量子力學(xué)教程第二版周世勛課件袁松柳第二章 波函數(shù)和 Schrodinger 方程

第二章波函數(shù)

和Schrodinger方程§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋§2.2態(tài)疊加原理§2.3波函數(shù)隨時間的變化－Schrodinger方程§2.4量子力學(xué)中的守恒定律§2.5定態(tài)Schrodinger方程§2.6能量算符的本征值方程§2.7定態(tài)Schrodinger方程的解法§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋“電子既不是粒子也不是波

”

既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波電子究竟是什么？電子是什么？是粒子？還是波？

“電子既是粒子也是波”

這個波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。如何描述電子的行為？§2.1.1deBroglie波因為自由粒子的能量

E和動量

p都是常量，所以由deBroglie關(guān)系可知，與自由粒子聯(lián)系的波的頻率ν和波矢k（或波長λ）都不變，即是一個單色平面波。由力學(xué)可知，頻率為ν，波長為λ，沿單位矢量n

方向傳播的平面波可表為：自由粒子與自由粒子聯(lián)系的波頻ν和波矢k也為常量E和P為常量deBroglie關(guān)系單色平面波寫成復(fù)數(shù)形式deBroglie關(guān)系：

=2

ν=2E/h=E/

k=1/=2/λ=p/

經(jīng)典物理量子力學(xué)稱為de

Broglie波，是描述自由粒子的波函數(shù)描寫自由粒子的平面波3個問題？

非自由情況(1)

是怎樣描述粒子的狀態(tài)？(2)

如何體現(xiàn)波粒二象性的？(3)

描寫的是什么樣的波呢？動量和能量不再是常量粒子處于隨時間和位置變化的力場中運動粒子的狀態(tài)就不能用平面波描述，而必須采用較復(fù)雜的波函數(shù)，一般記為：§2.1.2歷史上兩種典型的錯誤看法1.波由粒子組成這種看法與實驗相矛盾！因為如果波是由它所描寫的粒子組成，則粒子流的衍射現(xiàn)象應(yīng)當(dāng)是由于組成波的這些粒子的相互作用而形成的。即認(rèn)為描述粒子的波是由大量粒子在空間形成象水波、聲波一樣的蔬密波電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上增加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現(xiàn)象，單個電子就具有波動性。

電子單縫衍射實驗電子源感光屏QQOPP波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。2.粒子由波組成假如微觀粒子是deBroglie波的某種波包，則相速度群速度用反證法來否定這一觀點即認(rèn)為描述粒子的波是由無限多波長不同的平面波迭加而成的波包相速度粒子運動速度群速度=粒子運動速度意味著deBroglie波會擴(kuò)散，或形象地說，經(jīng)過足夠長時間后，粒子會長胖！實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內(nèi)。例如在一個原子內(nèi)，其廣延不會超過原子大小≈1?

。§2.1.3電子雙縫衍射實驗實驗分三步進(jìn)行，觀察在屏上出現(xiàn)的衍射畫樣PΨ1Ψ2ΨS1S2電子源感光屏1、電子槍發(fā)射強(qiáng)電子束2、電子槍發(fā)射強(qiáng)電子束電子槍發(fā)弱電子束(弱到電子一個一個電子射向雙縫)3、將感光屏換成照相底版,對經(jīng)過雙縫到達(dá)底版上的弱電子束作長時間曝光1.

電子槍發(fā)射強(qiáng)電子束屏上迅速顯示出衍射圖樣2.

電子槍發(fā)弱電子束(弱到電子一個一個電子射向雙縫)屏上就出現(xiàn)了一個個亮點,表明電子是作為完整的顆粒一個一個地到達(dá)屏上的3.

對經(jīng)過雙縫到達(dá)底版上的弱電子束作長時間曝光屏上出現(xiàn)和強(qiáng)電子束相同的衍射圖樣!!!!觀察到的結(jié)果電子的波動性電子的粒子性電子的波粒二象性§2.1.4波函數(shù)統(tǒng)計解釋1924年Born提出了波函數(shù)的統(tǒng)計解釋強(qiáng)電子束:在出現(xiàn)亮條紋的地方到達(dá)的電子數(shù)目多,

而在比較暗的地方到達(dá)的電子數(shù)目少.弱電子束:電子到達(dá)亮條紋的幾率較大,而到達(dá)暗的地方幾率較小.衍射實驗:無論是強(qiáng)電子束還是弱電子束,

在接受屏上出現(xiàn)相同的衍射圖樣這就是首先由Born提出的波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，是量子力學(xué)的基本原理。波函數(shù)是描述粒子狀態(tài)的函數(shù),波函數(shù)t時刻某一點處的強(qiáng)度(模平方)正比于該點處找到粒子的幾率波函數(shù)的統(tǒng)計解釋稱為幾率密度描寫粒子的波是幾率波，波的強(qiáng)度反映在空間某處找到粒子的幾率的大小，因此,波函數(shù)又稱為幾率幅。在t時刻，空間任意兩點r1

和r2

處找到粒子的相對幾率之比是：

可見，

(r,t)

和C(r,t)所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的,因此,它們描述粒子的同一狀態(tài)，意味著波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。§2.1.5波函數(shù)的歸一化考慮兩個波函數(shù):(r,t)C=constantC(r,t)

對于一個粒子而言,盡管不知道它會出現(xiàn)在何處,但知道它總會在空間中出現(xiàn),或者說粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一.滿足該式的波函數(shù)稱之為歸一化波函數(shù)若描述某個粒子的波函數(shù)不滿足歸一化條件，即則可通過歸一化過程將其歸一化歸一化過程具體步驟：令使得因此,描述粒子的同一狀態(tài)只差一個常數(shù)因子稱為波函數(shù)歸一化1/C稱為歸一化常數(shù)注意：對歸一化波函數(shù)仍有一個相因子不定性。因為下列兩函數(shù)的模是相等的。例題考慮一維運動的粒子，其波函數(shù)為試將其進(jìn)行歸一化并求出歸一化常數(shù)解：由歸一化條件，有

§2.1.6推廣到多粒子體系設(shè)由N個粒子組成的體系的波函數(shù)為則第1個粒子出現(xiàn)在r1處dr1小區(qū)域中.表示t時刻,第2個粒子出現(xiàn)在r2處dr2小區(qū)域中...第N個粒子出現(xiàn)在rN處drN小區(qū)域中的幾率多粒子體系波函數(shù)歸一化條件為§2.2態(tài)疊加原理微觀粒子具有波動性，會產(chǎn)生衍射圖樣。因此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣，量子力學(xué)中也存在波疊加原理。因為量子力學(xué)中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學(xué)的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理。干涉和衍射的本質(zhì)在于波的疊加性，即可相加性，兩個相加波的干涉的結(jié)果產(chǎn)生衍射。PΨ1Ψ2ΨS1S2電子源感光屏§2.2.1電子雙縫衍射實驗在介紹波函數(shù)統(tǒng)計解釋時，曾介紹過電子雙縫衍射實驗。為了獲得關(guān)于態(tài)疊加原理的某些信息，這里我們擬通過不同的實驗步驟來進(jìn)行電子雙縫衍射實驗。1、開S1關(guān)S2電子通過S1到達(dá)屏，用1描述電子通過S1后的狀態(tài)，屏上出現(xiàn)的衍射花樣由決定；2、開S2關(guān)S1電子通過S2到達(dá)屏，用2描述電子通過S2后的狀態(tài)，屏上出現(xiàn)的衍射花樣由決定；3、同開S1和S2電子通過雙縫到達(dá)屏，用描述電子通過雙縫后的狀態(tài)，屏上出現(xiàn)的衍射花樣由決定。|Ψ|2=|C1Ψ1+C2Ψ2|2

=(C1*Ψ1*+C2*Ψ2*)(C1Ψ1+C2Ψ2)=|C1Ψ1|2+|C2Ψ2|2+[C1*C2Ψ1*Ψ2+C1C2*Ψ1Ψ2*]電子穿過S1出現(xiàn)在Ｐ點的幾率密度電子穿過S2出現(xiàn)在Ｐ點的幾率密度相干項正是由于相干項的出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍射花紋。更一般情況下，雙縫同時打開后出現(xiàn)在屏上的衍射花樣由下式描述：問題：雙縫同時打開后出現(xiàn)在屏上的衍射花樣到底是由描述還是由描述？答案：實驗證明是后者C1

和C2是復(fù)常數(shù)態(tài)疊加原理一般表述： 若Ψ1

，Ψ2,...,Ψn,...是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2+...+CnΨn+...(其中C1,C2,...,Cn,...為復(fù)常數(shù))。 也是體系的一個可能狀態(tài)。處于Ψ態(tài)的體系，部分的處于Ψ1態(tài)，部分的處于Ψ2態(tài)...，部分的處于Ψn，...根據(jù)電子雙縫衍射實驗，我們可以提出量子力學(xué)中態(tài)疊加原理，即：§2.2.2態(tài)疊加原理如果Ψ1和Ψ2

是體系的可能狀態(tài)，則其線性疊加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2也是該體系的一個可能狀態(tài).如果粒子處于態(tài)Ψ1和態(tài)Ψ2

的線性組合態(tài)Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2，則粒子是既處于態(tài)Ψ1又處于態(tài)Ψ2，處于態(tài)Ψ1的幾率為，處于態(tài)Ψ2的幾率為。上述的態(tài)疊加原理也可以理解為：電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動量p

運動。具有確定動量的運動狀態(tài)用de

Broglie平面波表示根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)Ψ可表示成

p取各種可能值的平面波的線性疊加，即衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果dΨΨp§2.2.3態(tài)疊加原理的應(yīng)用電子在晶體表面的衍射考慮電子的動量可以是連續(xù)變化，求和應(yīng)改為積分展開系數(shù)利用顯然，兩式互為Fourier變換式，故總是成立的。可見同一量子態(tài)的兩種不同描述方式坐標(biāo)表象動量表象§2.3波函數(shù)隨時間變化的規(guī)律

Schrodinger方程經(jīng)典力學(xué)中，力學(xué)體系的運動狀態(tài)隨時間變化規(guī)律由牛頓方程描述若知道力學(xué)體系的初始條件，利用牛頓方程即可求出體系在任何時刻的運動狀態(tài)量子力學(xué)中，量子體系的運動狀態(tài)由波函數(shù)(r,t)決定，那么，波函數(shù)是如何隨時間變化的？若知道量子體系的初始狀態(tài)，通過波函數(shù)隨時間變化規(guī)律就可預(yù)測出量子體系在任何時刻的狀態(tài)本節(jié)中心內(nèi)容讓我們先回顧一下經(jīng)典粒子運動方程，看是否能給我們以啟發(fā)。（1）經(jīng)典情況§2.3.1基本考慮從牛頓方程，人們可以確定以后任何時刻t粒子的狀態(tài)r和p。因為初條件知道的是坐標(biāo)及其對時間的一階導(dǎo)數(shù)，所以方程是時間的二階常微分方程。（2）量子情況1．因為，t=t0

時刻，已知的初態(tài)是ψ(r,t0)

且只知道這樣一個初條件，所以，描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)所滿足的方程只能含ψ對時間的一階導(dǎo)數(shù)。2．ψ要滿足態(tài)疊加原理，即，若ψ1(r,t)

和ψ2(r,t)是方程的解，則ψ(r,t)=C1ψ1(r,t)+C2ψ2(r,t)也應(yīng)是該方程的解。這就要求方程應(yīng)是線性的，也就是說方程中只能包含ψ,ψ對時間的一階導(dǎo)數(shù)和對坐標(biāo)各階導(dǎo)數(shù)的一次項，不能含它們的平方或開方項。3．方程不能包含狀態(tài)參量，如p,E等，否則方程只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿足。描寫自由粒子波函數(shù):應(yīng)是所要建立的方程的解將上式對t微商，得：§2.3.2自由粒子的波函數(shù)隨時間的變化規(guī)律這不是所要尋找的方程，因為它包含狀態(tài)參量E。將Ψ對坐標(biāo)二次微商，得：同理有：(1)三個方程相加得到：(2)這也不是所要尋找的方程，因為它包含狀態(tài)參量P。滿足上述構(gòu)造方程的三個條件(1)–(2)式§2.3.3Schrodinger方程需要強(qiáng)調(diào)的是，量子力學(xué)中的基本方程實際上是個公設(shè)，它既不能由其它理論導(dǎo)出，更不能由經(jīng)典概念給出，基本方程的正確如否只能由它導(dǎo)出的結(jié)論和實驗是否符合來檢驗?；谶@一原則，我們可以將在自由粒子情況下到出的波函數(shù)隨時間變化的方程擴(kuò)展到一般情況下，即得到我們所要建立的Schrodinger方程。量子力學(xué)基本公設(shè)之一經(jīng)典物理中的的力學(xué)量在量子力學(xué)中用相應(yīng)的算符表示基本力學(xué)量能量動量坐標(biāo)經(jīng)典物理EPxPyPzxyz量子力學(xué)自由粒子將力學(xué)量換成相應(yīng)的算符并作用于波函數(shù)后即得到自由粒子的波函數(shù)隨時間變化的方程一般情況下將力學(xué)量換成相應(yīng)的算符并作用于波函數(shù)后即得到一般情況下的波函數(shù)隨時間變化的方程Schrodinger方程通常記量子系統(tǒng)的Hamiton算符則一般量子系統(tǒng)的Sch方程可寫為：§2.3.4多粒子體系的Schrodinger方程設(shè)體系由N個粒子組成，質(zhì)量分別為μi(i=1,2,...,N)體系波函數(shù)記為ψ(r1,r2,...,rN;t)粒子間的相互作用U(r1,r2,...,rN)將力學(xué)量換成相應(yīng)的算符并作用于波函數(shù)后即得到多粒子系統(tǒng)的Schrodinger方程經(jīng)典物理中的Hamiton量為在經(jīng)典物理中有各種各樣的守恒定律，如：電荷、質(zhì)量等守恒定律，類似定律也存在于量子力學(xué)中。在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時間變化的規(guī)律后，我們可以導(dǎo)出這些定律?！?.4

量子力學(xué)中的守恒定律我們先討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時間變化。粒子在t時刻r點周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度是：1、幾率守恒定律考慮Schrodinger方程及其共軛式：取共軛在空間閉區(qū)域τ中將上式積分，則有：S閉區(qū)域τ上找到粒子的總幾率在單位時間內(nèi)的增量J是幾率流密度，是一矢量。(7)式就是幾率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式其微分形式與流體力學(xué)中連續(xù)性方程的形式相同使用Gauss定理單位時間內(nèi)通過τ的封閉表面S流入（面積分前面的負(fù)號）τ內(nèi)的幾率S幾率流密度質(zhì)量流密度矢量電流密度矢量2、量子力學(xué)中各種守恒定律守恒定律微分形式積分形式幾率質(zhì)量電荷質(zhì)量密度電荷密度表明，波函數(shù)歸一化不隨時間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。3、歸一不變性由幾率守恒定律的積分形式，我們有將積分區(qū)域擴(kuò)大到整個空間，明顯有推論如果波函數(shù)已歸一化，則歸一化條件不會隨時間變化?！?.5

定態(tài)Schrodinger方程Schrodinger方程的一般形式為如果勢場U不含或不顯含時間，即則可用分離變量法，求解Schrodinger方程：令：于是：等式兩邊是相互無關(guān)的物理量，故應(yīng)等于與

t,r無關(guān)的常數(shù)代入到方程(1)Schrodinger方程的特解稱為定態(tài)Schrodinger方程此波函數(shù)與時間t的關(guān)系是正弦型的，其角頻率由deBroglie關(guān)系可知：E就是體系處于波函數(shù)Ψ(r,t)所描寫的狀態(tài)時的能量。此時體系能量有確定的值，故這種狀態(tài)稱為定態(tài)。具有上述形式的波函數(shù)稱為定態(tài)波函數(shù)。所滿足的方程，即§2.6

能量算符的本征方程和本征值式中f

稱為算符的本征值，u

稱為算符的屬于本征值f

的本征函數(shù)?？梢姸☉B(tài)Schrodinger方程就是Hamiton算符的本征值方程，即：其中E

為的本征值，波函數(shù)(r)是Hamiton算符屬于本征值E

的本征函數(shù)。如果體系的Hamiton算符（或能量算符）有很多個本征值

E1,E2,E3,……En,……相應(yīng)的本征函數(shù)為1,2,3,……n,……則第n

個狀態(tài)的本征方程可寫成相應(yīng)的Schrodinger方程的特解為知道了特解后，則Schrodinger方程的一般解可寫成這些定態(tài)波函數(shù)的線性疊加，即：§2.7

定態(tài)Schrodinger方程的解法1、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件波函數(shù)的統(tǒng)計解釋已經(jīng)指出，歸一化的波函數(shù)為幾率波的振幅，波函數(shù)具有幾率幅的含義，模的平方與找到粒子的幾率成正比，因此數(shù)學(xué)上，應(yīng)滿足三個條件：1)單值性因為是t時刻在處出現(xiàn)的幾率密度，因此物理上要求它是唯一的，即要求為單值函數(shù)，只有這樣在t時刻r處找到粒子的幾率有唯一確定的值。

2)有限性既要求粒子在有限空間范圍內(nèi)出現(xiàn)的幾率保持有限，即:3)連續(xù)性定態(tài)Schr?dinger方程中含有對坐標(biāo)一二階導(dǎo)數(shù)，因此要求及其對坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。這三個條件是波函數(shù)的基本條件，必須記住，因為在解Sch方程時經(jīng)常用到。2、求解Schrodinger方程的一般步驟

寫出Schr?dinger方程2)引入?yún)?shù)或做變量代換便于方程可以求解3)由波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定出波函數(shù)和本征值4)對波函數(shù)進(jìn)行歸一化5)對解的物理意義進(jìn)行討論-a0axV(x)IIIIII例1．一維無限深勢阱中運動的粒子，求粒子的能級及對應(yīng)的波函數(shù)，并對解的物理意義進(jìn)行討論。假設(shè)其勢能為：3、求解Schrodinger方程的實例方程可簡化為：勢V(x)分為三個區(qū)域，用I、II和III表示，其上的波函數(shù)分別為ψI(x),ψII(x)和ψIII(x)。則方程為：（2）引入?yún)?shù)使方程簡化（1）寫出Schrodinger方程（3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢壁。根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，要求在阱壁上和阱壁外波函數(shù)為零，特別是

ψ(-a)=ψ(a)=0。-a0aV(x)IIIIII1.單值，成立；2.有限：當(dāng)x

-∞，

ψ有限條件要求

C2=0。利用波函數(shù)連續(xù)性條件可求出待定參數(shù)和(1)(2)(3)(4)由(3)得：由(4)得：合二為一得：合二為一得：再來求相應(yīng)的本征函數(shù)(n=1,2,3,4….)（4）對波函數(shù)進(jìn)行歸一化歸一化條件得：取實數(shù)最后有：(n=1,2,3,4….)-a0aV(x)IIIIII一維無限深勢阱中運動的粒子的能級及對應(yīng)的波函數(shù)（5）對解的物理意義討論a.束縛態(tài)與分立能級由解可知粒子被束縛在(-a,a)小區(qū)域內(nèi)，不可能到達(dá)無限遠(yuǎn)處。若粒子被束縛在有限區(qū)域內(nèi)，其狀態(tài)為束縛態(tài)。若粒子可到達(dá)無限遠(yuǎn)處，其狀態(tài)為非束縛態(tài)。束縛態(tài)一般而言，只要是束縛態(tài)，其能級肯定是分立的?？梢姡琻

取負(fù)整數(shù)與正整數(shù)描寫同一狀態(tài)。b.n為什么未取為0和負(fù)整數(shù)？若n=0,則0=0,由于波函數(shù)模平方正比于粒子出現(xiàn)的幾率，因此，n=0

的態(tài)是沒有意義的！從求解過程可以看到，僅從數(shù)學(xué)上看n

也可取負(fù)整數(shù)所謂的基態(tài)是指能量最低的態(tài)

c.不為零的基態(tài)能量

在本問題中能量最低的態(tài)對應(yīng)n=1的情況，因此基態(tài)能量為

這和經(jīng)典粒子有本質(zhì)的區(qū)別.在經(jīng)典物理中，粒子的能量可以為零，這意味著粒子靜止，即粒子的坐標(biāo)有確定值且動量為零。但在量子力學(xué)中，因為波粒二象性，坐標(biāo)和動量不能同時確定，因此基態(tài)能量不能為零，這是微觀粒子波動性的表現(xiàn)。

所謂的激發(fā)態(tài)是指基態(tài)以外的態(tài)

d.激發(fā)態(tài)

在本問題中，n≥2的態(tài)均為激發(fā)態(tài)，n=2、3、4…對應(yīng)的態(tài)分別為第一激發(fā)態(tài)、第二激發(fā)態(tài)、第三激發(fā)態(tài)….

相鄰兩激發(fā)態(tài)的能量間隔當(dāng)量子數(shù)n很大時，量子效應(yīng)消失而過渡到經(jīng)典情況。相對能量間隔為：能量分立性消失波動性消失e.宇稱稱波函數(shù)具有正宇稱（或偶宇稱）；稱波函數(shù)具有負(fù)宇稱（或奇宇稱）；則波函數(shù)沒有確定的宇稱。宇稱奇宇稱偶宇稱本例題之所以有確定的宇稱源于勢場對原點的對稱f.關(guān)于納米問題為什么到納米尺度才能觀察到量子效應(yīng)？

由上面的討論我們知道對于大量子數(shù)n，問題回到經(jīng)典情況，這就是為什么當(dāng)我們需要強(qiáng)調(diào)量子效應(yīng)時，必須到納米尺度時才有意義。電子的deBroglie波長～0.1nmn=1a～0.025nmn=10a～0.25nmn=100a～2.5nmn=1000a～25nmn=10000a～250nm線性諧振子

例2．質(zhì)量為的粒子在勢場中運動，求粒子的能級及對應(yīng)的波函數(shù)。在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為的粒子，受彈性力F=-kx

作用，由牛頓定律可寫出運動方程為：x=Asin(ωt+δ)何為諧振子這種運動稱為簡諧振動，作這種運動的粒子叫諧振子。量子力學(xué)中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢場中運動的粒子axV(x)0V0為何要研究諧振子自然界中隨處可見簡諧振動。事實上，任何體系在平衡位置附近的小振動，例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨立的一維簡諧振動。簡諧振動往往作為復(fù)雜運動的初步近似，所以諧振子的研究無論理論還是在應(yīng)用上都是很重要的。例:雙原子分子，兩原子間的勢V是二者相對距離x的函數(shù)可見復(fù)雜勢場下粒子的運動往往可以用線性諧振動來近似描述。處理線性諧振子的方法非常典型。

（1）寫出Schrodinger方程Hamiton量Hamiton算符算符代替力學(xué)量(1)（2）方程簡化利用引入?yún)?shù)，則方程變成：

(1)(2)方程（2）是變系數(shù)的二階常微分方程。如果直接用冪級數(shù)方法求解，系數(shù)遞推公式將會非常復(fù)雜，常用方法是先求方程的漸近解，然后再求方程再整個區(qū)間的解（這也是解Schr?dinger方程的一種常用方法）

（3）漸近解

為求解方程，我們先看一下它的漸近解，即當(dāng)

ξ→±∞時ψ的行為。在此情況下，λ<<ξ2，于是方程變?yōu)椋阂試L試解代入并略去量級較小的項

(3)因此，方程(3)有兩個解，分別為和不滿足波函數(shù)有限的條件，略去

所需要的波函數(shù)漸近解應(yīng)當(dāng)為

（4）由波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件確定出Schrodinger方程的解令

代入到方程（2）有

該方程稱為厄米方程

(4)把H展開成的冪級數(shù)，即

代入到方程(4)可得

由的同次冪級數(shù)之和為零，得到遞推公式(5)代入遞推關(guān)系得：為滿足波函數(shù)有限性要求，冪級數(shù)

H(ξ)

必須從某一項截斷變成一個多項式，這就要求

H(ξ)

從某一項（如第

n

項）起以后各項系數(shù)均為零，即

an≠0,an+2=0.由得到諧振子的能量

(n=0,1,2,….)對應(yīng)于不同的n

或不同的，厄米方程的解為Hn()，Hn()稱為厄米多項式，可表示成：

(6)其最高次冪是n，其系數(shù)為

兩個遞推公式因此我們可得到線性諧振子的波函數(shù)為歸一化系數(shù)利用得到(5).解的物理意義及討論諧振子的能量取分立值：原因是：在本問題中，粒子在原點附近作簡諧振蕩，由于諧振子的勢能U(x)，當(dāng)x∞趨于無限大，即

因此，粒子不可能出現(xiàn)在無限遠(yuǎn)處。結(jié)論：諧振子問題屬于束縛態(tài)問題。a.能量量子化一般而言，只要是束縛態(tài)，其能級肯定是分立的。(5).解的物理意義及討論b.均勻分布的能級c.不為零的基態(tài)能量由，可知相鄰能級間的間隔這正是planck當(dāng)初的假設(shè)！經(jīng)典能量量子在本問題中，基態(tài)對應(yīng)于n＝0的情況。當(dāng)n＝0時，典型的量子效應(yīng)！(5).解的物理意義及討論d.和經(jīng)典諧振子的比較經(jīng)典力學(xué)中，粒子在△x范圍內(nèi)出現(xiàn)的幾率∝粒子通過△x所需要的時間

粒子在△x范圍內(nèi)出現(xiàn)的幾率

0X經(jīng)典力學(xué)中粒子在原點x＝0處出現(xiàn)的幾率最小。（因為粒子在x＝0處的速度最大）經(jīng)典情況波函數(shù)n=0n=1n=2-3-2-10123E0E1E2量子情況(1)粒子在原點出現(xiàn)的幾率要么最大（n偶），要么為0（n為奇）(3)當(dāng)n越大時，其幾率密度分布與經(jīng)典幾率密度分布越來越接近，當(dāng)n∞時，量子和經(jīng)典無差別，這也表現(xiàn)當(dāng)量子數(shù)很大時，量子體系過渡到經(jīng)典情況。(2)粒子可在經(jīng)典禁區(qū)中出現(xiàn)幾率分布

-22-44|10|2ωn(ξ)n=2n=1n=0-11-101ω0(ξ)例3電