線性代數(shù)矩陣及其運算演示文稿

線性代數(shù)矩陣及其運算演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有94頁\編輯于星期二（優(yōu)選）線性代數(shù)矩陣及其運算現(xiàn)在是2頁\一共有94頁\編輯于星期二1.定義2.1由m×n個aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的數(shù)表稱m行n列矩陣，簡稱m×n矩陣。記作2.1.2矩陣的定義現(xiàn)在是3頁\一共有94頁\編輯于星期二2.說明:矩陣與行列式不同

形式不同矩陣的行列數(shù)可不同，但行列式必須行列數(shù)同.內(nèi)容不同矩陣是一個數(shù)表，但行列式必是一個數(shù).

3.實矩陣、復矩陣現(xiàn)在是4頁\一共有94頁\編輯于星期二5.矩陣相等充要條件是:4.同型矩陣兩矩陣的行列數(shù)分別相等稱它們是同型矩陣現(xiàn)在是5頁\一共有94頁\編輯于星期二2.1.2一些特殊矩陣1.方陣若A為n行n列的矩陣，稱A為n階方陣。2.

行矩陣、列矩陣行矩陣只有一行的矩陣。列矩陣只有一列的矩矩陣3.零矩陣、單位矩陣現(xiàn)在是6頁\一共有94頁\編輯于星期二n階單位矩陣現(xiàn)在是7頁\一共有94頁\編輯于星期二4.對角矩陣與數(shù)量矩陣5.上（下）三角形矩陣現(xiàn)在是8頁\一共有94頁\編輯于星期二§2.2矩陣的運算2.2.1.矩陣的加法與數(shù)乘:

注：矩陣的加法只能在兩個同型矩陣之間進行；兩個矩陣相加時，對應元素進行相加。1.矩陣的加法（定義2.2）:

A=(aij)

、B=(bij)現(xiàn)在是9頁\一共有94頁\編輯于星期二2.矩陣的數(shù)乘定義2.3

數(shù)λ與矩陣Ａ的乘積記為λA或Aλ，并規(guī)定：負矩陣:

A=(

aij)

減法：Ａ

B=Ａ+(

B)現(xiàn)在是10頁\一共有94頁\編輯于星期二3.矩陣線性運算律：

(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+(A)=O(4)1A=A(5)(kl)A=k(lA)(6)(k+l)A=kA+lA(7)k(A+B)=kA+kB

現(xiàn)在是11頁\一共有94頁\編輯于星期二例1．若X滿足其中求X.解X=現(xiàn)在是12頁\一共有94頁\編輯于星期二

2.2.2.矩陣的乘法：1.矩陣的乘法定義（定義2.5）設(shè)矩陣A為m×s

階矩陣、矩陣B為s×n

階矩陣，A=(aij)

m×s

、B=(bij)

s×n，則矩陣A與B的乘積為一m×n

階矩陣C=(cij)

m×n，記C=AB，且現(xiàn)在是13頁\一共有94頁\編輯于星期二就是說，矩陣C的第i行第j列的元素等于矩陣A的第i行的所有元素與矩陣B的第j列的對應元素的乘積之和?，F(xiàn)在是14頁\一共有94頁\編輯于星期二例2計算

現(xiàn)在是15頁\一共有94頁\編輯于星期二例3.非齊次線性方程組的矩陣表示記則非齊次線性方程組可簡記為現(xiàn)在是16頁\一共有94頁\編輯于星期二關(guān)于矩陣乘法的注意事項：（1）矩陣A

與矩陣B

做乘法必須是左矩陣的列數(shù)與右

矩陣的行數(shù)相等；（2）矩陣的乘法中，必須注意矩陣相乘的順序，AB是A左乘B的乘積，BA是A右乘B的乘積；2.矩陣乘法與加法滿足的運算規(guī)律現(xiàn)在是17頁\一共有94頁\編輯于星期二（3）AB與BA不一定同時會有意義；即是有意義，也

不一定相等；（4）AB=O不一定有A=O或B=O；

A(XY)=O且A≠O也不可能一定有X=Y例4現(xiàn)在是18頁\一共有94頁\編輯于星期二定理2.1

若矩陣A的第i行是零行，則乘積AB的第i行也是零；若矩陣B的第j行是零列，則乘積AB的第j列也是零。若A(或B)是零矩陣，則乘積AB也是零矩陣。例5設(shè)求AB與BA解現(xiàn)在是19頁\一共有94頁\編輯于星期二只有方陣，它的乘冪才有意義。由于矩陣的乘法滿足結(jié)合律，而不滿足交換律，因而有下面的式子：

(1)AnAm=An+m(2)(An)m=Anm

(3)(AB)k≠AkBk3.矩陣的乘冪：設(shè)A是n階方陣，定義：現(xiàn)在是20頁\一共有94頁\編輯于星期二例6

解

現(xiàn)在是21頁\一共有94頁\編輯于星期二4.方陣A的n次多項式現(xiàn)在是22頁\一共有94頁\編輯于星期二5.矩陣的轉(zhuǎn)置定義2.6A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT，是將A的行列互換后所得矩陣如果A是一個m×n階矩陣，AT是一個n×m階矩陣。矩陣的轉(zhuǎn)置的性質(zhì)現(xiàn)在是23頁\一共有94頁\編輯于星期二證明（1）、（2）、（3）易證，下證明(4).設(shè)矩陣A為m×s階矩陣，矩陣B為s×n階矩陣，那么：(AB)T與BTAT是同型矩陣；又設(shè)C=AB，因為CT的第i行第j列的元素正好是C的cji

，即cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs而b1i，b2i，…，bsi正好是BT的第i行，aj1,aj2,…,ajs正好是AT的第j列，因此cji是BTAT的第i行第j列的元素。故

(AB)T=ATBT現(xiàn)在是24頁\一共有94頁\編輯于星期二6.對稱矩陣與反對稱矩陣設(shè)A為n階方陣，若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，稱矩陣A為對稱矩陣；若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，稱矩陣A為反對稱矩陣。如右邊的矩陣A為對稱矩陣現(xiàn)在是25頁\一共有94頁\編輯于星期二7.方陣的行列式（1）方陣A的行列式，記為|A|或detA。注意：行列式與方陣是兩個不同的概念，且它們的記號也是不同的。（2）方陣的行列式滿足以下運算規(guī)律(設(shè)A、B為n階方陣，λ為實數(shù))現(xiàn)在是26頁\一共有94頁\編輯于星期二1)伴隨矩陣：設(shè)A=(aij)n×n，矩陣A中元素aij的代數(shù)余子式Aij構(gòu)成的如下矩陣8、再講幾類特殊的矩陣稱矩陣A的伴隨矩陣，記為A＊現(xiàn)在是27頁\一共有94頁\編輯于星期二矩陣運算舉例現(xiàn)在是28頁\一共有94頁\編輯于星期二現(xiàn)在是29頁\一共有94頁\編輯于星期二現(xiàn)在是30頁\一共有94頁\編輯于星期二現(xiàn)在是31頁\一共有94頁\編輯于星期二現(xiàn)在是32頁\一共有94頁\編輯于星期二

設(shè)對于n階方陣A，若存在n階方陣B使得

AB=BA=E恒成立，則稱矩陣A可逆或滿秩矩陣,或非奇異矩陣；B稱為A的逆矩陣，記為A－1=B

。1）.若矩陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的。證明：設(shè)A有兩個逆矩陣B1、B2，則

B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B21、可逆矩陣的定義（定義2.8）2、可逆矩陣的唯一性、存在性及性質(zhì)§2.3逆矩陣現(xiàn)在是33頁\一共有94頁\編輯于星期二證明：充分性由行列式的代數(shù)余子式的性質(zhì)及矩陣乘法的定義有：AA*=A*A=|A|E，又|A|≠02）.定理2.2A可逆的充要條件是|A|≠0，且A可逆時有現(xiàn)在是34頁\一共有94頁\編輯于星期二3）.對于n階方陣A、B若有AB=E則：A、B均可逆，且它們互為可逆矩陣。證明：∵AB=E∴|A||B|=1

故

|A|≠0且|B|≠0，A、B均可逆，又BA=BABB－1=BB－1=E,故

A－1=B

必要性證明：∵A可逆∴AA－1=A－1

A=E故|A||A－1|=1，即|A|≠0

，A可逆，同時還有奇異矩陣與非奇異矩陣：若n方陣Ａ的行列式|A|≠0，稱矩陣A為非奇異矩陣，否則矩陣A稱為奇異矩陣。現(xiàn)在是35頁\一共有94頁\編輯于星期二4）.逆矩陣的性質(zhì)

如果A、B均可逆，那么AT與AB都可逆，且

(A－1)－1＝A(AT)－1＝(A－1)T(AB)－1＝B－1A－1

(kB)－1＝k－1A－1(k為非零）

|A－1|=|A|－1

證明：∵A、B均可逆∴AA－1=A－1A＝E

故(AA－1)T=(A－1)TAT＝ET=E∴(AT)－1=(A－1)T

同理(AB)(B－1A－1)＝(B－1A－1)(AB)＝E

∴(AＢ)－1=Ｂ－1A－1現(xiàn)在是36頁\一共有94頁\編輯于星期二有關(guān)逆矩陣例題現(xiàn)在是37頁\一共有94頁\編輯于星期二現(xiàn)在是38頁\一共有94頁\編輯于星期二現(xiàn)在是39頁\一共有94頁\編輯于星期二現(xiàn)在是40頁\一共有94頁\編輯于星期二現(xiàn)在是41頁\一共有94頁\編輯于星期二現(xiàn)在是42頁\一共有94頁\編輯于星期二

本節(jié)來介紹一個在處理高階矩陣時常用的方法，即矩陣的分塊。將矩陣A用若干條橫線與若干條縱線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為矩陣A的子塊。以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。特別在運算中，把這些小矩陣當做一個數(shù)來處理?！?.4分塊矩陣現(xiàn)在是43頁\一共有94頁\編輯于星期二現(xiàn)在是44頁\一共有94頁\編輯于星期二即Aij與Bij有相同的列數(shù)與行數(shù)，則：A與B的和就是以Aij與Bij為元素的形式矩陣相加。2.4.1分塊矩陣的加法：設(shè)矩陣A,矩陣B為：現(xiàn)在是45頁\一共有94頁\編輯于星期二2.4.2分塊矩陣的乘法：設(shè)矩陣Am×n、Bn×p且矩陣A列的分法與矩陣B的行的分法相同。現(xiàn)在是46頁\一共有94頁\編輯于星期二現(xiàn)在是47頁\一共有94頁\編輯于星期二2.4.3分塊矩陣的轉(zhuǎn)置現(xiàn)在是48頁\一共有94頁\編輯于星期二

它的特點是不在主對角線上的子塊全為零矩陣，而在主對角線上的矩陣均為不全為零的方陣，則稱A為準對角矩陣（或?qū)菈K矩陣）。

對于準對角矩陣，有以下運算性質(zhì)：若A與B是具有相同分塊的準對角矩陣，且設(shè)2.4.4準對角矩陣

若矩陣A的分塊矩陣具有以下形式現(xiàn)在是49頁\一共有94頁\編輯于星期二則：現(xiàn)在是50頁\一共有94頁\編輯于星期二?若準對角矩陣A的主對角線上的每一個方陣均可逆，則矩陣A也可逆，且?現(xiàn)在是51頁\一共有94頁\編輯于星期二2.4.5矩陣分塊的應用現(xiàn)在是52頁\一共有94頁\編輯于星期二現(xiàn)在是53頁\一共有94頁\編輯于星期二現(xiàn)在是54頁\一共有94頁\編輯于星期二現(xiàn)在是55頁\一共有94頁\編輯于星期二2.4.6矩陣按列分塊1.矩陣按列分塊現(xiàn)在是56頁\一共有94頁\編輯于星期二2.線性方程組的系數(shù)矩陣按列分塊后線性方程組的等價形式現(xiàn)在是57頁\一共有94頁\編輯于星期二如果把系數(shù)矩陣A按列分成n塊，則線性方程組可記作現(xiàn)在是58頁\一共有94頁\編輯于星期二§2.5初等變換與初等矩陣矩陣的初等變換(Elementaryoperation)1

初等變換定義定下面的三種變換稱為矩陣的初等變換

：(i).

對調(diào)兩行(ii).以非0數(shù)乘以某一行的所有元素；(iii).把某一行所有元素的k倍加到另一行對應的元素上去

把定義中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義。矩陣的初等行變換和初等列變換，統(tǒng)稱為初等變換。顯然，每一種初等變換都是可逆的，并且其逆變換也是同一種初等變換。

現(xiàn)在是59頁\一共有94頁\編輯于星期二例18設(shè)（1）用行初等變換把A化為階梯形，進一步化為行標準形（2）再用列初等變換把A化為標準形解（1）現(xiàn)在是60頁\一共有94頁\編輯于星期二（行階梯形）現(xiàn)在是61頁\一共有94頁\編輯于星期二現(xiàn)在是62頁\一共有94頁\編輯于星期二現(xiàn)在是63頁\一共有94頁\編輯于星期二2行階梯形矩陣定義2.11一個矩陣稱為行階梯形矩陣，如果從第一行起，每行第一個非零元素前面零的個數(shù)逐行增加，一旦出現(xiàn)零行，則后面各行（如果有的話）都是零行

如下面的階梯形矩陣現(xiàn)在是64頁\一共有94頁\編輯于星期二行標準型下面形式的矩陣稱為行標準型下面形式的矩陣稱為標準型現(xiàn)在是65頁\一共有94頁\編輯于星期二3.定理2.3設(shè)A是一個m行n列矩陣，通過行初等變換可以把A化為如下行標準型現(xiàn)在是66頁\一共有94頁\編輯于星期二

4

定理矩陣A可經(jīng)初等變換化為標準形:現(xiàn)在是67頁\一共有94頁\編輯于星期二

（1）.已知分別將A的第一、二行互換和將A的第一列的2倍加到第二列，求出相應的初等矩陣,并用矩陣乘法將這兩種變換表示出來?，F(xiàn)在是68頁\一共有94頁\編輯于星期二解交換A的第一、二行，可用二階初等矩陣

左乘A：現(xiàn)在是69頁\一共有94頁\編輯于星期二將A的第一列的2倍加到第二列，即用三階初等矩陣右乘A：

現(xiàn)在是70頁\一共有94頁\編輯于星期二2.5.2初等矩陣1.初等矩陣的定義（定義2.12）由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。對應于三種行初等變換，可以得到三種行初等矩陣。人們從大量的實際計算中發(fā)現(xiàn)：對經(jīng)過一次初等變換等同于對矩陣左乘或右乘一個適當?shù)木仃?，此矩陣就是下面的所謂初等矩陣。現(xiàn)在是71頁\一共有94頁\編輯于星期二對于n階單位矩陣I，交換E的第

行，得到的初等矩陣記作：

現(xiàn)在是72頁\一共有94頁\編輯于星期二(2)用非零數(shù)k乘以I的第

行，得到的初等矩陣記作

:現(xiàn)在是73頁\一共有94頁\編輯于星期二(3)將I的第

行的

倍加到第

行，得到的初等矩陣記作：現(xiàn)在是74頁\一共有94頁\編輯于星期二(4)同樣用列初等變換可以得到相應的的初等矩陣2.初等矩陣之間的關(guān)系現(xiàn)在是75頁\一共有94頁\編輯于星期二3.可以直接驗證，初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍為初等矩陣；4.初等矩陣與初等變換之間的關(guān)系；1）.先看下面的例題現(xiàn)在是76頁\一共有94頁\編輯于星期二1）行初等矩陣左乘矩陣（3）.列初等矩陣右乘矩陣現(xiàn)在是77頁\一共有94頁\編輯于星期二2）.結(jié)論定理2.4A為矩陣,對A進行初等行變換等同于用相應的行初等矩陣左乘A，對A進列變換等同于用相應的列初等矩陣右乘A。

5.矩陣等價定義2.13若矩陣A經(jīng)過行（列）初等變換可化為B則稱A與B行（列）等價。若矩陣A經(jīng)過初等變換可化為B則稱A與B等價現(xiàn)在是78頁\一共有94頁\編輯于星期二6.初等矩陣可逆性初等矩陣是可逆的，且有現(xiàn)在是79頁\一共有94頁\編輯于星期二7.結(jié)論定理2.6可逆矩陣A可表示為有限個初等矩陣的積，進一步可以表示為有限個行初等矩陣的積；也可以表示為有限個列初等矩陣的積。證明：因為任意矩陣A，有行、列初等矩陣使得現(xiàn)在是80頁\一共有94頁\編輯于星期二因A可逆，所以A的標準形中不可能有零行，從而r=n,即有于是有現(xiàn)在是81頁\一共有94頁\編輯于星期二證畢初等矩陣的逆還是初等矩陣，故A初等矩陣的積。又行初等矩陣與列初等矩陣可以互換，故A可以是行初等矩陣的積或列初等矩陣的積。現(xiàn)在是82頁\一共有94頁\編輯于星期二定理2.5矩陣A與B等價當且僅當存在可逆的P與Q，使得PAQ=B.特別地，矩陣A等價于A的標準形。證明：初等矩陣的積是可逆；任何矩陣一定可以經(jīng)過初等變換化為標準形；可逆矩陣一定可以表成有限初等矩陣的積現(xiàn)在是83頁\一共有94頁\編輯于星期二8.

可逆矩陣的逆的求法A可逆,則有行初等行矩陣使得則有記現(xiàn)在是84頁\一共有94頁\編輯于星期二則有行初等矩陣使得上面的推導，提供了一種新的求矩陣的簡單方法，舉例如下：現(xiàn)在是85頁\一共有94頁\編輯于星期二例4求A的逆矩陣現(xiàn)在是86頁\一共有94頁\編輯于星期二例5求A的逆矩陣解現(xiàn)在是87頁\一共有94頁\編輯于星期二§2.6矩陣的秩2.6.1矩陣的秩的概念(Rankofamatrix)1.定義在mn矩陣A中，任取k行k列（km，kn），位于這些行列交叉處的k2個元素，不改變它們在A中所處的位置次序而得的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式。2.定義2.14

如果矩陣A有一個不等于零的r階子式D，并且所有的r+1階子式（如果有的話）全為零，則稱D為