雙曲線中常用的結(jié)論及解法技巧教師版

第二講雙曲線中常用的結(jié)論及解法技巧【知識(shí)要點(diǎn)】一.雙曲線三大定義定義1.到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值（小于兩定點(diǎn)距離）為定值的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.幾何性質(zhì)：雙曲線上任一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為定值.定義2.到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一條定直線的距離之比為定值（大于1）的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.幾何性質(zhì)：雙曲線上任一點(diǎn)到左（右）焦點(diǎn)的距離與到左（右）準(zhǔn)線的距離之比為離心率e.定義3.到兩個(gè)定點(diǎn)的斜率之積為定值（大于0）的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.b2幾何性質(zhì)：雙曲線上任一點(diǎn)到左右（上下）兩頂點(diǎn)的斜率之積為一.a2二.雙曲線經(jīng)典結(jié)論匯總1.AB是雙曲線上-二=1（a>0,b>0）的不平行于對(duì)稱(chēng)軸的弦，M（%,j）為AB的中點(diǎn)，

a2b2 00b2b b2%則k?k=—，即k=0-.omABa2aba2y等價(jià)形式：A,A是雙曲線上-￡=1（a>0,b>0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)，B是雙曲12 a2b2b2線上其它任意一點(diǎn)，直線A1B,A2B的斜率存在，則kAB-kB=a_..雙曲線上-￡=1（a>0,b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F,F，點(diǎn)P為雙曲線上異于實(shí)軸端點(diǎn)a2b2 12,cl..…, 2b2的任意一點(diǎn)/勺PF2=9貝IJ⑴IPFIIPF21=1rosQ;⑵雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為9tan—2.過(guò)雙曲線J-g=1（>0,b>0）上任一點(diǎn)A（%0，y。）任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙b2%曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且k=-一（常數(shù)）.bc a2y.P為雙曲線上-￡=1（a>0,b>0）上任一點(diǎn)，F(xiàn),F為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn),a2b2 12則IAF21-2a<IPAI+1PFJ,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點(diǎn)共線且P和A,F2在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立..已知雙曲線上-￡=1（a>0,b>0）,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P,Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且a2b2八一八八 1 1 1 1 4a2b2TOC\o"1-5"\h\zOP,OQ,(1)77k+ =一一;(2)IOP|2+1OQ|2的最大值為 ；IOPI2IOQI2a2b2 b2—a2a2b2S 的最小值是^ .△OPQ b2—a26.雙曲線三—匕=1(a>0,b>0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為A(—a,0),A(a,0)，與y軸平行的直線a2b2 1 2x2y2 -交雙曲線于P,P時(shí)AP與AP交點(diǎn)的軌跡方程是一+y-=1.12 11 22 a2b2.雙曲線三—匕=1(a>0,b>0)的焦半徑公式：a2b2F(—c,0),F(c,0),當(dāng)M(x,y)在右支上時(shí)，IMFI=ex+a,IMFI=ex—a.當(dāng)M(x,y)在左支上時(shí)，IMFI=—ex+a,IMFI=—ex—a..若P(x,y)在雙曲線上—￡=1(a>0,b>0)內(nèi)，則被P所平分的中點(diǎn)弦的方程是0 0 0 2hl 0xx yy x2 y2—0———0—=—0———0-a2b2 a2b2則過(guò)P的弦中點(diǎn)的軌跡方程是09?若P0(x0,y。)在雙曲線5一￡=1(a>0,b>則過(guò)P的弦中點(diǎn)的軌跡方程是0x2 y2 xxyyTOC\o"1-5"\h\z—————=—0— 。一a2 b2 a2 b2.若P(x,y)在雙曲線上—￡=1(a>0,b>0)上，則過(guò)P的雙曲線的切線方程是000 a2b2 0xxyy10——0—=1.a2 b211.若P(x,y)在雙曲線上—￡=1(a>0,b>0)外，則過(guò)P作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為000 a2b2 0P,P，則切點(diǎn)弦PP的直線方程是空—芋=1.2 12 a2 b2.設(shè)雙曲線上—￡=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F,F,P(異于實(shí)軸端點(diǎn))為雙曲線上a2b2 12任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記/FPF2=a,/PFF2=P,/FF2P=,則有sina c =~=—=e.土(sin、一sinP)a.若P為雙曲線三—匕=1(a>0,b>0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)， F,F是焦點(diǎn)，a2b2 12/PFF=a,/PFF=P，則匚=tanacotP(或匕=tanPcot%).12 21 c+a2 2 c+a 2 214.設(shè)A,B是雙曲線上—￡=1(a>0,b>0)的實(shí)軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，a2b2/PAB=a,/PBA=P,/BPA=,c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有

2ab21cosa| 2a2b2(1)IPA1= ；(2)tanatanP=1-e2；(3)S= coty.Ia2一c2cos2yI "abb2+a2.過(guò)雙曲線8-2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，a2b2弦MN的垂直平分線交x軸于P，則黑1=e.IMNI2.已知雙曲線上-&=1(a>0,b>0),A,B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線a2b2a2+b2 a2+b2與x軸相交于點(diǎn)P(70),則x> 或x<- .0 0a0a.點(diǎn)P處的切線PT平分APFF在點(diǎn)P處的內(nèi)角.1218.過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P,Q,A1,A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M,A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MF±NF.【例題解析】【例1】設(shè)雙曲線上-^2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作與x軸垂直的直線/交a2b2兩漸近線于A,B兩點(diǎn)，與雙曲線的其中一個(gè)交點(diǎn)為P，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若2OP=mOA+nOB(m,neR)，且mn=9,則該雙曲線的離心率為( )A.B.3-v5

rC.3<2

A.B.3-v5

rC.3<2

~7~D.因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)F作與，軸垂亙的直線『交兩漸近線于4日兩點(diǎn)，與雙曲線的其中一個(gè)交點(diǎn)為尹，而點(diǎn)產(chǎn)為右焦點(diǎn)，所以TOC\o"1-5"\h\z.五g性)乃1明-把》,巴.3匕，所以將點(diǎn)的坐標(biāo)代a 口。入加="用十?而可得用+"=L又明”j,所以甩打的值分別為:二，再代入可以求得色匚三，解得雙曲線的離心率為a3a 4【例2】雙曲線C:=-￡=1的左、右頂點(diǎn)分別為A,A，點(diǎn)P在C上且直線PA的斜率4 3 12 2的取值范圍是[1,2]，那么直線PA斜率的取值范圍是()113 33 1 3A.[-,-] B.[-,-] C.[-,1] D.[-,1]24 84 2 4【答案】B

【例3】已知斜率為3的直線l與雙曲線C:上-2=1(a>0,b>0)交于A,B兩點(diǎn)，若點(diǎn)a2b2P(6,2)是AB的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率等于()A.<2 B.v3 C.2 D.2C2J-或=1.選A設(shè)啟G[,國(guó)事,比3則<； :序—妾=1"兩式相減，存舊】一町十色)_'?一/；；油+心123X4所以F—、y=0,得心=小，所以c=V2a，所以e=亭=■底.技選A.【例4】已知雙曲線C*-卷=1(>0，b>°)的左'右焦點(diǎn)分別為FF2，直線1過(guò)點(diǎn)F1且與雙曲線C的一條漸進(jìn)線垂直，直線1與兩條漸進(jìn)線分別交于M,N兩點(diǎn)，若INF、\=21MF1I,則雙曲線C的漸進(jìn)線方程為()y=±i：3y=±i：3%c十五y=± %2y=±v2%由E頁(yè)競(jìng)可得，因?yàn)锳R|=2|葡Fi.所以U為一VK的中點(diǎn)，又因?yàn)?01XFi.所以為三角形"\的邁丁玨上的中垂線一則上""H=ZA/O.V,因?yàn)檎?口后二上丁。弓，所以上1口心=上河。"三上尸IJ制叱所以雙曲線。的漸近線的斛率為網(wǎng)?產(chǎn)=向，即雙典穌r的漸近線方程為

【例5】設(shè)F為雙曲線C:二-二=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線依次與雙曲a2b2線C的左、右支交于點(diǎn)P,Q，若IFQ\=v3lPFI,/FPQ=600,則該雙曲線的離心率為()A.<3 B.1+<3 C.2+<3 D.3+2<3\FQ\=兩ZPFQ,-婚設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為呂，連接尸PFiQ.由對(duì)稱(chēng)性可知：FiFF。為矩形，目\PQ\=2\FF\=.F\F=2e,二PF=\QFj\--c,{FQ\=vicV\FQ-QF].|=V'3匚一心=c2 -理=一二: ?=、舟41【例6】已知雙曲線上-上=1(a>0,b>0)，若存在過(guò)右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于A,Ba2b2兩點(diǎn)，且AF=3BF，則雙曲線離心率的最小值為( )A.22A.22B.、回 C.2 D.2<2解由題意啟在雙曲線的左支上日在右支上.設(shè)川」％此}.可孫加〕,右焦點(diǎn)苴心0]J!l\AF=3法「，『一工1=3{e-J's),「3宏t—111=2仃■,Tl<-a,I±>ap.1；J.rs-■M>ki,7班..雙曲線離心率的最小值為2所以C選項(xiàng)是正確的.

【例7】已知直線y=kx(k*0)與雙曲線x2-二=1Q>0,b>0)交于A,B兩點(diǎn)，以AB為a2b2TOC\o"1-5"\h\z直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F,若△ABF的面積為4a2,則雙曲線的離心率為( )A.<2 B.<3 C.2 D.運(yùn)【答案】D【解析】由題意可得圖像如下圖所示：F'為雙曲線的左焦點(diǎn),AB為圓的直徑，.?./AFB=90。，根據(jù)雙曲線、圓的對(duì)稱(chēng)性可知：四邊形AFBF為矩形，，S =1S =S,△ABF2AFBF' △FBF'b2又S= =b2=4a2，可得c2=5a2，…e2=5ne=v5.故選D.△FBF'tan45。TOC\o"1-5"\h\z【例8】已知雙曲線x2-上=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F,F,O為雙曲線的中心,a2b2 12P是雙曲線右支上的點(diǎn)，APF1F2的內(nèi)切圓的圓心為I，且圓I與x軸相切于點(diǎn)A,過(guò)i作直線PI的垂線，垂足為B，若e為雙曲線的離心率，則( )A.IOB1=eIOAIB.IOA1=eIOBIC.IOA1=1OBI D.IOAI與1OBI關(guān)系不確定C［解析］設(shè)內(nèi)切與立線抨丁產(chǎn)段的切點(diǎn)分別為C,。,儕網(wǎng)的班線朝性質(zhì)可知小口=r*PDIJF.C1= =，所以I戶(hù)入*-I戶(hù)％I=IKCI \=MFtIrI乂陌I=2。,所以點(diǎn)力在雙曲蜴的右支上,且點(diǎn)才在非軸上，所以明%Q).即ItUl:①乂,為△尸3后的內(nèi)心,所以PI為L(zhǎng)F述后的角平分線.直線FJ為直線2月.尸片的對(duì)林抽，黛長(zhǎng)F的交戶(hù)位于點(diǎn)心劇&與E關(guān)于直線內(nèi)對(duì)稱(chēng)，所以IFFJwlFE「由承曲域的定義可知尸F(xiàn)/-尸Ri=IEF"-羽,又。,8分別為鳥(niǎo)嶼上述的中點(diǎn)，所以I陽(yáng)t壕上可知JQAI=【。卻，故選C.【例9】如圖，已知雙曲線x2-￡=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F,F,IFFI=4,a2b2 12 12P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)P與y軸交于點(diǎn)A,AAPq的內(nèi)切圓在PF1上的切點(diǎn)為。，若IPQI=1,則雙曲線的離心率是( )A.32%3<2

A.32%3<2如圖所示.記△」一口的內(nèi)切團(tuán)與a露?。坏牧硗鈨蓚€(gè)切點(diǎn)分別為富、工，則由三角形內(nèi)接圓的性質(zhì)可得：>1打1=|.i.v|,1H-V|=1Mqi，g二|P。卜父因?yàn)椤鱆Fi2是等腰三角形，所以|AF1|=M瑪>HI|F|Q|=|口用三|AFi|—UM三MG|!一|』A1=|EM.又|嚴(yán)川-|尸外|=U尸Q|4|QBD—〔門(mén)網(wǎng)I一|YP|）—|PQ|4-\yp\=2|PQ=2d,因?yàn)閈PQ\=I.所liU=L于是離心率「二=%故本題正確答案為亂【課堂練習(xí)】【1】如圖，F(xiàn),F是雙曲線上-匕=1（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線/與雙曲線12 a2b2 1的左、右兩支分別交于點(diǎn)AB的左、右兩支分別交于點(diǎn)AB.若AABF為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）2A.4 B.歷 C.2^3 D.v33試題分析:由雙曲^定義尋*=超一"=%,即a=距…，由余弦定理再（2r）2=（4口下+Qos）:-Sf4aJtJaJcQS]20* 7a'=>w=-^7【2】如圖，F(xiàn),F是雙曲線上-￡=1（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限,1 2 a2b2且滿(mǎn)足（胃+FF）?呼=0,I呼1=a，線段PF2與雙曲線交于點(diǎn)Q，若呼=5?,則雙曲線的漸近線方程為（）a,1A.ya,1A.y=±—x2B.,--5

y=±——x5C.y=±五x5可知，因?yàn)閽煨蔚膶?duì)角線提立垂9,所以四邊形「拈人.“為羽形，所送出心=F\P=ie.可知，因?yàn)閽煨蔚膶?duì)角線提立垂9,所以四邊形「拈人.“為羽形，所送出心=F\P=ie.又因?yàn)榭丛俨臷F-.F\=a.所閔同。|=:,因?yàn)?在尸中，由余弦定理得..所以死定13格,pi?i33戶(hù)寸j卜即V,整理得【3】已知F1,F2為雙曲線C：x2-j2=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，/F1PF廣600,則IPFJ-IPF2I等于( )A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B 由雙曲線的方程得a=1,c=也,由雙曲線的定義得||PF1MPF21=2.在^PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF22|2-2|PF1|-|PF221cos60°,即(2也)2=|PF#+|PF2|2-|PF1HPF2|=(|PF]|一|PF2|)2+|PF1HPF2|=22+|PF1|-|PF22|,解得|PFJ|PF2|=4.【4】已知雙曲線上-￡=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F,F，由F向雙曲線a2b2 12 2的一條漸近線作垂線，垂足為H，若A勺HF2的面積為b2，則雙曲線的漸近線方程為試懣分析；國(guó)為月向雙曲貓匚的一條新近城作垂線，垂足為丹.可得二。小二為直角三曲形，且口加占“，所以三角形面積為:心.又因?yàn)樽拿娣e為占"所以可得二。HE的面枳為2V.所以可得1她送*解得力=1所以漸近線方程為1=土-故答案TOC\o"1-5"\h\z為J= .【5】已知點(diǎn)P為雙曲線上-二=1(a>0,b>0)右支上一點(diǎn)，F(xiàn),F分別為雙曲線的左右焦a2b2 12點(diǎn)，且IFFI=b,I為APFF的內(nèi)心，若九S ='S +S成立，則九的值為12a 12 AIPF, AIPF、 AIF,F1 2 12

博力- r = = ； =—=e=2+1叫9黨網(wǎng)一夕喈產(chǎn)附卜附|x^【6】設(shè)雙曲線％2-匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為F,F，若點(diǎn)P在雙曲線上，且AFPF為銳3 1 2 1 2角三角形，則IPFJ+IPF\的取值范圍是.【7】已知點(diǎn)P為雙曲線上-￡■=1(a>0,b>0)右支上一點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為F，若直線PF的a2b2 2 2斜率為、3，M為線段PF2的中點(diǎn)，且IOF2I=IF2MI，則該雙曲線的離心率為.JY+1解析：由題意用：lOFiI=IF/L=明士"耳川^120。，,jomi?后5說(shuō)左焦點(diǎn)為F】.連接PF「則為也叫%的中位線尸.IPFJ=2點(diǎn)也又=小，由雙曲線定義，將IPFiI—FF”=北，(丹【課后作業(yè)】2j【1】雙曲線（：'':'」「心UJ的左右焦點(diǎn)分別為1尺，焦距八，以右頂點(diǎn)」a~b為圓心的圓與直線Lt u相切于點(diǎn)N,設(shè)/與。交點(diǎn)為F,g,若點(diǎn)N恰為T(mén)OC\o"1-5"\h\z線段的中點(diǎn)，則雙曲線（的離心率為（ ）A.J? B.七3 C."1 D.【答案】C【解析】由直線方程可得直線?l”過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，傾斜角為IC產(chǎn)，直線與圓相切，則：/,即.??一".是直角三角形，結(jié)合.尸一，丁，可得：A 2 2I'i”?門(mén)，聯(lián)立直線\3「r口與雙曲線1「 ‘ 」「。."山的方4 a~b程可得：：5 ”:'■”：:匕則：1 1 1 '、、，、 / 23b-a~據(jù)此有：'.，結(jié)合廠t小，整理可得：廠;”:4?！埃?，3b-a-據(jù)此可得關(guān)于離心率的方程：廠'■ ——L即：： 心?「雙曲線中；Ae=2.【2】（2019年全國(guó)2卷理數(shù)）設(shè)F為雙曲線C：——2=1（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐a2b2標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓元2+y2=a2交于P,Q兩點(diǎn).若|PQ=OF,則C的離心率為（）A.<2 B.<3 C.2 D.<5【答案】A解析：設(shè)pQ與1軸交于點(diǎn)A，由對(duì)稱(chēng)性可知pQ1元軸，又|pQ|=1OF1=*.?」PA1=I，.二PA為以of為直徑的圓的半徑，乙—2—2TOC\o"1-5"\h\z，又p點(diǎn)在圓12+y2=a2上，..下+:~=a2，即4 4—2 —2—=a2,「.e2=—=2.「.e=22，故選A.2 a2

的兩條漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)，若以勺勺為直徑的圓過(guò)點(diǎn)B,且A為FB的中點(diǎn)，則C的離心率為（B）A.\3+1 B.2 C.,3 D.-<2x2 Y2【4】設(shè)雙曲線C：——1=1（?！?,b>0）的左焦點(diǎn)為F，直線4x—3y+20=0過(guò)點(diǎn)Fa2b2且與C在第二象限的交點(diǎn)為P,O為原點(diǎn)，OP|=|OF|,則雙曲線C的離心率為（A）A.5【5】設(shè)FA.5【5】設(shè)Fi,5C.一3—y2=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),b25D..4P是C上一點(diǎn)，若|PFj+|PF2I=6a，且△PFiF2的最小內(nèi)角為30|PFj+|PF2I=6a【答案】C【解析】因?yàn)镕1,F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足|pfJ+|PF2|=6a，不妨設(shè)P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，由雙曲線的定義可知|尸甲-1PF2|=2a,所以FF2I=2c,|pf|=4a,PfJ=2a,a<c,??.PfJ<F1F21,???PfJ為△PF1F2最小邊，:::△PF1F2的最小內(nèi)角ZPFF2=30。，根據(jù)余弦定理，|pf|2=|ffI2+|pf|2—2|ff||pf|coszpff,2 12 1 12 1 123即4a2=4c2+16a2—2x2cx4ax—,2二.c2—2V3ca+3a2=0,/.c=33a，所以e=—=<3，故選C.a【6】如圖所示,已知雙曲線2—2=1Q>b>0)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線【6】如圖所示,已知雙曲線2—2=1Q>b>0)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線I交雙曲線的漸近線于A,B兩點(diǎn)，且直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，若AF=2FB,則該雙曲線的離心率為(3<2A丁2<3B<30C.~5~思路：本題沒(méi)有焦半徑的條件，考慮利用點(diǎn)的坐標(biāo)求解，則將所涉及的點(diǎn)坐標(biāo)盡力肺,b,c表示，再尋找一個(gè)等量關(guān)系解出a,b,c的關(guān)系。雙曲線的漸近線方程為y-±bx,由直線l的傾a斜角是漸近線0A傾斜角的2倍可得：2bk0A; b2- a2ab?y二—a2-b22ab F,確定直線1的方程為(x-c),與漸近線聯(lián)立方程得2a(x-c)a2-b2 2abcny—— .b 3a2-b2±—a將AF=2FB轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)語(yǔ)言，則2abcory- a2+b2L2yB，2abc即E2abc -,nr，解得a:b:c=\3:1:2,從而e=—<3^3⑺已知F是雙曲線a—七=(>°力>0)的左焦點(diǎn)，e⑺已知F是雙曲線a—七=(>°力>0)的左焦點(diǎn)，e是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且垂直于元軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)，若AABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為A.(1,+8)B.)(1,2)Y,1+V,1+思路：從圖中可觀察到若AABE為銳角三角形，只需要/思路：從圖中可觀察到若AABE為銳角三角形，只需要/AEB為銳角。由對(duì)稱(chēng)性可得只需「八兀\/AEFg0,-即可。且AF,FE均可用a,I4b,c表示，|AF|是通徑的一半，得:人kb2

AF|二-,a12FE=a+c,所以tanAEFAF\Z72 c2—02 c-aFE=a+c,所以tanAEF——?二 1<1n—f 1<1n <l^>e<2,FEa\a+c)a\a+c)a即￡￡（1,2）答案：B（2）本題還可以從直線AS的斜率入手，石（q,0）,a1-g生］,利用右一（T0）即可求a AEVu7出離心率［8］雙曲線c：上—?=13＞。］＞。）的離心率e=一右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)A是雙曲線。2h2 3c的一條漸近線上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn),ZAOFc的一條漸近線上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn),ZAOF=/OAF,△A°尸的面積為3折，則雙曲線C的方程為（）12 )2A.3612 )2A.36-12=1元2 V2B.————1186C.尢2D.丁W=1【答案】C【解析】由點(diǎn)A所在的漸近線為bx-ay=o,三個(gè)該漸近線的傾斜角為。,則btana=—a,ZA0F=Z0AF,所以直線A尸的傾斜角為2atan2a2tanalab1-tan2a以一枚labtan2a2tanalab1-tan2a以一枚labQ2-b2，2q22ab'與區(qū)一"二°聯(lián)立解得I[2+/72_4[2+/72_4Q23/.S—_xcx_ab—3>/3△a"2c ,因?yàn)殡p曲線的離心率b_1Q小,與帥=3若聯(lián)立得4=3,b=0故雙曲線的方程為三一苔=1.故選C.【9】已知雙曲線占若=1（。4＜2）與，軸交為8兩點(diǎn),點(diǎn)。（。，“貝3。面積的最大值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】A【解析】由雙曲線方程可得A【解析】由雙曲線方程可得A1。4—b2,0）,B4-b2,o）所以AABC的面積因?yàn)?<b<2，所以'；4-b2>0，則4--b4--b2■b=q（4-b2）b2<（4—b2）+b2 二2當(dāng)且僅當(dāng)4—b2=b2，即b=22時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)^ABC的面積S<2，即三角形^ABC面積的最大值為2，故選A.【10】雙曲線三—:=1Q>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，以F為圓心，過(guò)點(diǎn)Aa2b2的圓交雙曲線的一條漸近線于P，Q兩點(diǎn)，若PQ不小于雙曲線的虛軸長(zhǎng)，則雙曲線的離心率的取值范圍為()A.(1,2] B.(1,6] C.(1R D,b,+s)【答案】C【解析】由題設(shè)r=a+c，圓心到漸近線的距離d=b，故I尸。1=2式a+c)2—b2，由題意2Ka+c)2—b2>2b，即(a+c)2>2(c2—a2)，也即a+c>2c—2a，解之得1<e<3,故應(yīng)選C.x2y2【11】已知雙曲線行—2-=1的右焦點(diǎn)為F,若過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一JL乙I個(gè)交點(diǎn)，則此直線斜率的取值范圍是( )A1冬去] B(—瓜.)。卜中書(shū) "[-瓜4]思路：由x2號(hào)=1可得漸近線方程為：y二土三x，若過(guò)右焦點(diǎn)的直線與右支只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率的絕對(duì)值小于或等于漸近線斜率的絕對(duì)值，即k<