數(shù)學史第十三講

數(shù)學史第十三講第1頁，共18頁，2023年，2月20日，星期五1.應用數(shù)學的基礎（1）應用數(shù)學理論基礎這主要指常微分方程、偏微分方程、概率論、線性代數(shù)、微積分方法、動力體系、奇點理論等。它們較之純數(shù)學分支來，具有較強的應用背景，但較之應用數(shù)學，它更傾向于數(shù)學的系統(tǒng)理論。它們常常是圍繞一些典型的數(shù)學模型展開的理論。應用數(shù)學理論的特征之一在于，旨在培養(yǎng)應用人才的能力，使之在介入實踐時有能力去獨立建模，解決問題，而不是拿他學得的模型去硬套。第2頁，共18頁，2023年，2月20日，星期五下面著重就動力體系和奇點理論作簡介。①動力體系動力體系又叫動力系統(tǒng)。目前流行的動力體系概念有兩大類，一類是廣義動力體系，數(shù)學上常常區(qū)別性地叫它做動態(tài)系統(tǒng)。系指凡直接含有或間接含有時間t或t的離散序列的系統(tǒng)。換句話說，凡具有“過程”性質(zhì)的系統(tǒng)都叫做動態(tài)系統(tǒng)，因此動態(tài)系統(tǒng)是廣泛存在的，大至宇宙過程，小至任一生命過程或任意事物變化過程。第3頁，共18頁，2023年，2月20日，星期五②奇點理論所謂奇點即是映射中滿足導數(shù)為0的點。推廣之即產(chǎn)生一種映射迭代序列（動力系統(tǒng)）中的“不動點”問題，因此不管從理論學科上分支上，還是從應用學科分支上，都廣泛存在奇點問題，且隨著研究對象的存在形式不同已被引伸出多種概念或名稱。主要的比如在連續(xù)動力系統(tǒng)幾何觀點上有“分支點”或“分岔點”；在離散動力系統(tǒng)或非線性泛涵中，有“不動點”；在動力系統(tǒng)軌道意義下，有“極限集點”；在突變論中，有“突變點”；在極限論或一般的摩爾斯理論中，有“臨界點”或“駐點”；特別地，它在應用科學中也廣泛存在，比如在經(jīng)濟學中叫它做“平衡點”或“均衡點”等等。而今，奇點理論已深入到隨機、模糊等不確定數(shù)學領域，也產(chǎn)生了不動點計算數(shù)學分支。第4頁，共18頁，2023年，2月20日，星期五（2）應用數(shù)學方法基礎這是指數(shù)值分析、計算方法、有限元法、運籌學、決策科學、圖論、統(tǒng)計學、模糊數(shù)學等等學科。它以純數(shù)學和應用數(shù)學理論基礎為基礎，自身宗旨不在于理論深入，更多的是偏重于方法討論，更接近于實際應用，現(xiàn)就前面未曾介紹過的主要分支運籌學多談幾句。運籌學。取“運籌帷幄中、決勝千里外”（漢書。張良傳）之意。運籌學產(chǎn)生于40年代二次大戰(zhàn)中的英美。盡管有說產(chǎn)生于一次大戰(zhàn)，因1915年蘭徹斯特（英）曾“運籌”過兩軍對壘問題，但作為時代特征而崛起，還是在二次大戰(zhàn)，從它的多種描述定義看，運籌學的本義系管理、決策、優(yōu)化學科體系，它的主要目的不在于證明科學命題、作純數(shù)學探討，而在一于用數(shù)學的基礎知識為實踐部門提供咨詢服務。但是過去的運籌學是納入數(shù)學內(nèi)，由數(shù)學家來研究的，因此一度與其定義有些相悖。不過也正因這樣，運籌學才得以很快建立起嚴格的數(shù)學理論基礎、和由若干分支學科組成的理論體系，從而成為培養(yǎng)應用數(shù)學家的應用數(shù)學理論基礎學科，但出于它的原始宗旨，我們?nèi)园阉鼩w為應用數(shù)學方法基礎。第5頁，共18頁，2023年，2月20日，星期五2.應用數(shù)學之一：系統(tǒng)科學科學進入本世紀以來，自然科學與社會科學，甚至數(shù)學科學與非數(shù)學科學的界限都愈來愈模糊了。也就是說如今再以自然科學與社會科學來對科學分類已不夠了。為此錢學森提出了一個“六大部類”分類法，把整個科學分作自然科學、社會科學、數(shù)學科學、系統(tǒng)科學、人體科學、思維科學等六大部類，可見系統(tǒng)科學已經(jīng)崛起。當然，這里也應該看到，所謂數(shù)學科學僅指基礎數(shù)學，作為應用數(shù)學是覆蓋每一部類的，往后走將更是這樣。特別對于新興部類的系統(tǒng)科學，將看到各個分支發(fā)端于不同的實際現(xiàn)象，卻最后都歸結為以數(shù)學解決問題為特征。第6頁，共18頁，2023年，2月20日，星期五目前系統(tǒng)科學以“六論”為主要內(nèi)容，此即一般系統(tǒng)論、信息論、控制論、突變論、耗散論、協(xié)同論。前三論又叫做老三論，后三論叫做新三論，下面先對“六論”分別作一簡要介紹。（1）一般系統(tǒng)論世上任何事物都處在系統(tǒng)之中，系統(tǒng)是自然界最為普遍的存在形式。從而很快激發(fā)出一整套系統(tǒng)理論、系統(tǒng)方法和系統(tǒng)觀點，“徹底改變了世界科學圖景和科學家的思維方式”。特別當把這些理論、方法、觀點落實到具體實踐中，形成了“系統(tǒng)工程”這樣一門新興學科。（2）信息論信息作為信號、消息的概念在人類生活中進行著信息傳送的活動自古有之，可是科學地提出信息概念，卻是本世紀20年代以來的事，1922年發(fā)現(xiàn)了信號編碼過程中頻譜展寬的卡松方法；1924年發(fā)現(xiàn)了傳輸電報的頻率之間必然關系。但即使這時，人們對信息概念仍然不是清晰的，直到1928年哈特萊的《信息傳輸》一文才明確指出，信息僅僅是從它的原來事物中抽象出來的一種符號、代碼或認識，而并非事物本身，亦即指出了信息是脫離了事物本身的“事件”，這就實現(xiàn)了概念上的突破。第7頁，共18頁，2023年，2月20日，星期五（3）控制論關于控制概念的思想苗頭，早在1868年麥克斯韋在蒸氣機上和1920年米諾爾斯基在船舶駕駛上已有體現(xiàn)。但真正從理論上作出開創(chuàng)性工作的還是諾伯特．維納于40年代給出的?，F(xiàn)代控制理論和控制技術在諸如航空技術、航天技術、精密儀器及一切自動化的高精技術上扮演著重要角色。（4）突變論這是法國數(shù)學家、奇點理論專家多蒙于60年代提出的，他用簡單的數(shù)學模型，令人驚訝地描述了客觀世界普遍存在的、與人類生活息息相關的突變現(xiàn)象，這也是動力系統(tǒng)中一類分岔點理論的極妙應用。對應到實踐中即有“連續(xù)地緩變作用有可能導致突變”的結論。第8頁，共18頁，2023年，2月20日，星期五（5）耗散系統(tǒng)論這是比利時物理學學家普里高津于1969年在一次國際會議上提出的，它從熱力學第二定律出發(fā)敏感到，對于開放系統(tǒng)，在不可逆過程中非平衡也許是產(chǎn)生新序之源，從而提出了一個“耗散結構”概念。滿足如下三條的系統(tǒng)叫做具有耗散結構的系統(tǒng)。①開放系統(tǒng)──與環(huán)境有能量交換的系統(tǒng)；②非平衡系統(tǒng)──遠離平衡態(tài)，或說系統(tǒng)處于平衡點線性領域以外的狀態(tài)；③非線性系統(tǒng)或叫做具有漲落運動的系統(tǒng)。要知道滿足這些條件的系統(tǒng)是廣泛存在的，所以該理論運用很廣、貢獻很大，被譽為“70年代科學上的輝煌成就”，普里高津也因此獲得1977年諾貝爾化學獎。第9頁，共18頁，2023年，2月20日，星期五（6）協(xié)同論這是德國物理學家H．哈肯于1977年提出的，其特點是對系統(tǒng)的能量函數(shù)導出的主方程（微分方程或差分方程）引入序參量、控制參量等概念，通過張落來實現(xiàn)序參量的競爭，最終成為一個或少數(shù)幾個序參量來支配全系統(tǒng)（叫做支配原理），從而使系統(tǒng)產(chǎn)生新的自組織現(xiàn)象。較之耗散論，協(xié)同論更加數(shù)學模型化了，因而能更多地利用數(shù)學工具，如信息論、控制論、突變論等以探索復雜系統(tǒng)的自組織現(xiàn)象。第10頁，共18頁，2023年，2月20日，星期五3.應用數(shù)學之二：生物數(shù)學過去的生物學未用上數(shù)學并非生物學不需要數(shù)學，而是生物系統(tǒng)太復雜，人類尚不具備向它進軍的能力，致使過去的生物學多停留在描述性學科上。而今的生物動力學、酶動力學、生態(tài)學、藥代動力學、生命科學、生物工程、生物遺傳學等等需要越來越高深數(shù)學的分支迅速崛起。人體科學是80年代才是提上日程的又一門新興學科，它是社會學、生理學、神經(jīng)學、精神學、醫(yī)學、計算機科學的邊緣科學，是人類認識自然到一定程度之后，最終認識到自身的一種體現(xiàn)，人類之過去，不知道自己所依附的地球是如何在動，現(xiàn)在也不知道自己用以認識自然的精神是怎么回事，要認識到這一點，需要的也許不只是哥白尼式的突破，或許智能計算機的突破還在等待著“人體科學”的佳音呢。換句話說，有賴于數(shù)學在人體科學中的突破。第11頁，共18頁，2023年，2月20日，星期五“生命科學”是生物學上又一支新軍，它是航天科學的產(chǎn)物，其任務旨在探索宇宙生命的存在規(guī)律、探索地球生命在宇宙空間的變異規(guī)律和宇宙醫(yī)學等等，雖然它現(xiàn)在尚處于萌芽狀態(tài)，處于實驗階段，但須知宇宙實驗是成本昂貴的，因此數(shù)學實驗、數(shù)學在這里是十分有用的?？傊?，生物科學尚處在年輕階段，正在深入，正在新生，對數(shù)學的需求亦如此。還要指出，生物數(shù)學不僅是生物學中一個分支，更應該是數(shù)學工具在整個生物學各個領域的應用，雖然從工作深度來講需要有專業(yè)人員投入，但更多的要靠生物學家，靠他們與應用數(shù)學家的積極配合，靠他們自身的數(shù)學工具普及，數(shù)學修養(yǎng)的提高。第12頁，共18頁，2023年，2月20日，星期五4.應用數(shù)學之三：經(jīng)濟數(shù)學可說整個西方經(jīng)濟學史都慣穿著數(shù)學，即使西方政治經(jīng)濟學也如此。甚至可看出，西方經(jīng)濟學史的發(fā)展階段也正是經(jīng)濟數(shù)學的發(fā)展階段。比如①1874年，瓦爾拉斯創(chuàng)立了以建立一般均衡數(shù)學模型為中心的一般均衡理論，同時第一次提出了“邊際效用”概念，從而這一年被認變是以理論經(jīng)濟為特色的數(shù)理經(jīng)濟時期的開始。②隨著1929-1932年西方經(jīng)濟大蕭條的刺激，產(chǎn)生的“凱恩斯革命”即是以經(jīng)濟數(shù)學為特色的。③70年代是又一個經(jīng)濟學發(fā)展時期，起因可說來自1973--1974年西方的又一次經(jīng)濟危機，但它仍然是以經(jīng)濟數(shù)學的發(fā)展為特色的，因為危機使人們猛醒，時代已不再是凱恩斯的就業(yè)理論、貨幣理論所指的狀態(tài)，而是來得更為復雜了，比如“滯脹”兩難問題就是凱恩斯的“失業(yè)與通貨膨脹互為消長、對稱”的“菲利普斯曲線”及“有效需求”理論等解釋不了的。第13頁，共18頁，2023年，2月20日，星期五70年代以來，經(jīng)濟學在瓦爾拉斯一般均衡理論及凱恩斯理論的基礎上產(chǎn)生了進一步的突破。首先，一個“非均衡理論”建立起來了，與之并行的，匈牙利經(jīng)濟學家柯爾內(nèi)還創(chuàng)立了一門“短缺經(jīng)濟學”專門研究社會主義制度下的經(jīng)濟運行機制。此外，一個以經(jīng)濟社會中混沌現(xiàn)象為研究主題的，以耗散系統(tǒng)為研究對象的新興經(jīng)濟理論也隨著時代科技發(fā)展的步伐而開始萌生。須知，這里有著越來越多、越來越深的數(shù)學問題，常常是現(xiàn)代數(shù)學工具也深感不足的。第14頁，共18頁，2023年，2月20日，星期五我們來談談計量經(jīng)濟與數(shù)理經(jīng)濟，借以窺視現(xiàn)代經(jīng)濟數(shù)學的一斑。首先，計量經(jīng)濟學主要以解決具體問題為目的，因此定量的成分更重，實證性更強，模型更具體，數(shù)理經(jīng)濟則屬于抽象經(jīng)濟理論，多偏重于公理化討論，邏輯推理性更強。當然，正如宏觀與微觀概念之間并非絕對分明一樣，計量經(jīng)濟與數(shù)理經(jīng)濟之間也不是絕對分明的，比如康脫洛維奇創(chuàng)立的線性規(guī)劃，列昂惕夫創(chuàng)立的投入與產(chǎn)出分析法，薩惕創(chuàng)立的層次分析法及福雷斯特創(chuàng)立的系統(tǒng)動力學等等，本身都屬于數(shù)理經(jīng)濟學的成果，卻作為“方法”，又都屬于計量經(jīng)濟學的工具范疇。此外，計量經(jīng)濟學的特征表明，它的數(shù)學工具主要是數(shù)理統(tǒng)計學、計算數(shù)學等，因為它在應用中需要具體確定數(shù)學模型中的有關參數(shù)，并付諸實際計算，以取得具體的指導性數(shù)據(jù)。相較之下，數(shù)理經(jīng)濟的數(shù)學更為深該，這可從經(jīng)濟學諾貝爾獎得者阿洛的《數(shù)理經(jīng)濟學手冊》第一卷看出，比如集值映射凸分析、測度論、動力體系、博奕論、大范圍分析、數(shù)學規(guī)劃等等，都是它的常用工具。第15頁，共18頁，2023年，2月20日，星期五幾十年來，數(shù)學在數(shù)理經(jīng)濟學上的貢獻是相當大的，除薩繆爾森的“大道定理”，埃奇沃德的“資源最優(yōu)配置原理”和丁伯根的“蛛網(wǎng)定理”等以外，還應該特別看到的是“均衡理論”。自1874年瓦爾拉斯建立第一個一般均衡模型，直至本世紀70年代末，它一直是帶動經(jīng)濟理論發(fā)展的一個重要課題，圍繞著經(jīng)濟均衡理論，先后有多人獲得經(jīng)濟學諾貝爾獎，如阿洛、德布魯?shù)鹊龋?969年開設經(jīng)濟諾貝爾獎以來，30余位獲獎者中，可以說都是因為經(jīng)濟數(shù)學而獲獎，他們都在于運用數(shù)學工具成功的解決了經(jīng)濟中的問題，其中數(shù)理經(jīng)濟的、計量經(jīng)濟的幾乎各占一半。如果凱恩斯、馮．諾伊曼等人在世，自然也是當之無愧的諾貝爾獎得主了。第16頁，共18頁，2023年，2月20日，星期五我國過去幾十年內(nèi)經(jīng)濟學多偏重于政治經(jīng)濟學，把經(jīng)濟學業(yè)劃入文科，加上過去的教育體制是文科輕數(shù)學，以致經(jīng)濟系學生無法運用數(shù)學工具，也看不懂別人的經(jīng)濟文獻，這是不正常的。經(jīng)濟體制、經(jīng)