幾何中的最值問(wèn)題

1、 適用對(duì)象：九年制義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（蘇科版）2、 教材的地位與作用在平面幾何中，我們也常常遇到各種求最大值和最小值的問(wèn)題，有時(shí)它和不等式聯(lián)系在一起，統(tǒng)稱最值問(wèn)題.如果把最值問(wèn)題和平面幾何中的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，就是幾何中的最值問(wèn)題.這類問(wèn)題內(nèi)容豐富，知識(shí)點(diǎn)多，涉及面廣，解法靈活多樣本節(jié)課老師就和同學(xué)們一起學(xué)習(xí)幾何中的最值問(wèn)題。本課的學(xué)習(xí)，以學(xué)生已有的幾何知識(shí)為背景并從學(xué)生已有的有關(guān)知識(shí)出發(fā)，引入利用幾何知識(shí)解決問(wèn)題的基本模型，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的思考、探索，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).為提升學(xué)生解決綜合題的能力打下基礎(chǔ)，作好鋪墊.幾何中的最值問(wèn)題的教案設(shè)計(jì)（江蘇鹽城射陽(yáng)初級(jí)中學(xué)朱海平）1、教學(xué)目標(biāo)定位【知識(shí)與技能目標(biāo)】能根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，通過(guò)作軸對(duì)稱點(diǎn)求線段之和最小值；能根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，通過(guò)構(gòu)造三角形利用三角形三邊關(guān)系求運(yùn)動(dòng)中的某一條線段的最值；理解兩種數(shù)學(xué)模型求最值的實(shí)質(zhì)都是幾條線段共線時(shí)得到最大值或最小值；【過(guò)程與方法目標(biāo)】讓學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、思考、求解等過(guò)程，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生理性思維的習(xí)慣，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.【情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)】激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).2、 【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】方法的靈活應(yīng)用。探求平面幾何最值的方法設(shè)法將一個(gè)較復(fù)雜的最值問(wèn)題，在平面幾何中通過(guò)適當(dāng)?shù)膸缀沃R(shí)，求平面幾何中最值問(wèn)題時(shí)，如何能充分利用的幾何模型，直接使用這些結(jié)果，則往往會(huì)使得復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。3、 學(xué)法指導(dǎo)在本節(jié)課的教學(xué)中，通過(guò)生活中的實(shí)際問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的小組討論，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，并組織學(xué)生通過(guò)觀察、分析討論，從而歸納出所觀察現(xiàn)象的本質(zhì)特征，再總結(jié)出有價(jià)值的理論知識(shí).在探索過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生有條理地思考、表達(dá)與交流的能力，讓學(xué)生通過(guò)自主探究、討論歸納獲得正切函數(shù)的概念.教學(xué)過(guò)程最值問(wèn)題的解決方法通常有兩種：應(yīng)用幾何性質(zhì)：三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；兩點(diǎn)間線段最短；

連結(jié)直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短;2、運(yùn)用代數(shù)證法：運(yùn)用配方法求二次三項(xiàng)式的最值；運(yùn)用一元二次方程根的判別式。一、依據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”求最值基本1、A、B兩點(diǎn)在直線m的異側(cè)，在直線m上取一點(diǎn)P,使PA+PB最小。B基本2、A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，在直線L上取一點(diǎn)P,使PA+PB最小。B分析：在直線L上任取一點(diǎn)P'，連結(jié)AP'，BP'，在△ABP'中AP'+BP'〉A(chǔ)B，如果AP'+BP'=AB,則P'必在線段AB上，而線段AB與直線L無(wú)交點(diǎn)，所以這種思路錯(cuò)誤。取點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A'，貝ljAP'=AP，在AA'BP中A'P'+B'P'〉A(chǔ)'B,當(dāng)P'移到A'B與直線L的交點(diǎn)處P點(diǎn)時(shí)A'P'+B'P'=A'B,所以這時(shí)PA+PB最小。

練習(xí)：在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)00A邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。B分別在練習(xí)：在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)00A邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。B分別在X軸、Y軸的正 BCD*1D為邊0B的中點(diǎn).若E為 LOA▲Y在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、半軸上，OA=3,OB=4,(1)求厶CDE的周長(zhǎng)的最小值。(2)若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).分析：在四邊形CDEF中，CD和EF為定值。故當(dāng)DE+CF達(dá)到最小值時(shí)，四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小。如圖，取點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)G,并在第四象限作正方形OGMN,連接EG、FM。因x軸是D點(diǎn)與G點(diǎn)的對(duì)稱線，故DE=EG；又EF=GM=2且EFllGM，故EFMG為平行四邊形，則FM=EG。得：FM=DE。則有：DE+CF二FM+CF。當(dāng)C、F、M三點(diǎn)成一線時(shí),FM+CF值最小,FM+CF=CM。因0A=3,0N=2,故NA=1。當(dāng)C、F、M三點(diǎn)成一線時(shí)，△NMFs^ACF,故NF/AF二NM/AC=l/2,則NF=l/2AF=l/3NA=l/3。得:0F=7/3,0E=1/3.兩點(diǎn)坐標(biāo)為:E(l/3,0)、F(7/3,0)。依據(jù)三角形的三邊關(guān)系解決問(wèn)題基本題：如圖，兩點(diǎn)A,B在直線MN外的同側(cè)，AB=4,P在直線MN上運(yùn)動(dòng)，求丨PA-PB丨的最大值。MN

MN分析：延長(zhǎng)AB交MN于點(diǎn)P',此時(shí)P'A-P/B二AB，由三角形三邊關(guān)系可知AB〉|PA-PB|,故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P，點(diǎn)時(shí)|PA-PB|最大，作BE丄AM，由勾股定理即可求出AB的長(zhǎng).練習(xí)：已知線段AB=5，點(diǎn)C是以B為圓心，以2為半徑的圓上任意一點(diǎn)，則線段AC的最大值是 ，最小值是 。小結(jié):本題相當(dāng)于知道兩條定長(zhǎng)線段AB、BC，求一條變化的線段AC的最值。通過(guò)構(gòu)造三角形ABC解決。在共線時(shí)得到最值。依據(jù)垂線段最短解決如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，ZDAC的平分線交DC于點(diǎn)E,若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值為 問(wèn)解:作D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)D'，再過(guò)D'作D'P'丄AD于P，,VDD'丄AE，.\ZAFD=ZAFD'，VAF=AF，ZDAE=ZCAE，???△DAF^AD'AF，Z.D'是D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)，AD'二AD=4，???D’p/即為DQ+PQ的最小值，???四邊形ABCD是正方形,???ZDAD/=45°,.\AP,=P,D,,???在RtAAP'D/中，2P,D,2=AD,2，即2P'D,2=16,/.P,D,=2V2，即DQ+PQ的最小值為2V2