交通大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二學(xué)期期末考試試卷4答案

2013-2014學(xué)年第二學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)期末考試一試卷（A卷）答案Page1of8交通大學(xué)2013~2014學(xué)年第二學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末考試一試卷（A卷）一．（此題滿分8分）某中學(xué)學(xué)生期末考試中數(shù)學(xué)不及格的為11%，語文不及格的為7%，兩門課程都不及格的為2%．⑴已知一學(xué)生數(shù)學(xué)考試不及格，求他語文考試也不及格的概率（4分）；⑴已知一學(xué)生語文考試不及格，求他數(shù)學(xué)考試及格的概率（4分）．解：設(shè)A“某學(xué)生數(shù)學(xué)考試不及格”，B“某學(xué)生語文考試不及格”．由題設(shè)，PA0.11，PB0.07，PAB0.02．⑴所求概率為PBAPAB0.022．PA0.1111⑵所求概率為PABPABPBPAB0.070.025．PBPB0.077二．（此題滿分8分）兩臺車床加工相同的部件，第一臺車床加工出現(xiàn)不合格品的概率為0.03，第二臺車床加工出現(xiàn)不合格品的概率為0.05；把兩臺車床加工的部件放在一同，已知第一臺車床加工的部件數(shù)比第二臺車床加工的零件多一倍．現(xiàn)從這兩臺車床加工的部件中隨機地拿出一件，發(fā)現(xiàn)是不合格品，求這個部件是第二臺車床加工的概率．解：設(shè)A“任取一個部件是不合格品”，B“任取一個部件是第一臺車床加工的”．所求概率為PBA．由Bayes公式得PBPABPBAPBPABPBPAB第1頁共8頁2013-2014學(xué)年第二學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)期末考試一試卷（A卷）答案Page2of810.055．1320.050.031133三．（此題滿分8分）設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為xfxCcos0x．02其余⑴求常數(shù)C（3分）；⑵現(xiàn)對X獨立重復(fù)地察看4次，用Y表示察看值大于的次數(shù)，求EY2（5分）．3解：⑴由密度函數(shù)的性質(zhì)，fxdx1，得1fxdxCcosxdx2Csinx2C，0220所以，C1．2⑵因為PX3fxdx1cosxdxsinx111．22222333所以，隨機變量Y的散布列為1kPYkC4k，k0,1,2,3,4．24所以EY2k2PYkk00211242263244215．1616161616四．（此題滿分8分）在正方形Dp,q：p1,q1中任取一點p,q，求使得方程x2pxq0有兩個實根的概率．解：設(shè)A“方程x2pxq0有兩個實根”，所求概率為PA．第2頁共8頁2013-2014學(xué)年第二學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)期末考試一試卷（A卷）答案Page3of8設(shè)所取的兩個數(shù)分別為p與q，則有1p1，1q1．所以該試驗的樣本空間與二維平面點集Dp,q：1p1,1q1中的點一一對應(yīng)．隨機事件A與二維平面點集DAp,q：p24q0，即與點集DAp,q：p2q4中的點一一對應(yīng)．p2DA的面積41dp1p3113所以，1p．PA2241224D的面積1五．（此題滿分8分）一個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的壽命X（單位：年）的密度函數(shù)為1x40．fxex4x00該工廠規(guī)定：該產(chǎn)品在售出的一年內(nèi)可予以調(diào)動．若工廠售出一個該產(chǎn)品，盈利100元，而調(diào)動一個該產(chǎn)品，需花銷300元．試求工廠售出一個該產(chǎn)品凈盈利的數(shù)學(xué)希望．解：設(shè)Y為工廠售出一個產(chǎn)品的凈盈利，則100X1YX1300所以，EY100PY100300PY300100PX1300PX1x1x1001e4dx3001e4dx414011100e43001e411.5203六．（此題滿分9分）第3頁共8頁2013-2014學(xué)年第二學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)期末考試一試卷（A卷）答案Page4of8設(shè)G是由X軸、Y軸及直線2xy20所圍成的三角形地區(qū)，二維隨機變量X,Y在G內(nèi)服從均勻散布．求X與Y的有關(guān)系數(shù)X,Y．解：因為地區(qū)G的面積為1，所以X,Y的結(jié)合密度函數(shù)為fx,y1x,yG0x,y．G22x當(dāng)0x1時，fXx,dy21x，fxydy0所以，fXx21x0x1．0其余1y2y，當(dāng)0y2時，fYyfx,ydxdy102y所以，fYy120y2．其余11，EXxfXxdxx21xdx21102332ydy2，EYyfYydyy102311，EX2x2fXxdxx221xdx21103462y2，EY2y2fYydyy21dy0231121，所以，varXEX2EX263182222，varYEY2EY2339第4頁共8頁2013-2014學(xué)年第二學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)期末考試一試卷（A卷）答案Page5of8122x1y222xEXYxyfx,ydxdydxxydyxdx，00020111211，2x1x2dx2x32x2xdx2004326所以，covX,YEXYEXEY1121．633181X,Y

covX,Y181．varXvarY122189七．（此題滿分9分）某餐廳每日招待400位顧客，假定每位顧客的花費額（單位：元）聽從區(qū)間20,100上的均勻散布，并且每位顧客的花費額是互相獨立的．試求：⑴該餐廳每日的均勻營業(yè)額（3分）；⑴用中心極限制理計算，該餐廳每日的營業(yè)額在其均勻營業(yè)額的760元之間的概率（6分）．（附：標準正態(tài)散布的散布函數(shù)x的某些取值：x1.551.601.651.70x0.93940.94520.95050.9554解：⑴設(shè)Xi表示第i位顧客的花費額，i1,2,,400．則有X1,X2,,X400互相獨立，Xi~U20,100，i1,2,,400．所以，EXi60，varXi8021600．123再設(shè)X表示餐廳每日的營業(yè)額，則400XXi．i14004004006024000所以，EXEXiEXi（元）．i1i1⑵由獨立同散布場合下的中心極限制理，有第5頁共8頁2013-2014學(xué)年第二學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)期末考試一試卷（A卷）答案Page6of8P760X24000760P760X2400076016001600160040040040033376076021.645120.950510.901．1600160040040033八．（此題滿分8分）設(shè)整體X聽從參數(shù)為p的幾何散布，其散布律為PXkpqk1k1,2,3,．此中0p1是未知參數(shù)，q1p．X1,X2,,Xn是取自該整體中的一個樣本．試求參數(shù)p的極大似然預(yù)計量．解：似然函數(shù)為LpPX1x1,X2x2,,XnxnPX1x1PX2x2PXnxnnp1px11p1px21p1pxn1pn1pk1xkn所以，lnLpnlnpnxknln1p．k1n所以，dnk1xkn1．所以p的極大似然預(yù)計量為p?1．lnLp0，解方程，得pdpp1px九．（此題滿分8分）設(shè)整體X存在二階矩，記EX，varX2，X1,X2,,Xn是從該整體中抽取的一個樣本，X是其樣本均值．求EX（4分）及DX（4分）．解：EX1nXi1nEXi1n1nEni1ni1n，ni11n1n1n2122varXXivarXinvarn222．ni1i1ni1nn第6頁共8頁2013-2014學(xué)年第二學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)期末考試一試卷（A卷）答案Page7of8十．（此題滿分9分）兩臺相同型號的自動記錄儀，每臺無故障工作的時間分別為X和Y，假定X與Y互相獨立，都聽從參數(shù)為5的指數(shù)散布，其密度函數(shù)為fXx5e5xx0．0x0現(xiàn)第一開動此中一臺，當(dāng)其破壞停用時另一臺自動開動，直至第二臺記錄儀破壞為止．令：T：從開始到第二臺記錄儀破壞時記錄儀的總合工作時間，試求隨機變量T的概率密度函數(shù)．解：X的密度函數(shù)為fX5e5xx0x0x，0Y的密度函數(shù)為5e5yy0fYy0y0由題意，知TXY，設(shè)T的密度函數(shù)為fTt，則fTtfXxfYtxdx5e5xfYtxdx0作變換utx，則dudx，當(dāng)x0時，ut；當(dāng)x時，u．代入上式，得tfTt5e5tufYudu5e5te5ufYudut當(dāng)t0時，由fYy0，知fTt0；當(dāng)t0時，tfTt5e5te5u5e5udu25te5t綜上所述，可知隨機變量T的密度函數(shù)為fTt25te5tt00t．0十一．（此題滿分9分）1x設(shè)整體X聽從指數(shù)散布，其概率密度函數(shù)為fxex0，X1,X2,,Xn是取自0x0第7頁共8頁2013-2014學(xué)年第二學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)期末考試一試卷（A卷）答案Page8of8該整體中的一個樣本．⑴求出統(tǒng)計量X1minXi的密度函數(shù)f1x，并指出該散布是什么散布？⑵求1in常數(shù)a，使得TaminXi為的無偏預(yù)計．1in解：1ex①因為整體X的密度函數(shù)為fxx0，所以其散布函數(shù)為0x0x0x0Fxftdtx．ex10所以X1minXi的密度函數(shù)為1inxn1xnx1ef1xn1Fxn1fxnene，x0．即隨機變量X1minXi聽從參數(shù)為的指數(shù)散布．1inn②因為隨機變量X1minXi聽從參數(shù)為的指數(shù)散布，所以EX1EminXi．1inn1inn所以，若使EX1aEminXia，只要取an即可．1inn即若取an，即TnminXi，則T是未知參數(shù)的無偏預(yù)計量．1in十二．（此題滿分8分）設(shè)隨機變量X與Y互相獨立，并且都聽從正態(tài)散布N,2．令UXaY，VXbY（a與b都是常數(shù)）