教學目的偏導數(shù)的有關(guān)概念

教學目的偏導數(shù)的有關(guān)概念第1頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五偏導數(shù)偏導數(shù)定義計算高階偏導數(shù)幾何意義第2頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五

在一元微分學中，我們研究過函數(shù)的導數(shù)，即函數(shù)y對于自變量x的變化率：

若多元函數(shù)的某一個自變量發(fā)生變化而其它自變量保持不變，將得到與上式類似的極限，即會產(chǎn)生函數(shù)對某一個自變量的變化率.現(xiàn)在我們討論這種變化率的概念和計算.偏導數(shù)第3頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五偏導數(shù)的定義第4頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五當函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點都存在對x和y的偏導數(shù)時，fx(x,y)和fy(x,y)是D上的兩個新的函數(shù)，稱為f(x,y)對x和y的偏導函數(shù)，簡稱偏導數(shù).分別記為例題第5頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五更多元的函數(shù)可以類似地定義偏導數(shù).即對一個自變量求偏導時，只要把其他自變量都當常數(shù)就行.一元函數(shù)的求導公式和導數(shù)運算法則都可用于求多元函數(shù)的偏導數(shù).2．偏導數(shù)的計算

例題第6頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五例題第7頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五例題第8頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五

注意由上節(jié)例7知上述例5的函數(shù)f(x,y)在原點是間斷的，由此可以看出偏導數(shù)存在時多元函數(shù)不一定連續(xù).由對稱性知fy(0,

0)=0.例題第9頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五偏導數(shù)的幾何意義第10頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五如前所述，二元函數(shù)z=f(x,y)的偏導數(shù)fx(x,y)、fy(x,y)仍是x、y的二元函數(shù)，它們同樣可以對x和y求偏導數(shù).

記

稱為z=f(x,y)的二階偏導數(shù).其中fxy和fyx稱為混合偏導數(shù).注一般地，fxy與fyx不是同一個函數(shù).但可證明如下結(jié)論高階偏導數(shù)第11頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五因此例題第12頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五例題第13頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五偏導數(shù)的定義

對一個自變量求偏導數(shù)時，只要把其它的自變量都當常數(shù)就行了.因此，一元函數(shù)的求導公式與導數(shù)運算法則都可用于求多元函數(shù)的偏導數(shù).偏導數(shù)的計算

小結(jié)第14頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五注如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個混合偏導數(shù)在區(qū)域D上都連續(xù)，則在D上有fxy=fyx.高階偏導數(shù)第15頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五練習題第16頁，共19頁，2023年，2月20日，星期五例題第17頁，共19頁，