九年級（初三）數(shù)學上冊同步測試卷單元練習題、強化訓練題（人教版）

一元二次方程

21.11元二次方程「見A本P2]

N基礎選笛

1.下列方程中是關于x的一元二次方程的是（C）

A.x2+p=O

B.aX1+hx+c=O

C.（x—l）（x+2）=1

D.3?-2xy-5y2=0

【解析】A是分式方程，B中缺a/0,D中含有兩個未知數(shù).

2.方程5f=6x-8化為一元二次方程的一般形式后，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分

別為（C）

A.5,6,-8B.5,-6,-8

C.5,-6,8D.6,5,-8

【解析】5?=6氏一8化為一般形式后得5f—6x+8=0.

3.若關于x的方程o?—3x+2=0是一元二次方程，則（B）

A.a>0B.

C.（i=\D.a20

【解析】一元二次方程的隱含條件是二次項系數(shù)。wo,故選B.

4.已知關于x的方程￥一乙一6=0的一個根為工=3,則實數(shù)％的值為（A）

A.1B.-1

C.2D.-2

【解析】因為x=3是原方程的根，所以將犬=3代入原方程，即32—32—6=0成立，解得

k=\.

5.如圖21—1—1所示，圖形中四個長方形的長比寬多5,圍成的大正方形的面,積為125.

設長方形的寬為x,則下列方程不正確的是（C）

圖21-1-1

A.x(x+5)=25

B.X2+5X=25

C.JC2+5A：-20=0

D.x(x+5)—25=0

【解析】大正方形邊長為2x+5,則(Zr+5)2=125,.?14X2+20X+25=125,.?.4JC2+20X-

100=0,.*.?+5%-25=0,故A,B,D正確，選C.

6.下列關于x的方程o?+法+。=0（存°）的根的說法正確的有（C）

①若有一個根為零時，則c=0；②若有一個根為1時，則a+b+c=0；③若有一個根為一

L時，則a—6+c=0；④只有一個實數(shù)根.

A.1個B.2個

C.3個D.4個

【解析】把x=0代入原方程有“X（）2+6X0+C=0,得到C=0；把X=1代入原方程有

+/>xl+c=0,即〃+%+c=0；把X=-1代入原方程有ax（—l）2+6X（—l）+c=0,即4一人

+c=0,這說明①②③都正確.一元二次方程a?+6x+c=0（存0）可以沒有實數(shù)根，所以④

不正確.

7.當x=0時,方程（J—9）/+3+3）*+5=0不是關于a的一元二次方程；當“=3

時、方程（d-9）/+3+3.+5=0是關于x的一元一次方程.

8.濱州市體育局要組織一次籃球賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），計劃安排

28場比賽“應邀請多少支球隊參加比賽？學習以下解答過程，并完成填空.

解：設應邀請x支球隊參賽，則每隊共打x—1場比賽,比賽總場數(shù)用代數(shù)式表示為—泰

—1）一.根據(jù)題意,可列出方程$（x—1）=28.整理，得.=28.化為一般.式，

得x2—x—56=0..二.次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為1,-1,-56.

【解析】設應邀請x支球隊參賽，則每隊共打（》一1）場比賽，比賽總場數(shù)用代數(shù)式表.示為g

X（X—1）.

根據(jù)題意，可列出方程%（X-1）=28.

整理，得52—%=28,

化為一般式為%2-%-56=0.

二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為1,-L-56.

9.《九章算術》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、

廣各幾何？”

大意是說：己知矩形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈,那么門的高和寬各是多少？

（1丈=10尺，1尺=10寸）

如果設門的寬為x尺，那么這個門的高為（x+6.8）尺，根據(jù)題意，得/+（升6.8）2=102,

整理、化簡，得2>+13&—53.76=0.

10.教材或資料會出現(xiàn)這樣的題目：把方程52一》=2化為一元二次方程的一般形式，并寫

出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

現(xiàn)把上面的題目改編為下面的兩個小題，請解答：

（1）下列式子中，有哪幾個是方程52—x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只寫序

號）_①②④⑤一.

破2-X_2=0；②一￥+葉2=0；（3）X2~2X=4；④-f+2x+4=0；（5）y/3x2-2y/3x-4y/3

=0.

(2)方程%—x=2化為一元二次方程的一般形式后，它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項

之間具有什么關系？

解：(2)若設它的二次項系數(shù)為"(辱0),則一次項系數(shù)為一2”、常數(shù)項為一4〃.

息力混H

11.若關于x的一元二次方程為以2+以+5=0(卬0)的解是x=l,則2013jf的值是

(A)

A.2018B.2008

C.2014D.2012

【解析】??"=1是一元二次方程以2+云+5=0的一個根，

：.a+"1+5=0,

，〃+b=-5,

A2013-a-/?=2013-(tz+/?)=2013-(-5)=2018.

12.[2013?黔西南]已知x=l是一元二次方程/+儀+人=0的一個根，則代數(shù)式〃2+/+29

的值是1.

【解析】,?"=1是一元二次方程f+ox+b=0的一個根，

/.l2+tz+/?=0,

：.a+b=-[

/.a2b~~\~2ab=(ab)2=(—1)2=1.

二拓展創(chuàng)新

13.若方程4X*T+3X+1=0是關于x的一元二次方程，則〉的值為3.

【解析】I?此方程是一元二次方程，???-1=2,.?*=3.

14.翠湖公園有一塊長為32m,寬為20m的長方形空地，現(xiàn)準備在空地中修同樣寬的兩條

“之”字路.如圖21—1—2所示，若設道路寬為xm,剩下的空地面積為540m2,請列出關

于x的一元二次方程，把它化為一般形式，并指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

圖21-1-2

解：將圖形中的“之'’字路進行平移得到如圖所示的圖形.

依題意得(32-x)(20-x)=540,

AK

A

m

20

，

32m

整理，得一般形式為f-5Zr+100=0,

二次項系數(shù)為1,一次項系數(shù)為-52,常數(shù)項為100.

15..已知機是方程d-2013x+l=0的一個根，試求代.數(shù)式，/一2012%+啟^；的值.

解：?根為方程f-2013x+l=0的根，

.?.蘇一2013〃?+1=0,

即川一2013加=-1,,/+1=2013機，

220131

2012/7/+\=m2—2013m+/n+""—=-1+〃?+—.又由〃產(chǎn)一2013，"+1=0.

m+1o2n0i1a3，*m

兩邊同,除以m得"i+\=2013,

二原式=一1+2013=2012.

解一元二次方程

21.2.1配方法

第1課時用直接開平方法解一元二次方程

[見B本P2]

K目礎達標

I.一元二次方程?-25=0的解是（D）

A.xj=5,%2=0B.x=-5

C-x=5D.3]=5，X2=-5

2.一元二次方程（X+6）2=16可轉化為兩個一元一次方程，其中一個一元一次方程是x+6

=4,則另一個一元一次方程是（D）

A.X—6=~4B.%—6=4

C.x+6=4D.x+6=—4

3.若a為一元二次方程。一'萬『=100的一個根,h為一元二次方程。一4『=17的一個根，

且a,b都是正數(shù)，則“一方等于（B）

A.5B.6

C.V83D.io-Vn

【解析】（x-■\/記）2=100的根為X1=-10+，萬，M=1。+4萬，因為。為正數(shù)，所以a=

10+4F。-4）2=17的根為以=4+〈萬，及=4一十萬，因為b為正數(shù)，所以6=4+4萬，

所以a-/>=10+Vn-（4+V17）=6.

4.解關于x的方程（x+，〃）2=〃，正確的結論是（B）

A.有兩個解欠=±^〃

B.當論0時，有兩個解x=±^i—〃1

C.當論0時，有兩個解x=R”一〃?

D.當花0時，無實數(shù)解

5.若關于x的方程（3x—cy—60=0的兩根均為正數(shù)，其中c為整數(shù)，則c的最小值為（B）

A.1B.8C.16D.61

【解析】原方程可化為（3x—C）2=60,3x—c—±yl60,3x=c±冊5,x=°土，誣.因為兩根均

為正數(shù)，所以C>#5>7,所以整數(shù)c的最小值為8.故選B.

6.一元二次方程/-4=0的解是x=±2.

7.當-=-7或-1.時,代數(shù)式(x—2)2與(2x+5)2的值相等.

【解析】由(X-2)2=(2X+5)2,得A-2=±(2X+5),即x—2=2x+5或工一2=—2^—5,所

以X]=-7,X2=-1.

8.若x=2是關于x的方程?一彳一“2+5=0的一個根，則。的值為土幣.

【解析】把x=2代入方程x2—x—i+5=0得2?—2—石+5=0,即/=7,所以。=力「.

9.在實數(shù)范圍內(nèi)定義運算“☆”，其規(guī)則為：a^h=a2-h2,則方程《☆3)^x=13的解為x

=±6,

【解析】4☆3=42—32=16—9=7,7☆x=72—x2,

/.72-X2=13./.X2=36.：.X=±6.

x2-4

10.如果分式-7的值為零，那么x=-2.

【解析】由題意得/一4=0且犬一2和，???x=-2.

11.求下列各式中的x.

(1*=36；

(2)f+1=1.01；

(3)(4犬一19=225；

(4)2(?+1)=10.

解：(I)?=6,x2=—6；

(2)X|=0.1,M=-0.1；

7

=-;

(3)兩=4,x22

(4)的=2,電=-2.

段能力強H

12.己知關于x的一元二次方程(x.+1)2—機=0有兩個實數(shù)根.則〃?的取值范圍是(B)

3

A..m>—^B.

C."2》—1D,m22

【解析】(x+l)2—m=0,(x+l)2=m,

???一元二次方程(x+l)2-m=0有兩個，實數(shù)根，

?"z'O.

13.已知等腰三角形的兩邊長分別是。一3尸=1的兩個解，則這個三角形的周長是(C)

A.2或4B.8

C.10D.8或10

【解析】開方得x—3=±1,即x=4或2,則等腰三角形的三邊長只能為4,4,2,則周長

為10.故選C.

14.解下列方程：(1)[2012?永州](x-3尸一9=0；

(2)(2x—3)(2x—3)=/—6x+9；

(3)(2x+3產(chǎn)一(1一小)2=0.

解：(l)(x—3尸=9,x—3=±3,?"?X|—0,電=6；

(2)原方程可化為(2x—3尸=(x—3),

兩邊開平方得2x-3=±(x-3),

即2x-3=x-3或2x-3=-(x—3),

??K[=0,M=2；

(3)原方程可化為(2X+3)2=(1—啦

2x+3=±(l-V5).

.*.2x+3=1—yfl或2x+3=—(1—y[2).

，汨=-1—乎，%2=-2+2-

15.以大約與水平線成45°角的方向，向斜上方拋出標槍，拋出距離s(單位：米)與標槍出

2

手的速度M單位：米/秒)之間根據(jù)物理公式大致有如下關系：S=氤+2,如果拋出48米，

試求標槍出手時的速度(精確到0.1米/秒).

2

解：把$=48代入$=忘+2,

2

得48Q+2,/=46x9.8,

y.o

...u產(chǎn)21.2,於心一21.2(舍去).

答：標槍出手時的速度約為21.2米/秒.

7a

16.已知--7=-,求關于x的方程/一3機=0的解.

m—\m

23

解：〃二[=俞方程兩邊同時乘機(〃?-1)，

得2m=3(加一1),解得m=3,

經(jīng)檢驗加=3是原方程的解.

將m=3代入方程f-3加=0,

則f—9=0,解得元=±3,

即關于x的方程f—3m=0的解為即=3,

%2=-3.

二指展創(chuàng)新

17..已知。+土=4”+2,ah=\,若19d+150曲+19”的值為2012,求”.

解：?.,19/+150油+19戶=193+勿2—3846+150"=193+勿2+112而，且a+b=4"+2,

ah=\,

又19a2+150而+19戶的值為2012,

.,.19X(4n+2)2+112xl=2012,

即(4〃+2)2=100,.?.4〃+2=±10,

當4〃+2=10時，解得〃=2；

當4〃+2=—10時，解得〃=-3.故〃為2或一3.

第2課時用配方法解一元二次方程[見A本P4]

風目礎達標

1.用配方法解方程f—2x—1=0時，配方后所得的方程為(D)

A.(x+1尸=0B.(x-1『=0

C.(x+1)2=2D.(X-1)2=2

2.用配方法解方程4=0時，配方后得(C)

A.(A-1)2=^

C.(x—§=￥D.以上答案都不對

【解析】先把方程化為x2—312=0,再移項得3x=12,配方得(x—|f=￥

3.若一元二次方程式f—2x—3599=0的兩根為a,b,且a>6,則2“一人之值為(D)

A.-57B.63C.179D.181

【解析】X2-2A—3599=0,移項得*2—左=3599,￥—2%+1=3599+1,即(》-1)2=3600,

x-1=60,x—1=—60,解得x=61或尤=-59.；一元二次方程式f-2x—3599=0的兩根

為a,8,且a>b,

：.a=61,h=-59,.".2a-fe=2x61-(-59)=181.

4.關于x的一元二次方程f—5x+p2—2p+5=0的一個根為1,則實數(shù)p的值是(C)

A.4B.0或2C.1D.-1

【解析】把x=1代入原方程有1—5+//-2p+5=0,即//一2p+l=0,；.(p—1尸=0,

P=L

5.把下列各式配成完全平方式：

⑴x2+6x+9=(x+39；

(2)f±x+[=(x±').

6.若方程W+6x=7可化為(x+〃?)2=16,則3.

7.當"尸±12時,/+"a+36是完全平方式.

【解析】?.?彳2+，穴+36=/+，?《:+62是完全平方式，，，w=±2xlx6,,“=±12.

8.用配方法解一元二次方程：

(l)x~-2x=5；(2)2x~+1=3x；

(3)2?-6r+3=0；(4)6x2-x-12=0；

(5)2y2—4y=4；(6)^+3=2y[3x；

(7)x2-2x=2r+l.

解：⑴配方，得(x—1尸=6,

".x—1=±\f6,

.?X]=i+q^,》2=1^6；

⑵移項得2f—3x=-l,

二次項系數(shù)化為1得去=―/

配方得f—|x+。=-1+({),

即(1)'專，

!

?'-X—1=+1,解得兩=1,X2=2

(3)移項、系數(shù)化為1得P—3—一|,

39

-十-

24

3

-=

開方得t-2

.,3+S3-^3

??*i-2，攵一2,

(4)移項，得6f一戶⑵

二次項系數(shù)化為1,得f4=2,

配方，得f一/佶)=2+佶)，

即.一/=翟,

47

-

一

l-「^

-z

lzc4

.Xn-

產(chǎn)-=

.XT,X23

(5)系數(shù)化為1,得產(chǎn)-2y=2,

配方，得y2-2y+l=2+l,即&-1)2=3,

?1=±^3；

；?y=1+4，"=1一小；

(6)移項，得x2—2小工=13,

配方，得24§x+N§)2=—3+(小)2,

即(x一小了=0,

??X]=即=*^3；

(7)移項得f—4x=l,

配方得W—41+2?=1+22,

即。一2尸=5,

.*.x-2=±\/5,

**?Xj=2H■-^5,必=2—yfs.

x-\-\<3x~3

9.當工滿足條件h/、1/、時，求出方程￥—2%—4=0的根.

2(X—4)(X—4)

x+l<3x—3

2<x

解:昨(x-4)求得

<|(x—4).x<4'

貝ij2<x<4,

解方程2x—4=0可得片=1+小，X2=l一小

2<A/5<3,而2<x<4,

所以x=1+A/5.

段能力強H

10.己知方程Xl-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式，那么f_6x+q=2可以配方成

下列的(B)

A.(x-p)2=5B.(x—p)2=9

C.(x-p+2)2=9D.(X-/?+2)2=5

【解析】由f—6x+q=0,得f-6x+9—.9+q=0,即。一3產(chǎn)一9+q=0,：.(x-3)2^9~

q..,.q=2,p=3".f—6x+q=2即為f—6x+2=2,/—6x=0,x2—6x+9=9,(A-3)2=9,

叩(x—p)2=9.故選B.

11.用配方法解方程：

(1)(2x-1)2=X(3X+2).-7.

(2)5(X2+17)=6(X2+2X).

解：(l)(2r-l)2=x(3x+2)-7,

4JC2—4x+1=3x2+2x—7,x2—6x=—8,

(x—3—=1,x—3—±1>

X)—"2,Xo=4.

(2)5(X2+17)=6(X2+2X),

整理得：5f+85=6f+12x,/+12x-85=0,

f+12x=85,f+i2x+36=85+36,

(X+6)2=121,

x+6=±ll,

X]=5,刀2=-17.

12.利用配方法比較代數(shù)式3#+4與代數(shù)式27+4x值的大小.

解：V(3X2+4)-(2JV2+4X)

-3?+4-2?-4.r

=x2—4x+4

=(X-2)220,

.\3X2+4>2X2+4X.

abab

13.閱讀材料：對于任何實數(shù)，我們規(guī)定符號〃的意義是，=〃d—be.例如:

caca

2—2

=lx4-2x3=-2,=(-2)x5-4x3=-22.

443

5

⑴按照這個規(guī)定請你計算r的值；

x+12x

(2)按照這個規(guī)定請你計算當?-4x+4=0時,的值.

X-12x—3

56

解：(1)=5x8-7x6=-2；

/o

⑵由?-4x+4=0得%=2,

x+l2x34

=3x1—4xl=—

x-l2x-3—11

14.已知關于x的方程“。+加產(chǎn)+〃=0的解是芍=-2,X2=l(a,m,人均為常數(shù)，aWO),

求關于x的方程a(x+m+2)2+b=0的解.

解：Xi=-4,x2=—i.

二指展創(chuàng)新

15.選取二次三項式0?+笈+°(〃翔)中的兩項，配成完全平方式的過程叫配方.例如

.①選取二次項和一次項配方：x2-4犬+2=。-2)2—2；

②選取二次項和常數(shù)項配方：f—4x+2=(x-也尸+(2吸一4比，或x2~4x+2^(x+y/2)2-

(4+2限)為

③選取一次項和常.數(shù)項配方：x2-4x+2^(y/2x-y[2.)2~x2.

根據(jù)上述材料，解決下面問題：

(1)寫出f-8x+4的兩種不同形式的配方；

⑵已知f+f+xy—3y+3=O,求W的值.

解：(1*一8x+4

=X2-8X+16-16+4

=(x—4尸一12；

x2—8x+4

=(x-2/+4]-8%

=(X—2)2—4X；

(2)f+$+盯一3y+3=0,

(x+^)2+j(y-2)2=0,

工+叁=0,y—2=0,

x=-1,y=2,

則必=(-1)2=1.

公式法

其層礎達標

1.方程1=0的一個根口是(D)

IfB.苧

A.

C.-I+A/5

【解析】用公式法解得X=^Y^-.

2.一元二次方程f+x—2=0的根的情況是(A)

A.有兩個不相等的實數(shù)根

B.有兩個相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根

D.沒有實數(shù)根

3.[2012?南昌]己知關于x的一元二次方程/+2%—〃=0有兩個相等的實數(shù)根，則a的值是

(B)

A.1B.-1

【解析】???關于x的一元二次方程/+級一〃=0有兩個相等的實數(shù)根，???△=/-44=0,

即22—4(—a)=0,解得a=-1.

40[2012.廣安]已知關于工的一元二次方程(〃-l*—2r+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則〃

的取值范圍是(C)

A.a>2B.a<2

C.4V2且D.a<-2

【解析】△=4-4(〃-1)=8—4〃>0,得。V2.又〃一1和，，〃V2且存1.

5.方程4y2=5—y化成一般形式后，a=4,b=1,c—5,則b2—4ac—81,

所以方程的根為3=1,丫2=一1.

6.[2013?濱州]一元二次方程2f—3x+1=0的解為g=1,也=卜.

7.方程2?+5x-3=0的解是電=-3,也=、.

8.如果關于x的一元二次方程f-6x+.c=0(c是常數(shù))沒有實數(shù)根，那么c的取值范圍是」

>9.

【解析】?.?關于》的一元二次方程?—6]+。=0(。是常數(shù))沒有實數(shù)根，，4=(-6)2—4。

<0,即36-4c<0,c>9.

9.不解方程，判斷下列一元二次方程的根的情況：

(l)3x2-2t-l=0;

(2)2?-x+l=0；

(3)4x—工2=，+2;.

(4)3jr—l=2x2.

解：(l)A>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)A<0,方程沒有實數(shù)根；

(3)A=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；

(4)A>0,方程有兩個不相等的,實數(shù)根.

10.用公式法解方程：

(l)x2—5x+2=0；

(2)r=6x+1；

(3)2?-3x=0;

(4)3f+6x-5=0；

(5)0.2x2—0..1=0.4x;

(6)^/2PX—2—2x2.

⑼5+A/T75-J17

解：(l)xi=-2-，x2=-2-；

(2)X|=3+ViO,也=3一也；

3

(3)xi=0,x2=2：

—3+2#—3-2加

(4)%i—3，X2=3；

2+V62—V6

(5)xi=-2,洶=-2;

⑹無解.

11.用兩種不同的方法解一元二次方程f+4x—2=0.

解：方法一：由原方程得寸+以+4=2+4,

即(X+2)2=6,

Ax+2=±-\/6,

.*.x=-2±\/6,

/.X|=-2+^6,X2=—2—A/6.

方法二：Va=l,b=4,c=—2,

22

△=/?-4tzc=4-D4xlx(-2)=24>0,

,x=Z^24=_2±^(

；.芍=-2+"7^,%2=—2-^6.

12.用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?/p>

(1)(3X+1)2-9=0；(2)X2+4X-1=0；

(3)3f—.2=4x;(4)。+2)2=1+2%

24

解：(l)xi=1,x2=—3；

(.2)X]=-2—,初=—2+~\/3；

2+Jio2-Jio

(3)xi=-j1-,改=-3—;

(4)無解.

段能力握H

13.先化簡，再求值：（x+1一晶）+三羋戶，其中x滿足方程f+x-6=0.

2-

解.：卜\+1.—』3、＞X下4x廠+4

儼2T3）.（心―2）2

\x-1x—1），x—1

(尤+2)(犬一2)x—1

%—1(%—2)2

x+2

x-2,

由f+工一6=0可解得M=2(不合題意，舍去)，x2=-3,

.__.有+x+2-3+21

?"―Q3...原式一工_2__3_2—亍

14.[2012?珠海]已知關于x的一元二次方程f+2x+?7=0.

(1)當機=3時，判斷方程的根的情況；

(2)當〃?=一3時，求方程的根.

解：(1)當機=3時，fe2-4ac=22-4xlx3=-8<0,

,原方程沒有實數(shù)根；

(2)當機=-3時，d+2x-3=0,

b=2,c=-3,

A=〃2—4〃c=4—4x1x(—3)=16,

.-2+V16~2±4

22

??西=-3,%2=1?

15.已知關于x的一元二次方程(加一l)f—2m/+加=0有兩個實數(shù)根，求m的取值范圍.

【解析】由方程根的情況得到關于m的不等式，若二次項中存在字母系數(shù)，則系數(shù)不為零,

從以上兩個方面確定字母的取值范圍.

解：因為一元二次方程有兩個實數(shù)根，

所以△》()，即(一2機另一4(m一1>/佗0,

所以4/w2—4〃?2+4???>0,機20.

又因為初一1和，

所以*1,

所以團的取值范圍是m>0且相彳1.

I1指展創(chuàng)新

16.已知關于元的一元二次方程*2+2%+2%一4=0有兩個不相等的實數(shù)根.

⑴求女的取值范圍；

(2)若改為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求Z的值.

解：(1)A="—4比=4-4(2k—4)=20-8&.

?.?方程有兩個不等的實根

:.20—8%>0

k<^.

⑵~為整數(shù),

.?.04<|(且k為整數(shù))，.即我為1或2,

X|="1+勺5-24,*2=-1-45—2」.

?.?方程的根為整數(shù)，’

...5—2%為完全平方數(shù).

當k=l時，5—2%=3；

當％=2時:5—2/=1.

:.k=2.

因式分解法

/A基礎選笛

1.方程(x—2)(x+3)=0的解是(D)

A.x=2B.x~~3

C.X\=-2,%2=3D.X\=2fX2=-3

2.方程$一5犬=0的解是(C)

A.修=0，X2=—5B.X=5

C.X\M=5D.x=0

3.一元二次方程x(x—2)=2—x的根是(D)

A.-1B.0

C.1和2D.一1和2

4.小華在解一元二次方程f—x=o時，只得出一個根工=1,則被漏掉的一個根是(D)

A.x=4B.x=3C.x=2D.x=0

5.經(jīng)計算犬+1與x—4的積為3x—4,則方程f—3x—4=0的根為(B)

A.X\=-1,M=-4B.X\=-1,M=4

C.K]=1，D.X]=1,4

6.(1)一元二次方程*2—2x=0的解是覆=0,X2=2_.

(2)方程x(x—2)=x的根是曰=0,電=3..

7.若方程x=0的兩根為X”了2。1<a2)，則X2一兩

8.方程(》一1)(》+2)=2a+2)的根是1=-2,電=3..

【解析】原方程可化為(x+2)(x—1—2)=0,解得xi=-2,X2=3.

9.關于x的方程〃V+,〃x+l=0有兩個相等的實數(shù)根，那么4.

【解析】因為方程有兩個相等的實數(shù)根，所以病-4m=0,所以g=0,g=4.又”0,

所以"7=4.

10.用因式分解法解下列方程：

(l)(x—I)2—2(x-1)=0；(2)9x2-4=0；

(3)(3X-1)2-4=0；

(4)5x(x—3)=(x—3)(x+1).

22

解：(1)制=3,x2-l;(2)xi=-],X2=W；

(3)為=一；，*2=1；(4)巾=3,X2=小

11.解方程：2(x-3)=3x(x-3)(用不同的方法解方程).

【解析】可用因式分解法或公式法.

解：解法一(因式分解法)：(x—3)(2—3x)=0,

2

x—3=0或2—3x=0,所以與=3,%2=3-

解法二(公式法)：2x-6=37-9x,3?-lU+6=0,

。=3,b=Tl,c=6,必-4ac=⑵-72=49,

11+^49___2

X.—..._*??Yi—S——.

12.用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)4(2X+1)2-9=0；

(2)f+4x-2=0；

(3)2?-7X+3=0；

(4)(x+l)(x-l)+2(x+3)=8.

解：⑴.原方程可化為(2x+i)-=7

直接開平方，得2x+l=±|,

.15

..為=7

(2)移項，得f+4x=2,

配方,得f+4x+22=2+2\；.(X+2)2=6,

.'.x+2—i^/6..'.X|——2+"\/6,X2—-2—y[6i

(3)*?*ct=2,fb=-7,c=31

A=廿一4四=(-7)2-4><2'3=49-24=25,

.7±叵._1

,?x-2X2，??西—''&-2；

(4)原方程可化為？+2r—3=0,(x—l)(x+3)=0,解得乃=1,x2=-3.

瓜般工提H

13.選擇適當?shù)姆椒ń?一元二次方程：,

(1)25(X-2)2=49;(2)X2~2X~2=0；

(3)4?-5x-7=0;(4)。一地產(chǎn)=5(也一x).

【解析】(1)用直接開平方法；(2)用配方法；

(3)用公式法；(4)用因式分解法.

解：(1)原方程可化為(》-2)2=音，

7173

直接開平方，得工一2=W，?,?即=亍，、2=于

(2)移項，得/-2x=2,

配方，得/—2x+12=2+12,即(x—1y=3,

.\x—l=±\/3,；.兩=1+小，M=1一??；

(3)Va=4,b=—5,c=-7,

△=fo2-4tzc=(-5)2-4x4x(-7)=137,

.-(-5)±V137

?，x=2x4'

5+yrrj

??X\—89x2=o；

⑷移項，得(x—S)2—5(5一x)=0,

即(x—也)2+5(x—yf2)=0,

-柩(x—巾+5)=0,

.,?犬一也=0或x—也+5=0,

*9?X\=*^2,X2=^2—5.

14.已知△ABC的兩邊長分別為2和3,第三邊長是方程(W—加一5(x—2)=0的根,求^ABC

的周長.

解：原方程可化為2)—5(x—2)=0,

**?(x-5)(%—2)=0,；.X]=5,忿=2.

?.?三角.形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，

...第三邊的長x的取值范圍是14<5,

：.x=2,.?.△ABC的周長為2+3+2=7.

15.已知一直角三角形的三邊長為三個連續(xù)偶數(shù)，試求這個直角三角形的三邊長及面積.

解：設三角形的三邊長為〃一2,”，n+2,

則由勾股定理，得(〃-2)2+“2=("+2)2,

整理得/一8〃=0,解得"=0(舍去)或"=8.

當咒=8時，“一2=6,〃+2=10,

三角形的面積為^X6X8=24.

答：這個直角三角形的三邊長分別為6,8,10,面積為24.

16.閱讀下面的材料，回答問題：

解方程/一5/+4=0,這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：

設.=),那么/=/，

于是原方程可變?yōu)閥2-5y+4=0,(*)

解得yi=l，”=4.

當y=l時，f=l,.,.x=±l；

當y=4時，X2—4,.'.X—±2,

原方程有四個根：兩=1,x2=-l,X3=2,X4=-2.

(1)在由原方程得到方程(*)的過程中，利用_換元一法達到_降次一的目的,體現(xiàn)了數(shù)學的

轉化思想；

(2)解方程：(f+x)2—4(x2+x)—12=0.

【解析】(1)本題主要是利用換元法降次來達到把一元四次方程轉化為一元二次方程來求解,

然后再解這個一元二次方程.

(2)利用題中給出的方法先把f+x當成一個整體y來計算，求出y的值,再解一元二次方程.

解：(2)設/+》=丫，則原方程可化為4y—12=0,解得力=6,"=—2.

由廠+x=6,得X\——3,必=2；

由，+x=—2,得方程？+》+2=0,

因為b2—4ac=1—4x2=—7<0,

所以此時方程無解，

所以原方程的解為兩=-3,X2=2.

17.己知一元二次方程x.2—(2%+l)x+*+&=0.

(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若△A8C的兩邊AB,AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5.當△A8C

是等腰三角形時，求左的值.

解：(1)證明：一元二次方程為(2k+l)x+&2+/=0,

A=[一(2&+1)產(chǎn)-4(必+%)=1>0,

此方程有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)：AA8C的兩邊A8,AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，

由(1)知，ABWAC,△ABC第三邊BC的長為5,且AABC是等腰三角形，

必然有AB=5或AC=5,即x=5是原方程的一個解.

將x=5代入方程/-(2%+1口+爐+憶=0,25—5(24+1)+然+k=0,解得k=4或k=5.

當％=4時，原方程為x2-9工+20=0,幻=5,必=4,以5,5,4為邊長能構成，等腰三角形；

當k=5時，原方程.為x'—llx+30=0,X|=5,必=6,以5,5,6為邊長.能構成等腰三.角

形.(必須檢驗方程的另一個解大于0小于10且不等于5).

；.女的值為4或5.

二指展創(chuàng)新

18.“數(shù)學王子”高斯從小就善于觀察和思考.在他讀小學時就能在課堂上快速地計算出1+

2+3+…+98+99+100=5050,今天我們可以將高斯的做法歸納如下：

令S=l+2+3+...+98+99+100,①

5-100+99+98+...+3+2+1,②

①+②：有2s=(1+100)x100,

解得：5=5050.

請類比以上做法，回答下列問題：

若〃為正整數(shù)，3+5+7+...+(2〃+1)=168,求”.

解：設S=3+5+7+…+(2”+1)=168,①

則S=(2〃+l)+…+7+5+3=168,②

①+②得2S=〃(2〃+1+3)=2x168,

整理得/+2"-168=0,即(〃-12)("+14)=0,

解得“1=12,”2=—14(舍去)，

所以n—12.

一元二次方程的根與系數(shù)的關系

風基礎達標

1已知的，必是一元二次方程f—2x=0的兩根，則修+乃的值是(B)

A.0B.2C.-2D.4

2.[2013?湘潭]一元二次方程f+x—2=0的解為xi，X2,則x「X2=(D)

A.1B.-1C.2D.-2

3.[2013?包頭]已知方程f一2》一1=0,則此方程(C)

A.無實數(shù)根

B.兩根之和為一2

C.兩根之積為一1

D.有一根為一1+6

4.已知一元二.次方程*-6x+c=0有一個根為2,則另一根為(C)

A.2B.3C.4D.8

5.已知方程f-5x+2=0的兩個解分別為無巧，則勺+尤2一k尤2的值為(D)

A.-7B.-3C.7D.3

【解析】由根與系數(shù)的關系得X|+X2=5,內(nèi)應=2,所以即+&-XM2=5-2=3.

6.[2012?攀枝花]已知一元二次方程f-.3x—1=0的兩個根分別是XI,xi,則x/xz+xiM?

的值為（A）

A.-3B.3C.—6D.6

【解析】,??一元二次方程？一3工一1=0的兩個根分別是兩，M，，XI+M=3,即必=一1,

??X\"X2~^~X\X2=X\X2（X\+%2）=—1乂3=-3.

7.設為，必是方程，+3L3=0的兩個實數(shù)根，則尹言的值為（BJ

A.5B.-5

C.1D.-1

8.若為，切是方程#+x—1=0的兩個根，則—+不2=3.

【解析】由根與系數(shù)的關系得兩十冗2=-1，X\Xz=—\,所以由2+工22=。]+元2）2—2%1%2=（一

1）2-2X（-1）=3.

5

-

3

9已知〃7和4是方程辦?一5工一3=0的兩根，則而+[=-

【解析】和〃是方程2x?—5/—3=0的兩根,

5

—553.1.1m+n25

??〃?十"=一―27-=三2，〃?〃=一不2tn十一n=mn=-73=—工3

~2

10.已知即，X2是方程/+6x+3=0的兩實數(shù)根，試求下列代數(shù)式的值：（1加2+忿2；（2）?+

4.

M，

⑶（即+1）3+1）.

解：由根與系數(shù)的關系得的+%2=—6,兩歷=3.

22=+'22

（1）X|+乃（X]尸一2X]X2=（—6）—2x3

=36-6=30；

⑵為+檢一國X2

⑶（西+1）3+1）

=兩必+（%]+工2）+1

=3—6+1=-2.

11.已知2一小是關于元的一元二次方程/一4x+c=0的一個根，求方程的另一個根.

解：設方程的另一個根為兩，由用+2—于=4,得M=2+小.

12.已知關于x的方程d—〃?x—3=0的兩實數(shù)根為X],M，若即十即=2,求修，M的值.

解：?>￥]+工2=2,??ZH—?2.

???原方程為f一級一3=0,即。一3）。+1）=0,

解得汨=3,刀2=—1或為=—1，、2=3.

白掂刀提升

13.關于X的一元二次方程？一必+2機一1=0的兩個實數(shù)根分別是兩，％2,且占2+%22=7，

則但一小）2的值是（C）

A.1B.12

C.13D.25

【解析】由根與系數(shù)的關系知：%|十元2=加，X\X2=2tn—1,

???尤12+?2=(X]+、2尸—2即必="I?—2(2/n—\)=m2—4m+2,

nf—4機+2=7,

2

m-4m—5=0,

解得m=5或m=—\.

當〃z=5時，原方程為x2—5x+9=0,

△=(一5y一4XlX9=25-36=-ll<0,此時方程無實根.

當〃?=一1時，原方程為/+工一3=0,方程有實根，

J當加=—1時，Xl+%2——兩"2=-3,

2

??.(X]—應)2=(即+x2)—4XIX2

=(—1)2—4X(—3)=1+12=13,故選C.

14.設〃，〃是方程f+x—2012=0的兩個實數(shù)根，則〃2+2〃+b的值為(A)

A.2011B.2012

C.2013D.2014

【解析】是方程/十元一2012=0的根，???/+。-2012=0,??.〃2+。=2012.又由根與

21

系數(shù)的關系得〃+力=一1,：.a+2a+b=a+a+(a+h)=20\2-l=20Uf故選A.

15.已知機，〃是方程1=0的兩根，則代激式y(tǒng)jm2++3加〃的值為(C)

A.9B.4C.3D.5

16.已知關于x的一元二次方程團4%+6=0的兩根為由，42，且的+M=—2,則”=

.—2..

—444

【解析】Vx1+x2=--=—..*.-2=—,：.m=-2.

17.設a,￡是一元二次方程？+3x—7=0的兩個根，則>+4