信號與系統(tǒng)課程講義

§1.3信號分解一、直流分量與交流分量1．直流分量①也稱信號平均值②定義：2．交流分量①定義：②特性：3．平均功率=直流功率+交流功率注：若為周期信號不必加T→∞§1.3信號分解二、偶分量與奇分量1．偶分量①定義：②特性：偶函數(shù)，即2．奇分量①定義：②特性：i)奇函數(shù)，即ii)平均值為0，即3．平均功率=偶分量功率+奇分量功率注：若為周期信號不必加T→∞§1.3信號分解[例1]：求下面信號的奇分量和偶分量解：f(t)t1-10231t1-1023f(-t)1t11-102

0t§1.3信號分解三、脈沖分量1．信號分解為沖激信號疊加①先將信號近似為矩形窄脈沖分量的疊加，即t0f(t)§1.3信號分解②取極限i)ii)<根據(jù)上式以及沖激函數(shù)為偶函數(shù)>可得抽樣特性：§1.3信號分解2．將信號分解為階躍信號之和(設(shè)f(t)=0(t<0))①先將信號近似為階躍信號分量的疊加，即②取極限0tf(t)§1.3信號分解四、實(shí)部分量與虛部分量1．2．3．4．實(shí)際不存在，但可借助其來研究實(shí)信號或簡化運(yùn)算§1.3信號分解VCYYXθXθYCY五、正交函數(shù)分量1．二維空間正交矢量

①矢量內(nèi)積定義：其中②矢量長度定義：③用一個(gè)二維矢量Y近似另一個(gè)矢量X用CY近似X，誤差最小誤差是垂直情況，此時(shí)若，C=0，此時(shí)X⊥Y正交，即<X,Y>=0

⑤由二維空間可推廣到n維空間§1.3信號分解X④任何二維矢量均可分解為兩個(gè)正交矢量i)n維空間兩個(gè)矢量的內(nèi)積ii)n維空間兩個(gè)矢量的長度iii)n維空間一個(gè)矢量Y表示另一個(gè)矢量X誤差最小時(shí)當(dāng)2．正交函數(shù)①用§1.3信號分解近似()何時(shí)誤差最小令：

則：即：§1.3信號分解②定義函數(shù)內(nèi)積則：當(dāng)時(shí)，與正交§1.3信號分解[例2]：用()逼近求解:使最小，可得即：§1.3信號分解[例3]：用sint在區(qū)間(0,2π)內(nèi)來逼近c(diǎn)ost，求解：即：§1.3信號分解3．正交函數(shù)集①定義：滿足

(i≠j)即：②f(t)用正交函數(shù)集的線性組合近似，何時(shí)誤差最小？將這些代入表達(dá)式計(jì)算出§1.3信號分解③歸一化正交函數(shù)集對于的歸一化正交函數(shù)集即④復(fù)變函數(shù)正交特性i)ii)正交條件iii)正交函數(shù)集定義§1.3信號分解4．完備正交函數(shù)集②定義方法二：之外不存在函數(shù)x(t)()，i為1…n的任意正整數(shù)，滿足等式則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集在（t1，t2）內(nèi)近似表示

若令n→，

則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集此時(shí)①定義方法一：若§1.3信號分解

③帕塞瓦爾方程：由

對的歸一化正交函數(shù)集：④廣義傅立葉級數(shù)展開：常用完備正交函數(shù)集：i)三角函數(shù)集：ii)復(fù)指數(shù)函數(shù)集：iii)沃爾什函數(shù)集

§1.3信號分解[例4]：1,x,x2,x3是否是區(qū)間(0,1)的正交函數(shù)集？區(qū)間(-1,1)呢？解：由于=0，故1,x,x2,x3不是區(qū)間(0,1)的正交函數(shù)集=0，==0也不是(-1,1)上的正交函數(shù)集§1.3信號分解[例5]：證明cost,cos2t,……cosnt為區(qū)間(0,2)中的正交函數(shù)集，)中的正交函數(shù)集？又問是否為區(qū)間(0,可以證明故得證。對于函數(shù)cost和函數(shù)cos2t可證故不是區(qū)間(0,)中的正交函數(shù)集。證明：對于任意正整數(shù)§1.3信號分解,[例6]：已知：(0<t<2)求：,,及解：====§1.3信號分解=[--]=1-()-()=1-§1.3信號分解[例7]：試證明sint,sin2t…,sinnt,…不是區(qū)間(0,2完備正交函數(shù)集。)上的證明：（用反證法）存在函數(shù)1，滿足0<=2<+和故sint,sin2t,…sinnt,…不夠完備。=0，即至少函數(shù)1與sint正交，§1.3信號分解解：注意：由于1,t,t2不是(-1,1)上的正交函數(shù)集，[例8]：用二次方程在區(qū)間(-1,1)上近似表示函數(shù)求使方均誤差最小的a,b,c。故不能用公式：a=,b=,c=來做題；只能用定義按下述方法去做：=§1.3