數(shù)學(xué)欣賞數(shù)學(xué)之魂

數(shù)學(xué)欣賞數(shù)學(xué)之魂第1頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五思考幾個(gè)問題數(shù)學(xué)是什么？為何學(xué)數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)有用嗎？數(shù)學(xué)容易嗎？數(shù)學(xué)有趣嗎？數(shù)學(xué)美麗嗎？第2頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五一個(gè)人不識(shí)字甚至不會(huì)說話可以生活，但是若不識(shí)數(shù)，就很難生活。一個(gè)國家的科學(xué)進(jìn)步，可以用它消耗的數(shù)學(xué)來度量。數(shù)學(xué)有多重要？語言，交流的工具；數(shù)學(xué)，思維的體操！第3頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五課程目的為你打開一扇窗戶，開啟你認(rèn)識(shí)世界的通道，欣賞數(shù)學(xué)的美麗與神奇；幫你擦亮一雙眼睛，豐富你觀察世界的方式，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)與價(jià)值；給你武裝一副頭腦，提升你改造世界的能力，掌握數(shù)學(xué)的思想與方法。第4頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五主要內(nèi)容數(shù)學(xué)之魂數(shù)學(xué)之美數(shù)學(xué)之趣數(shù)學(xué)之妙數(shù)學(xué)之奇數(shù)學(xué)之問第5頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)欣賞A數(shù)學(xué)之魂TheSoul

of

Mathematics第6頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)之魂，追根求源研究對象——數(shù)與形，為萬物共有，是萬物之本；研究內(nèi)容——數(shù)形變化關(guān)系與規(guī)律，反映的是物質(zhì)世界的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與相互關(guān)系，是萬物之理；建立基礎(chǔ)——公理系統(tǒng)，其結(jié)論直白，道理自明；建立方法——演繹推理（三段論），其形式簡潔，層次清晰，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，推論無疑.數(shù)學(xué)關(guān)注萬物共性與本質(zhì)，揭示萬象之理與奧秘，其基礎(chǔ)簡明穩(wěn)固，方法科學(xué)普適，結(jié)論精準(zhǔn)可靠，這是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)價(jià)值和美、理、奇、妙、趣的根源.第7頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五本章內(nèi)容數(shù)學(xué)的對象與內(nèi)容1數(shù)學(xué)的方法與特點(diǎn)2第8頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)的對象與內(nèi)容第9頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)做什么對象：萬物之本——數(shù)與形；內(nèi)容：萬象之謎，萬事之理；第10頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)的對象1數(shù)與形——萬物之根第11頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五恩格斯說……

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式（簡稱數(shù)與形）的科學(xué)。第12頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五萬物共有數(shù)與形第13頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五世間萬事萬物，不論是有生命的，還是沒有生命的；不論是動(dòng)物，還是植物；不論是自然形成的，還是人工創(chuàng)造的；不論是氣態(tài)、液態(tài)，還是固態(tài)；不論是在宏觀世界，還是在微觀世界……,它們均以一定的形態(tài)存在于空間之中，并受諸如長度、面積、體積、質(zhì)量、濃度、溫度、色度等各種量的制約。這種萬事萬物所共有的內(nèi)在特質(zhì)——“數(shù)(量)”與“形（態(tài)）”，乃是數(shù)學(xué)科學(xué)的兩大柱石。形數(shù)第14頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五形數(shù)1,2,3…兩大柱石第15頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五世間萬事萬物不是靜態(tài)不變的，而是不斷在運(yùn)動(dòng)和變化著。運(yùn)動(dòng)和變化體現(xiàn)在事物的內(nèi)在特質(zhì)上，就是“形”的變換和“量”的增減。第16頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五形的變換有各種各樣，有描述位移的平移、旋轉(zhuǎn)等剛體變換也有描述縮放、透視的相似、仿射、直射等射影變換第17頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五還有描述物體拉伸、扭轉(zhuǎn)的拓?fù)渥儞Q。這就形成了各種各樣的幾何學(xué)。第18頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五量的增加，衍生出一種基本運(yùn)算——加法。在量的變化中，先增加２，再增加３，與先增加３，再增加２，其結(jié)果無異，這就衍生出加法運(yùn)算的交換律……第19頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五第20頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)字或者更一般的抽象元素等被賦予運(yùn)算，具有一定規(guī)則和規(guī)律，就構(gòu)成了代數(shù)學(xué)。第21頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五作為萬事萬物所共有的內(nèi)在特質(zhì)“數(shù)”與“形”，附以反映萬事萬物變化規(guī)律的運(yùn)算、變換及其規(guī)則，就是數(shù)學(xué)。古典數(shù)學(xué)如此，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的本質(zhì)也是如此。第22頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五代數(shù)數(shù)量關(guān)系的科學(xué)：數(shù)量關(guān)系、順序關(guān)系占主導(dǎo)，培養(yǎng)計(jì)算與邏輯思維能力。分析數(shù)形關(guān)系的科學(xué)：量變關(guān)系、瞬間變化與整體變化關(guān)系占主導(dǎo)，函數(shù)為對象、極限為工具，培養(yǎng)邏輯思維能力和建模能力。幾何空間形式的科學(xué)：位置關(guān)系、結(jié)構(gòu)形式占主導(dǎo)，培養(yǎng)直覺能力和洞察力。23第23頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)的內(nèi)容2共性、本質(zhì)、規(guī)律——萬物之理第24頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五概念（事物分類）數(shù)學(xué)的內(nèi)容結(jié)論（定理公式法則）一種對象的內(nèi)在性質(zhì)不同對象的聯(lián)系多種對象的共性第25頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五發(fā)現(xiàn)本質(zhì)探索奧秘揭示規(guī)律建立聯(lián)系尋求共性數(shù)學(xué)的內(nèi)容永恒第26頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五(1)數(shù)學(xué)的研究內(nèi)容——結(jié)構(gòu)與模式

數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)與模式的科學(xué)基本對象:集合+結(jié)構(gòu)。27第27頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)中基本的集合包括：各種數(shù)的集合；各類圖形；各類函數(shù)；各種空間；一般的抽象集合等……28第28頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)中的基本結(jié)構(gòu)有三種：代數(shù)結(jié)構(gòu)（反映“合作”關(guān)系的各種運(yùn)算及其算律）;順序結(jié)構(gòu)（反映對比關(guān)系的大小、先后，反映隸屬關(guān)系的蘊(yùn)涵）;拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（反映親疏程度與規(guī)模大小的距離）。29第29頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)之比喻數(shù)學(xué)像游戲，離不開道具和規(guī)則。數(shù)學(xué)中，各種集合是道具，而在各種集合上賦予的各種結(jié)構(gòu)是規(guī)則。30第30頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)之比喻數(shù)學(xué)像演戲，離不開演員和劇本。數(shù)學(xué)中，各種集合是演員，演員被分配了角色才能演戲。31第31頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

比如：實(shí)數(shù)集就是數(shù)學(xué)的一種道具，要在其上賦予代數(shù)結(jié)構(gòu)、順序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，才能展開數(shù)學(xué)理論。32第32頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五（2）數(shù)學(xué)的目標(biāo)發(fā)現(xiàn)各種事物的本質(zhì)；建立不同事物的聯(lián)系；尋找不同事物的共性。探索事物發(fā)展的規(guī)律，揭示事物現(xiàn)象的奧秘，用以描述與理解自然和社會(huì)現(xiàn)象，以便對發(fā)展方向進(jìn)行判斷、控制、改良和預(yù)測。33第33頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五魔術(shù)大師劉謙使用但卻不明白的問題：劉謙預(yù)測：64選定數(shù)字和18+13+26+7=64劉謙的依據(jù)：四角數(shù)字和4+7+25+28=64我的答案：4n+48一個(gè)例子第34頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五其它規(guī)律：（1）設(shè)n為右上角數(shù)字，則和S=4n+36；（2）設(shè)n為第二行首位數(shù)字，則和S=4n+20；（3）設(shè)n為第二行末位數(shù)字，則和S=4n+8；第35頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五更多方案：對角線（主或副）數(shù)字之和；中間四個(gè)數(shù)字之和；三角形四數(shù)字之和；n斜矩形四角數(shù)字之和……規(guī)律第36頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五多種方案：4n+48；對角線（主或副）數(shù)字之和；中間四個(gè)數(shù)字之和；三角形四數(shù)字之和；斜矩形四角數(shù)字之和……第37頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五（3）數(shù)學(xué)結(jié)論的形式確立對象，形成概念；探索性質(zhì)、關(guān)系等本質(zhì)規(guī)律。數(shù)學(xué)理論的建立與表達(dá)依靠數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)思維包括多個(gè)方面，歸納、模擬、演繹、計(jì)算等，但概括地講，包含三大方面：“構(gòu)造”、“計(jì)算”與“證明”。38第38頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五（3）數(shù)學(xué)結(jié)論的形式對象存在性對象結(jié)構(gòu)對象性質(zhì)不變性與不變量建立模型與設(shè)計(jì)算法等。39第39頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)的方法第40頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)如何做建立的程序：由自明事實(shí)出發(fā)，合情推理（歸納、類比）找方向，演繹推理定結(jié)論。建立的方法：分類、化歸、歸納、類比、抽象化、符號化、模型化、公理化、最優(yōu)化。第41頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)建立的程序1始于公理，成于推理，表為定理第42頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)理論建立的方式從少許自明的結(jié)論（公理）出發(fā)用邏輯演繹（三段論）的方法推出新的結(jié)論（定理、公式）第43頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五定義公理、公設(shè)命題定義命題定義命題命題命題公理、公設(shè)44第44頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五1.一組自明公理是數(shù)學(xué)論證的出發(fā)點(diǎn)不能自相矛盾（相容性）不要相互包含（獨(dú)立性）能夠?qū)С鲇嘘P(guān)數(shù)、形及其關(guān)系的所有規(guī)律及性質(zhì)（完全性）自明？——相當(dāng)主觀，也相當(dāng)深刻數(shù)學(xué)結(jié)論可靠性的前提。第45頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五1.一組自明公理是數(shù)學(xué)論證的出發(fā)點(diǎn)相容性保證了系統(tǒng)內(nèi)部的無矛盾性；獨(dú)立性保證了公理體系的簡潔性；完備性？——不存在?。ǜ绲聽柌煌陚湫远ɡ恚┒喾N公理系統(tǒng)。不同的公理系統(tǒng)導(dǎo)出不同的數(shù)學(xué)，但是它們的內(nèi)部都是健康的。第46頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.合情推理（歸納、類比）找方向，

演繹推理定結(jié)論合情推理：發(fā)散性歸納、類比、遷移、想象演繹推理（三段論）：收斂性第47頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)論證只承認(rèn)演繹推理（三段論）大前提（一個(gè)一般性的普遍規(guī)律）小前提（一個(gè)特殊對象的判斷）結(jié)論（這個(gè)特殊對象的結(jié)論）第48頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)論證只承認(rèn)演繹推理（三段論）大前提（人是要死的）小前提（張三是人）結(jié)論（張三是要死的）舉例、實(shí)驗(yàn)、思辨、猜測等得到的結(jié)論均不被承認(rèn)。數(shù)學(xué)結(jié)論可靠性的保證。可靠第49頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五人類的發(fā)明創(chuàng)造開始于感性的發(fā)散性思維終止于理性的收斂性思維數(shù)學(xué)思維是人類發(fā)明創(chuàng)造的源泉和動(dòng)力第50頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五3.演繹推理所得到的結(jié)論必須是新的數(shù)學(xué)的首創(chuàng)是在全人類首創(chuàng)新定理指在人類歷史中新發(fā)現(xiàn)、新建立數(shù)學(xué)與工程的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)大不相同數(shù)學(xué)填補(bǔ)的都是人類空白第51頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五實(shí)驗(yàn)結(jié)論不可靠——物理教授的經(jīng)驗(yàn)方程物理教授在進(jìn)行一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，他總結(jié)出一個(gè)經(jīng)驗(yàn)方程，似乎與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合，他請數(shù)學(xué)教授看一看這個(gè)方程。一周后數(shù)學(xué)教授說這個(gè)方程不成立?？赡菚r(shí)物理教授已經(jīng)用他的方程預(yù)言出進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，而且效果頗佳，所以他請數(shù)學(xué)教授再審查一下這個(gè)方程。再一周后，他們再次碰頭。數(shù)學(xué)教授告訴物理教授說這個(gè)方程的確成立，"但僅僅對于正實(shí)數(shù)的簡單情形成立。"精確第52頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五觀察結(jié)論不可信——蘇格蘭高原上的羊天文學(xué)家："原來蘇格蘭的羊是黑色的."物理學(xué)家：“得了吧,僅憑一次觀察你可不能這么說，你只能說那只黑色的羊是在蘇格蘭發(fā)現(xiàn)的.“數(shù)學(xué)家：也不對，由這次觀察你只能說:在這一時(shí)刻,這只羊,從我們觀察的角度看過去,有一側(cè)表面上是黑色的."準(zhǔn)確第53頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)的思考方式2第54頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)研究萬事萬物的數(shù)與形有其特有的思想、原則和方法，這體現(xiàn)為數(shù)學(xué)的獨(dú)特思考方式。這些方式包括：模型化最優(yōu)化公理化抽象化符號化類比化歸分類歸納第55頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五分類研究是按照研究對象的屬性不同進(jìn)行科學(xué)分類、逐一研究的重要思想，其分類的具體原則與方法以及分類理念都為人類解決復(fù)雜問題提供了寶貴的思想方法。其價(jià)值在于化難為易、化繁為簡、化整為零、積零為整。第56頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五化歸思想：是指把數(shù)學(xué)問題通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程，進(jìn)行變換與轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到某個(gè)已經(jīng)解決或比較容易解決的問題去研究，以最終解決原問題的思想?；瘹w就是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)，它包含了運(yùn)動(dòng)與變化、聯(lián)系與轉(zhuǎn)換的觀點(diǎn)，可以化生為熟、化新為舊、化繁為簡、化難為易、化異為同、化抽象為直觀。第57頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五化歸的表現(xiàn)一方面表現(xiàn)在處理數(shù)學(xué)問題的過程中，可以將復(fù)雜對象或陌生對象化歸為簡單對象或熟悉對象；另一方面也表現(xiàn)在數(shù)學(xué)結(jié)論表述中，數(shù)學(xué)中許多結(jié)論都表現(xiàn)為對一種數(shù)學(xué)對象的多個(gè)等價(jià)刻畫，數(shù)學(xué)中的“充分必要條件”是描述這一現(xiàn)象的典型語句，它本質(zhì)上也是對數(shù)學(xué)對象性質(zhì)的化歸。第58頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五類比方法是指由兩個(gè)對象內(nèi)在性質(zhì)在某些方面的相似性推出他們在其它方面也可能相似的一種思維方法。它是數(shù)學(xué)研究中最基本的創(chuàng)新思維形式，在數(shù)學(xué)中扮演著極為重要的角色，許多陌生對象的性質(zhì)和研究方法都來自于數(shù)學(xué)家的類比思想。類比方法具有啟發(fā)思路、提供線索、觸類旁通的作用。第59頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五歸納方法是從若干個(gè)別前提得出一般結(jié)論的推理方法，是通過個(gè)性發(fā)現(xiàn)共性，通過特性尋找規(guī)律，通過現(xiàn)象認(rèn)識(shí)本質(zhì)，是一種重要的創(chuàng)新思維形式。人們可以通過歸納去清理事實(shí)、概括經(jīng)驗(yàn)、處理資料，從而形成概念、提出規(guī)律。第60頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五抽象化與符號化是數(shù)學(xué)獨(dú)特的思維特征和表達(dá)方式，它使得數(shù)學(xué)概念脫離了事物的物質(zhì)屬性，形式簡潔、內(nèi)涵豐富、應(yīng)用廣泛。第61頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五公理化方法首先找出最基本的概念、命題作為邏輯出發(fā)點(diǎn)，然后運(yùn)用演繹推理建立各種進(jìn)一步的命題，從而形成一套系統(tǒng)、嚴(yán)謹(jǐn)理論體系的思維方法。這是人類認(rèn)識(shí)論的一大創(chuàng)舉，是數(shù)學(xué)可靠性的基礎(chǔ)，她使數(shù)學(xué)豐富的理論建立在最簡單明了、不容懷疑的事實(shí)基礎(chǔ)之上，容易明辨是非。第62頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五最優(yōu)化是數(shù)學(xué)追求的目標(biāo)之一；模型化是人類將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題、具體問題轉(zhuǎn)化為抽象問題的重要手段。

二者都為人類圓滿解決實(shí)際問題發(fā)揮了重要作用。

第63頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

這些既是數(shù)學(xué)體系的特征，也是數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn)。它們保證了數(shù)學(xué)體系的簡潔性與嚴(yán)謹(jǐn)性數(shù)學(xué)結(jié)論的可靠性與普適性數(shù)學(xué)方法的有效性與便利性數(shù)學(xué)思想的科學(xué)性與深刻性

第64頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五一種民間游戲——“取石子”道具：地面上擺著若干堆石子，每堆的石子數(shù)目任意.規(guī)則：甲乙輪流從中拿取石子，每人每次只能在其中一堆中拿取石子，

數(shù)量不限.以最后把石

子取完者為勝.問題：有沒有必勝的訣竅？一個(gè)例子第65頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五極端原理（特殊化，分類）：（1）只有一堆石子，

結(jié)論顯然，你只要把它們一次取完即勝.第66頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五（2）兩堆石子（2-1）兩堆石子數(shù)相同.此時(shí)，對方取走幾子，你就從另一堆中取走同樣多子，最后一顆石子必然屬于你.因此，留給對方“兩堆石子數(shù)相同”就是贏局.第67頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五（2）兩堆石子（2-2）兩堆石子數(shù)不同，你只要從較多石子的一堆中取走若干顆，使剩下的兩堆石子數(shù)相同即可.第68頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五（3）三堆石子（3-1）三堆石子中至少兩堆石子數(shù)相同.化歸：此時(shí)，把那堆可能不同的一次取走，轉(zhuǎn)化為

留給對方“兩堆石子數(shù)相同”，贏局.第69頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五（3-2）三堆石子數(shù)各不不同假設(shè)3堆石子數(shù)分別為m<n<k，記為（m，n，k）,關(guān)注m（極端原理）（3-2-1）m=1，（1，n，k）.起始情況（1，2，3）第70頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五起始情況（1，2，3）窮舉：對方取子后只有6種情況：（0，2，3），（1，0，3），（1，2，0）（1，1，3），（1，2，2），（1，2，1）化歸：前3種情況轉(zhuǎn)化為兩堆；后3種情況轉(zhuǎn)化為有兩堆石子數(shù)相同。都是贏局.第71頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五后續(xù)情況1.（1，2，k），k>3，先抓者勝.

化歸：將第三堆取剩3，轉(zhuǎn)化為（1，2，3）：后續(xù)情況2.（1，3，k），k>3，先抓者勝.

化歸：將第三堆取剩2，轉(zhuǎn)化為（1，3，2）后續(xù)情況3.（1，4，k），k>4，特例：（1，4，5），窮舉,后抓者勝.

結(jié)論：留給對方（1,2,3），（1,4,5），（1,6,7），（1,8,9）為贏局第72頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五三堆石子歸納猜想猜想：

留給對方（1,2m,2m+1）為贏局.證明.徹底解決：用二進(jìn)制，演繹推理（見第五章第三節(jié)）第73頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)的特點(diǎn)對人的影響3第74頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)的特點(diǎn)概念的抽象性推理的嚴(yán)密性結(jié)論的確定性應(yīng)用的廣泛性

75第75頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五1.概念的抽象性數(shù)學(xué)來自于實(shí)踐，其最本質(zhì)的東西是抽象，抽象是人類創(chuàng)造性思維最基本的特征。數(shù)學(xué)的概念、方法大多是通過對現(xiàn)實(shí)世界的事物對象及其關(guān)系，通過分析、類比、歸納，找出其共性與本質(zhì)特征而抽象得來的。76第76頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

抽象表現(xiàn)：全程起點(diǎn)：概念抽象；過程：推理嚴(yán)密；結(jié)論：確定；結(jié)果：應(yīng)用廣泛。

數(shù)學(xué)是用簡明而又嚴(yán)格的方式描述復(fù)雜現(xiàn)象。77第77頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五抽象的功能：找共性，抓本質(zhì)把表面復(fù)雜的東西變得簡單把表面混沌的東西變得有序把表面無關(guān)的東西得到統(tǒng)一78第78頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)抽象特色：在數(shù)學(xué)抽象中只保留了量的關(guān)系和空間形式，舍棄諸如色彩、品質(zhì)等因素；（比如：數(shù)、點(diǎn)、線等原始概念）數(shù)學(xué)抽象是一級一級逐步提高的，其抽象程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了其它學(xué)科的一般抽象；（比如：從點(diǎn)到線，到面，到體，到歐氏空間，再到一般的拓?fù)淇臻g等）數(shù)學(xué)本身幾乎完全周旋于抽象概念和它們的相互關(guān)系之中。79第79頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五抽象對數(shù)學(xué)教育的價(jià)值：受過良好數(shù)學(xué)教育的人，善于抓住事物的本質(zhì)，做事簡練、不拖泥帶水，具有統(tǒng)一處理一類問題的能力，具有創(chuàng)新的膽略和勇氣。80第80頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.推理的嚴(yán)密性

在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)每前進(jìn)一步，都離不開嚴(yán)密的邏輯推理。推理是從已知到未知的合乎邏輯的思維過程。從認(rèn)識(shí)論的角度來看，推理有三種：歸納推理類比推理演繹推理這也是數(shù)學(xué)的主要推理方法。81第81頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五演繹推理是從一般到特殊的推理。先有一個(gè)普遍規(guī)律，然后從這個(gè)規(guī)律導(dǎo)出特定事例的性質(zhì)。它可以通過對事物的某些已知屬性，按照嚴(yán)密的邏輯思維，推出事物的未知屬性。在數(shù)學(xué)演繹推理中分析必須細(xì)致，論證務(wù)求嚴(yán)謹(jǐn)，不允許用感知替代分析，用舉例充當(dāng)論證。82第82頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五歸納推理是從個(gè)體認(rèn)識(shí)群體，即從許多特例中總結(jié)出一般性的普遍規(guī)律，是從特殊到一般的推理。但完全歸納法是演繹推理。類比推理是