用數(shù)學(xué)知識求解物理極值問題

用數(shù)學(xué)知識求解物理極值問題摘要：物理極值問題，就是求某物理量在某物理過程中的極大值或極小值。物理極值問題是中學(xué)物理教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，在高中物理的力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等部分均出現(xiàn)，涉及的知識面廣，綜合性強(qiáng)，加之學(xué)生數(shù)理結(jié)合能力差，物理極值問題已成為高中學(xué)生學(xué)習(xí)物理的難點(diǎn)。隨著高考改革的深入及素質(zhì)教育的全面推進(jìn)，各學(xué)科之間的滲透不斷加強(qiáng)，作為對理解能力和演繹推理能力及運(yùn)算能力都有很高要求的物理學(xué)科，如果能與數(shù)學(xué)知識靈活結(jié)合，將會(huì)拓展解決物理極值問題的思路，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力。本文擬就本人在教學(xué)過程中遇到的一些極值問題作以探討。關(guān)鍵詞：物理極值問題數(shù)理結(jié)合求解一、用二次函數(shù)求極值在解物理問題時(shí)，若列出的物理方程滿足二次函形式，則可由求二次函數(shù)極值的方法求解物理極值。主要有以下幾種類型：用二次函數(shù)極值公式求極值。對于典型的一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c,(a≠0)若a>0,則當(dāng)時(shí),y有極小值，為ymin=；若a<0,則當(dāng)時(shí),y有極大值，為ymax=。例1一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以3m/s2的加速度開始行駛。恰在這時(shí)一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后邊趕過汽車。汽車從路口開動(dòng)后，在追上自行車之前過多長時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？分析：根據(jù)題意，自行車做勻速運(yùn)動(dòng)，汽車做勻加速運(yùn)動(dòng)。汽車與自行車的位移之差是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的二次函數(shù)，所以可以用二次函數(shù)極值公式求極值。解：經(jīng)過時(shí)間t后，自行車做勻速運(yùn)動(dòng)，其位移為S1=Vt，汽車做勻加速運(yùn)動(dòng)，其位移為：兩車相距為：這是一個(gè)關(guān)于t的二次函數(shù)，因二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)值，故ΔS有最大值。當(dāng)=2（s)時(shí)ΔS有最大值。（二）利用一元二次方程判別式求極值對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，(a≠0)可變形為一元二次方程ax2+bx+c-y=0用判別式法即：則由不等式可知y的極值為：對于例題1，我們可以轉(zhuǎn)化為二次方程求解。將可轉(zhuǎn)化為一元二次方程：要使方程有解，必使判別式解不等式得：，即最大值為6m例1.一個(gè)質(zhì)量為m的電子與一個(gè)靜止的質(zhì)量為M的原子發(fā)生正碰，碰后原子獲得一定速度，并有一定的能量E被貯存在這個(gè)原子內(nèi)部。求電子必須具有的最小初動(dòng)能是多少？

分析與解：設(shè)電子碰前的速度為υ1，碰后的速度為，靜止的原子被碰后的速度為。

由動(dòng)量守恒定律有(1)

由能量守恒有(2)

在以上兩個(gè)方程中，有三個(gè)未知數(shù)，υ1、、，一般的同學(xué)認(rèn)為少一個(gè)方程，難以求解。但由（1）式解出代入（2）

可得：

進(jìn)一步整理可得：(M+m)m-2m2υ1+(m-M)mυ12+2ME=0

此式是關(guān)于的一元二次方程，因電子碰后的速度必為實(shí)數(shù)，所以此方程的判別式B2-4AC≥0即

4m4-4(M+m)m[(m-M)m+2ME]≥0

根據(jù)上式整理可得：

所以電子必須具有的最小的初動(dòng)能是例2.如圖2-1所示，頂角為2θ的光滑圓錐，置于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m，帶電量為+q的小球，沿圓錐面在水平面作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求小球作圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑。

分析與解：小球在運(yùn)動(dòng)時(shí)將受重力mg，圓錐面對球的彈力N，及洛侖茲力f的作用，如圖2-2所示。設(shè)小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，速率為υ。

由正交分解可得

聯(lián)立（1）、（2）試可得

上式有υ、R兩個(gè)未知量，似乎不可解，但因?yàn)槭乔髽O值問題，可用一元二次方程判別式求解。因?yàn)棣杂袑?shí)數(shù)解，由B2-4AC≥0

即

∴小球作圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑為例3.在擲鉛球的運(yùn)動(dòng)中，如果鉛球出手時(shí)距地面的高度為h，速度為υ0，求υ0與水平方向成何角度時(shí)，水平射程最遠(yuǎn)？并求此最大的水平射程Xmax。

分析與解：以出手點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，可分別列出水平方向與豎直方向的位移方程。

上式為關(guān)于tgθ的一元二次方程。若tgθ存在實(shí)數(shù)解，則判別式B2-4AC≥0

即

解出結(jié)果后，我們可聯(lián)系實(shí)際進(jìn)行如下驗(yàn)證。設(shè)出手高度h=0,

則

θ=45°。這就是我們過去曾經(jīng)知道的一個(gè)物體做斜拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)θ=45°時(shí)其射程最遠(yuǎn)。（三）利用配方法求極值對于二次函數(shù)，函數(shù)解析式經(jīng)配方可變?yōu)?1)若a>0時(shí)，當(dāng)時(shí)，y有極小值為(2)若a<0時(shí)，當(dāng)時(shí)，y有極大值為對于例題1還可用配方法求解。二.利用不等式求極值（一）如果a，b為正數(shù)，那么有：，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，上式取“=”號。推論：1.兩個(gè)正數(shù)的積一定時(shí)，兩數(shù)相等時(shí)，其和最小。2.兩個(gè)正數(shù)的和一定時(shí)，兩數(shù)相等時(shí)，其積最大。（二）如果a，b，c為正數(shù)，則有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，上式取“=”號。推論：1.三個(gè)正數(shù)的積一定時(shí)，三數(shù)相等時(shí)，其和最小。2.三個(gè)正數(shù)的和一定時(shí)，三數(shù)相等時(shí)，其積最大。例2一輕繩一端固定在O點(diǎn)，另一端拴一小球，拉起小球使輕繩水平，然后無初速度的釋放，如圖所示，小球在運(yùn)動(dòng)至輕繩達(dá)到豎直位置的過程中，小球所受重力的瞬時(shí)功率在何處取得最大值？解：當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到繩與豎直方向成θ角的C時(shí)，重力的功率為：P=mgυcosα=mgυsinθ…………①小球從水平位置到圖中C位置時(shí)，機(jī)械能守恒有：……………②解①②可得：令y=cosθsin2θ根據(jù)基本不等式，定和求積知：當(dāng)且僅當(dāng)，y有最大值由此我們可以得出結(jié)論：當(dāng)時(shí)，y及功率P有最大值。三利用三角函數(shù)求極值（一）利用三角函數(shù)的有界性求極值如果所求物理量表達(dá)式中含有三角函數(shù)，可利用三角函數(shù)的有界性求極值。若所求物理量表達(dá)式可化為“”的形式，可變?yōu)?，?dāng)時(shí)，有極值。例3如圖所示,底邊恒定為b,當(dāng)斜面與底邊所成夾角θ為多大時(shí),物體沿此光滑斜面由靜止從頂端滑到底端所用時(shí)間才最短?此題的關(guān)鍵是找出物體從斜面頂端滑至底端所用時(shí)間與夾角的關(guān)系式,這是一道運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的綜合題,應(yīng)根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的有關(guān)知識列出物理方程。解：設(shè)斜面傾角為θ時(shí)，斜面長為S，物體受力如圖所示，由圖知…①由勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：…………②由牛頓第二定律提：mgsinθ=ma…………③聯(lián)立①②③式解得：可見，在90°≥θ≥0°內(nèi)，當(dāng)2θ=90°時(shí)，sin2θ有最大值，t有最小值。即θ=45°時(shí)，有最短時(shí)間為：（二）利用“化一”法求三角函數(shù)極值。對于復(fù)雜的三角函數(shù)，例如，要求極值時(shí),先需要把不同名的三角函數(shù)和，變成同名的三角函數(shù)，這個(gè)過程叫做“化一”。令，則有yy故y的極大值為。例題4物體放置在水平地面上，物理與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，物體重為G，欲使物體沿水平地面做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所用的最小拉力F為多大？該題的已知量只有μ和G，說明最小拉力的表達(dá)式中最多只含有μ和G，但是，物體沿水平地面做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，拉力F可由夾角的不同值而有不同的取值。因此，可根據(jù)題意先找到F與夾角有關(guān)的關(guān)系式再作分析。解：設(shè)拉力F與水平方向的夾角為θ，根據(jù)題意可列平衡方程式，即……①……②…………③由聯(lián)立①②③解得：,其中,∴四利用向量求極值向量就是物理學(xué)中的矢量，當(dāng)物體受三力平衡時(shí)，將三矢量首尾相連后，必定構(gòu)成三角形。利用點(diǎn)到直線的垂直線段最短可求極值。對于例題4，我們也可用矢量知識求極值。將摩擦力f和地面對木塊的彈力N合成一個(gè)力F'，如圖，F(xiàn)'與豎直方向的夾角為（為一定值）。這樣木塊可認(rèn)為受到三個(gè)力:重力G,桌面對木塊的作用力F'和拉力F的作用。盡管F大小方向均未確定，F(xiàn)'方向一定，但大小未定，但三力首尾相連后必構(gòu)成三角形，如右圖所示。只用當(dāng)F與F'垂直時(shí)，即拉力與水平方向成角時(shí)，拉力F最小為而故五用圖像法求極值通過分析物理過程遵循的物理規(guī)律，找到變量之間的函數(shù)關(guān)系，做出其圖像，由圖像可求得極值。例5從車站開出的汽車作勻加速運(yùn)動(dòng)，它開出一段時(shí)間后，突然發(fā)現(xiàn)有乘客未上車，于是立即制動(dòng)做勻減速運(yùn)動(dòng)，結(jié)果汽車從開動(dòng)到停下來共用20秒，前進(jìn)了50米。求這過程中汽車達(dá)到的最大速度。解：設(shè)最大速度為Vm,即加速階段的末速度為Vm。畫出其速度時(shí)間圖象如右圖所示，圖線與t軸圍成的面積等于位移。即即：六、幾何法求極值

在初中幾何中我們曾經(jīng)學(xué)過“點(diǎn)到直線的距離以垂線為最短?！贝私Y(jié)論對于求極小值問題，是一條捷徑。例6如圖1-1所示，船A從港口P出發(fā)去攔截正以速度υ0沿直線航行的船B。P與B所在航線的垂直距離為a，A起航時(shí)與B船相距為b，b>a。如果略去A船起動(dòng)時(shí)的加速過程，認(rèn)為它一起航就勻速運(yùn)動(dòng)。則A船能攔截到B船的最小速率為多少？

分析與解：分析本題是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體求它們之間的相對位置的問題。若以地球?yàn)閰⒄障?，兩個(gè)物體都運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)方向不一致，它們之間的相對位置隨時(shí)間變化的關(guān)系比較復(fù)雜，一時(shí)不容易做出正確的判斷與解答。但如果把參照系建立在某一運(yùn)動(dòng)的物體上，（如B上）由于以誰為參照系，就認(rèn)為誰不動(dòng)，此題就簡化為一個(gè)物體，（如A）在此運(yùn)動(dòng)參照系的運(yùn)動(dòng)問題了。當(dāng)然解一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)問題比解兩個(gè)物體都運(yùn)動(dòng)的問題自然容易多了。以B為參照系，B不動(dòng)，在此參照系中A將具有向左的分速度υ0，如圖1-2所示。在此參照系中A只要沿著PB方向就能攔截到B。應(yīng)用“點(diǎn)到直線的距離以垂線為最短”的結(jié)論。過O點(diǎn)作PB的垂線，交PB于E點(diǎn)，OE即為A船對地的速度的最小值υA，在△AOE中

∵υA=υ0Sinθ而

∴，由于靈活運(yùn)用了幾何知識，使較為復(fù)雜的問題，變?yōu)楹唵蔚膸缀螁栴}了。例7如圖1-3所示，重為G的物體與水平地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，欲以一個(gè)拉力F使物體沿地面勻速前進(jìn)。問F與水平地面的夾角θ為何值時(shí)最省力？這個(gè)最小拉力是多大？

分析與解：畫出物體的受力分析圖，如圖1-4所示。物體受到四個(gè)力的作用。有重力G、拉力F、地面的支持力N及地面對物體的滑動(dòng)摩擦力f，其中f=Nμ。這四個(gè)力為共點(diǎn)力，合力為零?？蓪與f合成為一個(gè)力N′，N與f的作用將被N′等效，N′與N、f的關(guān)系滿足平行四邊形法則。再畫出物體受N′、G、F的力的矢量三角形，如圖1-5所示。N′的方向如圖，應(yīng)用“點(diǎn)到直線的距離以垂線為最短”的結(jié)論。過B點(diǎn)作N′的垂線交N′于C點(diǎn)，則BC的長度即表示最小作用力Fmin，由于Fmin與水平面夾角為θ,

∴∠CAB=∠θFmin=Gsinθ

由圖1-6可知，

即θ=arctanμ

幾何法一般用于求極小值問題，其特點(diǎn)是簡單、直觀，把物體運(yùn)動(dòng)的較為復(fù)雜的極值問題，轉(zhuǎn)化為簡單的幾何問題去解，便于學(xué)生掌握。

以上求極值的方法是解高中物理題的常用方法。在使用