概率論八九章習(xí)題答案

本文格式為Word版，下載可任意編輯——概率論八九章習(xí)題答案第8章參數(shù)估計

一、大綱要求

(1)理解參數(shù)的點估計、估計量和估計值的概念；(2)把握矩估計法(一階、二階)和極大似然估計法;

(3)了解估計量的無偏性、有效性(最小方差法)和一致性(相合性)的概念,并把握估計量無偏性的驗證;

(4)了解區(qū)間估計的概念,會求單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間.二、重點知識結(jié)構(gòu)圖矩估計法點估估計極大似然估計法計量?評價標(biāo)準(zhǔn)無偏性：E???參??數(shù)有效性：D?1?D?2估?計一致性：limP{|???|??}?1n????區(qū)間估計P{?1????2}?1??常見正態(tài)分布的均值和方差的區(qū)間估計

三、基本知識

1.點估計

定義設(shè)總體X的分布函數(shù)F?X;??中?是未知參數(shù)，它或它的一個函數(shù)

?g???是要估計的對象.構(gòu)造一個統(tǒng)計量?對未知參數(shù)?作定值(此定值在數(shù)軸上表現(xiàn)為一個點)的估計稱為參數(shù)的點估計.

2.矩估計法

矩估計的步驟如下:

(1)列出估計式,求總體F?X;?1,?2,?,?m?的前m階矩;

ak?E?Xk???????xkf?x?dx?gk??1,?2,?,?m??k?1,2,?,m?

(2)求解關(guān)于估計量的方程組,將未知參數(shù)?1,?2,?,?m表示為a1,a2,?,am的函數(shù),解上面的方程組得

?k?gk?a1,a2,?,am??k?1,2,?,m?

1nk(3)求出矩估計,用樣本矩Mk??Xi代替相應(yīng)的矩ak,可得未知參數(shù)?k的

ni?1矩估計為

?k?g?M,M,?M??k?1,2,?,m??k12m3.極大似然估計法

定義設(shè)x1,x2,?,xn是取自總體X的一個樣本觀測值,其密度函數(shù)為

?時,x,x,?,x被取到的f?x1,x2,?,xn;????為未知參數(shù)?,假使當(dāng)未知參數(shù)?取?12n?為?的極大似然估計.概率最大,即使似然函數(shù)L取到極大值,就稱?極大似然估計的步驟如下(1)求似然函數(shù)L?x1,x2,?,xn;??設(shè)總體為離散型分布,其分布律為

P?X?xi??p?xi;???i?1,2,?,n?

式中,?為未知參數(shù).對給定的樣本觀測值x1,x2,?,xn,令

L?x1,x2,?,xn;????p?xi,??

i?1n若總體為連續(xù)型分布,其密度函數(shù)為f?x;??,其中?為未知參數(shù),對給定的樣本觀測值x1,x2,?,xn,令

L?x1,x2,?,xn;????f?xi,??

i?1n以上兩式是未知參數(shù)?的函數(shù),稱為似然函數(shù)L?x1,x2,?,xn;??.它反映了樣本觀測值被取到的概率.

?(2)求L?x1,x2,?,xn;??的極大值點??必然滿若似然函數(shù)L是?的可微函數(shù),由微積分的基本知識可得,極大值點?足方程:

dL?0d??,??上式稱為似然方程,由似然方程解出?,經(jīng)過檢驗即可得到L的極大值點?就是?的極大似然估計.

由于L為乘積形式,lnx是x的單調(diào)函數(shù),所以由對數(shù)似然方程

dlnL?0求d??比由似然方程解?dL?要便利得多.?0求解?d?一般地,設(shè)總體含有m個未知參數(shù)?1,?2,?,?m,其似然函數(shù)為

L?x1,x2,?,xn;?1,?2,?,?m?

這時L為?1,?2,?,?m的m元函數(shù),其極大值點由以下對數(shù)似然方程組解得.

??lnL????01???lnL?0????2?????lnL????0?m?1,??2,?,??m分別為未知參數(shù)?,?,?,?的極大似然估在尋常的狀況下,其唯一解?12m計.

4.點估計的評比標(biāo)準(zhǔn)

(1)無偏性

?是參數(shù)?的估計量,若E????,則稱??是?的無偏估計或稱??具有無偏性.設(shè)?(2)有效性

?1?D??2,則稱??1與??2都是?的無偏估計,若對任意樣本容量n有D??1較??2設(shè)?有效.

(3)一致性

?為參數(shù)?的估計量,當(dāng)n??時,??依概率收斂于?,即對任意??0,有設(shè)???????1limP?n?????是?的一致估計量或相合估計量.則稱?5.參數(shù)的區(qū)間估計

?1?X,X,?,X?與??2?X,X,?,X?為定義設(shè)?是總體X的未知參數(shù),若?12n12n由樣本X1,X2,?,Xn所確定的兩個統(tǒng)計量,對于給定的常數(shù)??0???1?有

?1?????2?1??P??1,??2稱為參數(shù)?的置信概率(或置信度)為1??的置信區(qū)間,??1與則隨機(jī)區(qū)間??2分別稱為置信下限與置信上限.?????四、典型例題

例1設(shè)總體X的概率密度為

?6x???x?/?2當(dāng)0?x??f?x???其他0??;(2)??的方若X1,X2,?,Xn是取自總體X的簡單隨機(jī)樣本,求:(1)?的矩估計量??.差D?解(1)EX??????x?f?x?dx??6x20?2????x?dx

2??1n??2X.記X??Xi,令?X,得?的矩估計量?2ni?1(2)EX??2????xf?x?dx??22?6x306?2??x?dx?2??20DX?EX??EX??2?220

24???D?2X??4DX?DX???2X的方差為D?所以?n5n例2設(shè)總體X的概率密度為

????1?x?當(dāng)0?x?1f?x???

?0其他其中???1是未知參數(shù),X1,X2,?,Xn是來自總體X的一個容量為n的簡單隨機(jī)樣本,分別用矩估計法和極大似然估計法求?的估計量.

解(1)矩估計法

EX??????xf?x?dx?????1?x??1dx?01??1??21n??2X?1.令EX?X??Xi,得?的矩估計量?1?Xni?1(2)極大似然估計法

?n??n?????1???xi?當(dāng)0?xi?1似然函數(shù)L?x????i?1?其他?i?1,2,?,n?

??0取對數(shù)lnL????nln???1????lnXi,求導(dǎo)得

i?1nndlnL???n???lnXid???1i?1???1?令上式等于0，解得?的極大似然估計量?n?lnXi?1n.

i例3設(shè)總體X的概率密度為

?2?x????當(dāng)x???2ef?x???

??0當(dāng)x??其中??0是未知參數(shù),從總體X中抽取簡單隨機(jī)樣本X1,X2,?,Xn,記

??min?X,X,?,X??12n?的分布函數(shù)F?x?;(3)假使用??求:(1)總體X的分布函數(shù)F?x?;(2)統(tǒng)計量???作為?的估計量,探討它是否具有無偏性.

解(1)F?x???x???2?x????當(dāng)x???1?ef?t?dt??

x????0當(dāng)?(2)F???x??P??x?P?min?X1,X2,?,Xn??x?

??,X,n??x???1P?X1?xX,??x??1?P?min?X1,X2?2x?,Xn,

?2n?x????當(dāng)x???1?e?1??1?Fx?????????0當(dāng)x??n?的概率密度為(3)?f???x??dF???x?dx?2n?x????當(dāng)x???2ne????0當(dāng)x??由于

??E??????xf???x?dx?????2nxe?2n?x???1dx?????

2n?作為?的估計量不具有無偏性.所以?例4一商店銷售的某類產(chǎn)品來自甲、乙兩個廠家,為考察產(chǎn)品性能的差異,現(xiàn)從甲、乙兩廠分別抽取了8件和9件產(chǎn)品,測其性能指標(biāo)X,得到兩組數(shù)據(jù),經(jīng)對

2其做相應(yīng)運算,得到X1?0.190,S12?0.006,X2?0.238,S2?0.008,假設(shè)測定結(jié)果服

?12從正態(tài)分布N??1,??與N??2,??,求2和?1??2的置信度為90%的置信區(qū)間,

?22122并對結(jié)果加以說明.

?12解(1)為求2的置信度為90%的置信區(qū)間,首先查F分布表.

?2F?/2?n1?1,n2?1??F0.05?7,8?

F1??/2?n1?1,n2?1??F0.95?8,7??則置信區(qū)間為

?S12S12?11?2???F?n?1,n?1??S2,F?n?1,n?1S?2?221??/2?12??/212即?0.214,2.798?,此區(qū)間包含1，故可以認(rèn)為?12??2,因此,可以利用方差相等的條

11?

F0.05?7,8?3.73件構(gòu)造?1??2的置信區(qū)間.

2(2)由于?12??2,但其值未知,故關(guān)于?1??2的置信度為90%的置信區(qū)間為

?1111X?X?tn?n?2S?,X?X?tn?n?2S??????2?/212W12?/212W?1n1n2n1n2?????又由于SW2n1?1?S12??n2?1?S2?7?0.006?8?0.008???0.008

n1?n2?27?8?2t0.05?13??1.77,1111????0.486n1n28911??0.007n1n2??t?/2?n1?n2?2?SW故置信區(qū)間為

?X1?X2??,X1?X2???,即??0.055,?0.041?

從以上結(jié)果可以看出,?1??2的置信區(qū)間不包含0，故可以認(rèn)為?1??2?0,即兩廠家的產(chǎn)品性能有顯著差異.

例5設(shè)總體X聽從?0,??上的均勻分布,X1,X2,?,Xn是來自X的樣本.(1)

?2和T??1;(2)求?的極大似然估計??2;(3)證明??1,T?n?1?求?的矩估計量?12n?1和T有效.?n?1?minX均是?的無偏估計量;(4)證明T較?1?i?ni12解(1)EX??令

?0xd?x2??2(2)似然函數(shù)為

?1?2X.?X,得?的矩估計量為??1?L?x1,x2,?,xn;?????n??0?1????n??0當(dāng)0?xi??其他?i?1,2,?,n?

當(dāng)0?x?1??x?2????x?n???其他

又由于

?lnLn???0,所以L?x1,x2,?,xn;??關(guān)于?單調(diào)減,故當(dāng)??X?n?時,???L?x1,x2,?,xn;??取得極大值,因此,?的極大似然估計量是

?2?X?max?X??i?n?1?i?n??1?E?2X?2EX?2E?X?2??(3)E??2?1是?的無偏估計量.所以?X?n?的密度函數(shù)為

?xn?1?nfX?n??x????n?0?當(dāng)0?x??其他

n?1n?1?xnEX?n??nndx??故ET1??0nn???所以T1是?的無偏估計量.

X?1??min?Xi?的密度函數(shù)為

1?i?nfX?1??x??n??1?F?x;????n?1f?x;??

??x?n?11當(dāng)0?x???n1??????????0其他?故ET2??n?1?EX?1???n?1??所以T2也是?的無偏估計量.

(4)EX??22???0?x?n?1?????n?1x?dx??

?x20?dx??33

DX?EX??EX??2?2?23?4?2?212

?1?D?2X??4DX??D?n3n?n?1?ET2?12n2?2?0nx2xn?1?n?1??2dx??nn?n?2?22n?1?2??222DT1?ET1??ET1??????

n?n?2?n?n?2?ET??n?1?222??0?x?nx2?1?????n?1dx2?n?1?2???n?2DT2?2?n?1?2n2???2??n?2n?2綜上,顯然有

?2n?n?2???23n?n2??n?1?n?2?1和T有效.所以T1較?2例6設(shè)X1,X2,?,Xn是來自總體X的樣本,?i?0?i?1,2,?,n?,??i?1,

i?1n試證:(1)

n??Xii?1ni是EX??的無偏估計量;(2)在?的一切形為??iXi??i?0,

i?1n??i?1i?1)的估計中,X最有效.

nn?n?證(1)由于E???iXi????iEX????i??ii?1?i?1?i?1n所以??iXi是?的無偏估計.特別當(dāng)?1??2????n?i?11時,X也是?的無偏估n計.

nn?n?222(2)D???iXi????iDX?i???ii?1?i?1?i?1nn要求函數(shù)f??1,?2,?,?n????在條件?i?0?i?1,2,?n,??,?i?下的12ii?1i?1微小值點,為此令

?n?F??1,?2,?,?n;??????????i?1?

i?1?i?1?2in??F????2?i???0?令?in?i?1,2,?,n?

??F???1?0?i???i?1?21n?解得?i??,??i???1,即???,從而得?i??i?1,2,?,n?.因此證明白

nn2i?12n?X最有效.

例7假設(shè)0.50,1.25,0.80,2.00是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本值,已知

Y?lnX聽從正態(tài)分布N??,1?,求:(1)X的的數(shù)學(xué)期望EX(記EX為b);(2)求?的置信度為0.95的置信區(qū)間;(3)利用上述結(jié)果求b的置信度為0.95的置信區(qū)間.

解(1)Y的