應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)概念教案

應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)概念《統(tǒng)計(jì)概念》主要內(nèi)容一、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的涵義二、總體、樣本與統(tǒng)計(jì)量

三、順序統(tǒng)計(jì)量、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)和直方圖四、抽樣分布五、應(yīng)用案例一、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的涵義

數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究怎么用有效的方法去收集和使用帶隨機(jī)性影響的數(shù)據(jù)的學(xué)科。1)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的數(shù)據(jù)必須帶有隨機(jī)性的影響，才能成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究對(duì)象；2)、數(shù)據(jù)隨機(jī)性的來(lái)源。一是所研究對(duì)象為數(shù)很多；二是試驗(yàn)的隨機(jī)誤差；3)、用有效的方法收集數(shù)據(jù)；4)、有效地使用數(shù)據(jù)；4、樣本值：設(shè)(x1,…,xn)是隨機(jī)變量X1,…,X

n

的一次觀測(cè)值，稱(x1,…,xn)為樣本值。

二、總體、樣本與統(tǒng)計(jì)量1、總體：研究對(duì)象的全體?？傮w分布2、個(gè)體：總體中的每個(gè)元素為個(gè)體。3、樣本、樣本分布、樣本容量：從總體中抽取的部分個(gè)體稱為樣本，用

X1,…,X

n或(X1,…,X

n)表示，而其中每個(gè)個(gè)體稱為樣品，n稱為樣本容量。X1,…,X

n的分布稱為樣本分布。4、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本

樣本應(yīng)滿足的條件：

1)、獨(dú)立性：要求樣本中各樣品為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量；

2)、代表性：要求每個(gè)樣品與總體X

具有相同分布。稱滿足以上要求抽取的樣本為簡(jiǎn)單樣本。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣相互獨(dú)立且與總體同分布5、樣本分布的計(jì)算1)、設(shè)總體X

的分布函數(shù)為,X1,…,X

n

是來(lái)自總體X

的樣本，則該樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為：2)、若總體X

是連續(xù)型隨機(jī)變量，且具有密度函數(shù),則樣本（X1,…,X

n

）的聯(lián)合密度函數(shù)為，也稱為概率分布。3)、當(dāng)總體X

是離散型隨機(jī)變量，且具有分布列時(shí)，記：*故任意樣本(X1,…,X

n)的概率分布統(tǒng)一為：

則樣本（X1,…,X

n

）的聯(lián)合密度函數(shù)也為：(X1,…,X

n)為該總體的樣本，則樣本的聯(lián)合分布密度為：例1、假設(shè)燈泡的使用壽命X

服從指數(shù)分布，密度函數(shù)為：其中：例2、設(shè)總體X

服從0-1分布，即，為該總體的樣本，記：則樣本的聯(lián)合分布密度為：1）定義：設(shè)X1,…,X

n為總體X

的一個(gè)樣本，為關(guān)于n維變量的連續(xù)函數(shù)，且該函數(shù)中不含任何未知參數(shù)(取定值時(shí))，則稱為統(tǒng)計(jì)量，很明顯，統(tǒng)計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變量。6、統(tǒng)計(jì)量2）常用的統(tǒng)計(jì)量：樣本均值：樣本方差：樣本k

階原點(diǎn)矩：樣本k

階中心矩：樣本標(biāo)準(zhǔn)差：顯然：3）樣本均值有如下性質(zhì)：(1):(2):若總體的均值、方差存在，且，則(3):當(dāng)n→∞時(shí)，。4）樣本方差S2的性質(zhì)：(1)如果存在，則：(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)a，有：

＝＝三、順序統(tǒng)計(jì)量、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)

和直方圖定義：設(shè)(X1,…,X

n)為總體X

的樣本，是樣本觀測(cè)值，將樣本值從小到大排列：。定義隨機(jī)變量的取值為，則稱為的順序統(tǒng)計(jì)量，且稱為最小統(tǒng)計(jì)量，為最大統(tǒng)計(jì)量。1、順序統(tǒng)計(jì)量樣本極差：樣本中位數(shù)：

設(shè)是總體X

的分布函數(shù)，為總體X的密度函數(shù)，則：2、最小最大統(tǒng)計(jì)量的分布：1)最大統(tǒng)計(jì)量的分布為：2)最小統(tǒng)計(jì)量的分布為：例3、設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的樣本，求：1）解：因獨(dú)立，且服從相同分布2）解：3、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)：定義：設(shè)為總體X

的樣本的觀測(cè)值，將這些值按大小排序?yàn)椋?，并?duì)任意實(shí)數(shù)x，記則稱為總體X

的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。oooo10.80.60.40.2圖1經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)曲線具有如下性質(zhì)：（1）（2）（3）即滿足分布函數(shù)的三個(gè)基本性質(zhì)，所以，是分布函數(shù)。

描述連續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù)曲線，當(dāng)樣本容量較大（n>85）時(shí)，能夠很好的近似總體的密度函數(shù)曲線。4、直方圖：四、抽樣分布1、抽樣分布定義：設(shè)是統(tǒng)計(jì)量，并且也是隨機(jī)變量，其服從什么樣的分布是在總體的基礎(chǔ)上抽樣得到的，故其分布稱為抽樣分布。2、正態(tài)總體下一些幾個(gè)重要的抽樣分布1）卡方分布：定義：設(shè)為n個(gè)獨(dú)立同分布于的隨機(jī)變量，記，則稱服從參數(shù)為n的卡方分布，記為：(2)密度函數(shù)：(4)性質(zhì)：①設(shè)，則，；②線性可加性：設(shè)，，且隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，則：；③設(shè)，則；(3)密度函數(shù)曲線:推論：設(shè)獨(dú)立同分布于，令，則，且證明：令，則獨(dú)立同分布于，由卡方分布的定義：并且由卡方分布的性質(zhì)1知：故：2）t

分布：(1)定義：設(shè)，且X，Y

相互

獨(dú)立，記：，則稱T服從自由度為

n的t分布，記為：。(2)密度函數(shù)：(4)性質(zhì)：②當(dāng)n>1時(shí),ET

＝0,密度函數(shù)曲線關(guān)于軸對(duì)稱。③當(dāng)n>2時(shí),

。①當(dāng)n=1時(shí),

密度函數(shù):④當(dāng)n→∞時(shí),

。即當(dāng)n充分大時(shí)(>45)，隨機(jī)變量T

近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。(3)密度函數(shù)曲線：(1)定義：設(shè)，且X

與Y

相互獨(dú)立，記：，則稱F

服從自由度為m與n的F

分布，記為：3）F

分布：(2)密度函數(shù)：(4)性質(zhì)：①當(dāng)時(shí)，則；②當(dāng)

，則；(3)密度函數(shù)曲線：例4、設(shè)獨(dú)立同分布于，令，求：1)參數(shù)a,b,使服從分布，并求其自由度；2)參數(shù)c,使服從t

分布，并求其自由度；3)參數(shù)d，使得服從F

分布，并求其自由度；解：1）因：

則與相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，

獨(dú)立同分布于，，由卡方分布的定義有：所以：，且自由度為2；2）因：

則：，

所以：

故：即：c＝1，，且自由度為2。

故：，且自由度為1和2。3）因：，，所以：

3、抽樣分布定理：

定理1

設(shè)總體，X1,…,X

n為總體X的樣本，分別為樣本均值和樣本方差，則：1），；2）；3）相互獨(dú)立。推論1：設(shè)來(lái)自于正態(tài)總體，則：證明：因：又相互獨(dú)立，所以，由t-分布的定義知，上式成立。推論2：設(shè)X1,…,X

n

，Y1,…,Y

n

分別來(lái)自正態(tài)總體和，并且兩組樣本相互獨(dú)立，則：4、分位數(shù)

定義：設(shè)X

為一隨機(jī)變量，

分布函數(shù)為F(x)，給定概率p，存在，使得滿足:

稱為p-分位數(shù)。設(shè)X

的密度函數(shù)為f

(x)，如圖所示，分位數(shù)表示刻度以左的一塊陰影面積為p

。常見的分位數(shù)：1、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：u-分位數(shù)，記為；性質(zhì)：概率p證明：u-分位數(shù)查表：x0.00…0.05…0.090.00.5199……1.60.9505…0.95052、t

分布：t-分位數(shù)，記為