量子力學(xué)課件(4)第六部分自旋及全同粒子體系

1第六部分自旋及全同粒子體系一、學(xué)習(xí)要點(diǎn)1、電子具有自旋角動(dòng)量在任一方向上的分量值為，且電子具有自旋磁矩自旋分量滿足角動(dòng)量對(duì)易關(guān)系軌道磁矩22、在表象中，根據(jù)，有稱為Pauli矩陣的三個(gè)分量，并滿足對(duì)易關(guān)系以及反對(duì)易關(guān)系和平方為1關(guān)系33、在表象中，的本征值與本征態(tài)為但問題：如果在某一態(tài)中取確定值和是否取確定值？為什么？如何理解和只能取兩個(gè)值？測(cè)值只能測(cè)到此二值，別的值測(cè)不到。4567而自旋在任方向上的分量及其本征值、本征態(tài)為（見習(xí)題8.2）84、在引入自旋后，電子的波函數(shù)表現(xiàn)為一列矩陣----二分量波函數(shù)其歸一化條件為5、滿足S-方程9或如果不含，則其中滿足定態(tài)方程或問題：此處取什么表象？10第二式具有如下形式如果則其中滿足方程其中116、電子的總角動(dòng)量故與相互對(duì)易，它們具有共同的本征函數(shù)7、原子中電子具有軌道磁矩和自旋磁矩，故在均勻磁場(chǎng)中的勢(shì)能為其中是產(chǎn)生原子光譜塞曼效應(yīng)的原因。

128、的自旋分量表象中的矩陣為希望能記住這個(gè)表達(dá)式，與2維的同等重要！13其中的本征值及對(duì)應(yīng)的本征態(tài)矢為14對(duì)全同電子的自旋波函數(shù)來說，它本身既可以是交換對(duì)稱的，也可以是交換反對(duì)稱的。取決于位置空間波函數(shù)的對(duì)稱性。S=1，自旋三重態(tài)S=0，自旋單態(tài)9、兩個(gè)的自旋耦合成，總自旋的體系，的共同本征態(tài)為則有1510、全同性原理：全同粒子體系的狀態(tài)對(duì)交換其中任一對(duì)粒子保持不變。全同性原理對(duì)全同粒子體系波函數(shù)的要求：由個(gè)全同粒子組成的體系波函數(shù)記為其中表示第個(gè)粒子的全部坐標(biāo)。引入交換算符，它對(duì)的作用是16對(duì)Bose子體系，波函數(shù)必須交換對(duì)稱；對(duì)Fermi子體系，波函數(shù)必須使之成為反對(duì)稱。根據(jù)全同性原理，全同粒子體系波函數(shù)應(yīng)該是交換算符的本征函數(shù)，本征值為。實(shí)驗(yàn)表明：對(duì)于自旋的全同粒子（玻色子）體系，；對(duì)于自旋的全同粒子（費(fèi)米子）體系。17另外注意幾個(gè)基本概念：①自旋角動(dòng)量算符②自旋角動(dòng)量量子數(shù)③自旋磁量子數(shù)④自旋角動(dòng)量平方算符本征值為常數(shù)⑤自旋角動(dòng)量分量算符本征值為量子數(shù)與本征值不是一回事！18二、例題這部分內(nèi)容綜合性較強(qiáng)，但做的題目又較少，可能比較生疏。特別是當(dāng)涉及到全同粒子體系時(shí)更是這樣。6.1

電子偶素（束縛態(tài)）類似于氫原子，只是用一個(gè)正電子代替質(zhì)子作為核。在非相對(duì)論近似下，其能量和波函數(shù)同氫原子類似。今設(shè)在電子偶素的基態(tài)（s

態(tài)）里，存在一種接觸型自旋交換作用，19

其中與分別是正負(fù)電子的自旋磁矩。利用一級(jí)微擾論計(jì)算此基態(tài)中自旋單態(tài)與三重態(tài)之間的能量差，決定哪一能量最低。已知?dú)湓踊鶓B(tài)波函數(shù)分析：進(jìn)行微擾論計(jì)算時(shí)，先看所討論能級(jí)是否簡(jiǎn)并。對(duì)氫原子基態(tài)，位置空間部分是非簡(jiǎn)并的，但自旋空間部分，電子偶素有四個(gè)自旋態(tài)，故是存在簡(jiǎn)并的。另外注意，沒有外磁場(chǎng)時(shí)，若不考慮旋-軌耦合，自旋對(duì)沒有貢獻(xiàn)。可以看作微擾。20解：由所以其中是電子偶素的總自旋，不考慮時(shí)，基態(tài)能量，其中，為電子質(zhì)量，是四度簡(jiǎn)并的。相應(yīng)的四個(gè)波函數(shù)分別為21微擾矩陣元原因：四個(gè)自旋態(tài)都是的本征態(tài)，從而也是的本征態(tài)。這樣簡(jiǎn)并微擾問題就可以用非簡(jiǎn)并微擾方法來處理，且四個(gè)是零級(jí)近似波函數(shù)。對(duì)自旋三重態(tài)，一級(jí)修正能量都相同對(duì)自旋單態(tài)但故22自旋三重態(tài)與自旋單態(tài)能量之差將代入上式得顯然，自旋三重態(tài)能量高于自旋單態(tài)能量。﹟236.3均勻磁場(chǎng)中電子偶素的哈密頓量為其中是實(shí)常數(shù)，

B

是磁場(chǎng)強(qiáng)度，下標(biāo)1與2分別代表電子與正電子，是泡利矩陣。當(dāng)分析：看哈密頓算符的形式，考慮電子偶素的自旋24解：（1）當(dāng)磁場(chǎng)為0時(shí)，由題目所給條件可知對(duì)電子偶素來說，的共同自旋波函數(shù)為這當(dāng)然是的本征函數(shù)，其本征值分別對(duì)應(yīng)為25（2）當(dāng)磁場(chǎng)不為0時(shí)令已經(jīng)知道，上述四個(gè)自旋波函數(shù)是的本征函數(shù)。但是否的本征函數(shù)？需要驗(yàn)證一下。同理故26但同理可得這樣故態(tài)是屬于本征值0的本征函數(shù)同理可得但可以通過的線性組合構(gòu)成的本征態(tài)即可以令從而是屬于本征值

的本征函數(shù)相應(yīng)的本征函數(shù)記為所以不是從而也不是的本征態(tài)。27并滿足方程其中同理可證將上述微擾矩陣元代入系數(shù)所滿足的方程，有28由此方程可解得的另兩組本征值與本征態(tài)矢﹟296.4一束極化的s波（l=0）中子通過一個(gè)不均勻的磁場(chǎng)后分裂成強(qiáng)度不同的兩束，其中自旋反平行磁場(chǎng)的一束與自旋平行于磁場(chǎng)的一束的強(qiáng)度之比為3：1。求入射中子自旋方向與磁場(chǎng)方向夾角的大小。zn提示：無軌道磁矩。電子、質(zhì)子、中子等的自旋皆為1/2。需要搞清楚初末狀態(tài)。30離開磁場(chǎng)后處在自旋Sn本征態(tài)的疊加態(tài)中初狀態(tài)：設(shè)入射中子自旋極化方向?yàn)閦軸正向題目所給條件等價(jià)于說：中子通過磁場(chǎng)后處在本征值為的幾率為多少。這是我們熟悉問題解：設(shè)磁場(chǎng)方向n同z軸之間的夾角為末狀態(tài)：磁場(chǎng)n方向，由于受到自旋磁矩的作用已知的本征值為的態(tài)矢為31由題意知入射中子自旋態(tài)為，即初態(tài)，則有容易求得從而求得﹟它們也是分別隸屬于能量本征值為的本征態(tài)矢從而可以寫出任意時(shí)刻的波函數(shù)為32B

6.5

有一定域電子（作為近似模型可以不考慮軌道運(yùn)動(dòng)）受到均勻磁場(chǎng)的作用，磁場(chǎng)指向軸正方向，相互作用勢(shì)，設(shè)時(shí)電子自旋方向朝上，即，求時(shí)自旋的平均值。t=0分析：求的平均值實(shí)際上是求各分量的平均值，因而需求時(shí)的波函數(shù)。關(guān)鍵是求時(shí)的波函數(shù)。而時(shí)，故關(guān)鍵是求的本征態(tài)。而這是容易做到的。由于不考慮外場(chǎng)時(shí)是自由粒子體系，故不研究平動(dòng)部分。33解：習(xí)題中已經(jīng)做過：在表象下，的本征值與本征態(tài)分別為（應(yīng)記?。。┕试诒硐笙?，的本征值與本征態(tài)分別為34則任意時(shí)刻的態(tài)矢可在表象下按的本征態(tài)展開為由初始條件確定35或36可直接由下式給出即而（因是按的本征態(tài)展開）37可直接由下式給出（因是按的本征態(tài)展開）即﹟386.7自旋，并具有自旋磁矩的粒子處于沿x方向的均勻磁場(chǎng)B

中。已知t=0時(shí)，粒子的，求在以后任意t時(shí)刻發(fā)現(xiàn)粒子具有的幾率。分析：思路非常清晰，與6.5題很類似。根據(jù)自旋哈密頓，寫出其本征態(tài)，并由此寫出任意時(shí)刻的波函數(shù)，并用的本征態(tài)來展開。解：自旋哈密頓量是在表象下，其本征值和本征態(tài)為39則任意時(shí)刻的態(tài)矢為利用初始條件可以求出展開系數(shù)從而任意時(shí)刻的態(tài)矢為下面看在此態(tài)下取的幾率是多少。如何求？40已知在表象下的本征值與本征態(tài)矢為令則同理可得因此任意時(shí)刻取的幾率是二者之和為1﹟416.9自旋投影算符為Pauli矩陣，為單位方向矢量，

(1)對(duì)電子自旋朝上態(tài)，求的可能值與相應(yīng)幾率；

(2)對(duì)的本征值為1的本征態(tài)，求的可能值及相應(yīng)的幾率。分析：此二問關(guān)鍵是搞清楚在什么態(tài)下測(cè)什么值并要知道所測(cè)量力學(xué)量算符在表象下的本征函數(shù)。解：（1）在下測(cè)的值已知在表象下的本征值與本征態(tài)矢為42則在態(tài)下測(cè)的幾率分別為（2）在的本征態(tài)下，測(cè)的可能值，需要寫出表象下的本征態(tài)來剩下的問題就非常簡(jiǎn)單了。﹟436.10

測(cè)量一個(gè)電子（處于自由空間）自旋分量，結(jié)果為。（1）緊接著測(cè)量自旋分量，得到的可能值與相應(yīng)的幾率是多少？（2）如果測(cè)量的自旋方向同軸成角，得到的可能值與相應(yīng)的幾率是多少？期望值是多少？分析：測(cè)量時(shí)有確定值，說明是表象，在此表象下測(cè)就好辦了；第二問實(shí)際上是在表象下測(cè)量，有了習(xí)題8.2的結(jié)論，問題也迎刃而解zS44解：（1）在表象下的本征值與本征態(tài)為當(dāng)電子處在的態(tài)時(shí)，測(cè)量得到的可能值與相應(yīng)的幾率為（利用展開式）45（2）令是同軸成角的方向上的單位矢量（方位角），已知的本征值與本征態(tài)為當(dāng)電子處在的態(tài)時(shí)，測(cè)量得到的可能值與相應(yīng)的幾率為﹟466.13一束速度為自旋在軸方向極化的中性粒子，沿軸方向通過寬的均勻磁場(chǎng)區(qū)，磁場(chǎng)的方向?yàn)檎S方向。已知粒子具有自旋磁矩為常數(shù)。（1）求出粒子通過磁場(chǎng)區(qū)后其中的粒子數(shù)之比；（2）如希望通過磁場(chǎng)后的粒子全部都是自旋磁場(chǎng)強(qiáng)度應(yīng)取什么值？分析：思路很清楚，關(guān)鍵是求自旋哈密頓的本征態(tài)從而得到任意時(shí)刻的波函數(shù)，而通過磁場(chǎng)

所用的時(shí)間可由題目所給條件容易求出。47解：（1）自旋哈密頓為故在表象下的本征態(tài)矢和本征值為則任意時(shí)刻的態(tài)矢為利用初始條件可由求出從而任意時(shí)刻的波函數(shù)可以寫為48粒子處于自旋向下和向上的幾率之比已知,則粒子通過磁場(chǎng)區(qū)后的幾率之比為（2）若要求通過磁場(chǎng)后，粒子的自旋全部向下，

則要求此時(shí)則﹟496.17氫原子基態(tài)能量。其中為Bohr半徑，為折合質(zhì)量，近似等于。

(1)寫出電子偶素的基態(tài)能量和Bohr半徑；

(2)由于電子有自旋，電子偶素基態(tài)的簡(jiǎn)并度是多少？

(3)電子偶素的基態(tài)會(huì)發(fā)生衰變，湮滅為光子。這個(gè)過程中釋放的能量和角動(dòng)量是多少？證明終態(tài)至少有2個(gè)光子。提示：電子偶素衰變前的總能量為基態(tài)能量加質(zhì)量所包含的能量50解：（1）電子偶素是氫原子體系中的質(zhì)子被一個(gè)正電子所代替。其基態(tài)能量同氫原子的基態(tài)能量，只是約化質(zhì)量發(fā)生變化。其中（2）這是一個(gè)雙費(fèi)米子非全同粒子體系，盡管不考慮自旋時(shí)能級(jí)不簡(jiǎn)并，但考慮自旋后由于（）共同本征態(tài)的存在使得能級(jí)簡(jiǎn)并簡(jiǎn)并度是4四個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)是51（3）電子偶素的基態(tài)發(fā)生衰變，湮滅為光子。此過程能量、角動(dòng)量要守恒。釋放前的可資用能（靜能+動(dòng)能）這個(gè)能量全部變?yōu)楣饽?。釋放前的角?dòng)量注意：軌道角動(dòng)量為0若釋放前處于自旋三重態(tài)，則若釋放前處于自旋單態(tài)，則由于在釋放前后體系的動(dòng)量守恒，故釋放后體系的動(dòng)量仍為0。故終態(tài)至少有兩個(gè)相反方向的光子產(chǎn)生。﹟526.20自旋為1的帶電粒子（電荷為，質(zhì)量為）受到磁場(chǎng)的作用，其哈密頓量為

如果時(shí)，粒子的自旋指向軸方向，求粒子自旋平均值的時(shí)間演化。提示：思路非常明確。給出哈密頓的本征值和本征態(tài)寫出加上外場(chǎng)后任意時(shí)刻的波函數(shù)利用初始條件決定展開系數(shù)給出自旋三個(gè)分量在任意態(tài)中的平均值53解：選擇自旋表象，此時(shí)能夠求出它們的本征值及相應(yīng)的態(tài)矢為由于故其本征值和本征函數(shù)可由的本征值及本征函數(shù)給出54故任意時(shí)刻的波函數(shù)為利用初始條件給出組合系數(shù)同理可得55代入任意時(shí)刻波函數(shù)表達(dá)式，有由此可求出自旋在任意態(tài)中的平均值同理可得﹟566.23

體系由兩個(gè)自旋的非全同粒子組成，粒子之間的相互作用為，其中為常數(shù)。設(shè)時(shí)粒子1的自旋指向軸正向，粒子2的自旋指向z軸負(fù)向。

(1)在任意時(shí)刻測(cè)量粒子1的自旋處于軸正向的幾率是多少？

(2)在任意時(shí)刻粒子1與2的自旋均處于軸正向幾率是多少？參看下題57

6.23

體系由兩個(gè)自旋為1/2的非全同粒子組成，粒子間的相互作用為，其中為常數(shù)。設(shè)t=0時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)為。試求（1）任意t時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)；（2）任意t時(shí)刻測(cè)量系統(tǒng)的自旋態(tài)為的幾率；（3）何時(shí)兩個(gè)粒子的自旋實(shí)現(xiàn)反轉(zhuǎn)？解：（1）系統(tǒng)的哈密頓量取的共同本征態(tài)即有58

其中由于

所以（2）任意t時(shí)刻測(cè)量系統(tǒng)的自旋態(tài)為的幾率59另外可以看出，中不存在這兩個(gè)態(tài)，即任意時(shí)刻測(cè)得的幾率均為零。由此可得﹟

（3）從可以看出，由于體系初態(tài)是要實(shí)現(xiàn)兩個(gè)粒子的自旋反轉(zhuǎn)，則須606.25兩個(gè)自旋的粒子在表象的態(tài)為其中代表粒子自旋向上的幾率，代表粒子自旋向下的幾率。

(1)求的本征值與本征態(tài)，是常數(shù)；

(2)設(shè)時(shí)，體系的態(tài)為，求任意時(shí)刻發(fā)現(xiàn)體系處于態(tài)的幾率。分析：理解記號(hào)的意義61實(shí)際上我們所熟悉的本征態(tài)記為這些本征態(tài)是否還是哈密頓算符的本征態(tài)？這是我們首先要解決的問題。解：（1）求哈密頓算符的本征值和本征態(tài)首先看上述四個(gè)態(tài)是否哈密頓算符的本征態(tài)利用容易求出62同理可得說明仍是的本征態(tài)，屬于本征值0.但可以驗(yàn)證，不是的本征態(tài)。的另外兩個(gè)本征態(tài)可以由線性組合構(gòu)成并滿足本征值為E的本征值方程關(guān)鍵是求組合系數(shù)。這是我們所熟悉的過程。利用其中63同理可得代入可得解之可得前面給出的兩個(gè)解這樣就可以寫出任意時(shí)刻的態(tài)矢64（2）任意時(shí)刻的態(tài)矢為利用初始條件定展開系數(shù)當(dāng)t=0時(shí)體系處于態(tài)可求得展開系數(shù)故所以任意t時(shí)刻體系處在的幾率是﹟656.27一個(gè)兩能級(jí)體系，哈密頓量為，能級(jí)間隔