高中數(shù)學教學案例設計匯編

高中數(shù)學教學案例設計匯編

（下部）

19、正弦定理（2）

一、教學內(nèi)容分析

本節(jié)內(nèi)容安排在《普通高中課程標準實驗教科書?數(shù)學必修5》（人教A版）

第一章，正弦定理第一課時，是在高二學生學習了三角等知識之后，顯然是對三

角知識的應用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中解直角三角形內(nèi)容

的直接延伸，因而定理本身的應用又十分廣泛。

根據(jù)實際教學處理，正弦定理這部分內(nèi)容共分為三個層次：第一層次教師通

過引導學生對實際問題的探索，并大膽提出猜想；第二層次由猜想入手，帶著疑

問，以及特殊三角形中邊角的關系的驗證，通過“作高法”、“等積法”、“外接圓

法”、“向量法”等多種方法證明正弦定理，驗證猜想的正確性，并得到三角形

面積公式；第三層次利用正弦定理解決引例，最后進行簡單的應用。學生通過對

任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“觀察——實驗一一猜想一

證明——應用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精

神。

二、學情分析

對普高高二的學生來說，已學的平面兒何，解直角三角形，三角函數(shù)，向量

等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯(lián)系、理解、應

用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。根據(jù)以上特點，教師恰當引導，提高

學生學習主動性，多加以前后知識間的聯(lián)系，帶領學生直接參與分析問題、解決

問題并品嘗勞動成果的喜悅。

三、設計思想：

本節(jié)課采用探究式課堂教學模式，即在教學過程中，在教師的啟發(fā)引導下，

以學生獨立自主和合作交流為前提，以問題為導向設計教學情境，以“正弦定理

的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究內(nèi)容，為學生提供充分自由表達、質(zhì)疑、探究、討論

問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，在知識

的形成、發(fā)展過程中展開思維，逐步培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的

能力和創(chuàng)造性思維的能力。

四、教學目標：

1.讓學生從已有的幾何知識出發(fā)，通過對任意三角形邊角關系的探索，共

同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，實驗，猜想，

驗證，證明，由特殊到?般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法,

理解三角形面積公式，并學會運用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。

2.通過對實際問題的探索，培養(yǎng)學生觀察問題、提出問題、分析問題、解

決問題的能力，增強學生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)

造性思維的能力。

3.通過學生自主探索、合作交流，親身體驗數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學生勇

于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強學習的成功心理，激發(fā)學習數(shù)學

的興趣。

4.培養(yǎng)學生合情合理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思想方法，通過平面兒何、三角

形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與

辯證統(tǒng)一。

五、教學重點與難點

教學重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡單應用。

教學難點：正弦定理的猜想提出過程。

教學準備：制作多媒體課件，學生準備計算器，直尺，量角器。

六、教學過程：

(-)結合實例，激發(fā)動機

師生活動：

教師：展示情景圖如圖b船從港口B\

航行到港口C,測得BC的距離為600加，ZX/xxx/x/x/

船在港口c卸貨后繼續(xù)向港口A航行，由/

于船員的疏忽沒有測得CA距離，如果船丫

上有測角儀我們能否計算出A、B的距離？

學生：思考提出測量角A,C

教師：若已知測得ABAC=75。，AL-------------------------，

ZACB=45°,要計算A、B兩地距離，你

(圖1)

有辦法解決嗎？

學生：思考交流，畫一個三角形A'8'C',使得5'C'為6cm,NB'A'C'=75。,

ZA'C'B'=45°,量得A*距離約為4.9cm,利用三角形相似性質(zhì)可知AB約為

490m。

老師：對，很好，在初中，我們學過相似三角形，也學過解直角三角形，大

家還記得嗎？

師生：共同回憶解直角三角形，①直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊

及兩個角。②直角三角形中，已知一邊和一角，可以求另兩邊及第三個角。

。教師：引導，A48c是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計算AB呢？

學生：思考，交流，得出過A作ADL6C于。如圖2,把A48c分為兩個直

角三角形，解題過程，學生闡述，教師板書。

解：過A作A0J.6C于。

AD

在中，sinZACB

RfAACO~AC

C

r醫(yī)16

：.AD^ACsinZACB=600x—=300V2m

2

vZACB=45°,NBAC=75°

，ZABC=1800-ZACB-NACB=60°

An

在RfAABO中，sinZABC=—

AB

AD甯=2006

：.AB

sinZABC

2

教師：表示對學生贊賞，那么剛才解決問題的過程中，若AC=0,A8=c,

能否用B、b、。表不c呢？

教師：引導學生再觀察剛才解題過程。

學生：發(fā)現(xiàn)sinC=^^,sinB-

bc

/.AD=/?sinC=csinB

bsinC

c=-----

sin3

教師：引導，在剛才的推理過程中，你能想到什么？你能發(fā)現(xiàn)什么？

學生：發(fā)現(xiàn)即然有。=如￡,那么也有。=變史4。

sinBsinAsinB

教師：引導。=史必，,=竺貶，。=竺婦，我們習慣寫成對稱形式

sinBsinAsinB

—，_J=，,—，因此我們可以發(fā)現(xiàn)

sinCsin8sinCsinAsinAsinB

—=—=-^-,是否任意三角形都有這種邊角關系呢？

sinAsinBsinC

設計意圖：興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有良好的開頭，那就意味著成功

的一半。因此，我通過從學生日常生活中的實際問題引入，激發(fā)學生思維，激發(fā)

學生的求知欲，引導學生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，在解決問題后，對特殊問

題一般化，得出一個猜測性的結論一一猜想，培養(yǎng)學生從特殊到一般思想意識，

培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維能力。

(二)數(shù)學實驗，驗證猜想

教師：給學生指明一個方向，我們先通過特殊例子檢驗

』-=-9_=—J是否成立，舉出特例。

sinAsinBsinC

(1)在aABC中，ZA,ZB,NC分別為60。，60°,60°,對應的

邊長a：…為一”對應角的正弦值分別為今東東弓1

導學生考察一L,—,—J的關系。（學生回答它們相等）

sinAsinBsinC

（2）、在aABC中，NA,ZB,NC分別為45。，45°,90°,對

應的邊長a：b：c為1：1：V2,對應角的正弦值分別為也，―,1；

22

（學生回答它們相等）

（3）、在aABC中，NA,ZB,NC分別為30。，60°,90°,對

應的邊長a：b：c為h52,對應角的正弦值分別嗎，乎」（學

生回答它們相等）（圖3）

（圖3）

教師：對于RrA48c呢？

學生：思考交流得出，如圖4,在RtAABC中,設BC=a,AC=b,AB=c,

則有sin/=色，siru9=—,又sinC=l=￡,

CCC

則，=上_=」_=,

sinAsinBsinC

從而在直角三角形ABC中,ab_c

sinJsinBsinC

（圖4）

教師：那么任意三角形是否有一乙=上=—J呢？學生按事先安排分

sinAsinBsinC

組，出示實驗報告單，讓學生閱讀實驗報告單，質(zhì)疑提問：有什么不明白的地方

或者有什么問題嗎？（如果學生沒有問題，教師讓學生動手計算，附實驗報告單。）

學生：分組互動，每組畫一個三角形，度量出三邊和三個角度數(shù)值，通過實

驗數(shù)據(jù)計算，比較，一、一匕、」一的近似值。

sinAsinBsinC

ab

教師：借助多媒體演示隨著三角形任意變換,值仍然保

sinAsinBsinC

持相等。

我們猜想：」二口二二—

sinAsinBsinC

設計意圖：讓學生體驗數(shù)學實驗，激起學生的好奇心和求知欲望。學生自己

進行實驗，體會到數(shù)學實驗的歸納和演繹推理的兩個側面。

（三）證明猜想，得出定理

師生活動：

教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學實驗，多媒體技術支持，對任意的三角形，如何

用數(shù)學的思想方法證明，一=—2—=’一呢？前面探索過程對我們有沒有啟

sinAsinBsinC

發(fā)？學生分組討論，每組派一個代表總結。（以下證明過程，根據(jù)學生回答情況

進行敘述）

學生：思考得出

①在用AABC中，成立，如前面檢驗。

②在銳角三角形中，如圖5設5C=a,CA^b,AB=c

作：AD1BC,垂足為O

An

在RfAAB。中，sin5=—

AB

AD=A8?sin8=c?sin8

AH

在RfAAOC中，sinC=—

AC

AD=AC?sinC=/??sinC

?.csinB=bsinC

.c_b

sinCsinB

同理，在AA8C中，

sinAsinC

a_b_c

sinAsinBsinC

③在鈍角三角形中，如圖6設NC為鈍角,BC=a,CA=b>AB=c

作AO工交BC的延長線于D

Af）

在RrAADB中，sin5=——

AB

AD=43?sin8=c?sin8

An

在RfA40c中，sinNACD=——

AC

AO=AC?sinZACD=〃?sinZACB

：.c*sin5-b?sinZACB

（圖6）

h

sinZACBsin8

同銳角三角形證明可知一3—=—J

sinAsinC

?__a______h_______c___

sinAsin8sinZACB

教師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的

正弦的比相等，即

a_h_c

sinAsinBsinC

還有其它證明方法嗎？

學生：思考得出，分析圖形（圖7）,對于任意aABC,由初中所學過的面積公式

可以得出：S=-AC?BD=-CB?AE=-BA?CF,

AABC222

RD

而由圖中可以看出：sinZBAC=——，sinZACB=—,

ABAC

CF

sinZABC=—

BC

：.BD=AB-sinABAC,AE=AC?sinZACB,CF=BC?sinZABC

S.=-AC?BD=-CB?AE=-BA*CF

MABlCir222

=，4C?4B?sinABAC=-CB*CA?sinZACB=-BA*BCZABC

222

=—b^c^sin^BAC=—a^b^smZACB=-c?a?sinZABC

222

等式-b?c?sinZBAC=-a?b?sinZACB=-c?a?sinZABC中均除以

222

sinABACsinZABCsinZACB

—abc后可得

2ah

ah

即

sinABACsinZ.ABCsinZACB

教師邊分析邊引導學生，同時板書證明過程。

在剛才的證明過程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高A￡=c?sin/ABC=Q?sinNABC,三

角形的面積：SMBC=^a^AE,能否得到新面積公式

學生：S&RC--/?ec?sinABAC=—a^b^sinZACB=—c^a^sinZABC

MBC222

得到三角形面積公式=—absinC=—easinB=—besinA

MBC222

教師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：‘二、一竺、都等于同一

sinAsinBsinC

個比值k,那么它們也相等，這個人到底有沒有什么特殊兒何意義呢?

學生：在前面的檢驗中，Rt\ABC中，

—=—=—=€-，C恰為外接接圓的直徑，即

sinAsinBsinC

c=k=2R,所以作AABC的外接圓。，。為圓心，連接

8。并延長交圓。于把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角

形。

證明：連續(xù)5。并延長交圓于歹

ZB'AB=90°,NB'=NC

Afl

在中，----=B'B

sin5'

sinB'sinC

sinC

同理可證：~~^—=2R,—2_=2R

sinAsinB

sinAsinBsinC

教師：從剛才的證明過程中，—=—=-^-=27?,顯示正弦定理的比

sinAsin5sinC

值等于三角形外接圓的直徑2R,我們通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”

等平面幾何方法證明正弦定理，能否利用其他知識來證明正弦定理？比如，在向

量中，我也學過Z?B=|4?W?cos。，這與邊的長度和三角函數(shù)值有較為密切的聯(lián)

系，是否能夠利用向量積來證明正弦定理呢？

學生：思考（聯(lián)系作高的思想）得出：

在銳角三角形AABC中，AB+BC=AC,作單位向量］垂直于AC,

j

gp0=c?cos（90°-A）+a?cos（90°-C）犬

...c?sinA—a?sinC=0/\

???，=qt/\t

sinCsinAj/\J

同理：???白=3AC

sin8sinA（圖9）

.a_b_c

sinAsinBsinC

對于鈍角三角形，直角三角形的情況作簡單交代。

教師：由于時間有限，對正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學回家再探

索。

設計意圖：經(jīng)歷證明猜想的過程，進一步引導啟發(fā)學生利用已有的數(shù)學知識

論證猜想，力圖讓學生體驗數(shù)學的學習過程。

（四）利用定理，解決引例

師生活動：

教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。

學生：馬上得出

在A4BC中，4=180°-乙4一/。=60°,二一=----

sinCsinB

3="包J%包空=200訪〃

sin5sin60°

（五）了解解三角形概念

設計意圖：讓學生了解解三角形概念，形成知識的完整性

教師：一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三

角形的元素，已知，三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫做解三角形。

設計意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學生體會用新的知識，新的定

理，解決問題更方便，更簡單，激發(fā)學生不斷探索新知識的欲望。

（六）運用定理，解決例題

師生活動：

教師：引導學生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。

學生：討論正弦定理可以解決的問題類型：

①如果已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，

7Z?sin1

如ma=-~—；

sine

②如果已知三角形任意兩邊與其中-一邊的對角，求另一邊與另兩角，如

sin/l=—sinj?

b

師生：例1的處理，先讓學生思考回答解題思路，教師板書，讓學生思考主要是

突出主體，教師板書的目的是規(guī)范解題步驟。

例1：在AA5C中，已知4=30。，8=45。，a=6cm,解三角形。

分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角

形內(nèi)角和為180。求出第三個角NC,再由正弦定理求其他兩邊。

例2：在A4BC中，已知a=2&,b=2^3,4=45。，解三角形。

例2的處理，目的是讓學生掌握分類討論的數(shù)學思想，可先讓中等學生講解解題

思路，其他同學補充交流

學生：反饋練習（教科書第5頁的練習）

用實物投影儀展示學生中解題步驟規(guī)范的解答。

設計意圖：自己解決問題，提高學生學習的熱情和動力，使學生體驗到成功

的愉悅感，變“要我學”為“我要學”，“我要研究”的主動學習。

（七）嘗試小結：

教師：提示引導學生總結本節(jié)課的主要內(nèi)容。

學生：思考交流，歸納總結。

師生：讓學生嘗試小結，教師及時補充，要體現(xiàn)：

（1）正弦定理的內(nèi)容（，一=」-=/一=2H）及其證明思想方法。

sinAsinBsinC

（2）正弦定理的應用范圍：①已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；②已

知三角形中兩邊和其中一邊所對的角，求其他元素。

（3）分類討論的數(shù)學思想。

設計意圖：通過學生的總結，培養(yǎng)學生的歸納總結能力和語言表達能力。

（A）作業(yè)設計

作業(yè)：第10頁[習題1.1]A組第1、2題。

思考題：例2：在A4BC中，已知a=2及，b=2^,A=45。，解三角形。例2

中〃=26分別改為6=2c，6并解三角形，觀察解的情況并解釋出現(xiàn)一解，

兩解，無解的原因。

課外鏈接：課后通過查閱相關書籍，上網(wǎng)搜索，了解關于正弦定理的發(fā)展及

應用（相關網(wǎng)址：）

七、設計思路：

本節(jié)課，學生在不知正弦定理內(nèi)容和證明方法的前提下，在教師預設的思路

中，學生積極主動參與一個個相關聯(lián)的探究活動過程，通過“觀察——實驗——

歸納——猜想——證明”的數(shù)學思想方法發(fā)現(xiàn)并證明定理，讓學生經(jīng)歷了知識形

成的過程，感受到創(chuàng)新的快樂，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。其次，以問題為導向

設計教學情境，促使學生去思考問題，去發(fā)現(xiàn)問題，讓學生在“活動”中學習，

在“主動”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新。

1、結合實例，激發(fā)動機

數(shù)學源于現(xiàn)實，從學生日常生活中的實際問題引入，激發(fā)學生學習的興趣，

引導啟發(fā)學生利用已有的知識解決新的問題，方法一通過相似三角形相似比相等

進行計算，方法二轉(zhuǎn)化解直角三角形。讓學在解決問題中發(fā)現(xiàn)新知識，提出猜想，

使學生在觀察、實驗、猜想、驗證、推理等活動中，逐步形成創(chuàng)新意識。

2、數(shù)學實驗，驗證猜想

通過特例檢驗，讓學生動手實驗，提高了學生實驗操作、分析思考和抽象概

括的能，激發(fā)學生的好奇心和求知欲望，體會到數(shù)學實驗的歸納和演繹推理的兩

個側面。

3、證明猜想，得出定理

引導啟發(fā)學生從角度進行證明定理，展示自己的知識，培養(yǎng)學生解決問題的

能力，增強學習的興趣，愛好，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，培養(yǎng)推理

的意識。

附一：

實驗報告單

組長：組員:

試驗目的研究三角形中各邊和它對角的正弦值的比（，一，—,—L）是否相

sinAsinBsinC

等。

實驗器材計算器，直尺，量角器，硬紙板（由老師統(tǒng)一發(fā)）

實驗方法畫一個任意三角形，量取三邊和三個角的值，并計算。

三邊：a=________b=________c=____________

實驗內(nèi)容三角：A=________B=________C=____________

計算：a=________b=________——=____________

sinAsinBsinC

（精確到小數(shù)點后兩位）

結論:

福安一中陳楨仔林旭

點評：

本節(jié)定理教學課，教師把重點放在定理的發(fā)現(xiàn)與證明上，符合新

課標重視過程與方法的理念，克服了傳統(tǒng)教學只注重結論的傾向。首

先，利用解決一個可測量兩角一對邊，求另一對邊的實際問題引入，

在解決實際問題中，引導學生發(fā)現(xiàn)“三角形三邊與其對應角的正弦值

的比相等”的規(guī)律；通過對特殊三角形的驗證，大膽猜想對任意三角

形成立；接著證明了這個定理。在課堂上展示了定理的發(fā)現(xiàn)過程，使

學生感受到創(chuàng)新的快樂，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，同時讓學生體驗

了“觀察一實驗一歸納一猜想一證明”的數(shù)學思想方法，經(jīng)歷了知識

形成的過程，符合新課標重視過程與方法的理念。其次，在解決引例

中的測量問題時利用用初中相似三角形知識、正弦定理的不同證法

（轉(zhuǎn)化為直角三角形、輔助以三角形外接圓、向量）等，都體現(xiàn)了“在

已有知識體系的基礎上去建構新的知識體系”的理念，加強了知識間

的聯(lián)系，培養(yǎng)了學生思維的靈活性。定理證明的方法一、方法二，參

透了分類、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。但是，本節(jié)課的教學內(nèi)容還是偏多，

在時間分配上要有規(guī)劃，突出重點，刪繁就簡；引入的例題要注意條

件更加明確直接，以免產(chǎn)生歧義，沖淡主體，浪費時間。

總之，本節(jié)課有效地采用了探究式教學，在教師的啟發(fā)引導下，

以學生獨立自主和合作交流為前提，以問題為導向設計教學情境，以

“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究內(nèi)容，為學生提供充分自由表

達、質(zhì)疑、探究、討論問題的機會，讓學生通過個人、小組、集體等

多種解難釋疑的嘗試活動，感受“觀察一一實驗——猜想一一證明一

一應用”等環(huán)節(jié)，教學過程流暢，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思

維，逐步培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思

維的能力。

20、正弦定理（3）

一、教學內(nèi)容分析

“正弦定理”是《普通高中課程標準數(shù)學教科書?數(shù)學（必修5）》（人教版）

第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容，它既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延拓，也是

三角函數(shù)一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運用，是解可轉(zhuǎn)化為三角

形計算問題的其它數(shù)學問題及生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的

應用價值。為什么要研究正弦定理？正弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的？其證明方法是怎樣

想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而確實又是學生所關心的問

題。

本節(jié)課是“正弦定理”教學的第一課時，其主要任務是引入并證明正弦定理,

在課型上屬于“定理教學課”。因此，做好“正弦定理”的教學，不僅能復習鞏

固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點，而且通過

對定理的探究，能使學生體驗到數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，進而培養(yǎng)學生提出問題、

解決問題等研究性學習的能力。

二、學生學習情況分析

學生在初中已經(jīng)學習了解直角三角形的內(nèi)容，在必修4中，又學習了三角函

數(shù)的基礎知識和平面向量的有關內(nèi)容，對解直角三角形、三角函數(shù)、平面向量已

形成初步的知識框架，這不僅是學習正弦定理的認知基礎，同時又是突破定理證

明障礙的強有力的工具。正弦定理是關于任意三角形邊角關系的重要定理之一，

《課程標準》強調(diào)在教學中要重視定理的探究過程，并能運用它解決一些實際問

題，可以使學生進一步了解數(shù)學在實際中的應用，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,

也為學習正弦定理提供一種親和力與認同感。

三、設計思想

培養(yǎng)學生學會學習、學會探究是全面發(fā)展學生能力的重要前提，是高中新課

程改革的主要任務。如何培養(yǎng)學生學會學習、學會探究呢？建構主義認為：“知

識不是被動吸收的，而是由認知主體主動建構的。”這個觀點從教學的角度來理

解就是：知識不是通過教師傳授得到的，而是學生在一定的情境中，運用已有的

學習經(jīng)驗，并通過與他人（在教師指導和學習伙伴的幫助下）協(xié)作，主動建構而

獲得的，建構主義教學模式強調(diào)以學生為中心，視學生為認知的主體，教師只對

學生的意義建構起幫助和促進作用。本節(jié)“正弦定理”的教學，將遵循這個原則

而進行設計。

四、教學目標

1、知識與技能：通過對任意三角形的邊與其對角的關系的探索，掌握正弦定

理的內(nèi)容及其證明方法。

2、過程與方法：讓學生從已有的知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與

其對角的關系，引導學生通過觀察、歸納、猜想、證明，由特殊到一般得到正弦

定理等方法，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。

3、情感態(tài)度與價值觀：在平等的教學氛圍中，通過學生之間、師生之間的交

流、合作和評價，實現(xiàn)共同探究、教學相長的教學情境。

五、教學重點與難點

重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導

難點：正弦定理的推導

六、教學過程設計

（-）設置情境

利用投影展示：如圖1,一條河的兩岸平行，河寬d=lkm。因上游暴發(fā)特大

洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物

資及留守人員用船盡快轉(zhuǎn)運到正對岸的碼頭B處或其下

游M機的碼頭C處，請你確定轉(zhuǎn)運方案。已知船在靜水

中的速度匕=5防”//2,水流速度％=3初z//i。

【設計意圖】培養(yǎng)學生的“數(shù)學起源于生活，運用于

生活”的思想意識，同時情境問題的圖形及解題思路均為研究正弦定理做鋪墊。

（二）提出問題

師：為了確定轉(zhuǎn)運方案，請同學們設身處地地考慮有關的問題，將各自的問

題經(jīng)小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我。

待各小組將問題交給老師后，老師篩選了兒個問題通過投影向全班展示，經(jīng)

大家歸納整理后得到如下的五個問題：

1、船應開往B處還是C處？

2、船從A開到B、C分別需要多少時間？

3、船從A到B、C的距離分別是多少？

4、船從A到B、C時的速度大小分別是多少？

5、船應向什么方向開，才能保證沿直線到達B、C?

【設計意圖】通過小組交流，提供一定的研究學習與情感交流的時空，培養(yǎng)

學生合作學習的能力；問題源于學生，突出學生學習的主體性，能激發(fā)學生學習

的興趣；問題通過老師的篩選，確定研究的方向，體現(xiàn)教師的主導作用。

師：誰能幫大家講解，應該怎樣解決上述問題？

大家經(jīng)過討論達成如下共識：要回答問題1,需要解決問題2,要解決問題2,

需要先解決問題3和4,問題3用直角三角形知識可解，所以重點是解決問題4,

問題4與問題5是兩個相關問題。因此，解決上述問題的關鍵是解決問題4和5。

師：請同學們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習本上做出與問題對應的示意圖，

明確已知什么，要求什么，怎樣求解。

生1：船從A開往B的情況如圖2,根據(jù)平行B_J

四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識，可求得船在河

水中的速度大小降I及匕與“的夾角e：

222

Iv1=v,I—Iv2P=V5—3=4,

sine=I衛(wèi)=3,用計算器可求得0?37。

I%I5

船從A開往C的情況如圖3,IAO1=1印=5,

\DE\=\AF1=1v21=3,易求得NAE4=N￡A尸=45。,還

需求ND4E及v,我還不知道怎樣解這兩個問題。

師：請大家思考，這兩個問題的數(shù)學實質(zhì)是什么？

F

部分學生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的圖3

對角，求另一邊的對角和第三邊。

【設計意圖】將問題數(shù)學化，有助于加深學生對問題的理解，有助于培養(yǎng)學

生的數(shù)學意識。

師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？

生3：不知道。

師：圖2的情形大家都會解，但圖3的情形卻有困難，那么圖2與圖3有何

異同點？

生4：圖2和圖3的情形都是已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一

邊的對角和第三邊。但圖2中A4OE是直角三角形，而圖3中A4DE不是直角三

角形，不能象在直角三角形中可直接利用邊角的關系求解。

師：圖3的情形能否轉(zhuǎn)化成直角三角形來解呢？

【設計意圖】通過教師的問題引導，啟發(fā)學生將問題進行轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學生的化

歸思想，同時為下一步用特例作為突破口來研究正弦定理以及用作高的方法來證

明正弦定理做好鋪墊.

BC

生5：能，過點D作。G_LAE于點G（如圖4）,-----?-----------@-----

.-.IDGHV,IsinZDAG=1DEIsinZAED￡5

IAG曰匕IcosNZMG,\EG1=1DE\cosZAED"%

IDEIsinNAED3sin45。_3&

/.sinZDAG=圖4

13=1AGI+IGE1=?,-

師：很好！采取分割的方法，將一般三角形化為兩個直角三角形求解。但在

生活中有許多三角形不是直角三角形，如果每個三角形都劃分為直角三角形求

解，很不便。能不能象直角三角形一樣直接利用邊角關系求解呢？三角形中，任

意兩邊與其對角之間有怎樣的數(shù)量關系？

【設計意圖】通過教師對學生的肯定評價，創(chuàng)造一個教與學的和諧環(huán)境，既

激發(fā)學生的學習興趣，使緊接著的問題能更好地得到學生的認同，又有利于學生

和教師的共同成長。

(三)解決問題

1、正弦定理的引入

師：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？

眾學生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。可以以直角三角形為特

例，先在直角三角形中試探一下。

師：如果一般三角形具有某種邊角關系，對于特殊的三角形——直角三角形

也是成立的，因此我們先研究特例，請同學們對直角三角形進行研究，尋找一般

三角形的各邊及其對角之間有何關系？同學們可以參與小組共同研究。

(1)學生以小組為單位進行研究；教師觀察學生的研究進展情況或參與學

生的研究。

(2)展示學生研究的結果。

【設計意圖】教師參與學生之間的研究，增進師生之間的思維與情感的交流,

并通過教師的指導與觀察，及時掌握學生研究的情況，為展示學生的研究結論做

準備；同時通過展示研究結論，強化學生學習的動機，增進學生的成功感及學習

的信心。

師：請說出你研究的結論？

生7：4=上=，

sinAsinBsinC

師：你是怎樣想出來的？

生7：因為在直角三角形中，它們的比值都等于斜邊c。

師：有沒有其它的研究結論？(根據(jù)實際情況，引導學生進行分析判斷結論

正確與否，或留課后進一步深入研究。)

師：2_=對一般三角形是否成立呢？

sinAsinBsinC

眾學生：不一定，可以先用具體例子檢驗，若有一個不成立，則否定結論：

若都成立，則說明這個結論很可能成立，再想辦法進行嚴格的證明。

師：這是個好主意。那么一L=」一=」一對等邊三角形是否成立呢？

sinAsinBsinC

生9：成立。

師：對任意三角形」一=±=—J是否成立，現(xiàn)在讓我們借助于《幾何

sinAsinBsinC

畫板》做一個數(shù)學實驗，……

【設計意圖】引導學生的思維逐步形成“情境思考”一一“提出問題”一一

“研究特例”——“歸納猜想”——“實驗探究”——“理論探究”——“解決

問題”的思維方式，進而形成解決問題的能力。

2、正弦定理的探究

(1)實驗探究正弦定理

師：借助于電腦與多媒體，利用《兒何畫板》軟件，演示正弦定理教學課件。

邊演示邊引導學生觀察三角形形狀的變化與三個比值的變化情況。

結論：一L=—匕=」一對于任意三角形都成立。

sinAsinBsinC

【設計意圖】通過《幾何畫板》軟件的演示，使學生對結論的認識從感性逐

步上升到理性。

師：利用上述結論解決情境問題中圖3的情形，并檢驗與生5的計算結果是

否一致。

生10：(通過計算)與生5的結果相同。

師：如果上述結論成立，則在三角形中利用該結論解決“已知兩邊和其中一

邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。”的問題就簡單多了。

［設計意圖】與情境設置中的問題相呼應，間接給出了正弦定理的簡單應用，

并強化學生學習探究、應用正弦定理的心理需求。

(2)點明課題：正弦定理

(3)正弦定理的理論探究

師：既然是定理，則需要證明，請同學們與小組共同探究正弦定理的證明。

探究方案：

直角三角形——已驗證；

銳角三角形——課堂探究；

鈍角三角形——課后證明。

【設計意圖】通過分析，確定探究方案。課堂只讓學生探究銳角三角形的情

形，有助于在不影響探究進程的同時，為探究銳角三角形的情形騰出更多的時間。

鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學生鞏固課堂的成果。

師：請你（生11）到講臺上，講講你的證

明思路？

生11:（走上講臺），設法將問題轉(zhuǎn)化成直

角三角形中的問題進行解決。通過作三角形的

高，與生5的辦法一樣，如圖5作BC邊上的

高AD,IJJlJAD=csinB=bsinC,所以

=同理可得，—=—也

sinBsinCsinAsinB

師：因為要證明的是一個等式，所以應從銳角三角形的條件出發(fā)，構造等量

關系從而達到證明的目的。注意：csin8=bsinC表示的兒何意義是三角形同一

邊上的高不變。這是一個簡捷的證明方法！

【設計意圖】點明此證法的實質(zhì)是找到一個可以作為證明基礎的等量關系，

為后續(xù)兩種方法的提出做鋪墊，同時適時對學生作出合情的評價。

師：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎的等量關系呢？

學生七嘴八舌地說出一些等量關系，經(jīng)討論

后確定如下一些與直角三角形有關的等量關系可

能有利用價值：①三角形的面積不變；②三角形

外接圓直徑不變。在教師的建議下，學生分別利

用這兩種關系作為基礎又得出了如下兩種證法：

證法二：如圖6,設AD、BE、CF分別是AABC

的三條高。則有

AD=b-sinZACB,

BE=c-sinABAC,

CF=a-sinZABCo

SAARC=—ZACB=—b-c-sinABAC=—ctzsinZABC

MBC222

?_____a__________b__________c____

sinABACsinZ.ABCsinZACB

證法三：如圖7,設8。=2r是A48C外接圓

的直徑，則NR4O=90。，ZACB=ZADB

cC

?--BD=2r

sinZACBsinZADB

圖7三角形外接圓

同理可證:

sinZBACsinZABC

?______________h____c________

sinZBACsinZABCsinZACB

【設計意圖】在證明正弦定理的同時，將兩邊及其夾角的三角形面積公式

及一--=―-~-=―-—=2r一并牽出，使知識的產(chǎn)生自然合理。

sinAsinBsinC

師：前面我們學習了平面向量，能否運用向量的方法證明呢？

師：任意A48c中，三個向量而、前、誣間有什么關系？

生12：AB+BC+CA^Q

師：正弦定理體現(xiàn)的是三角形中邊角間的數(shù)量關系，由而+芯+以=。轉(zhuǎn)

化成數(shù)量關系？

生13：利用向量的數(shù)量積運算可將向量關系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關系。

師：在通+芯+由兩邊同乘以向量]，有(而+脛+瓦)?]=(),這里的向量

7可否任意？又如何選擇向量子？

生14：因為兩個垂直向量的數(shù)量積為o,可考慮讓向量]與三個向量中的一

個向量(如向量前)垂直，而且使三個項的關系式轉(zhuǎn)化成兩個項的關系式。

師：還是先研究銳角三角形的情形，按以上思路，請大家具體試一下，看還

有什么問題？

教師參與學生的小組研究，同時引導學生注意兩個向量的夾角，最后讓學生

通過小組代表作完成了如下證明。A

證法四：如圖8,設非零向量7與向量就垂直。A

因為通+前+或=6,c\A

所以(而+就+的3=07L\

^AB-j+CA-j=0

圖8向量

IABI-IJI-cos<AB,j>+1CAI-Ij\-cos<CA,j>=0

c.l}l-cos(90°+S)+fe-l；l-cos(90°-C)=0

c-lJI-<-sinfi)+&-ljl-sinC=0

所以上=」一，同理可得，二=上

sinBsinCsinAsinB

師：能否簡化證法四的過程？(留有一定的時間給學生思考)

師：而3+而5=0有什么幾何意義？

生15：把赤?+瓦.]=0移項可得出?=而?,由向量數(shù)量積的兒何意義

可知CA與BA在j方向上的投影相等。

生16：我還有--種證法

師：請你到講臺來給大家講一講。（學生16上臺板書自己的證明方法。）

證法五：如圖9,作則瓦與正在

標方向上的投影相等，即麗?麗=正?瓦

.-.I而I.I而I.cos（90。-B）=\AC\-\AD\-cos（90°-C）

/.csinB=Z?-sinC

故一2_=」一，同理可得,=—也

sinBsinCsinAsin5

師：利用向量在邊上的高上的射影相等，證明

了正弦定理，方法非常簡捷明了！

【設計意圖】利用向量法來證明幾何問題，學生相對比較生疏，不容易馬上

想出來，教師通過設計一些遞進式的問題給予適當?shù)膯l(fā)引導，將很難想到的方

法合理分解，有利于學生理解接受。

（四）小結

師：本節(jié)課我們是從實際問題出發(fā)，通過猜想、實驗，歸納等思維方法，最

后發(fā)現(xiàn)了正弦定理，并從不同的角度證明了它。本節(jié)課，我們研究問題的突出特

點是從特殊到一般，利用了兒何畫板進行數(shù)學實驗。我們不僅收獲著結論，而且

整個探索過程我們也掌握了研究問題的一般方法。

（五）作業(yè)

1、回顧本節(jié)課的整個研究過程，體會知識的發(fā)生過程；

2、思考：證法五與證法一有何聯(lián)系？

3、思考：能否借助向量的坐標的方法證明正弦定理？

4、當三角形為鈍角三角形時，證明正弦定理。

【設計意圖】為保證學生有充足的時間來完成觀察、歸納、猜想、探究和證

明，小結的時間花得少且比較簡單，這將在下一節(jié)課進行完善，因此作業(yè)的布置

也為下節(jié)課做一些必要的準備。

七、教學反思

為了使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和

“創(chuàng)造者”，使教學過程成為學生主動獲取知識、發(fā)展能力、體驗數(shù)學的過程。

我想到了“情境——問題”教學模式，即構建一個以情境為基礎，提出問題與解

決問題相互引發(fā)攜手并進的“情境——問題”學習鏈，并根據(jù)上述精神，結合教

學內(nèi)容，具體做出了如下設計：①創(chuàng)設一個現(xiàn)實問題情境作為提出問題的背景

（注：該情境源于《普通高中課程標準數(shù)學教科書?數(shù)學（必修4）》（人教版）

第二章習題2.5B組第二題，我將其加工成一個具有實際意義的決策型問題）；②

啟發(fā)、引導學生提出自己關心的現(xiàn)實問題，逐步將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性

數(shù)學問題，解決過渡性問題4與5時需要使用正弦定理，借此引發(fā)學生的認知沖

突，揭示解斜三角形的必要性，并使學生產(chǎn)生進一步探索解決問題的動機。然后

引導學生抓住問題的數(shù)學實質(zhì)，將過渡性問題引伸成一般的數(shù)學問題：已知三角

形的兩條邊和一邊的對角，求另?邊的對角及第三邊。解決這兩個問題需要先回

答目標問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關系？③為了解決提

出的目標問題，引導學生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標問題在直角

三角形中的解，從而形成猜想，然后使用幾何畫板對猜想進行驗證，進而引導學

生對猜想進行嚴格的邏輯證明。

總之，整個過程讓學生通過自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了“情境思考”

-“提出問題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實驗探究”——“理

論探究”——“解決問題”——“反思總結”的歷程，使學生成為正弦定理的“發(fā)

現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，從而使三維教學目標得以實現(xiàn)。

大田一中陳永民

點評：

本節(jié)課是典型合作探究課，教師先設計一個實際問題引導學生討

論問題解決方案，將方案數(shù)學化，歸納出一類數(shù)學問題“在三角形中，

已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊”，順利地引

入新課，實現(xiàn)了從“現(xiàn)象”至》“本質(zhì)”的飛躍，培養(yǎng)了學生提出問題、

分析問題、數(shù)學建模的能力。為尋求解決問題的普遍方法，對三角形

的邊角關系進行探索，在特殊情況（直角三角形）下得到正弦定理

—=—=又在等邊三角形和一般三角形中驗證，堅定了結

sinAsin8sinC

論成立的猜想，最后通過嚴格證明，得到了正弦定理，再返回到前面

的引例中，利用正弦定理問題迎仞而解。從而使學生親身經(jīng)歷了“情

境思考”一“提出問題”-“研究特例”一“歸納猜想”一“實驗探

究”一“理論探究”一“解決問題”一“反思總結”的歷程，學會研

究數(shù)學問題的方法，學生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，

切身感受了創(chuàng)造的苦和樂。在對具體的一般三角形驗證

3=—2—=—J成立的過程中，利用《幾何畫板》軟件，不斷變換

sinAsinBsinC

三角形，觀察上式成立，提高了效率，現(xiàn)代教育技術的運用恰到好