【高中數(shù)學(xué)經(jīng)典】函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象重難點(diǎn)題型(舉一反三)

【高中數(shù)學(xué)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象重難點(diǎn)題型【舉一反三系列】【知識(shí)點(diǎn)1用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象】用“五點(diǎn)法”作的簡(jiǎn)圖，主要是通過(guò)變量代換，設(shè)，由z取來(lái)求出相應(yīng)的x，通過(guò)列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象.用“五點(diǎn)法”作圖象的關(guān)鍵是點(diǎn)的選取，其中橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，公差為.【知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中有關(guān)概念】表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，A叫做振幅，叫做周期，叫做頻率，叫做相位，x=0時(shí)的相位稱(chēng)為初相.【知識(shí)點(diǎn)3由y=sinx得圖象通過(guò)變換得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）的圖象】1.振幅變換：(A>0且A≠1)的圖象可以看作把正弦曲線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(A>1)或縮短(0<A<1)到原來(lái)的A倍得到的(橫坐標(biāo)不變)，它的值域[-A，A]，最大值是A，最小值是-A.若A<0可先作y=-Asinx的圖象，再以x軸為對(duì)稱(chēng)軸翻折.A稱(chēng)為振幅.2.周期變換：函數(shù)的圖象，可看作把正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短或伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變).若則可用誘導(dǎo)公式將符號(hào)“提出”再作圖.決定了函數(shù)的周期.3.相位變換：函數(shù)(其中)的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點(diǎn)向左(當(dāng)＞0時(shí))或向右(當(dāng)＜0時(shí))平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度而得到.(用平移法注意講清方向：“左加右減”).一般地，函數(shù)的圖象可以看作是用下面的方法得到的：(1)先把y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左(>0)或右(<0)平行移動(dòng)個(gè)單位；(2)再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短或伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)；(3)再把所得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(A>1)或縮短(0<A<1)到原來(lái)的A倍(橫坐標(biāo)不變).

【考點(diǎn)1正、余型函數(shù)作圖】【例1】（2019?岳麓區(qū)校級(jí)學(xué)業(yè)考試）知函數(shù)，x∈R．（1）填寫(xiě)下表，用“五點(diǎn)法”畫(huà)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象．x0π2π000（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．【分析】（1）利用三角函數(shù)求值完成表格，通過(guò)五點(diǎn)法作圖化簡(jiǎn)函數(shù)的圖象．（2）利用三角函數(shù)的周期公式以及正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，求解即可．【答案】解：（1）填表和作圖如下．（4分）x0π2π030﹣30（2）函數(shù)f（x）的最小正周期為，又，k∈Z，解得，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象的畫(huà)法，三角函數(shù)的值的求法，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的周期的求法，考查計(jì)算能力．【變式1-1】（2018秋?海淀區(qū)期末）已知函數(shù)．（Ⅰ）求T的最小正周期T；（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅲ）在給定的坐標(biāo)系中作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，并直接寫(xiě)出函數(shù)f（x）在區(qū)間上的取值范圍．【分析】（Ⅰ）利用正弦函數(shù)的周期公式即可計(jì)算得解；（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（Ⅲ）利用五點(diǎn)作圖法即可畫(huà)出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【答案】（本小題滿(mǎn)分11分）解：（Ⅰ）．……（2分）（Ⅱ）由，k∈Z，……（4分）可得：，k∈Z．所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：，k∈Z．……（6分）（Ⅲ）列對(duì)應(yīng)值表如下：2x+0π2πx﹣f（x）020﹣20通過(guò)描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再用光滑曲線順次連接作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖如圖所示．……（8分）可得函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是．……（11分）注：中每一個(gè)端點(diǎn)正確給（1分），括號(hào)正確（1分）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了五點(diǎn)法作函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．【變式1-2】（2018秋?香坊區(qū)校級(jí)期末）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)，在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：ωx+φ0π2πxy＝Asin（ωx+φ）0300（1）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整；函數(shù)f（x）的解析式為f（x）＝（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）；（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)作出f（x）一個(gè)周期的圖象；（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．【分析】（1）由題意補(bǔ)充完整表格，寫(xiě)出f（x）的解析式；（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)作出f（x）一個(gè)周期的圖象即可；（3）求出函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值即可．【答案】解：（1）由題意，補(bǔ)充完整下表是；ωx+φ0π2πxy＝Asin（ωx+φ）030﹣30寫(xiě)出函數(shù)f（x）的解析式為f（x）＝3sin（2x﹣）；（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)作出f（x）一個(gè)周期的圖象，如圖所示；（3）函數(shù)f（x）＝3sin（2x﹣），x∈[﹣，0]，2x﹣∈[﹣，﹣]；∴x＝﹣時(shí)，f（x）在區(qū)間上取得最大值為﹣，x＝﹣時(shí)，f（x）取得最小值為﹣3．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．【變式1-3】（2019?望花區(qū)校級(jí)學(xué)業(yè)考試）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞0）的最大值為3，其圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式和當(dāng)x∈[0，π]時(shí)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；（Ⅱ）f（x）的圖象向右平行移動(dòng)個(gè)長(zhǎng)度單位，再向下平移1個(gè)長(zhǎng)度單位，得到g（x）的圖象，用“五點(diǎn)法”作出g（x）在[0，π]內(nèi)的大致圖象．【分析】（Ⅰ）根據(jù)條件求出A，ω的值，即可求函數(shù)f（x）的解析式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求當(dāng)x∈[0，π]時(shí)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移關(guān)系求出g（x）的解析式，利用五點(diǎn)法進(jìn)行作圖即可．【答案】解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）的最大值是3，∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，∴最小正周期T＝π，∴ω＝2．（2分）所以f（x）＝2sin（2x﹣）+1令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，即+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，（4分）∵x∈[0，π]，∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[，]．（5分）（Ⅱ）依題意得g（x）＝f（x﹣）﹣1＝2sin（2x﹣），列表得：x0π2x﹣﹣0πg(shù)（x）﹣020﹣2﹣（7分）描點(diǎn)（0，﹣），（，0），（，2），（，0），（，﹣2），（π，﹣），（8分）連線得g（x）在[0，π]內(nèi)的大致圖象．（10分）【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式以及利用五點(diǎn)法作圖是解決本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2圖象變換與解析式】【例2】（2019秋?蕪湖期末）給出下列8種圖象變換方法：①圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的；②圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍；③圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的；④圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍；⑤圖象向右平移個(gè)單位；⑥圖象向左平移個(gè)單位；⑦圖象向右平移個(gè)單位；⑧圖象向左平移個(gè)單位．請(qǐng)選擇上述變換方法中的部分變換方法并按照一定順序排列將函數(shù)y＝sinx的圖象變換到函數(shù)的圖象，要求寫(xiě)出每一種變換后得到的函數(shù)解析式．（只需給出一種方法即可）．【分析】利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【答案】解：將函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移個(gè)單位，可得y＝sin（x+）的圖象；再把所得圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，可得y＝sin（x+）的圖象；再把所得圖象的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，可得y＝sin（x+）的圖象．即按照⑥②③的順序進(jìn)行．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．【變式2-1】說(shuō)明由函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換就能得到下列函數(shù)的圖象：（1）y＝sin（x+）；（2）y＝sin（2x﹣）；（4）y＝5sin（3x﹣）；（3）y＝sin（x+）．【分析】由條件根據(jù)函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【答案】解：（1）把y＝sinx的圖象向左平移個(gè)單位，可得y＝sin（x+）的圖象；（2）把y＝sinx的圖象向右平移個(gè)單位，可得y＝sin（x﹣）的圖象；再把所得圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，可得y＝sin（2x﹣）的圖象；（4）把y＝sinx的圖象向右平移個(gè)單位，可得y＝sin（x﹣）的圖象；再把所得圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，可得y＝sin（3x﹣）的圖象；再把所得圖象的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的5倍，橫坐標(biāo)不變，可得y＝5sin（3x﹣）的圖象；（3）把y＝sinx的圖象向左平移個(gè)單位，可得y＝sin（x+）的圖象；再把所得圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，縱坐標(biāo)不變，可得y＝sin（x+）的圖象；再把所得圖象的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，橫坐標(biāo)不變，可得y＝sin（x+）的圖象；【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．【變式2-2】y＝sin（﹣2x+）經(jīng)過(guò)怎樣變換得到y(tǒng)＝sin2x的圖象．【分析】首先，化簡(jiǎn)函數(shù)y＝﹣sin（2x﹣），然后，結(jié)合圖象平移進(jìn)行求解即可．【答案】解：∵y＝sin（﹣2x+）＝﹣sin（2x﹣），先將該函數(shù)圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，得到函數(shù)y＝sin（2x﹣），然后，再將所得函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y＝sin2x的圖象，即為所求．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)圖象平移變換，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式等知識(shí)，屬于中檔題．解題關(guān)鍵是熟練應(yīng)用平移變換．【變式2-3】請(qǐng)說(shuō)明由函數(shù)y＝cos（x+）圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換可得到y(tǒng)＝cosx的圖象．【分析】由題意利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【答案】解：把函數(shù)y＝cos（x+）圖象的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，可得函數(shù)y＝cos（x+）的圖象；再把所得圖象向右平移個(gè)單位，可得到y(tǒng)＝cosx的圖象．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．【考點(diǎn)3由圖象求解析式】【例3】（2019春?靜寧縣校級(jí)期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間和對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)；【分析】（1）根據(jù)圖象求出A，ω和φ，即可求函數(shù)f（x）的解析式；（2）根據(jù)正弦函數(shù)即可得到結(jié)論．【答案】解：（1）由題設(shè)圖象知，A＝2，周期T＝2（﹣）＝π，∴ω＝＝2．∵點(diǎn)（，2）在函數(shù)圖象上，∴2sin（2×+φ）＝2，即sin（+φ）＝1．又∵0＜φ＜，從而+φ＝，即φ＝．故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）＝2sin（2x）．（2）由（1）可知f（x）＝2sin（2x）．令2x≤，可得：≤x≤∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間[，]，k∈Z；令2x＝kπ，可得x＝，∴f（x）的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為（，0）．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變化關(guān)系．【變式3-1】（2019春?秦州區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的圖象如圖所示．（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式，并指出它的振幅和初相；（2）求函數(shù)在區(qū)間[﹣，﹣]上的最大值和最小值，并指出取得最值時(shí)的x的值．【分析】（1）由函數(shù)圖象觀察可知A，可求函數(shù)的周期，由周期公式可得ω，由點(diǎn)（，2）在函數(shù)圖象上，結(jié)合范圍φ的范圍，即可求得φ的值，即可求解．（2）由已知可求2x+∈[﹣，0]，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解．【答案】解：（1）由函數(shù)圖象可知，函數(shù)的最大值為2，最小值為﹣2，可得A＝2，又＝﹣（﹣），所以T＝π，可得：＝π，可得：ω＝2，所以函數(shù)的解析式為y＝2sin（2x+φ），因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，2），所以2sin（+φ）＝2，可得：sin（+φ）＝1，又因?yàn)?＜φ＜，所以φ＝，所以函數(shù)的解析式為y＝2sin（2x+），其振幅是2，初相是．（2）因?yàn)椋篬﹣，﹣]，所以：2x+∈[﹣，0]，于是，當(dāng)2x+＝0，即x＝﹣時(shí)，函數(shù)取得最大值0；當(dāng)2x+＝﹣，即x＝﹣時(shí)，函數(shù)取得最小值﹣2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了數(shù)形結(jié)合思想，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．【變式3-2】（2019春?湛江期末）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的一段圖象如圖所示．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[﹣，]，求函數(shù)f（x）的值域．【分析】（Ⅰ）由函數(shù)f（x）的一段圖象求得A、T、ω和φ的值即可；（Ⅱ）由x∈[﹣，]求得2x+的取值范圍，再利用正弦函數(shù)求得f（x）的最大和最小值即可．【答案】解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的一段圖象知，A＝2，＝﹣（﹣）＝，∴T＝＝π，解得ω＝2，又x＝﹣時(shí)，2sin（﹣×2+φ）＝2，﹣+φ＝，解得φ＝；∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）＝2sin（2x+）；（Ⅱ）x∈[﹣，]時(shí)，2x+∈[0，]，令2x+＝，解得x＝﹣，此時(shí)f（x）取得最大值為2；令2x+＝，解得x＝，此時(shí)f（x）取得最小值為﹣；∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇﹣，2]．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．【變式3-3】（2019春?小店區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若函數(shù)，求函數(shù)y＝g（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象求出A，ω和φ的值即可求函數(shù)f（x）的解析式；（2）利用三角函數(shù)的平移變換可求g（x）的解析式，找出ω的值代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可得到f（x）的遞增區(qū)間；【答案】解：（1）由圖象知函數(shù)的周期T＝2（﹣）＝π，即ω＝＝＝2，則f（x）＝Asin（2x+φ），∵0＜φ＜，∴由五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法知2×+φ＝π，解得φ＝，即f（x）＝Asin（2x+），∵f（0）＝Asin＝A＝1，∴A＝2，即函數(shù)f（x）的解析式f（x）＝2sin（2x+）；（2）∵＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x﹣），∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T(mén)＝＝π；由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象求出A，ω和φ的值是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．【考點(diǎn)4函數(shù)y=Asin（ωx+φ）性質(zhì)的應(yīng)用】【例4】（2018秋?溫州期末）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的圖象兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是，若將f（x）的圖象先向右平移個(gè)單位，所得函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，函數(shù)g（x）的最大值為2．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（3）若，求f（x）的值域．【分析】（1）由周期求得ω，由函數(shù)g（x）為奇函數(shù)求得φ和b的值，從而得到函數(shù)f（x）的解析式．（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可得到函數(shù)的增區(qū)間．（3）由已知可求2x+∈[，π]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求sin（2x+）∈[0，1]，即可得解．【答案】（本題滿(mǎn)分為10分）解：（1）∵＝2×，∴ω＝2，∴f（x）＝Asin（2x+φ）．又g（x）＝Asin[2（x﹣）+φ]為奇函數(shù)，且0＜φ＜π，則φ＝，A＝2，故f（x）＝2sin（2x+）…3分（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z），故函數(shù)的增區(qū)間為[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）…6分（3）∵，∴2x+∈[，π]，∴sin（2x+）∈[0，1]，∴f（x）＝2sin（2x+）∈[0，2]，可得若，f（x）的值域?yàn)椋篬0，2]．…10分【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)y＝Asin（ωx+?）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．【變式4-1】（2019春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1），它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x0，2）和（x0+2π，﹣2）．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）將函數(shù)y＝f（x）的圖象向左平移a（a∈（0，2π））個(gè)單位后，得到的函數(shù)y＝g（x）是奇函數(shù)，求a的值．【分析】（1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．（2）由題意根據(jù)函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的奇偶性，求得a的值．【答案】解：（1）∵函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1），它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x0，2）和（x0+2π，﹣2），∴A＝2，且?＝2π，∴ω＝．∴2cosφ＝1，∴cosφ＝，∴φ＝（舍去，不滿(mǎn)足圖象），或φ＝﹣，∴f（x）＝2cos（x﹣）．（2）將函數(shù)y＝f（x）的圖象向左平移a（a∈（0，2π））個(gè)單位后，得到的函數(shù)y＝g（x）＝2cos（x+﹣）的圖象，由于g（x）是奇函數(shù)，∴﹣＝，∴a＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．【變式4-2】（2018秋?遂寧期末）如圖，函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1），若|f（x1）﹣f（x2）|＝4時(shí)，|x1﹣x2|的最小值為．（1）求θ和ω的值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間與對(duì)稱(chēng)軸方程．【分析】（1）由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，由周期求出ω，可得函數(shù)的解析式．（2）利用余弦函數(shù)的單調(diào)性和它的圖象的對(duì)稱(chēng)性，求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間與對(duì)稱(chēng)軸方程．【答案】解：（1）∵函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1），將x＝0，y＝1代入函數(shù)y＝2cos（ωx+θ）得，因?yàn)?，所以．又因?yàn)閨f（x1）﹣f（x2）|＝4時(shí)，|x1﹣x2|的最小值為．可知函數(shù)周期為T(mén)＝π，由ω＞0，所以．因此．（2）由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．由，得．所以函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為．【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，由周期求出ω，余弦函數(shù)的單調(diào)性和它的圖象的對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題．【變式4-3】（2019秋?大慶期末）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1），它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x0，2）和（x0+2π，﹣2）．（1）求f（x）的解析式及x0的值；（2）求f（x）的增區(qū)間；（3）若x∈[﹣π，π]，求f（x）的值域．【分析】（1）利用函數(shù)圖象確定函數(shù)的振幅，周期，利用f（0）＝1求出φ，求出f（x）的解析式，y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)即可求出x0的值；（2）通過(guò)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，直接求函數(shù)f（x）的增區(qū)間；（3）通過(guò)x∈[﹣π，π]，求出x+的范圍，然后利用正弦函數(shù)的值域求f（x）的值域．【答案】解：由圖象以及題意可知A＝2，，T＝4π，ω＝＝，函數(shù)f（x）＝2sin（x+φ），因?yàn)閒（0）＝1＝2sinφ，|φ|＜，所以φ＝．∴f（x）＝2sin（x+）．由圖象f（x0）＝2sin（x0+）＝2，所以x0+＝k∈Z，因?yàn)樵趛軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x0，0），所以x0＝．（2）由，k∈Z，得，k∈Z，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．（3）∵x∈[﹣π，π]，∴x+，∴≤sin（x+）≤1．2sin（x+）≤2．所以函數(shù)的值域?yàn)椋篬]．【點(diǎn)睛】本題是中檔題，考查函數(shù)解析式的求法，阿足協(xié)還是的單調(diào)增區(qū)間的求法，函數(shù)的值域的求法，考查計(jì)算能力．【考點(diǎn)5數(shù)形結(jié)合思想】【例5】（2019秋?順慶區(qū)校級(jí)期末）五點(diǎn)法作函數(shù)的圖象時(shí)，所填的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：x﹣ωx+φ﹣0πy﹣1131﹣1（1）根據(jù)表格提供數(shù)據(jù)求函數(shù)f（x）的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，方程f（x）＝m恰有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【分析】（1）由表中的最大值和最小值可得A的值，通過(guò)＝T，可求ω．根據(jù)對(duì)稱(chēng)中點(diǎn)坐標(biāo)可知B＝1，圖象過(guò)（﹣）帶入求解φ，可得函數(shù)f（x）的解析式．（2）當(dāng)時(shí)，求解內(nèi)層的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合法，f（x）＝m恰有兩個(gè)不同的解，轉(zhuǎn)化為f（x）與y＝m圖象有兩個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題求解即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】解：由表中的最大值為3，最小值為﹣1，可得A＝，由＝T，則T＝2π．∴，∵y＝2sin（ωx+φ）的最大值是2，故得B＝3﹣2＝1．此時(shí)函數(shù)f（x）＝2sin（x+φ）+1．∵圖象過(guò)（﹣）帶入可得：﹣1＝2sin（+φ）+1，可得：φ＝﹣，（k∈Z）．解得：φ＝，∵φ，∴φ＝﹣．故得函數(shù)f（x）的解析式為f（x）＝2sin（x﹣）+1（2）當(dāng)時(shí)，則x﹣∈[0，]，令u＝x﹣，u∈[0，]，則y＝2sinu+1的圖象與與y＝m圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．從圖象可以看出：當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)f（）＝，y＝2sinu+1的圖象與與y＝m圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．那么：．∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[，3）【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變化關(guān)系．【變式5-1】（2019春?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的圖象如圖所示．（1）求函數(shù)f（x）的解析式及其對(duì)稱(chēng)方程；（2）當(dāng)時(shí)，方程f（x）＝2a﹣3有兩個(gè)不等的實(shí)根x1，x2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并求此時(shí)x1+x2的值．【分析】（1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，求出它的對(duì)稱(chēng)方程．（2）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，y＝f（x）的圖象與直線y＝2a﹣3有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得，從而求得x1+x2的值．【答案】解：（1）由圖知，．由，即，故，所以．又，所以，故．令則，所以f（x）的對(duì)稱(chēng)軸方程為．（2）∵，∴f（x）＝2sin（2x+）∈[﹣1，2]．所以方程f（x）＝2a﹣3有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)，y＝f（x）的圖象與直線y＝2a﹣3有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．∵，當(dāng)時(shí)，f（x1）＝f（x2），所以，故．【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)