南大歷年《量子力學(xué)》的真題,真題

南京大學(xué)1998年碩士研究生考試試題——量子力學(xué)

專業(yè)：理論物理，粒子物理與光學(xué)

oox<0

（一）20分有半壁無限高勢壘的一維阱V（x）=?00cxea

%x>a

在E<%的情形下，該系統(tǒng)是否總存在一個(gè)束縛態(tài)？如果回答是否定的，那么系統(tǒng)中至

少有一個(gè)束縛態(tài)的存在的充要條件是什么？

（二）20分一個(gè)取向用角坐標(biāo)夕和夕確定的轉(zhuǎn)子，作受礙轉(zhuǎn)動(dòng)，用下述哈密頓量描述：

方=A/?+6力2cos（20）,式中A和8均為常數(shù)，且A>>5,￡?是角動(dòng)量平方算符，

試用■■級(jí)微擾論計(jì)算系統(tǒng)的p能級(jí)3=1）的分裂，并標(biāo)出微擾后的零級(jí)近似波函數(shù)。

（三）20分求在一維無限深勢阱中，處于中“（x）態(tài)時(shí)的粒子的動(dòng)量分布幾率|裔（〃『-

（四）20分試判斷下列諸等式的正誤，如果等式不能成立，試寫出正確的結(jié)果：

pi/-jp-i+x-j--ih

⑴e-eJ=e2?式中i和,分別是x和y方向的單位矢量。

（2）[px,P.J（x）ps]=-pJ（x）?式中Px=1獲,

含2

（3）系統(tǒng)的哈密頓算符為方=?一+丫卜），設(shè)/b）是歸一化的束縛態(tài)波函數(shù)，則有：

-21

例/與依〉=]3卜?

（五）20分堿金屬原子處在Z方向的外磁場B中，微擾哈密頓為山=方/.,+力B,其中

人11_dV_eB

L,S

H，[S=——,HB億+z2Mz

2〃2c2rdr24c

當(dāng)外磁場很弱時(shí)，那些力學(xué)量算符是運(yùn)動(dòng)積分（守恒量），應(yīng)取什么樣的零級(jí)近似波函

數(shù)，能使微擾計(jì)算比較簡單，為什么？

尸：(x)=x；P；(x)=(-2產(chǎn);尸;(x)=3(l——產(chǎn)xP；(x)=3(l-

南京大學(xué)1999年碩士研究生考試試題——量子力學(xué)

專業(yè)：理論物理、粒子物理與光學(xué)

（20分）一、t=0時(shí)，粒子的狀態(tài)為。（x）=A[sii?履],求此時(shí)動(dòng)量的可能測值和相應(yīng)的幾

率，并計(jì)算動(dòng)量的平均值。

二、粒子被約束在半徑為r的圓周上運(yùn)動(dòng)

（20分）（a）設(shè)立“路障”進(jìn)一步限制粒子在0<。<德的一段圓弧上運(yùn)動(dòng)：

[/小J。（0<。<瑜）

V（?）=<

oo（。0</<2乃）

求解粒子的能量本征值和本征函數(shù)。

（10分）（b）設(shè)粒子處在情形（a）的基態(tài)，求突然撤去“路障”后，粒子仍然處于最

低能量態(tài)的幾率是多少？

（20分）三、邊長為a的剛性立方勢箱中的電子,具有能量亞軍，如微擾哈密頓/=匕孫，

ma-

試求對(duì)能量的一級(jí)修正（式中b為常數(shù)）。

（15分）四、對(duì)自旋為1/2的粒子，S，和S,是自旋角動(dòng)量算符，求ASy+BS,的本征函數(shù)和本

征值（A和B是實(shí)常數(shù)）。

（15分）五、口知t=0時(shí)，-維自由粒子波函數(shù)在坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象的表示分別是

2

夕⑴=Nxexp（一酸2）exp@oX〃2）；。（「）=c（p-p0）exp[T?（p-p0）]

式中N、a、c、b和p0都是已知實(shí)常數(shù).試求t=0和t>0時(shí)粒子坐標(biāo)和動(dòng)量的平

均值，<1>/>0=？<P>>0=?，（<4>表示力學(xué)量算符N的平均值）。

*「3"=邛

小4a\a

南京大學(xué)2000年碩士研究生入學(xué)考試試題——量子力學(xué)

專業(yè):理論物理，凝聚態(tài)物理，光學(xué)等

mco

一維諧振子處在%(x)=]*e2狀態(tài)，。,求:

(1)勢能的平均值（7分）

(2)動(dòng)能的幾率分布函數(shù)（7分）

(3)動(dòng)能的平均值（7分）

提示：「=jr

00x<0

—.質(zhì)量為m的粒子在一維勢場V(x)=<00<X<6Z中運(yùn)動(dòng),求，

乂x>a

(1)決定束縛態(tài)能級(jí)的方程式(15分)

(2)至少存在一個(gè)束縛態(tài)的條件(5分)

oo

三.質(zhì)量為m的粒子在一維勢場V(%)=,X<0,>>"中運(yùn)動(dòng),其中C是小的實(shí)常

CX0<X<

數(shù)，試用微擾論求準(zhǔn)到c一次方的基態(tài)能量.(20分)

四.兩個(gè)自旋,的非全同粒子系的哈密頓量

2

足=一/扇1).尿2)]“0

求方，的能量本征值和相應(yīng)的簡并度.(20分)

五.(1)設(shè)氫原子處于沿z方向的均勻靜磁場月中，不考慮自旋，在弱磁場情形下求n=2能級(jí)

的分裂情況.(10分)

(2)如果沿z方向不僅有均勻靜磁場瓦還有均勻靜電場瓦再用微擾論求n=2能級(jí)的分

裂情況.(9分)

提示：(2000210)=-3。

南京大學(xué)2001年碩士研究生入學(xué)考試試題量子力學(xué)

專業(yè)：理論物理、、凝聚態(tài)物理、光學(xué)等

一、有…質(zhì)量為〃的粒子處于長度為a的一維無限深勢阱中丫（》）=[8'"<°">",在t=0時(shí)

''0,0<x<a

0,xv0;x>a

刻，粒子的狀態(tài)由波函數(shù)〃（％）=<人,、八描述。求:（20分）

Ax(a—x),()<x<a

1.歸一化常數(shù)A;

2.粒子能量的平均值；

3.t=0時(shí)刻，粒子能量的幾率分布；

4.人藝t>0時(shí)刻的波函數(shù)的級(jí)數(shù)表達(dá)式。

提示：2-F二

?=1,3,5-〃96

二、考慮勢能為V（x）=<0，X>0的一維系統(tǒng)，其中匕為正常數(shù)。若一能量為E的粒子從x=-oo

0,x<0

處入射，其透射系數(shù)和反射系數(shù)各為多少？考慮E的所有可能值。（20分）

三、有一質(zhì)量為〃的粒子，在一維諧振子勢場V（x）=L〃療/中運(yùn)動(dòng)。在動(dòng)能丁=工的非相對(duì)

22〃

\_

論極限下，基態(tài)能石o=g力①，基態(tài)波函數(shù)為5o（x）=（臂）exp（-鬟考慮T與p

的關(guān)系的相對(duì)論修正，計(jì)算基態(tài)能級(jí)的移動(dòng)AE至二階（c為光速）（20分）

C

四、氯化鈉晶體中有些負(fù)離子空穴，每個(gè)空穴束縛一個(gè)電子?？蓪⑦@些電子看成束縛在一個(gè)尺

度為晶格常數(shù)的三維無限深勢阱中。晶體處于室溫，試粗略地估計(jì)被這些電子強(qiáng)烈吸收的電磁

波的最長的波長。（20分）

o

提示：電子質(zhì)量mc?=Q,5llMeV?\97MeV-fin,晶格常數(shù)a1A

五、考慮自旋S=L力的系統(tǒng)，

2

1.求算符才=4&+8S一的本征值和歸一化本征波函數(shù)；（A、B為實(shí)常數(shù)）

y

2.若此時(shí)系統(tǒng)正處在f的某一個(gè)本征態(tài)上，求此時(shí)測量結(jié)果為的幾率。（20分）

南京大學(xué)2002年碩士研究生入學(xué)考試試題-----量子力學(xué)

一、一維自由粒子的狀態(tài)由波函數(shù)中（x）=sin2^+；cos履描述。求粒子的動(dòng)量平均值和動(dòng)

能平均值。（20分）

二、粒子被約束在半徑為r的圓周上運(yùn)動(dòng)

1）設(shè)立“路障”進(jìn)一步限制粒子在0<夕<外的一段圓弧上運(yùn)動(dòng)，即V?）=10'°<（P<（P°,

oo,（pQ<（p<2萬

求解粒子的能量本征值和本征函數(shù)；

2）設(shè)粒子處在上述情形的基態(tài)，現(xiàn)突然撤去“路障”，問撤去“路障”后，粒子仍然處在

最低能量態(tài)的幾率是多少？

（20分）

1122

在柱坐標(biāo)系下V2”d(dududu

提示:------P-----o---7---V

pSpydpJp-d(p-dz

三、設(shè)算符庶=於。且=證明：如果甲是市的本征函數(shù)，對(duì)應(yīng)的本征值為幾,

那么，波函數(shù)筆中也是舟的本征函數(shù)，對(duì)應(yīng)的本征值為;1-1,而波函數(shù)匕=6+中也

是而的本征函數(shù)，對(duì)應(yīng)的本征值為4+1。（20分）

/、[0,0<<?

四、一個(gè)粒子在二維無限深勢阱V（x）=<中運(yùn)動(dòng)，設(shè)加上微擾修=4

oo,elsewhere

（0<x,y<?）,求基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的一階能量修正（20分）

方力1

五、若電子處于SGz的本征態(tài)’試證在此態(tài)中'S6.,取值為一2或5的幾率各為2。（20分）

南京大學(xué)2003年碩士研究生入學(xué)考試試題——量子力學(xué)

專業(yè)：理論物理，凝聚態(tài)物理，光學(xué)

一、一個(gè)質(zhì)量為〃的粒子處于一維諧振子勢丫（力=；〃02》2中運(yùn)動(dòng)，。為諧振子的本征振動(dòng)頻率。如果

1=0時(shí),該粒子處于態(tài)甲（x,0）=&。卜）+繼2（X）,其中Wo（X）和匕（X）分別為一維諧振子的基

態(tài)和第二激發(fā)態(tài)的能量本征波函數(shù)，J為待定常數(shù)且c>0。

1）根據(jù)歸一化條件，求待定常數(shù)c；（5分）

2）求/時(shí)刻粒子所處的狀態(tài)"（X/）；（5分）

3）求測量粒子的能量所能得到的可能值和測到這些值的幾率；（10分）

4）求粒子能量的平均值；（5分）

5）若在f=7■時(shí)刻，粒子所處的勢場突然變?yōu)檠?（彳）=^〃。2/，求粒子在？時(shí)刻處于新的勢場

V（x）的第一激發(fā)態(tài)的幾率。（5分）

二、一根長為/的無質(zhì)量的繩子一端固定，另一端系質(zhì)點(diǎn)加。在重力作用下，質(zhì)點(diǎn)在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，

1）寫出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的哈密頓量；（10分）

2）在小角近似下求系統(tǒng)的能級(jí)；（10分）

3）求由于小角近似的誤差而產(chǎn)生的基態(tài)能量的最低階修正。（10分）

提示：質(zhì)量為機(jī)，本征頻率為0的一維諧振子的基態(tài)波函數(shù)為%（無）=Cexp[—#x2）,其中。是

歸一化常數(shù)，a=[exp（-x2yix=正。

三、質(zhì)量為〃的粒子從左向右作一維運(yùn)動(dòng)，穿越了一個(gè)寬度為。，高度為匕的一維勢壘

/、0\x\>a/2

V（x}=\o設(shè)粒子的能量E〉％。試求發(fā)生共振透射（即透射系數(shù)為1）的條件。（30

7

\\V0\x\<a/2

分）

四、兩個(gè)自旋為1/2的粒子組成的系統(tǒng)由哈密頓量//=4（兀+52：）+8E耳描述，其中耳和分別是兩個(gè)

粒子的自旋，而5反和S2：則分別是這兩個(gè)粒子自旋的z分量，A和8是實(shí)常數(shù)。求該哈密頓量的所有

能級(jí)。（30分）

五、一個(gè)質(zhì)量為〃，帶電荷為q的粒子，束縛在寬度為。的一維無限深勢阱丫（x）=10中運(yùn)

v7[oo\x\>a12

動(dòng)。如果在入射光的照射下，該粒子能在不同能級(jí)間發(fā)生偶極輻射躍遷，求躍遷的選擇規(guī)則。

（30分）

六、兩個(gè)粒子被束縛在一個(gè)邊長為a>A>c的長方體盒子中運(yùn)動(dòng)，粒子間的相互作用勢能為

丫（用,弓）=45（吊—月）可以作為微擾，其中用和用分別為兩個(gè)粒子的坐標(biāo)，A為實(shí)常數(shù)。分別就以

下兩種情形求體系的最低能量態(tài)的能量，要求準(zhǔn)至A的一次方。

1）兩個(gè)粒子為自旋為零的全同玻色子；（15分）

2）兩個(gè)粒子為自旋為1/2的全同費(fèi)米子，且這兩個(gè)粒子的自旋平行（即總自旋為1）。（15分）

南京大學(xué)2004年碩士研究生入學(xué)考試試題一量子力學(xué)

一、已知電子質(zhì)量為"，電子電量為（-e）,回答以下問題：

1）一個(gè)電子被限制在寬度為。的一維無限深勢阱中運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)寫出該體系的能級(jí)公式；（5分）

2）五個(gè)電子被限制在寬度為a的一維無限深勢防中運(yùn)動(dòng)，不考慮電子和電子之間的庫侖相互作用，請(qǐng)

寫出該體系的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的能級(jí)公式。（10分）

3）一個(gè)電子處于一維諧振子勢場3〃。一2中運(yùn)動(dòng)，其中①是諧振子的本征園頻率，X是電子的坐標(biāo)，

請(qǐng)寫出該體系的能級(jí)公式。（5分）

4）如果電子在上題中的一維諧振子勢場中運(yùn)動(dòng)，并且假定電子恰好處在某個(gè)能量本征態(tài)上，求電子的

坐標(biāo)和動(dòng)量的平均值，這些平均值隨時(shí)間變化么？（10分）

5）請(qǐng)寫出氫原子體系的能級(jí)公式和電子的基態(tài)波函數(shù)，這里假定原子核是不動(dòng)的；（10分）

6）假定氫原子處于基態(tài)，求電子勢能的平均值，其中r是電子的徑向坐標(biāo)。（10分）

r

二、假定電子的波函數(shù)在球坐標(biāo)體系下寫為：口7,仇夕）=（0%足。+。05。）8（廠），其中8（廠）僅是徑向坐

標(biāo)r的函數(shù)。1）求角動(dòng)量平方產(chǎn)的可能測量值和相應(yīng)的幾率；（10分）2）求角動(dòng)量的z分量乙的可

能測量值和平均值。（10分）

三、3代表電子的自旋算符，〃=（sin9cos0,sin（9sin9，cos6）為從原點(diǎn)指向單位球面上（。,夕）方向上的

單位向量，其中。是緯度，。是經(jīng)度。

1）在02,SJ表象下求自旋S在7方向上的投影S,,=/3的本征值和相應(yīng)的本征波函數(shù)。（10分）

2）假定電子處于S,,的某個(gè)本征態(tài)，那么測量工會(huì)得到哪些數(shù)值，相應(yīng)的幾率是多少，測量S二的平

均值又是多少？（10分）

四、?個(gè)質(zhì)量為m,無電荷但自旋為1/2,磁矩為%=-也]的粒子在一維無限深勢阱

h

[o；Ixl<L~

V（x）=<中運(yùn)動(dòng)，其中〃。和L是正常數(shù)，x是粒子的坐標(biāo)，s是粒子的自旋算符。現(xiàn)在考

1+8；|x|>L

慮在x<0的半空間中有一沿z方向的均勻磁場，其大小為B,而在x〉0的半空間有一同樣大小但沿x方

向的均勻磁場。在弱磁場極限下用微擾論找出體系基態(tài)的能級(jí)和波函數(shù)，并指出B能作為弱磁場處理的具

體條件。（微擾只須計(jì)算到最低階，自選空間的波函數(shù)在Pauli表象下寫出。）（30分）

五、一個(gè)質(zhì)量為m的無自旋的粒子在三維情形下與一個(gè)球?qū)ΨQ勢V（r）=-CS（r-a）作用，其中C,a為

正常數(shù)，r是徑向坐標(biāo)，為了保證該體系至少有一個(gè)束縛態(tài)存在，試問C的值最小可以取多少？（30分）

方1

六、一個(gè)質(zhì)量為m的無自旋的粒子受到中心勢丫「）=-J2————的散射，其中。是常數(shù)。已知方

macosh（r/a）

程4+公>+―1?），=0有解卜=6±依。21111》工洪），在低能極限下，求粒子能量為E時(shí)，S分波的散

dx~coshx

射截面及其角分布。（30分）

南京大學(xué)2005年碩士研究生入學(xué)考試試題——量子力學(xué)

專業(yè)：理論物理，凝聚態(tài)物理

一、問答題

1、試述量子態(tài)的疊加原理。（5分）

討論自由粒子的波函數(shù)是否一定是平面波？問什么？（5分）

2、為什么波函數(shù)必定是復(fù)數(shù)？（5分）

?維定態(tài)薛定譚方程的解材（x）是否也必定是復(fù)數(shù)？（5分）

3、以下的波函數(shù)是否代表同一個(gè)量子態(tài)，并說明為什么：

（1）、.（x,f）和e"沙（xj）,其中°是實(shí)常數(shù)；（5分）

（2）、沙丘/）和e,mz'G,。，其中/G）是