數(shù)值分析計(jì)算方法第七章

數(shù)值分析計(jì)算方法第七章第1頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五函數(shù)逼近問(wèn)題的一般提法：

對(duì)于函數(shù)類A中給定的函數(shù)f(x)，要求在另一類較簡(jiǎn)單的且便于計(jì)算的函數(shù)類B(

A)中尋找一個(gè)函數(shù)p(x)，使p(x)與f(x)之差在某種度量意義下最小。

最常用的度量標(biāo)準(zhǔn)：(一)一致逼近以函數(shù)f(x)和p(x)的最大誤差作為度量誤差f(x)－p(x)的“大小”的標(biāo)準(zhǔn)

在這種意義下的函數(shù)逼近稱為一致逼近或均勻逼近第2頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五對(duì)于任意給定的一個(gè)小正數(shù)

>0，如果存在函數(shù)p(x)，使不等式成立，則稱該函數(shù)p(x)在區(qū)間[a,b]上一致逼近或均勻逼近于函數(shù)f(x)。

(二)平方逼近：采用作為度量誤差的“大小”的標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)逼近稱為平方逼近或均方逼近。

第3頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§1正交多項(xiàng)式一、正交函數(shù)系的概念考慮函數(shù)系

1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，connx，sinnx，…

此函數(shù)系中任何兩個(gè)不同函數(shù)的乘積在區(qū)間[-

,

]上的積分都等于0！

我們稱這個(gè)函數(shù)中任何兩個(gè)函數(shù)在[-

,

]上是正交的，并且稱這個(gè)函數(shù)系為一個(gè)正交函數(shù)系。第4頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五若對(duì)以上函數(shù)系中的每一個(gè)函數(shù)再分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，使之成為：那么這個(gè)函數(shù)系在[-

,

]上不僅保持正交的性質(zhì)，而且還是標(biāo)準(zhǔn)化的(規(guī)范的)第5頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五1．權(quán)函數(shù)定義7.1

設(shè)

(x)定義在有限或無(wú)限區(qū)間[a,b]上，如果具有下列性質(zhì)：(1)

(x)≥0，對(duì)任意x

[a,b]，(2)積分存在，(n=0,1,2,…)，(3)對(duì)非負(fù)的連續(xù)函數(shù)g(x)若

則在(a,b)上g(x)0稱

(x)為[a,b]上的權(quán)函數(shù)

第6頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2．內(nèi)積定義7.2

設(shè)f(x)，g(x)

C[a,b]，

(x)是[a,b]上的權(quán)函數(shù)，則稱

為f(x)與g(x)在[a,b]上以

(x)為權(quán)函數(shù)的內(nèi)積。

內(nèi)積的性質(zhì)：(1)(f,f)≥0，且(f,f)=0

f=0；(2)(f,g)=(g,f)；

(3)(f1+f2,g)=(f1,g)+(f2,g)；

(4)對(duì)任意實(shí)數(shù)k，(kf,g)=k(f,g)。第7頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3．正交性定義7.3

設(shè)f(x)，g(x)C[a,b]若則稱f(x)與g(x)在[a,b]上帶權(quán)

(x)正交。

定義7.4

設(shè)在[a,b]上給定函數(shù)系，若滿足條件則稱函數(shù)系{k(x)}是[a,b]上帶權(quán)

(x)的正交函數(shù)系，第8頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五若定義7.4中的函數(shù)系為多項(xiàng)式函數(shù)系，則稱為以

(x)為權(quán)的在[a,b]上的正交多項(xiàng)式系。并稱pn(x)是[a,b]上帶權(quán)

(x)的n次正交多項(xiàng)式。特別地，當(dāng)Ak1時(shí)，則稱該函數(shù)系為標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系。第9頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、常用的正交多項(xiàng)式1．切比雪夫(чебыщев)多項(xiàng)式定義7.5

稱多項(xiàng)式為n次的切比雪夫多項(xiàng)式(第一類)。

第10頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五切比雪夫多項(xiàng)式的性質(zhì)：

(1)

正交性：由{Tn(x)}所組成的序列{Tn(x)}是在區(qū)間[-1,1]上帶權(quán)

的正交多項(xiàng)式序列。且第11頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(2)遞推關(guān)系相鄰的三個(gè)切比雪夫多項(xiàng)式具有三項(xiàng)遞推關(guān)系式：(3)奇偶性：

切比雪夫多項(xiàng)式Tn(x)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)為奇函數(shù)；n為偶數(shù)時(shí)為偶函數(shù)。

第12頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(4)Tn(x)在區(qū)間[-1,1]上有n個(gè)不同的零點(diǎn)(5)Tn(x)在[-1,1]上有n+1個(gè)不同的極值點(diǎn)使Tn(x)輪流取得最大值1和最小值-1。第13頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(6)切比雪夫多項(xiàng)式的極值性質(zhì)Tn(x)的最高次項(xiàng)系數(shù)為2n-1(n=1,2,…)。

定理7.1

在-1≤x≤1上，在首項(xiàng)系數(shù)為1的一切n次多項(xiàng)式Hn(x)中與零的偏差最小，且其偏差為即，對(duì)于任何，有第14頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2．勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式定義7.6

多項(xiàng)式稱為n次勒讓德多項(xiàng)式。勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)：(1)正交性勒讓德多項(xiàng)式序列{pn(x)}是在[-1,1]上帶權(quán)

(x)=1的正交多項(xiàng)式序列。第15頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(2)遞推關(guān)系相鄰的三個(gè)勒讓德多項(xiàng)式具有三項(xiàng)遞推關(guān)系式：第16頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(3)奇偶性：

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，pn(x)為偶函數(shù)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，pn(x)為奇函數(shù)。(4)pn(x)的n個(gè)零點(diǎn)都是實(shí)的、相異的，且全部在區(qū)間[-1,1]內(nèi)部。第17頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3．其它常用的正交多項(xiàng)式(1)第二類切比雪夫多項(xiàng)式定義7.7

稱為第二類切比雪夫多項(xiàng)式。第18頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五①{un(x)}是在區(qū)間[-1,1]上帶權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式序列。②相鄰的三項(xiàng)具有遞推關(guān)系式：第19頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(2)拉蓋爾(Laguerre)多項(xiàng)式定義7.8

稱多項(xiàng)式為拉蓋爾多項(xiàng)式。第20頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五①{Ln(x)}是在區(qū)間[0,+∞]上帶權(quán)

(x)=e-x

的正交多項(xiàng)式序列。

②相鄰的三項(xiàng)具有遞推關(guān)系式：

第21頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(3)埃爾米特(Hermite)多項(xiàng)式定義7.9

稱多項(xiàng)式

為埃爾米特多項(xiàng)式。第22頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五的正交多項(xiàng)式序列。①{Hn(x)}是在區(qū)間(-,+)上帶權(quán)函數(shù)②相鄰的三項(xiàng)具有遞推關(guān)系式：第23頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2

最佳一致逼近一、最佳一致逼近的概念定義7.10設(shè)函數(shù)f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，對(duì)于

任意給定的

>0，如果存在多項(xiàng)式p(x)，使不等式成立，則稱多項(xiàng)式p(x)在區(qū)間[a,b]上一致逼近(或均勻逼近)于函數(shù)f(x)。第24頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五維爾斯特拉斯定理

若f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任意

>0，總存在多項(xiàng)式p(x)，使對(duì)一切a≤x≤b有第25頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3最佳平方逼近1．函數(shù)系的線性關(guān)系定義7.11

若函數(shù)，在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，如果關(guān)系式

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)才成立，則稱函數(shù)在[a,b]上是線性無(wú)關(guān)的，否則稱線性相關(guān)。第26頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

設(shè)是[a,b]上線性無(wú)關(guān)的連續(xù)函數(shù)a0,a1,…,an是任意實(shí)數(shù)，則并稱是生成集合的一個(gè)基底。的全體是C[a,b]的一個(gè)子集，記為第27頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五定理7.3

連續(xù)函數(shù)在[a,b]上線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是它們的克萊姆(Gram)行列式Gn

0，其中第28頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2．廣義多項(xiàng)式

設(shè)函數(shù)系{，…}線性無(wú)關(guān)，則其有限項(xiàng)的線性組合稱為廣義多項(xiàng)式。第29頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、函數(shù)的最佳平方逼近定義7.12

對(duì)于給定的函數(shù)，若n次多項(xiàng)式滿足關(guān)系式則稱S*(x)為f(x)在區(qū)間[a,b]上的n次最佳平方逼近多項(xiàng)式。第30頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五定義7.13

對(duì)于給定的函數(shù)如果存在使

則稱S*(x)為f(x)在區(qū)間[a,b]上的最佳平方逼近函數(shù)。第31頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期五求最佳平方逼近函數(shù)