應用數(shù)理統(tǒng)計概念教案

應用數(shù)理統(tǒng)計統(tǒng)計概念《統(tǒng)計概念》主要內(nèi)容一、數(shù)理統(tǒng)計的涵義二、總體、樣本與統(tǒng)計量

三、順序統(tǒng)計量、經(jīng)驗分布函數(shù)和直方圖四、抽樣分布五、應用案例一、數(shù)理統(tǒng)計的涵義

數(shù)理統(tǒng)計是研究怎么用有效的方法去收集和使用帶隨機性影響的數(shù)據(jù)的學科。1)、數(shù)理統(tǒng)計研究的數(shù)據(jù)必須帶有隨機性的影響，才能成為數(shù)理統(tǒng)計學的研究對象；2)、數(shù)據(jù)隨機性的來源。一是所研究對象為數(shù)很多；二是試驗的隨機誤差；3)、用有效的方法收集數(shù)據(jù)；4)、有效地使用數(shù)據(jù)；4、樣本值：設(x1,…,xn)是隨機變量X1,…,X

n

的一次觀測值，稱(x1,…,xn)為樣本值。

二、總體、樣本與統(tǒng)計量1、總體：研究對象的全體。總體分布2、個體：總體中的每個元素為個體。3、樣本、樣本分布、樣本容量：從總體中抽取的部分個體稱為樣本，用

X1,…,X

n或(X1,…,X

n)表示，而其中每個個體稱為樣品，n稱為樣本容量。X1,…,X

n的分布稱為樣本分布。4、簡單隨機樣本

樣本應滿足的條件：

1)、獨立性：要求樣本中各樣品為相互獨立的隨機變量；

2)、代表性：要求每個樣品與總體X

具有相同分布。稱滿足以上要求抽取的樣本為簡單樣本。簡單隨機抽樣相互獨立且與總體同分布5、樣本分布的計算1)、設總體X

的分布函數(shù)為,X1,…,X

n

是來自總體X

的樣本，則該樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為：2)、若總體X

是連續(xù)型隨機變量，且具有密度函數(shù),則樣本（X1,…,X

n

）的聯(lián)合密度函數(shù)為，也稱為概率分布。3)、當總體X

是離散型隨機變量，且具有分布列時，記：*故任意樣本(X1,…,X

n)的概率分布統(tǒng)一為：

則樣本（X1,…,X

n

）的聯(lián)合密度函數(shù)也為：(X1,…,X

n)為該總體的樣本，則樣本的聯(lián)合分布密度為：例1、假設燈泡的使用壽命X

服從指數(shù)分布，密度函數(shù)為：其中：例2、設總體X

服從0-1分布，即，為該總體的樣本，記：則樣本的聯(lián)合分布密度為：1）定義：設X1,…,X

n為總體X

的一個樣本，為關(guān)于n維變量的連續(xù)函數(shù)，且該函數(shù)中不含任何未知參數(shù)(取定值時)，則稱為統(tǒng)計量，很明顯，統(tǒng)計量是一個隨機變量。6、統(tǒng)計量2）常用的統(tǒng)計量：樣本均值：樣本方差：樣本k

階原點矩：樣本k

階中心矩：樣本標準差：顯然：3）樣本均值有如下性質(zhì)：(1):(2):若總體的均值、方差存在，且，則(3):當n→∞時，。4）樣本方差S2的性質(zhì)：(1)如果存在，則：(2)對任意實數(shù)a，有：

＝＝三、順序統(tǒng)計量、經(jīng)驗分布函數(shù)

和直方圖定義：設(X1,…,X

n)為總體X

的樣本，是樣本觀測值，將樣本值從小到大排列：。定義隨機變量的取值為，則稱為的順序統(tǒng)計量，且稱為最小統(tǒng)計量，為最大統(tǒng)計量。1、順序統(tǒng)計量樣本極差：樣本中位數(shù)：

設是總體X

的分布函數(shù)，為總體X的密度函數(shù)，則：2、最小最大統(tǒng)計量的分布：1)最大統(tǒng)計量的分布為：2)最小統(tǒng)計量的分布為：例3、設是來自正態(tài)總體的樣本，求：1）解：因獨立，且服從相同分布2）解：3、經(jīng)驗分布函數(shù)：定義：設為總體X

的樣本的觀測值，將這些值按大小排序為：，并對任意實數(shù)x，記則稱為總體X

的經(jīng)驗分布函數(shù)。oooo10.80.60.40.2圖1經(jīng)驗分布函數(shù)曲線具有如下性質(zhì)：（1）（2）（3）即滿足分布函數(shù)的三個基本性質(zhì)，所以，是分布函數(shù)。

描述連續(xù)性隨機變量的密度函數(shù)曲線，當樣本容量較大（n>85）時，能夠很好的近似總體的密度函數(shù)曲線。4、直方圖：四、抽樣分布1、抽樣分布定義：設是統(tǒng)計量，并且也是隨機變量，其服從什么樣的分布是在總體的基礎上抽樣得到的，故其分布稱為抽樣分布。2、正態(tài)總體下一些幾個重要的抽樣分布1）卡方分布：定義：設為n個獨立同分布于的隨機變量，記，則稱服從參數(shù)為n的卡方分布，記為：(2)密度函數(shù)：(4)性質(zhì)：①設，則，；②線性可加性：設，，且隨機變量和相互獨立，則：；③設，則；(3)密度函數(shù)曲線:推論：設獨立同分布于，令，則，且證明：令，則獨立同分布于，由卡方分布的定義：并且由卡方分布的性質(zhì)1知：故：2）t

分布：(1)定義：設，且X，Y

相互

獨立，記：，則稱T服從自由度為

n的t分布，記為：。(2)密度函數(shù)：(4)性質(zhì)：②當n>1時,ET

＝0,密度函數(shù)曲線關(guān)于軸對稱。③當n>2時,

。①當n=1時,

密度函數(shù):④當n→∞時,

。即當n充分大時(>45)，隨機變量T

近似服從標準正態(tài)分布。(3)密度函數(shù)曲線：(1)定義：設，且X

與Y

相互獨立，記：，則稱F

服從自由度為m與n的F

分布，記為：3）F

分布：(2)密度函數(shù)：(4)性質(zhì)：①當時，則；②當

，則；(3)密度函數(shù)曲線：例4、設獨立同分布于，令，求：1)參數(shù)a,b,使服從分布，并求其自由度；2)參數(shù)c,使服從t

分布，并求其自由度；3)參數(shù)d，使得服從F

分布，并求其自由度；解：1）因：

則與相互獨立，且都服從標準正態(tài)分布，

獨立同分布于，，由卡方分布的定義有：所以：，且自由度為2；2）因：

則：，

所以：

故：即：c＝1，，且自由度為2。

故：，且自由度為1和2。3）因：，，所以：

3、抽樣分布定理：

定理1

設總體，X1,…,X

n為總體X的樣本，分別為樣本均值和樣本方差，則：1），；2）；3）相互獨立。推論1：設來自于正態(tài)總體，則：證明：因：又相互獨立，所以，由t-分布的定義知，上式成立。推論2：設X1,…,X

n

，Y1,…,Y

n

分別來自正態(tài)總體和，并且兩組樣本相互獨立，則：4、分位數(shù)

定義：設X

為一隨機變量，

分布函數(shù)為F(x)，給定概率p，存在，使得滿足:

稱為p-分位數(shù)。設X

的密度函數(shù)為f

(x)，如圖所示，分位數(shù)表示刻度以左的一塊陰影面積為p

。常見的分位數(shù)：1、標準正態(tài)分布：u-分位數(shù)，記為；性質(zhì)：概率p證明：u-分位數(shù)查表：x0.00…0.05…0.090.00.5199……1.60.9505…0.95052、t

分布：t-分位數(shù)，記為