2022年中考數(shù)學真題分類匯編：23銳角三角函數(shù)解析版

2022年中考數(shù)學真題分類匯編：23銳角三角函數(shù)一、單選題1．如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長為12米，AB與AC的夾角為α，則高BC是（）A．12sinα米 B．12cosα米 C．12sin【答案】A【知識點】解直角三角形的應用【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴sinα=BCAB∴BC=sinα?AB=12sinα（米）.故答案為：A.【分析】根據(jù)三角函數(shù)的概念可得BC=AB·sinα，據(jù)此計算.2．如圖，在△ABC中，CA=CB=4，∠BAC=α，將△ABC繞點A逆時針旋轉2α，得到△AB′C′，連接B′C并延長交AB于點D，當B′D⊥AB時，BB′的長是（）A．233π B．433π【答案】B【知識點】等腰三角形的性質；弧長的計算；銳角三角函數(shù)的定義；旋轉的性質【解析】【解答】解：∵CA=CB，B'D⊥AB，∴AD=DB=1∵△AB′C′是△ABC繞點A逆時針旋轉2α得到，∴AB=AB'，AD=1在RtΔAB'D中，cos∠B'AD=∴∠B'AD=60°，∵∠CAB=α，∠B'AB=2α，∴∠CAB=1∵AC=BC=4，∴AD=AC·cos∴AB=2AD=43∴BB′的長=60πAB故答案為：B.【分析】根據(jù)等腰三角形的性質可得AD=DB=12AB，根據(jù)旋轉的性質可得AB=AB′，AD=13．如圖，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，與AB交于點D，再分別以A、D為圓心，大于12A．52 B．3 C．22 D．【答案】A【知識點】線段垂直平分線的性質；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義【解析】【解答】解：由題意得：MN垂直平分AD，BD=BC=6，∴AF=1∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，∴AB=A∴AD=4，AF=2，cos∠A=∴AE=AF故答案為：A.【分析】由題意得：MN垂直平分AD，BD=BC=6，AF=124．如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A，B，C，D都在格點處，AB與CD相交于點P，則cos∠APC的值為（）A．35 B．255 C．2【答案】B【知識點】平行線的性質；勾股定理；勾股定理的逆定理；銳角三角函數(shù)的定義【解析】【解答】解：把AB向上平移一個單位到DE，連接CE，如圖.則DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC.在△DCE中，有EC=22+12∴EC∴ΔDCE是直角三角形，且∠DCE=90°∴cos∠APC＝cos∠EDC＝DCDE故答案為：B.【分析】把AB向上平移一個單位到DE，連接CE，則DE∥AB，根據(jù)平行線的性質可得∠APC＝∠EDC.，利用勾股定理可得EC、DC、DE，結合勾股定理逆定理知△DCE是直角三角形，且∠DCE=90°，然后結合三角函數(shù)的概念進行計算.5．tan45°A．2 B．1 C．22 D．【答案】B【知識點】特殊角的三角函數(shù)值【解析】【解答】解：作一個直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如圖：∴∠B=90°-45°=45°，∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，∴根據(jù)正切定義，tan∠A=∵∠A=45°，∴tan45°=1故答案為：B．

【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值求解即可。6．如圖，等腰△ABC的面積為23，AB=AC，BC=2.作AE∥BC且AE=12A．3 B．3 C．23 【答案】B【知識點】三角形的面積；等腰三角形的性質；矩形的判定與性質；銳角三角函數(shù)的定義；三角形的中位線定理【解析】【解答】解：過點A作AD⊥BC于點D，連接CE，∵AB=AC，∴BD=DC=12∵AE=12∴AE=DC=1，∵AE∥BC，∴四邊形AECD是矩形，∴S△ABC=12BC×AD=12×2×AD=2∴AD=23，則CE=AD=23，當P與A重合時，點F與C重合，此時點M在CE的中點N處，當點P與B重合時，如圖，點M的運動軌跡是線段MN.∵BC=2，CE=23，由勾股定理得BE=4，cos∠EBC=BCBE=BE∴BF=8，∵點N是CE的中點，點M是EF的中點，∴MN=12∴點M的運動路徑長為4.故答案為：B.【分析】過點A作AD⊥BC于點D，連接CE，根據(jù)等腰三角形的性質可得BD=DC=12BC=1，由已知條件知AE=17．如圖，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tan∠C=2，則邊A．32 B．35 C．37【答案】D【知識點】勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義【解析】【解答】解：∵BD=2CD=6，∴CD=3，∵直角△ADC中，tan∠C=2∴AD=CD?tan∴直角△ABD中，由勾股定理可得，AB=A故答案為：D.【分析】根據(jù)已知條件知BD=2CD=6，則CD=3，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得AD，然后利用勾股定理進行計算.8．一配電房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形.已知BC=6m.∠ABC=α.則房頂A離地面EF的高度為（）A．(4+3sinα)m B．(4+3tanα)m 【答案】B【知識點】軸對稱的性質；解直角三角形的應用【解析】【解答】解：如圖，過點A作AD⊥BC交于點H，交EF于點Q，

∵配電房是軸對稱圖形，BC=6m，

∴BH=HC=3m，

在Rt△AHB中，∠ABH=α，

∴AH=3tanαm，

∵HQ=4m，

∴AQ=AH+HQ=（3tanα+4）m，

即房頂A離地面EF的高度（3tanα+4）m.

故答案為：B.

【分析】如圖，過點A作AD⊥BC交于點H，交EF于點Q，由軸對稱圖形性質，可得BH=HC=3m，再由銳角三角函數(shù)正切關系，求得AH=3tanαm，從而得AQ=（3tanα+4）m，即可求得房頂A離地面EF的高度.9．家具廠利用如圖所示直徑為1米的圓形材料加工成一種扇形家具部件，已知扇形的圓心角∠BAC＝90°，則扇形部件的面積為（）A．12π米2 B．14π米2 C．18π米【答案】C【知識點】扇形面積的計算；解直角三角形；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如圖，連接BC，

∵∠BAC=90°，

∴BC是⊙O的直徑，

∴BC=1，

∵AB=AC，

∴△BAC是等腰直角三角形，

∴AB=BCsin∠ACB=1×sin45°，

∴AB=AC=22，

∴扇形部件的面積=90π×222360=18π米2.

10．如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，AF平分∠EAD交CD于點F，F(xiàn)G∥AD交AE于點G，若cosB＝14A．3 B．83 C．2153【答案】B【知識點】平行線的性質；等腰三角形的性質；菱形的性質；銳角三角函數(shù)的定義【解析】【解答】解：如圖，過點A作AH垂直BC于點H，延長FG交AB于點P，

由題意可知，AB=BC=4，E是BC的中點，

∴BE=2，

∵cosB=14，

∴BH=1=12BE，

∴H是BE的中點，

∴AB=AE=4，

又∵AF是∠DAE的角平分線，AD∥FG，

∴∠FAG=∠AFG，

∴AG=FG，

又∵PF∥AD，AP∥DF，

∴PF=AD=4，

設FG=x，則AG=x，EG=PG=4-x，

∵PF∥BC，

∴∠AGP=∠AEB=∠B，

∴cos∠B=cos∠AGP=12PGAG=2-x2x=14，

解得x=83.

11．P為⊙O外一點，PT與⊙O相切于點T，OP=10，∠OPT=30°，則A．53 B．5 C．8 【答案】A【知識點】切線的性質；解直角三角形【解析】【解答】解：如圖，連接OT，

∵PT是圓O的切線，

∴∠PTO=90°，

在Rt△PTO中

PT=POcos∠OPT=10×cos30°=10×3212．如圖，已知點B，D，C在同一直線的水平，在點C處測得建筑物AB的頂端A的仰角為α，在點D處測得建筑物AB的頂端A的仰角為β，CD=a，則建筑物AB的高度為（）A．a(chǎn)tanα?C．a(chǎn)tanαtan【答案】D【知識點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題【解析】【解答】設AB=x，由題意知，∠ACB=α，∠ADB=β，∴BD=xtanβ∵CD=BC-BD，∴xtan∴x=atanα故答案為：D.【分析】利用解直角三角形分別表示出BD，BC的長；再根據(jù)CD=BC-BD=a，建立關于x的方程，解方程表示出x，即可得到建筑物AB的高.13．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，點D是AC上一點，連接BD.若tanA．25 B．3 C．5 【答案】C【知識點】解直角三角形【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tan∴AC=2BC=2由勾股定理得，AB=過點D作DE⊥AB于點E，如圖，∵tan∠A=12∴DE∴DE=∴1∴BE=∵AE+BE=5∴AE+∴AE=2∴DE=1，在RtΔADE中，A∴AD=∵AD+CD=AC=2∴CD=AC?AD=2故答案為：C.【分析】根據(jù)三角函數(shù)的概念可得AC，由勾股定理求出AB，過點D作DE⊥AB于點E，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得DE=12AE，DE=13BE，則BE=14．如圖，已知△ABC內(nèi)接于半徑為1的⊙O，∠BAC=θ（θ是銳角），則△ABC的面積的最大值為()A．cosθ(1+cosθ) B．cosθ(1+sinθ)C．sinθ(1+sinθ) D．sinθ(1+cosθ)【答案】D【知識點】垂徑定理；圓周角定理；三角形的外接圓與外心；解直角三角形【解析】【解答】解：當△ABC的高經(jīng)過圓心時即點A和點A′重合時，此時△ABC的面積最大，

∵A′D⊥BC，

∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，

在Rt△BOD中，

BD=OBsinθ=sinθ，OD=OBcosθ=cosθ，

∴BC=2sinθ，AD=1+cosθ

∴S△ABC=12BC·AD=115．下列計算結果，正確的是（）A．(a2)3=a5 B．【答案】C【知識點】立方根及開立方；特殊角的三角函數(shù)值；冪的乘方【解析】【解答】解：A、(aB、8=C、38D、cos30°=故答案為：C．

【分析】利用冪的乘方、二次根式的性質、立方根的性質和特殊角的三角函數(shù)值逐項判斷即可。二、填空題16．喜迎二十大，“龍舟故里”賽龍舟.丹丹在汩羅江國際龍舟競渡中心廣場點P處觀看200米直道競速賽.如圖所示，賽道AB為東西方向，賽道起點A位于點P的北偏西30°方向上，終點B位于點P的北偏東60°方向上，AB=200米，則點P到賽道AB的距離約為米（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：3≈1【答案】87【知識點】解直角三角形的應用﹣方向角問題【解析】【解答】解：過點P作PC⊥AB，垂足為P，設PC=x米，在Rt△APC中，∴AC=PC?tan30°=3在Rt△CBP中，∴BC=CP?tan60°=3∵AB=200米，∴AC+BC=200，∴33∴x=503∴PC=87米，∴點P到賽道AB的距離約為87米.故答案為：87.【分析】過點P作PC⊥AB，垂足為P，設PC=x米，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得AC=33x米，BC=317．如圖，校園內(nèi)有一株枯死的大樹AB，距樹12米處有一棟教學樓CD，為了安全，學校決定砍伐該樹，站在樓頂D處，測得點B的仰角為45°，點A的俯角為30°，小青計算后得到如下結論：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接從點A處砍伐，樹干倒向教學樓CD方向會對教學樓有影響；④若第一次在距點A的8米處的樹干上砍伐，不會對教學樓CD造成危害.其中正確的是.（填寫序號，參考數(shù)值：【答案】①③④【知識點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題【解析】【解答】解：過點D的水平線交AB于E，∵DE∥AC，EA∥CD，∠DCA=90°，∴四邊形EACD為矩形，∴ED=AC=12米，①AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°=12+43≈12+4×1.7=18②∵CD=AE=DEtan30°=43≈6.8③∵AB=18.8米＞12米，∴直接從點A處砍伐，樹干倒向教學樓CD方向會對教學樓有影響；故③正確；④∵第一次在距點A的8米處的樹干上砍伐，∴點B到砍伐點的距離為：18.8-8=10.8＜12，∴第一次在距點A的8米處的樹干上砍伐，不會對教學樓CD造成危害.故④正確∴其中正確的是①③④.故答案為①③④.

【分析】過點D的水平線交AB于E，易證四邊形EACD是矩形，利用矩形的性質可求出DE的長，利用解直角三角形求出AB的長，可對①作出判斷；利用CD=AE=DEtan30°，代入計算求出CD的長，可對②作出判斷；利用AB的長，可對③作出判斷；先求出點B到砍伐點的距離，再根據(jù)第一次在距點A的8米處的樹干上砍伐，可對④作出判斷；綜上所述可得到正確結論的序號.18．如圖，C島在A島的北偏東50°方向，C島在B島的北偏西35°方向，則∠ACB的大小是.【答案】85°【知識點】解直角三角形的應用﹣方向角問題【解析】【解答】解：∵C島在A島的北偏東50°方向，∴∠DAC=50°，∵C島在B島的北偏西35°方向，∴∠CBE=35°，過C作CF∥DA交AB于F，如圖所示：∴DA∥CF∥EB，∴∠FCA=∠DAC=50°，∠FCB=∠CBE=35°，∴∠ACB=∠FCA+∠FCB=85°.故答案為：85°.【分析】易得∠DAC=50°，∠CBE=35°，過C作CF∥DA交AB于F，根據(jù)平行線的性質得∠FCA=∠DAC=50°，∠FCB=∠CBE=35°，然后根據(jù)∠ACB=∠FCA+∠FCB進行計算.19．菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=45°，點P、Q分別是BC、BD上的動點，CQ+PQ的最小值為.【答案】2【知識點】菱形的性質；軸對稱的應用-最短距離問題；銳角三角函數(shù)的定義【解析】【解答】解：如圖，過點C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當P與點F重合，Q與G重合時，PQ+QC最小，∵菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=45°，∴Rt△BEC∴PQ+QC的最小值為2.故答案為：2.【分析】過點C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當P與點F重合，Q與G重合時，PQ+QC最小，根據(jù)菱形的性質以及三角函數(shù)的概念可得EC，據(jù)此解答.20．如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物A點處測得乙建筑物D點的俯角α為45°，C點的俯角β為58°，BC為兩座建筑物的水平距離.已知乙建筑物的高度CD為6m，則甲建筑物的高度AB為m.（sin58°≈0.85，cos【答案】16【知識點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題【解析】【解答】解：如圖，過D點作DE⊥AB于點E，設AE=x，根據(jù)題意可得：AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠AED=∠BED=∠ABC=∠DCB=90°，∴四邊形BCDE是矩形，∵從甲建筑物A點處測得乙建筑物D點的俯角α為45°，C點的俯角β為58°，BC為兩座建筑物的水平距離，乙建筑物的高度CD為6，∴BE=CD=6，∠ADE=45°，∠ACB=58°，在Rt△ADE中，∴∠EAD=90°?∠ADE=45°，∴∠EAD=∠ADE，∴DE=AE=x，∴BC=DE=x，∴AB=AE+BE=x+6，在Rt△ABC即tan58°=∴tan解得x≈10，經(jīng)檢驗x≈10是原分式方程的解且符合題意，∴AB=x+6≈16(故答案為：16.【分析】過D點作DE⊥AB于E，設AE=x，易得四邊形BCDE是矩形，由題意可得BE=CD=6，∠ADE=45°，∠ACB=58°，則DE=AE=x，BC=DE=x，AB=AE+BE=x+6，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得x，進而可得AB.三、解答題21．如圖所示，為了測量百貨大樓CD頂部廣告牌ED的高度，在距離百貨大樓30m的A處用儀器測得∠DAC=30°；向百貨大樓的方向走10m，到達B處時，測得∠EBC=48°，儀器高度忽略不計，求廣告牌ED的高度．（結果保留小數(shù)點后一位）（參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，sin48°≈0.【答案】解：根據(jù)題意有AC=30m，AB=10m，∠C=90°，則BC=AC-AB=30-10=20，在Rt△ADC中，DC=AC×tan在Rt△BEC中，EC=BC×tan∴DE=EC?DC=20×tan即DE=20×故廣告牌DE的高度為4.9m．【知識點】解直角三角形的應用【解析】【分析】先利用銳角三角函數(shù)求出DC=AC×tan∠A=30×tan3022．小軍同學想利用所學的“銳角三角函數(shù)”知識測量一段兩岸平行的河流寬度．他先在河岸設立A，B兩個觀測點，然后選定對岸河邊的一棵樹記為點M．測得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．請你依據(jù)所測數(shù)據(jù)求出這段河流的寬度（結果精確到0.1m）．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25，sin67°≈1213，cos67°≈【答案】解：過點M作MN⊥AB，根據(jù)題意可得：tan∠∴AN≈5tan∠∴BN≈5∵AN+BN=AB=50，∴52解得：MN=127∴河流的寬度約為1.7米．【知識點】解直角三角形的應用【解析】【分析】利用銳角三角函數(shù)可得AN≈52MN，BN≈512MN23．宜賓東樓始建于唐代，重建于宜賓建城2200周年之際的2018年，新建成的東樓（如圖1）成為長江首城會客廳、旅游休閑目的地、文化地標打卡地.某數(shù)學小組為測量東樓的高度，在梯步A處（如圖2）測得樓頂D的仰角為45°，沿坡比為7：24的斜坡AB前行25米到達平臺B處，測得樓頂D的仰角為60°，求東樓的高度DE.（結果精確到1米.參考數(shù)據(jù)：3≈1.7【答案】解：由已知可得，tan∠BAF=BFAF=724，AB=25米，設BF=7a米，AF=24a米，∴(解得a=1，∴AF=24米，BF=7米，∵∠DAC=45°，∠C=90°∴∠DAC=∠ADC=45°，∴AC=DC，設DE=x米，則DC=(x+7)∵tan∠DBE=∴tan60°=x解得x≈40，答：東樓的高度DE約為40米.【知識點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題；解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題【解析】【分析】由已知可得：AB=15米，∠DBE=60°，∠DAC=45°，∠C=90°，根據(jù)∠BAF的正切三角函數(shù)的概念可設BF=7a，AF=24a，結合勾股定理可得a的值，進而可得AF、BF的值，易得AD=DC，設DE=x米，則DC=(x+7)米，BE=CF=(x-17)米，根據(jù)∠DBE的正切三角函數(shù)的概念求出x，據(jù)此解答.24．隨著科技的發(fā)展，無人機已廣泛應用于生產(chǎn)和生活，如代替人們在高空測量距離和角度．某?！熬C合與實踐”活動小組的同學要測星AB，CD兩座樓之間的距離，他們借助無人機設計了如下測量方案：無人機在AB，CD兩樓之間上方的點O處，點O距地面AC的高度為60m，此時觀測到樓AB底部點A處的俯角為70°，樓CD上點E處的俯角為30°，沿水平方向由點O飛行24到達點F，測得點E處俯角為60°，其中點