初中數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試卷八

本文格式為Word版，下載可任意編輯——初中數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試卷八

初中數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試卷八

四、證明題1、求證：方程2x-x2=

2、?ABC的三邊為a，b，c，求證二次方程cx2+（a-b-c）x+b=0無實(shí)數(shù)根.

3、1994個非負(fù)整數(shù)的和等于2991，求證必有997個數(shù)之和不小于1994.

4、a、b、c為互不相等的數(shù)。若以下三個等式中有任意兩個等式成立，

求證：第三個等式也成立。

（b2+bc+c2）x2-bc（b+c）x+b2c2=0；

（c2+ca+a2）x2-ca（c+a）x+c2a2=0；（a2+ab+b2）x2-ab（a+b）x+a2b2=0。

5、沿圓周寫1992個數(shù)碼.假使從某一個數(shù)碼開始，依順時針方向逐個讀出這些數(shù)碼，所得

到的1992位數(shù)可被27整除，那么，無論從哪個數(shù)碼開始，依順時針方向逐個讀出這些數(shù)碼，所得到的1992位數(shù)全都可以被27整除.

6、某工廠開工的第一天的產(chǎn)量不超過20件，此后日產(chǎn)量每天都有所增加，但每次增產(chǎn)的數(shù)

量也不超過20件，證明：當(dāng)日產(chǎn)量達(dá)到1995件時，工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)量不會少于100500件。

7、圓周上有n個點(diǎn)（n?4），若存在一種染色，使得每一個點(diǎn)的兩旁都是一紅一藍(lán)，

2沒有正根.x求證n是4的倍數(shù).

8、有人編了一個程序：從1開始，交織地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘

法）每次加法，將上次的運(yùn)算結(jié)果加2或加3；每次乘法，將上次的運(yùn)算結(jié)果乘2或乘3．例如，30可以這樣得到：．（1）（10分）證明：可以得到22；

（2）（10分）證明：可以得到2100+297-2．

9、一個圓被分成n個扇形，在這些扇形中共有n+1只青蛙。每一秒鐘都有某兩只同在一個

扇形中的青蛙分別跳入兩側(cè)相鄰的扇形中。求證：在某一時刻，至少有一半的扇形落有青蛙。

10、寫出10個不同的自然數(shù)，使得它們中的每個是這10個數(shù)和的一個約數(shù)（要說明寫出

的10個自然數(shù)符合題設(shè)條件的理由）.

11、已知x-y=1.求證：x3-3xy-y3=1.

x2?1y2?112、設(shè)x與y為自然數(shù)，使得兩個分為整數(shù)，證明：這兩個分?jǐn)?shù)都是數(shù)之和?y?1x?1整數(shù).

13、已知a,b,c為正整數(shù)，且滿足a2?b2?c2,又a為質(zhì)數(shù)，證明：

(1)b與c兩數(shù)必為一奇一偶；(2)2(a+b+c)是完全平方數(shù)。

b3c14、已知0??a?b?,求證a不是二次方程x2?2(2c?b)x?b2的根.

34

15、實(shí)數(shù)a,b,c滿足(a?c)(a?c?b)?0,證明：(b?c)2?4a(a?b?c)

四、證明題

1、證明：（1）當(dāng)x>2時，2x-x2=x（2-x）1），這時對這n個數(shù)作如下調(diào)整，令a1=a1-1，a2=a2，…，ak-1=ak-1，，，，，，，，，

ak=ak+1，ak+1=ak+2…=an=20.這時仍有a1+a2+…+an=1995.然而此時相應(yīng)的S比原來的S

，

變小，即S-S=k-1.由此可見，S的最小值是在0?a1?20，且a2=a3=…an=20時得到，由于1995=99?20+15，則a1=15，n=100.此時可求出最小值S=100?15+[1+2+…+99]?20=1500+99000=100500.

8、證明：（1）

．

也可以倒過來考慮：

．

?2?2?2?3?2??2???4???8???11???22．）（或者1?

（2）

?2?2?3?3???3?23?2?(不斷乘以2，再加2)???3?296?4???3?296?1????2?2299?296?3???299?296?1???2100?297?2.或倒過來考慮：

．

注意：加法與乘法必需是交織的，否則不能得分

9、解：首先證明：每一對相鄰的扇形中，一旦其中有一個落有青蛙，則在此后任何時刻，在這兩

個扇形中都必然有一個青蛙.

在某時刻時假使其中有青蛙的扇形中只有1個或至少3個青蛙，則下一時刻該扇形中仍有青蛙；

假使落有青蛙的扇形中恰有2個青蛙，那么下一時刻與它相鄰的扇形中將落有青蛙，得證.下面再來證明：每一扇形中或早或遲都會出現(xiàn)青蛙.

用反證法.假若不然，即有某個扇形A中永遠(yuǎn)無青蛙著落，自A開始依順時針方向?qū)⑸刃尉幪枮?，2，…，n，并令青蛙具有它所在扇形的號碼.下面我們來考慮這n+1只青蛙編號的平方和S.首先，n號和2號扇形將不會有多于1個的青蛙，否則1號會有青蛙跳入.其次，顯然在3，4，…，n-1中必然總存在某個扇形里有兩個青蛙（或兩個以上）存在.在這樣的狀況下，青蛙跳一次，S的增加值為（k-1）2+（k+1）2-2k2=2.這個跳動顯然不能中止，但S卻不可能無限增加.矛盾.于是，所設(shè)不真，得證.

綜上所述，原命題得證.

10、1，2，3，6，12，24，48，96，192，384

解:3個自然數(shù)1，2，3，它們中的每一個都是這3個數(shù)和的一個約數(shù).若已有k（≥3）個自然數(shù)a1，a2，…，ak，它們中的每個是這k個數(shù)和（記為p）的一個約數(shù)，則k+1個自然數(shù)a1，a2，…，ak，p，它們中的每一個也是這k+1個自然數(shù)和的一個約數(shù).依照這個想法，可將1，2，3擴(kuò)展到以下10個自然數(shù)：

1，2，3，6，12，24，48，96，192，384.它們中的每一個是它們和的一個約數(shù).

x2?1y2?112、解：設(shè)?u,?v,則u?v,uv都是整數(shù)，所以u,v是某個整系數(shù)二次方程

y?1x?1z2?mz?n?0的兩個根，其中u?v??m,uv?r,由于u,v都是有理數(shù)，所以??m2?4n是完

?m?m2?4全平方數(shù)，且奇偶性與m一致，又u,v?,所以u,v都是整數(shù).

2

13、解：由已知a2?c2?d2?(c?d)(c?d),這時c?d?2,c?b?2,則b?0.

或a?b?4,c?b?1,?c?5都與假設(shè)矛盾，故a?2.因此a是奇數(shù)且為質(zhì)數(shù)。又2?c?b?c?b,?c?b?1,c?b?a2(*),由奇偶性知，b,c為一奇一偶.

2(a?b?1)?2a?2b?2?2a?a2?1?2?(a?1)2,即：2(a?b?1)是完全平方數(shù).

(2)由（8）式，得c?b?1,a2?c?b?2b?1，即：2b?a2?1,又

14、解:設(shè)f(x)?x2?(2b?c)x?b2,其圖象開口向上,頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0?b?c對2

15、解：設(shè)輔助二次函數(shù)y?ax2?(b?c)x?(a?b?c),顯然，

當(dāng)x1?0時，函數(shù)y1?a?b?c,

當(dāng)x2??1時，y2?a?(a?c)?(a?b?c?2(a?c);即：

bb2b43cbc?(2b?c)??b2?b(b?)?0從而?a?b??,有f(a)?f()?39394323c4b3ca2?2(2c?b)a?b2?f(a)?4a(b?)?(?4a)(b2?)?0這