浙教版八年級(jí)下專題五與平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算與證明

專題五與平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算與證明__(教材P90作業(yè)題第5題)已知：如圖1，在?ABCD中，過AC的中點(diǎn)O的直線分別交CB，AD的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn).求證：BE＝DF.圖1證明：在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴OA＝OC，AD∥BC，AD＝BC，∴∠FAC＝∠ECA，又∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE(ASA)，∴AF＝CE，∴AF－AD＝CE－BC，即DF＝BE.【思想方法】平行四邊形對(duì)邊平行、對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分的性質(zhì)可以作為判定平行四邊形中三角形全等的條件．如圖2，已知?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O任作一直線分別交AD，CB的延長線于E，F(xiàn)，求證：OE＝OF.圖2證明：在?ABCD中，AO＝CO，AD∥BC，∴∠E＝∠F，∠EAO＝∠FCO.在△AOE和△COF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠E＝∠F，,∠EAO＝∠FCO，,AO＝CO，))∴△AOE≌△COF(AAS)，∴OE＝OF.[2013·南充]如圖3，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，經(jīng)過點(diǎn)O的直線交AB于E，交CD于F.求證：OE＝OF.圖3證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，AB∥CD.∴∠OAE＝∠OCF.∵∠AOE＝∠COF，∴△OAE≌△OCF(ASA)．∴OE＝OF.[2013·淮安]如圖4，在平行四邊形ABCD中，過AC中點(diǎn)O作直線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn).求證：△AOE≌△COF.圖4證明：∵O為AC中點(diǎn)，∴OA＝OC.∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.∴△AOE≌△COF.已知：如圖5，BD為?ABCD的對(duì)角線，O為BD的中點(diǎn)，EF⊥BD于點(diǎn)O，與AD，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn).求證：DE＝DF.圖5證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠OBF＝∠ODE.∵O為BD的中點(diǎn)，∴OB＝OD.在△BOF和△DOE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠OBF＝∠ODE，,OB＝OD，,∠BOF＝∠DOE，))∴△BOF≌△DOE.∴OF＝OE.∵EF⊥BD于點(diǎn)O，∴DE＝DF.如圖6，在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過O點(diǎn)作直線EF分別交BC，AD于E，F(xiàn).(1)求證：BE＝DF；(2)若AC，EF將平行四邊形ABCD分成的四部分的面積相等，指出E點(diǎn)的位置，并說明理由．圖6解：(1)證明：如圖，在平行四邊形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵O是AC的中點(diǎn)，∴AO＝CO，∴在△AOF與△COE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠3＝∠4，,∠1＝∠2，,AO＝CO，))∴△AOF≌△COE，∴AF＝CE.又∵AD＝BC，∴AD－AF＝BC－CE，即BE＝DF.變形5答圖(2)當(dāng)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，EF將平行四邊形ABCD分成的四個(gè)部分的面積相等．理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，由△ABO與△AOD等底同高可知面積相等，同理，△ABO與△BOC的面積相等，△AOD與△COD的面積相等，從而易知所分成的四個(gè)三角形面積相等．[2013·漳州]如圖7，?ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上兩點(diǎn)，且BE＝DF.(1)圖中共有__3__對(duì)全等三角形；(2)請(qǐng)寫出其中一對(duì)全等三角形：________≌________，并加以證明．圖7解：(1)圖中的全等三角形有：△ABE≌△CDF，△ABD≌△CDB，△ADE≌△CBF，共有3對(duì)．故填3；(2)①△ABE≌△CDF.理由如下：∵在?ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，∴在△ABE與△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,∠ABE＝∠CDF,BE＝DF，))∴△ABE≌△CDF(SAS)；②△ABD≌△CDB.理由如下：∵在?ABCD中，AD＝CB，AB＝CD，∴在△ABD與△CDB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CB，,AB＝CD，,BD＝DB，))∴△ABD≌△CDB(SSS)；③△ADE≌△CBF.理由如下：∵在?ABCD中，AD∥BC，AD＝CB，∴∠ADE＝∠CBF.∵BE＝DF，∴DE＝BF，∴在△ADE與△CBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CB，,∠ADE＝∠CBF.,DE＝BF，))∴△ADE≌△CBF(SAS)．[2013·徐州]如圖8，四邊形ABCD是平行四邊形，DE平分∠ADC交AB于點(diǎn)E，BF平分∠ABC交CD于點(diǎn)F.(1)求證：DE＝BF；(2)連結(jié)EF，寫出圖中所有的全等三角形．(不要求證明)圖8解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，∠ADC＝∠CBA.∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，∴∠ADE＝eq\f(1,2)∠ADC，∠CBF＝eq\f(1,2)∠CBA.∴∠ADE＝∠CBF.∴△ADE≌△CBF(ASA)．∴DE＝BF(2)△ADE≌△CBF；△DEF≌△BFE.[2013·重慶]已知：在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，CE＝CD，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，點(diǎn)G為CD上的一點(diǎn)，連結(jié)DF，EG，AG，∠1＝∠2.(1)若CF＝2，AE＝3，求BE的長；(2)求證：∠CEG＝eq\f(1,2)∠AGE.圖9解：(1)∵點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，∴CE＝CD＝2CF＝4.又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD＝4.在Rt△ABE中，由勾股定理，得：BE＝eq\r(AB2－AE2)＝eq\r(7).(2)證明：如圖，延長AG，BC交于點(diǎn)H.變形8答圖∵CE＝CD，∠1＝∠2，∠C＝∠C，∴△CEG≌△CDF.∴CG＝CF.∵點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，即CF＝EF＝eq\f(1,