第14章思考與練習(xí)

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第十四章直線回歸分析

一、思考題

1．試述建立直線回歸方程的步驟以及散點圖的作用。2．如何將方差分析運用于回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗？簡述其思想。3．簡述直線相關(guān)和直線回歸的區(qū)別與聯(lián)系。4．對回歸系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗可以采用哪些方法？

二、案例辨析題

某研究采用火箭電泳法對已知濃度的標(biāo)準(zhǔn)血清進(jìn)行測量，其免疫球蛋白IgA濃度(μg/ml)和火箭電泳高度(mm)如表14-1所示。研究者據(jù)此數(shù)據(jù)建立直線回歸方程，用于測定未知樣品血清中的IgA濃度，以上分析正確嗎？

表14-1標(biāo)準(zhǔn)品的IgA濃度(μg/ml)和火箭電泳高度(mm)

標(biāo)準(zhǔn)品的IgA濃度x

1.02.02.04.04.0

火箭電泳高度y

6.610.210.313.113.316.216.419.420.1

6.06.010.010.0

??5.335?1.599x，經(jīng)假設(shè)檢驗得采用最小二乘法建立直線回歸方程，得到y(tǒng)P?0.001，故此回歸方程可用于測定未知樣品血清中的IgA含量。

三、最正確選擇題

14-1

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1.對于一組聽從雙變量正態(tài)分布的資料，經(jīng)直線相關(guān)分析得相關(guān)系數(shù)r?0，若對該資料擬合回歸直線，其回歸系數(shù)A．b?0B．b?0C．b?0D．?1?b?1E．b?1

2.一組聽從雙變量正態(tài)分布的資料，經(jīng)直線相關(guān)分析得相關(guān)系數(shù)r??1，則有A．SS總?SS殘B．SS殘?SS回C．SS總?SS回D．MS殘?MS回E．MS總?MS回

3．直線回歸中x與y的標(biāo)準(zhǔn)差相等時，則有A．b?aB．b?r

C．b?1D．r?1E．a(chǎn)?1

4．若直線回歸系數(shù)b?0，則一定有A．截距等于0B．截距等于yC．SS殘等于0D．SS總等于0E．SS殘等于SS回

5．兩組聽從雙變量正態(tài)分布的資料，若兩樣本b1?b2，n1?n2，則有A．r1?r2B．tb1?tb2

14-2

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C．r1?r2D．tb1?tr1E．tr1?tr2

6．最小二乘法的原理是各觀測點

A．距回歸直線的縱向距離相等B．距回歸直線的縱向距離平方和最小C．距回歸直線的垂直距離相等D．距回歸直線的垂直距離平方和最小E．距回歸直線的縱向距離最小

??0.004?0.0588x，代入兩點繪制回歸直線，7．直線回歸分析中，按直線方程y以下選項中正確的是

A．所有實測點都應(yīng)在回歸直線上B．所繪回歸直線必過點(x,y)C．回歸直線必過原點D．x的取值范圍為[?1,1]

E．實測值與估計值之差的平方和必小于零

8．同一資料進(jìn)行直線回歸與直線相關(guān)分析時，以下說法正確的是A．??0時，則r?0B．|r|?0時，則b?0

C．r?0時，則b?0D．r?0時，則b?0E．|b|?1

四、綜合分析題

1.為了研究女大學(xué)生胸圍(cm)與肺活量(L)的關(guān)系，隨機(jī)抽取某高校一年級女生15名，測量其胸圍與肺活量數(shù)據(jù)如表14-2所示。

表14-215名一年級女大學(xué)生的胸圍(cm)與肺活量(L)

學(xué)生編號

1

胸圍x76.50

肺活量y2.51

14-3

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23456789101112131415

83.9078.3088.4077.1081.7078.3074.8076.7079.4083.0090.3085.9082.6080.90

2.822.603.352.532.802.761.911.982.583.343.573.112.982.88

(1)建立肺活量y與胸圍x的回歸方程；(2)用兩種方法對回歸系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗；(3)計算總體回歸系數(shù)的95%置信區(qū)間；

2．為研究肺癌患者肺組織中的DNA加合物含量(個/108核苷酸)與吸煙的關(guān)系，某研究者用“同位素標(biāo)記法〞測定了12名肺癌患者肺組織中DNA加合物含量(y)，并調(diào)查其每日吸煙量(x)，結(jié)果如表14-3所示。

表14-3肺組織中DNA加合物含量(個/108核苷酸)與每日吸煙量(支/天)

x

553.17

106.34

1514.92

157.78

1512.00

209.70

2015.66

2012.40

2511.40

2517.20

3019.34

y9.26

(1)問該資料有無可疑的離群點？

(2)試建立直線回歸方程來分析肺組織中DNA加合物含量y與每日吸煙量x之間的關(guān)系。

一、思考題

1．建立直線回歸方程的步驟：①繪制自變量與應(yīng)變量的散點圖，觀測是否有可

14-4

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疑的離群值及兩變量是否有直線趨勢；②利用最小二乘法計算回歸系數(shù)b及截距a，得到樣本回歸方程；③對回歸系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗。在此過程中應(yīng)當(dāng)注意考察資料是否滿足模型假設(shè)條件，即應(yīng)變量與自變量關(guān)系是否為線性、誤差是否聽從正態(tài)分布且方差相等、各觀測值是否獨立等。通過散點圖可以初步考察兩變量間是否有直線關(guān)系及識別可能的離群值。

2．方差分析的基本思想是將總的變異依照設(shè)計和需要分解成2個或2個以上的部分，在對回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗中，將應(yīng)變量y的變異SS總分解為可以用y與x的直線關(guān)系解釋的部分SS回和不能用y與x的線性關(guān)系解釋的部分SS殘，假使兩變量間直線關(guān)系確實存在，回歸的均方應(yīng)大于誤差的均方，大到何種程度時可以認(rèn)為具有統(tǒng)計學(xué)意義，可根據(jù)SS回與SS殘的關(guān)系構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量F，

F?MS回MS殘?SS回/?回SS殘/?殘。在??0成立的假設(shè)下，F(xiàn)聽從自由度為?回、?殘的F分布，

可根據(jù)F分布曲線下面積確定P值，作出統(tǒng)計推斷結(jié)論。

3.區(qū)別：①資料要求上：直線相關(guān)要求x、y聽從雙變量正態(tài)分布；而直線回歸要求y在給定某個x值時聽從正態(tài)分布，x須為可確切測量和嚴(yán)格控制的值。②應(yīng)用上：說明兩變量間相互關(guān)系用相關(guān)，此時兩變量的關(guān)系是平等的；而說明應(yīng)變量y和自變量x在數(shù)量上的依存關(guān)系則用直線回歸分析。③意義上：相關(guān)系數(shù)

r說明兩變量直線相關(guān)的方向與密切程度；回歸系數(shù)b表示x每改變一個單位時，

y的平均改變量。④計算：r?lxy/lxxlyy，b?lxy/lxx。⑤取值范圍：?1?r?1，

???b??。⑥r(nóng)沒有單位，b有單位。

聯(lián)系：①對于聽從雙變量正態(tài)分布的同一組數(shù)據(jù)，既可作直線相關(guān)分析又可作直線回歸分析，計算出的r與b符號一致。②對于同一樣本，相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗等價。③對于聽從雙變量正態(tài)分布的同一組資料，其相關(guān)系數(shù)r和回

SS回bSx2歸系數(shù)b可以相互換算：r=。④用回歸可以解釋相關(guān)，決定系數(shù)R?。

SS總Sy4．有以下方法：方差分析、總體回歸系數(shù)的t檢驗、計算總體回歸系數(shù)的置信區(qū)間。若資料聽從雙變量正態(tài)分布，除上述方法外，由于相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗等價，還可采用總體相關(guān)系數(shù)的t檢驗、計算總體相關(guān)系數(shù)的置信區(qū)間等方法來推斷總體回歸關(guān)系是否成立。

14-5

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二、案例辨析題

要進(jìn)行直線回歸分析，首先應(yīng)繪制自變量與應(yīng)變量的散點圖，觀測兩變量是否有直線趨勢。如圖14-1所示，兩變量散點呈曲線趨勢，不宜進(jìn)行直線回歸分析。

2118火箭電泳高度(mm)15129630246810

IgA濃度(μg/ml)圖14-1火箭電泳高度與IgA濃度的關(guān)系??5.335?1.599x不正確。因此直接用原始數(shù)據(jù)建立直線回歸方程得到y(tǒng)對自

變量進(jìn)行對數(shù)變換，令x??lg(x)，再觀測y與x?的散點圖，如圖14-2所示，可見對數(shù)轉(zhuǎn)換后其直線趨勢較為明顯。

21181512963-0.4-0.20.00.81.0火箭電泳高度(mm)

IgA濃度的對數(shù)值圖14-2火箭電泳高度與IgA濃度對數(shù)值的關(guān)系

??6.737?12.259x?，對回歸系數(shù)進(jìn)行假設(shè)建立y與x?的直線回歸方程得到y(tǒng)14-6

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檢驗，得P?0.001，回歸方程有統(tǒng)計學(xué)意義。進(jìn)一步檢查兩次回歸的決定系數(shù)，直接以IgA濃度為自變量時R2=0.911，而以IgA濃度的對數(shù)值為自變量時

R2=0.989，擬合效果更好。此案例強(qiáng)調(diào)了直線回歸分析之前繪制散點圖的重要性。

三、最正確選擇題

1.A2.C3.B4.B5.D6.B7.B8.D

四、綜合分析題1．解：

(1)建立肺活量y與胸圍x的回歸方程

1)作兩變量的散點圖，以胸圍為橫坐標(biāo)，肺活量為縱坐標(biāo)繪制散點圖(見SPSS結(jié)果)，散點呈直線趨勢，故可進(jìn)行直線回歸分析。2)由樣本數(shù)據(jù)計算如下統(tǒng)計量

x?81.18667，y?2.78133

lxx??x2?(?x)2/n?289.73737

lyy??y2?(?y)2/n?3.02857

lxy??xy?(?x?y)/n?26.62227

3)計算回歸系數(shù)b及截距a

b?lxylxx?0.09188，a=y-bx=-04.6781???4.67810?0.09188x4)得直線回歸方程為：y(2)對回歸系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗

方法一：采用方差分析對回歸系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗1)建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)

H0:??0，即胸圍與肺活量之間無直線回歸關(guān)系H1:??0，即胸圍與肺活量之間有直線回歸關(guān)系

?=0.05

2)計算檢驗統(tǒng)計量

14-7

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SS總??(y?y)2?lyy?3.02857

?)2?0.58241SS殘??(y?ySS回?SS總?SS殘?3.02857?0.58241?2.44616

F?MS回MS殘?SS回/?回SS殘/?殘?2.44616/1?54.601

0.58241/133)確定P值，作出統(tǒng)計推斷

?1??回?1，?2??殘?n?2?13，查

F界值表(附表4)，

F?(?1,?2)?F0.01(1,13)?9.07，得P?0.01，按?=0.05水準(zhǔn)拒絕H0，回歸方程有統(tǒng)計

學(xué)意義，可以認(rèn)為女大學(xué)生的胸圍與肺活量之間有直線回歸關(guān)系。方法二：采用t檢驗對回歸系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗1)建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)

H0:??0，即胸圍與肺活量之間無直線回歸關(guān)系H1:??0，即胸圍與肺活量之間有直線回歸關(guān)系

?=0.05

2)計算檢驗統(tǒng)計量

Sy?x?Sb?tb?SS殘n?2lxx??0.58241?0.21166

15?2Sy?x0.21166?0.012435

289.73737b0.09188??7.389Sb0.0124353)確定P值，作出統(tǒng)計推斷

??13，查t界值表(附表3)，得P?0.001，按?=0.05水準(zhǔn)拒絕H0，回歸方

程有統(tǒng)計學(xué)意義，可認(rèn)為女大學(xué)生的胸圍與肺活量之間有直線回歸關(guān)系。

(3)計算總體回歸系數(shù)的95%置信區(qū)間

由以上計算結(jié)果可知b?0.09188，Sb?0.012435，??13，查t界值表得

t0.05/2,13?2.160?；貧w系數(shù)?的95%置信區(qū)間為：

0.09188?2.160?0.012435,0.09188?2.160?0.012435)?(0.06502,0.11875)。

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SPSS操作數(shù)據(jù)錄入：

開啟SPSSDataEditor窗口，點擊VariableView標(biāo)簽，定義要輸入的胸圍x、肺活量y，再點擊DataView標(biāo)簽，錄入數(shù)據(jù)(見圖14-3，圖14-4)。

圖14-3VariableView窗口內(nèi)定義要輸入的變量

圖14-4DataView窗口內(nèi)錄入數(shù)據(jù)

分析：

繪制散點圖：

Graphs→Scatter/Dot…→SimpleScatterDefineyAxis框：yxAxis框：xOK回歸分析：

Analyze→Regression→Linear…Dependent框：yIndependent(s)框：x

Statistics→RegressionCoefficients

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Estimates

ConfidenceintervalsModelfitContinueOK

輸出結(jié)果

肺活量1.874767880828486889092SumofSquares2.446.5823.029胸圍ANOVAbModel1df11314MeanSquare2.446.045F54.601Sig..000aRegressionResidualTotala.Predictors:(Constant),胸圍b.DependentVariable:肺活量CoefficientsaModel1(Constant)胸圍UnstandardizedCoefficientsStd.BError-4.6781.011.092.012StandardizedCoefficientsBeta.899t-4.6277.389Sig..000.00095%ConfidenceIntervalforBLowerUpperBoundBound-6.863-2.494.065.119a.DependentVariable:肺活量2．解：

(1)以每日吸煙量為橫坐標(biāo)，DNA加合物含量為縱坐標(biāo)繪制散點圖(見SPSS結(jié)果)，散點呈直線趨勢，不存在離群點，故可進(jìn)行直線回歸分析。

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(2)建立DNA加合物含量y與每日吸煙量x的回歸方程由樣本數(shù)據(jù)計算如下統(tǒng)計量

x?17.083，y?11.5975

lxx??x2?(?x)2/n?672.9167

lyy??y2?(?y)2/n?242.0240

lxy??xy?(?x?y)/n?318.9625

計算回歸系數(shù)b及截距a

b?lxylxx?0.474，a?y?bx?3.500??3.500?0.474x得直線回歸方程為：y采用方差分析對回歸系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗1)建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準(zhǔn)

H0:??0，即DNA加合物含量與每日吸煙量之間無直線回歸關(guān)系H1:??0，即DNA加合物含量與每日吸煙量之間有直線回歸關(guān)系

?=0.05

2)計算檢驗統(tǒng)計量

SS總??(y?y)2?lyy?242.0240?)2?90.8358SS殘??(y?ySS回?SS總?SS殘?242.0240?90.8358?151.1882

F?MS回MS殘?SS回/?回SS殘/?殘?151.1882/1?16.644

90.8358/103)確定P值，作出統(tǒng)計推斷

?1??回?1，?2??殘?n?2?10，查F界值表(附表4)，得P?0.01，按?05=0.水準(zhǔn)拒絕H0，回歸方程有統(tǒng)計學(xué)意義，可以認(rèn)為肺癌患者肺組織中DNA加合物含量與每日吸煙量之間有直線回歸關(guān)系。

SPSS操作數(shù)據(jù)錄入：

開啟SPSSDataEditor窗口，點擊VariableView標(biāo)簽，定義要輸入的每日吸煙

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量x、DNA加合物含量y，再點擊DataView標(biāo)簽，錄入數(shù)據(jù)(見圖14-5，圖14-6)。

圖14-5VariableView窗口內(nèi)定義要輸入的變量

圖14-6DataView窗口內(nèi)錄入數(shù)據(jù)

分析：