湘教版八上第3章作三角形學(xué)案邢進(jìn)文

【同步教育信息】一.本周教學(xué)內(nèi)容：湘教版八上第3章作三角形學(xué)案［教學(xué)目標(biāo)］1.知識(shí)與技能會(huì)用直尺和圓規(guī)作三角形，了解什么是尺規(guī)作圖。2.過(guò)程與方法了解什么是幾何作圖題以及幾何作圖的一般步驟。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀培養(yǎng)空間觀念，能夠在較復(fù)雜的圖形中識(shí)別基本圖形，并能順利解決問(wèn)題。二.重點(diǎn)、難點(diǎn)：1.重點(diǎn)：（1）三角形的幾種作圖方法。（2）三角形的作法在實(shí)際生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用。2.難點(diǎn)：能夠畫出較復(fù)雜的圖形。三.教學(xué)知識(shí)要點(diǎn)：1.尺規(guī)作圖的定義及步驟（1）只用直尺和圓規(guī)作圖的方法叫尺規(guī)作圖。說(shuō)明：最基本的尺規(guī)作圖，通常稱基本作圖。一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖，都是由基本作圖組成的。（2）一般步驟有：①已知——將條件明晰、具體化②求作——具體敘述作圖應(yīng)滿足的條件③分析——尋找作圖的途徑④作法——根據(jù)分析所得的作圖方法，并依次畫圖，敘述作圖過(guò)程⑤證明——驗(yàn)證所作圖形的正確性⑥討論說(shuō)明：通常情況下，⑤⑥省略，③只在草稿紙上進(jìn)行，因此實(shí)際作圖步驟為：已知——求作——作法。2.五個(gè)基本作圖（1）作一條線段等于已知線段（2）作一角等于已知角（3）平分已知角（4）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線（5）作線段的垂直平分線3.常用的作圖語(yǔ)言（1）連結(jié)××（2）在××上截取××＝××（3）延長(zhǎng)××到×，使××＝××（4）以點(diǎn)×為圓心，××為半徑作圖（或弧）（5）以點(diǎn)×為圓心，××為半徑作弧，交××于點(diǎn)×（6）作××平分∠×××（7）過(guò)點(diǎn)×作××⊥××，垂足為點(diǎn)×（8）作線段××的垂直平分線××4.運(yùn)用基本作圖作三角形（1）已知三邊作三角形（2）已知兩邊及其夾角作三角形（3）已知兩角及其夾邊作三角形【典型例題】例1.如圖，已知∠α、∠β，線段a。求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a分析：此類作圖題常用奠基法，即不妨先畫個(gè)假設(shè)圖，對(duì)“已知作成”的草圖進(jìn)行分析，以確定作圖的思路與順序。本題關(guān)鍵是確定三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，容易先確定A點(diǎn)，其次確定C點(diǎn)，A點(diǎn)確定時(shí)難以下手，因?yàn)锳B的長(zhǎng)度不知道，可利用三角形的內(nèi)角和是180°的已知知識(shí)，設(shè)法求出∠C，將所給的“角角邊”條件，轉(zhuǎn)化為“角邊角”作圖。作法：（2）作線段BC＝a（3）分別以B、C為頂點(diǎn)，以BC為一邊作∠CBM＝∠β，∠BCN＝∠γ，射線BM、CN交于點(diǎn)A，則△ABC就是所求作的三角形。說(shuō)明：一般作圖題常用“奠基法”，希望同學(xué)們認(rèn)真體會(huì)。例2.已知：斜邊和一直角邊，求作直角三角形。已知：線段c和b（c＞b）求作：Rt△ABC，使它的斜邊AB＝c，一條直角邊AC＝b。分析：求作三角形時(shí)要給定三個(gè)條件，但求作特殊的三角形，等腰或直角三角形時(shí)，常常只需給出兩個(gè)條件，此時(shí)應(yīng)挖掘隱含條件“等腰或直角”。作法：（1）在l上任取一點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥l（2）在l上截取CA＝b（3）以點(diǎn)A為圓心，C為半徑作弧，交CD于點(diǎn)B（4）連結(jié)AB∴△ABC為所求的直角三角形例3.如圖，在一條河流的北側(cè)，有A、B兩處牧場(chǎng)，每天清晨，羊群從A出發(fā)，到河邊飲水后，折到B處放牧吃草，請(qǐng)問(wèn)，飲水處應(yīng)設(shè)在河流的什么位置，從A到B羊群行走的路線最短？分析：將河流看作直線l，設(shè)羊群在河邊的飲水點(diǎn)為C'，則羊群的行走路程為AC'＋C'B，設(shè)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，由對(duì)稱性知C'A'＝C'A，因此，羊群行走的路程為A'C'＋C'B，線段A'C'與C'B是連接點(diǎn)A'與點(diǎn)B之間的折線，由線段基本性質(zhì)知，連接點(diǎn)A'與B之間的線中，線段A'B最短，設(shè)線段A'B與直線l交于C，那么C點(diǎn)就是所選的最好的飲水地點(diǎn)。解：作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連結(jié)BA'，并設(shè)線段BA'與l交于C，設(shè)C'是l上不同于C的任一點(diǎn)，只要說(shuō)明AC'＋C'B＞AC＋CB即可。利用線段基本性質(zhì)及點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱性知：而A'B則是連接這兩點(diǎn)之間的線段即選擇C點(diǎn)作為羊群的飲水點(diǎn)，羊群行走路線最短。說(shuō)明：此例題主要考查了點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱性和三角形兩邊之和大于第三邊等基礎(chǔ)知識(shí)。例4.已知：線段a、S，S＞2a。求作：等腰三角形，使它的底邊等于a，周長(zhǎng)等于S。分析：本題是已知周長(zhǎng)和底邊，求作等腰三角形的問(wèn)題?？紤]到周長(zhǎng)這一線段上也包括底邊長(zhǎng)，所以先畫線段BM＝S，在S上截取BC＝a，剩下的一部分線段CM就是“兩腰和”，而因兩腰相等，可作CM的垂直平分線找到中點(diǎn)N，此時(shí)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“分別以BC、CN、NM為三邊作三角形”這一簡(jiǎn)單問(wèn)題。作法：（1）作線段BM＝S，在BM上截取BC＝a；（2）作線段CM的中點(diǎn)N；（3）分別以B、C為圓心，以CN長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于A，連結(jié)AB、AC?！唷鰽BC即為所求作的三角形說(shuō)明：本題實(shí)質(zhì)是剖因析果解作圖題，剖因析果解作圖題，就是把作圖題的已知條件和求作結(jié)果理解為一種因果關(guān)系，通過(guò)一系列幾何形象思維和圖示分析，利用有關(guān)知識(shí)技能認(rèn)真剖析二者之間的內(nèi)在關(guān)系，嘗試畫出草圖，按題意整理思路，正式作圖，寫出作法。例5.求作等腰直角三角形，使它的斜邊等于已知線段。已知：線段a求作：△ABC，使∠A＝90°，AB＝AC，BC＝a。分析：作等腰直角三角形或等邊三角形只需一個(gè)條件，有時(shí)作圖不止一種作法，同幾何證明題一樣，我們也要善于探索多種畫法，選擇一種最簡(jiǎn)單的畫法去作圖，下面我們列舉四種這道題的畫法。作法一（如甲圖）：（1）作線段BC＝a（2）分別過(guò)B、C點(diǎn)作BD、CE垂直于BC（3）分別作∠DBC、∠ECB的平分線BM、CN，它們交于點(diǎn)A∴△ABC就是所求作的等腰直角三角形作法二（如乙圖）：（1）作線段BC＝a（2）作∠MBC＝45°（3）作∠NCB＝∠MBC，且CN、BM交于點(diǎn)A∴△ABC就是所求作的等腰直角三角形作法三（如丙圖）：（1）作線段BC＝a（2）作∠MBC＝45°（3）過(guò)C作CE⊥BM于A∴△ABC就是所求作的等腰直角三角形作法四（如丁圖）：（1）作線段BC＝a（2）作BC的中垂線，垂足為O（3）在OM上截取OA＝OB，連結(jié)AB、AC∴△ABC就是所求作的等腰直角三角形【模擬試題】（答題時(shí)間：30分鐘）一.填空題。1.在以前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了五種基本作圖，它們分別是：（1）___________________ （2）___________________（3）___________________ （4）___________________（5）___________________2.尺規(guī)作圖的畫圖工具是___________________。3.若有一條直線能將一正方形的紙片分成面積相等的兩個(gè)部分，那么這樣的直線能作__________條。4.經(jīng)過(guò)直線MN上一點(diǎn)P作MN的垂線，就相當(dāng)于作平角∠MPN的__________。5.作銳角∠AOB的余角，其作法是過(guò)點(diǎn)O作射線OA（或OB）的__________。6.已知線段a，求作等邊三角形，使其邊長(zhǎng)為a，其作法是：（1）作線段AB＝__________（2）分別以A、B為圓心，以__________為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C（3）連結(jié)__________和__________△ABC就是所求作的等邊三角形。二.選擇題。1.下列說(shuō)法中正確的是（）A.作AB的平行線是基本作圖B.作一個(gè)角的余角是基本作圖C.只要給出三個(gè)條件，就可以作出唯一的三角形D.只給出一腰和頂角，也能作出一個(gè)等腰三角形2.關(guān)于下列作圖題的作法敘述正確的是（）A.作直線OC平分∠AOBB.過(guò)點(diǎn)A作直線AB的垂直平分線C.過(guò)點(diǎn)C作線段AB的垂直平分線D.作線段AB的垂直平分線3.下列作圖語(yǔ)言，敘述正確的是（）A.以A、B為端點(diǎn)，作直線ABB.以B為端點(diǎn)，作射線ABC.作線段AB，使AB＝aD.連結(jié)AB，使AB⊥a4.作出△ABC一邊BC上的高AD，角平分線AE及中線AF，則三者中可能落在△ABC外部的是（）A.AD B.AE C.AF D.都沒(méi)有可能5.下列條件中，不能唯一作出直角三角形的是（）A.已知兩條直角邊B.已知兩個(gè)銳角C.已知一個(gè)銳角及其鄰邊D.已知一個(gè)銳角及其對(duì)邊6.下列作圖語(yǔ)言中，完全正確的是（）A.以a長(zhǎng)為半徑作弧B.延長(zhǎng)射線OA到B，使AB＝OAC.延長(zhǎng)射線AB到C，使AB＝BCD.過(guò)直線l外一點(diǎn)作直線l的平行線7.已知三角形的兩邊a、b和邊a的對(duì)角∠A，則由此條件確定的三角形的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.以上三種情況均有可能發(fā)生三.解答題。1.已知兩邊和第三邊上的中線，求作三角形。2.已知：∠α和線段m求作：△ABC，使AB＝AC，∠α3.三等分直角。4.求作一點(diǎn)P，使PA＝PB，PC＝PD。

【試題答案】一.1.（1）作一條線段等于已知線段（2）作一個(gè)角等于已知角（3）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線（4）作已知線段的垂直平分線（5）平分已知角2.圓規(guī)和直尺3.無(wú)數(shù)條4.角平分線5.垂線6.a，a，AC，BC二.1.D 2.D 3.C 4.A 5.B 6.D 7.D三.1.先作△ABD，使AB、BD等于兩已知線段，作三角形的兩邊，AD為第三邊中線的兩倍，再作AD的中點(diǎn)E，連BE，并延長(zhǎng)至C，使EC＝BE，連結(jié)AC，則△ABC為所求作的三角形。2.作法：（1）作∠PAQ＝∠α（2