高等數(shù)學(xué)題庫(kù) 有答案

本文格式為Word版，下載可任意編輯——高等數(shù)學(xué)題庫(kù)有答案高等數(shù)學(xué)題庫(kù)（1）函數(shù)

一、填空題：1．函數(shù)y=arcsinx2?9定義域是:3?x?10??10?x??3

2.設(shè)y=f(x)的定義域是[0，1]，則復(fù)合函數(shù)f(sinx)的定義域是:2k??x?2k???,k?z.

3．函數(shù)y?x3?3的值域是0?y?+?.4．函數(shù)y?1?ax1?x(a?0,a?1)的反函數(shù)是:y?.1?axa?ax??)內(nèi)是單調(diào)減少.5．函數(shù)y??x2?1在區(qū)間(??,0]內(nèi)是單調(diào)增加的.在區(qū)間[0，11?1?x226．設(shè)f()?x?1?x，（x>o）,則f(x)=.xxxx,則f(f(f(x))=,f(f(x))=x.x?1x?1?x,???x?1,?x,???x?1??8．函數(shù)y??x2,1?x?4的反函數(shù)y=?x,1?x?16,

?2x,4?x????logx,16?x???.??2.二．選擇題：

1．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與它的反函數(shù)說(shuō)代表的曲線具有的性質(zhì)是（D）(A)關(guān)于y軸對(duì)稱;(B)關(guān)于x軸對(duì)稱;(C)重合；(D)關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

7．設(shè)f(x)?2.以下幾對(duì)函數(shù)中，f(x)與g(x)一致的是（C）.

（A）f(x)?lgx2與g(x)?2lgx（B）f(x)?x與g(x)?x2（C）g(x)?x2與g(x)?x2（D）f(x)?1與g(x)?3．已知的定義域?yàn)閯t的定義域是（C）（A）[-a,3a](B)[a,3a](C){a}(D){-a}4．假使g(x)?x1)的表達(dá)式是（B），那么f(x?1f(x)x?1(D)都不是xxx(A)x-1(B)1-x(C)

三．設(shè)函數(shù)y?f(x)是線性函數(shù)，已知f(0)?1,f(1)??3,求此函數(shù).

解：設(shè)f(x)=ax+b,

則有0+b=1,a+b=-3,解得a=-4,b=1.

x四．證明函數(shù)f(x)?2在它的整個(gè)定義域內(nèi)是有界.

x?1證明：f(x)的定義域?yàn)镽.

x?2x?111x?x

由于x?111?2,所以?

12xx?xx在它的整個(gè)定義域內(nèi)是有界2x?111?的奇偶性.五．試探討函數(shù)f(x)?x2?1211?解：f(x)?x2?1211?f(?x)??x2?12所以：函數(shù)f(x)??11?12x?12?11?x21?22x2x1??x21?21?1?2x1??21?2x??1?11?x21?211??1?2x2??f(x)

所以f(x)?11?偶函數(shù).2x?12高等數(shù)學(xué)題庫(kù)（2）數(shù)列的極限

一．判斷題：

1．假使數(shù)列{un}以A為極限，那么在數(shù)列｛un｝增加或去掉有限項(xiàng)之后，說(shuō)形成的新數(shù)

列｛un｝仍以阿A為極限．(T)

2．假使limunvn?0，則有l(wèi)imun?0或limvn?0(F)

n??n??n??3．假使liman?a，且存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)恒有an＜０，則必有aX時(shí)，有???成立.

3?3x3??故lim2x?12?

n??3x3xx三．求f(x)?,g(x)?，當(dāng)x?0時(shí)的左右極限，并說(shuō)明它們?cè)趚?0時(shí)的極限

xx是否

存在？解：f(x)?g(x)?x=1，所以limf(x)?1.

x?0xx??1,x?0,所以limg(x)??1，limg(x)?1??x?0?0x?0?0x?1,x?0.x?0?0x?0顯然limg(x)?limg(x)，故limg(x)不存在.

x?0?0四．根據(jù)定義證明：當(dāng)x?0時(shí)，函數(shù)y?件，能使

1?2x是無(wú)窮大，問(wèn)x應(yīng)滿足什么條x

出y?104？

證明：設(shè)M是任意給定的正數(shù).要使y?1?2x1??2>M,xx只要

11?M+2(x?0?0)或?M-2(x?0?0)xx11?M+2或2-M〈?0xx11所以，取??，則對(duì)于適合x(chóng)???的一切x,

M?2M?2即：0〈

就有y?1?2x1??2>M,xx1?2x??.

x?0x所以有：limy?limx?0取M=104,由上知x在以下條件下：00）成立.xx所以當(dāng)x?＋０時(shí)，這函數(shù)不是無(wú)窮大．

高等數(shù)學(xué)題庫(kù)（4）極限的求法

一．判斷題：

以下運(yùn)算是否正確：

1.lim(x2?x?x)?????0(F)

n??2.lim2x?3x??????1.(F)

x??3x4?5lim(3x4?5)?x??3lim(2x3?3)3.lim(12n12n??????)?lim?lim?????lim?0（F）

n??n2n2n2n??n2n??n2n??n24.limx?0arctg1x,當(dāng)x??0時(shí)，1x???,從而xlim??0arctg1x???2,當(dāng)x??0時(shí)，1x???,從而1xlim??0arctgx??2,所以lim1x?0arctgx不存在.

二．計(jì)算以下極限：

１．lim4x3?2x2?xx?03x2?2x解：lim4x3?2x2?xx?03x2?2x

=lim4x2?2x?1x?03x?2=12２．lim(1?1n??2?14?????12n)

解：limn??(1?12?14?????12n)

1?(1)n=lim2n??1?12=2

３．lim1x?1(1?x?11?x3)解：設(shè)f(x)?1111?x?11?x3，則f(x)?11

1?x?1?x3(T)111?x3?lim?lim由于lim=0，

x?1f(x)x?1x?1x?x211?1?x1?x3所以limf(x)??

x?1即：lim(x?111?)??1?x1?x3４．limx?0x?1?1xx?1?1x解：limx?0=limx?0(x?1?1)?(x?1?1)x?(x?1?1)xx?(x?1?1)1x?1?1

=limx?0

=limx?0

1=2５．limarctgx

x??x解：由于?而lim?2?arctgx??2所以arctgx為有界函數(shù).

1=0，x??x由有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小知.

arctgxlim=0x??x６．lim(x?x?x?x)

x???解：lim(x?x?x?x)

x???=lim(x?x?x?x)?(x?x?x?x)x?x?x?xx???

=xlim(x?x?x)?x???

x?x?x?x=x?xxlim???

x?x?x?x=1xlim???11

1?x?1?1?x=12７．limn??(1?x)(1?x2)???(1?xn)

解：limn??(1?x)(1?x2)???(1?xn)

(1?x)(1?x)(1?x2)???(1?xn=lim)n??1?x=lim1?x2nn??1?x=

11?x三．已知f(x)???x?3,x?3,且lim?x?a,x?3x?3f(x)存在，求a解：xlim?3?0f(x)=xlim?3?0x?3=0，

xlim?3?0f(x)=xlim?3?0(x?a)=3+a,

limx?3f(x)存在，即：xlim?3?0f(x)=0?xlim?3?0f(x)?3?a

所以.a??3.

高等數(shù)學(xué)題庫(kù)（5）

極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限無(wú)窮小的比較

一、判斷題：1．

由于x?0時(shí)，tgx~x,sinx~x,所以limsinx?tgxx?xx?0x3?limx?0x3?0F）（2．3．

2?xx2?2lim()?lim(1?)2?e2(T)x??x??xxxtgxtgxxtgxx?lim(?)?lim??1(F)

x??sinxx??x??xsinxxsinx二、計(jì)算以下極限

sin2x1.lim

x?0sin5xsin2xsin2x5x2sin2x5x22??)=lim?lim?=解：lim=lim(x?0sin5xx?0x?0sin5x2xsin5x5x?02x55lim2.limxctgx

x?0解：limxctgx=lim(x?x?0x?0sinxsinxsinx)=lim(cosx?)=limcosx?lim=1

x?0x?0cosxx?0xx3.lim1?cos2x

x?0xsinx1?cos2x2sinxsinx2?sinx2解：lim=lim=lim=2?lim=2

x?0x?0x?0x?0xsinxxsinxxx14.limxsin

x??x11sin1x=limx=1.解：limxsin=lim1x??1xx??1?0xxx15.lim(1?)kx

x??x11(?x)?(?k)1?x?k?k))]=e解：lim(1?)kx=lim(1?=lim[(1?x???x???x??x?x?xx?1x)6.lim(x??x?1sinx?1x(x?1)?2x2x1)=lim[]=lim(1?)=lim(1?)解：lim(x??x?1x??x??x??x?1x?1x?12x?1?2?12

1)=lim[(1?x??x?12x?1?22?(1?1)]x?12=e2.

二、證明：當(dāng)x?0時(shí)，以下各對(duì)無(wú)窮小量是等價(jià)的1.arctgx~x

證明：設(shè)A=arctgx,則x=tgA,當(dāng)x?0時(shí)，A?0.

limarctgxA=lim=1

x?0A?0xtgAx22.1-cosx~

2xxx2?sin()2sin()22?sin()21?cosx2=lim2=1.2=lim證明：lim=limxxx?0x?0x2xx2x2?0?0

2?()()222222

四、證明：limn??(132n?12?4???2n)?0用兩邊夾法則：（解法一）

設(shè)F(n)=132n?12?4???2n>0

則F(n)?(12?34???2n?122n)?132(2n?1)2??

2242??(2n)2?132(2n?1)222?1?42?1???(2n)2?1?132(2n?1)2

3?5?5?7???(2n?1)?(2n?1)?12n?1設(shè)g(n)=0,h(n)=12n?1,則g(n)=00

由于n?2n?1?n?1n（n為自然數(shù)），所以有F(n)0即：xn?1?xn

2k?1222223所以{xn}為單調(diào)有界數(shù)列，由極限存在準(zhǔn)則II知{xn}有極限.limxn?A，則有l(wèi)imxn?1?lim(2xn?xn)，

n??2n??n??A=2A--A2，解得：A=1或A=0（舍去，由于{xn}為遞增數(shù)列且x1?0.）所以limxn?1

n??高等數(shù)學(xué)題庫(kù)（6）函數(shù)的連續(xù)性

一．判斷題

1111??...?)?1．lim(n??1*33*5(2n?1)(2n?1)2

（T）

x?x0x?x02.設(shè)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)，則limf(x)?f(limx)

（T）

3．假使函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義，在[a,b]上連續(xù)，且f(a)*f(b)?0，則在

(a,b)內(nèi)

至少存在一點(diǎn)?，使得f(?)=0（T）

4．若f(x)連續(xù)，則f(x)必連續(xù).（T）5．若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且恒為正，則

1在[a,b]上必連續(xù).（T）f(x)6．若limf(x)?a,且a?0，則在x0的某一鄰域內(nèi)恒有f(x)?0.（F）

x?x07．x?0是函數(shù)f(x)?xsin（F）二．填空題：

sinx?(?1)1．limx??x??sinx?(0)2.limx??xx?3x?2?(?)3.lim3x?1x?x2?x?121的振蕩休止點(diǎn).x

4.x?0是f(x)?e的第（二）類休止點(diǎn).

1x?1?tanx?三．求lim??x?01?sinx???1?tanx?解：lim??x?01?sinx??1sinx1sinx

cotxsecx?1?tanx?=lim1x?0sin?1?sinx?x?e?1ex四．求函數(shù)f(x)?(1?x)tan(x??4在(0,2?)內(nèi)的休止點(diǎn)，并判斷其類型.

3?5?7?，x?，x?4444f(x),limf(x)不存在，limf(x)?1,limf(x)?1由于lim?5?3?7?解：f(x)在?0,2??內(nèi)的休止點(diǎn)有：x?x?x??，x?44x?4x?43?7?，x?是f(x)的第一類（可去）休止點(diǎn);445??x?，x?是f(x)的其次類休止點(diǎn).

44所以x?x2n?1?ax2?bx五．設(shè)f(x)?lim，（1）求f(x)；（2）當(dāng)f(x)連續(xù)時(shí)，求a,b2nn??x?1的值.

1?ax3?2n?bx2?2n解：(1)?f(x)?lim

n??x?x1?2n?1?x??1?a?b??f(x)??2??1?a?b?2?2?ax?bx?x?1x?1x??1x?1

11?a?b?a?b?1?1?f(1)?x?1?0x?1?0x21?1?a?b?1?f(1)?limf(x)?lim?a?b??1

x?(?1?0)x?(?1?0)x2(2)?f(x)連續(xù)limf(x)?lim?a?0??.

b?1?高等數(shù)學(xué)題庫(kù)（7）連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

一．計(jì)算以下極限：

1．limx?41?2x?3x?2

解：原式=limx?4(1?2x?9)(x?2)(x?4)(1?2x?3)

=limx?42(x?2)4=

1?2x?332．limx?0x21?1?x2x2(1?1?x2)2解：原式=lim=lim(1?1?x)=22x?0x?0x3．limlnx?0sinxxsinx)=ln1?0

x?0x解：原式=ln(limx?04．lim(1?3tgx)ctgx

33tgx13tgx3解：原式=lim(1?3tgx)x?0=[lim(1?3tgx)x?0]=e3

5．limx?15x?4?x

x?1解：原式=limx?14(x?1)(x?1)(5x?4?x)=limx?145x?4?x=2

ex?16．lim

x?0x解：令ex?1?t，得x?ln(t?1)，當(dāng)x?0時(shí),t?0原式=limt?0t=limln(1?t)t?01ln(1?t)1t=

t?01ln[lim(1?t)]1t=

1?1lne二．證明方程x?asinx?b至少有一個(gè)不超過(guò)a?b的正根（其中a?0,b?0）.證明：設(shè)f(x)?asinx?b?x，則f(x)在[0,a?b]上連續(xù).又f(0)?b?0，f(a?b)?a[sin(a?b)?1]?0.若f(a?b)?0，則結(jié)論成立.

若f(a?b)?0，則由零點(diǎn)定理???(0,a?b)使得f(?)?0.

三．設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，且0?f(x)?1，證明：至少存在一點(diǎn)??[0,1]，使得f(?)??.

證明：設(shè)F(x)?f(x)?x，則F(x)在[0,1]上連續(xù).又F(0)?f(0)?0?f(0)?0,F(1)?f(1)?1?0若F(0)?0或F(1)?0，則結(jié)論成立.

若F(0)?0或F(1)?0，則由零點(diǎn)定理???(0,1)使得f(?)?0.

f(x)?limf(x)?B，又存在x1?(a,b)使四．設(shè)f(x)在(a,b)上連續(xù)，且lim?0?0x?ax?bf(x1)?B.證明f(x)在(a,b)上有最大值.證明：取??f(x1?B),

??1,當(dāng)0?x?a??1時(shí),f(x)?B?f(x1)?B.即當(dāng)x?(a,a??1)時(shí)，f(x)?f(x1).

??2,當(dāng)??2?x?b?0時(shí),f(x)?B?f(x1)?B.即當(dāng)x?(b??2,b)時(shí)，f(x)?f(x1).若a??1?b??2,f(x1)為最大值x1?(a,b).

若a??1?b??2,f(x)在[a??1,b??2]上連續(xù),必有最大值.f(x0)?f(x1),x0?[a??1,b??2].

?在(a,b)上f(x)取得最大值f(x0).

高等數(shù)學(xué)題庫(kù)（8）導(dǎo)數(shù)的概念

一．選擇題：

hhf(x?)?f(x?)aa等于（C）.1．設(shè)f′(x)存在，a為常數(shù)，則limh?0h2(A)f′(x);(B)0;(C)f'(x);(D)2f'(x).

a2.在拋物線y?3x2上，與拋物線上橫坐標(biāo)x1?1和x2??2的兩點(diǎn)連線平行的切線方程

是（B）.

(A)12x-4y+3=0;(B)12x+4y+3=0;(C)4x+12x+3=0;(D)12x+4y+1=0.

3.將一個(gè)物體鉛直上拋，設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t秒后，物體上升的高度為s?40t?物體

在3秒時(shí)的瞬時(shí)速度為（B）.

39(A)40?g;(B)40-3g;(C)0;(D)120?g.

2212gt，則21?,x?0?xsin4.若函數(shù)f(x)??在x=0處(B).x?,x?0?0(A)連續(xù)且可導(dǎo)；（B）連續(xù)，不可導(dǎo)；

（C）不連續(xù)；（D）都不是.

?x2,二．設(shè)函數(shù)f(x)???ax?b,x?1在處x=1可導(dǎo)，求a和b.x?1解：?f(x)在x=1處可導(dǎo)?f(x)在x=1處連續(xù)，可得limf(x)?limf(x)即a?b?1(1)

x?1?0x?1?0又?f(x)在x=1處可導(dǎo),可得limx?1?0f(x)?f(1)f(x)?f(1)?lim即x?1?0x?1x?1ax?b?1x2?1?lim?2(2)limx?1?0x?1?0x?1x?1由(1),(2)得a?2,b??1.三．設(shè)f(x)?x33x2x765，求f'(x).

解:f(x)?x,由冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可得

7f'(x)?x6.

61?sinx,四．已知f(x)???x,定義求）

x?0，求f'(x).（提醒：分段點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)用導(dǎo)數(shù)的x?0f(0?h)?f(0)sinh?lim?1;

h?0h?0?hhf(0?h)?f(x)h?lim?1.limh?0?h?0?hh解:當(dāng)x=0時(shí),令h?x?0,lim?所以f'(0)?1

?cosx,x?0?f'(x)??1,x?0?五．設(shè)f(x)在(??,??)上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù).證明f(x)為偶函數(shù)的充要條件是：f'(x)為奇函數(shù)（充分性的證明用到不定積分的概念，只證必要性）.

證明:對(duì)于?x0?(??,??)則有?x0?(??,??)依題意令h?x?x0有f'(x0)?limh?0f(x0?h)?f(x0);

hf(?x0?h)?f(?x0);

hf(x0?h)?f(x0)??f'(x0).

hf'(?x0)?limh?0?f(x)為偶函數(shù)?f'(?x0)?limh?0

高等數(shù)學(xué)題庫(kù)（9）求導(dǎo)法與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

一．填空題：1．2．

曲線y?x?1與x軸交點(diǎn)的切線方程是y?2(x?1).x曲線y?2sinx?x2在橫坐標(biāo)x=0點(diǎn)處的切線方程是y?2x,法線方程是

1y??x.

23．設(shè)y?1?lnx?2，則y'?.21?lnxx(1?lnx)sin2x2xcos2x?sin2x，則y'?.xx24．設(shè)y?5．

設(shè)y?f(sin2x)?f(cos2x)，則y'?f'(sin2x)sin2x?f'(cos2x)sin2x.

二．求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

21.y?3x2?2?5.