則

anp

n

?

qan?1pp

n?1

?1，若

qp

?1轉(zhuǎn)化為（1）的方法，若不為1，轉(zhuǎn)化為（3）的方

法

二、等差數(shù)列的求和最值問(wèn)題：（二次函數(shù)的配方法；通項(xiàng)公式求臨界項(xiàng)法）

①若?②若?

?ak?0

，則Sn有最大值，當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值k滿足?d?0a?0??k?1

?a1?0?a1?0

?ak?0

，則Sn有最小值，當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值k滿足?d?0a?0??k?1

三、數(shù)列求和的方法：

①疊加法：倒序相加，具備等差數(shù)列的相關(guān)特點(diǎn)的，倒序之后和為定值；

②錯(cuò)位相減法：適用于通項(xiàng)公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式，如：an??2n?1??3；

n

③分式時(shí)拆項(xiàng)累加相約法：適用于分式形式的通項(xiàng)公式，把一項(xiàng)拆成兩個(gè)或多個(gè)的差的形式。如：an?

1n?n?1?

?1n?

1n?1

，an?

1

?2n?1??2n?1?

?

1?11?

???等；

2?2n?12n?1?

④一項(xiàng)內(nèi)含有多部分的拆開(kāi)分別求和法：適用于通項(xiàng)中能分成兩個(gè)或幾個(gè)可以便利求和的部分，如：

an?2?n?1等；

n

四、綜合性問(wèn)題中

①等差數(shù)列中一些在加法和乘法中