定積分及不定積分

本文格式為Word版，下載可任意編輯——定積分及不定積分第三章定積分及其應(yīng)用

§3-1定積分的概念

一、變速直線運(yùn)動的路程

例1設(shè)某物體作變速直線運(yùn)動，其速度v?v(t)是時間段[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，求物體在該時間段內(nèi)所經(jīng)過的路程S.

解由于物體的運(yùn)動速度不是常量，故不能直接按勻速直線運(yùn)動的路公式s?vt來計算路程。但我們可以先設(shè)法求出路程的近似值，再通過極限迫近確切值。

我們先將時間[a,b]等分為n小段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3],?,

[tn?1,tn],其中t0?a,tn?b，每個小時間段的跨度?t?b?a，我們n在時間段的左端點(diǎn)t0,t1,t2,?,tn?1讀取速度v,由于分段較密，可以認(rèn)為每個時間段內(nèi)速度近似不變，這樣第i段內(nèi)的路程可以近似表示為

?Si?v(ti?1)??t（i?1,2,?,n)。圖3-1（需修改）

將n個小段時間上的路程相加，就得總路程S的近似值，即S???S??v(tii?1i?1nni?1)??t

當(dāng)n??時，上述路程迫近物體運(yùn)動總路程S的確切值，即S?limn?0?v(ti?1ni?1)??t

注1由于速度函數(shù)v?v(t)是連續(xù)的，可以證明，當(dāng)我們將時間段任意分割成若干小段且在每一小時間段內(nèi)任選一個時間節(jié)點(diǎn)來讀取速度，上述和式的極限是相等的。

注2上述變速直線運(yùn)動路程計算也可理解為由曲線v?v(t)?0,v?0,t?a,t?b所圍成曲邊梯形的面積。

二、定積分的概念

定義1設(shè)f(x)?0是定義在區(qū)間[a,b]上的有界函數(shù)，將區(qū)間[a,b]任意分割成n個小區(qū)間

[x0,x1],[x1,x2][x2,x3],?,[xn?1,xn],其中x0?a,xn?b。記?xi?xi?xi?1，在小區(qū)間[xi?1,xi]上任取一點(diǎn)?i(i?1,2,?,n)，令??max??xi?，假使lim??0?f(?)?x存在，則稱其極限值為f(x)ii?1n52

從a到b的定積分，記作

?f(?)?x?f(x)dx?lim?a?0ii?1bn其中“

?〞稱為積分符號，a稱為積分下限，b稱為積分上限，[a,b]稱為積分區(qū)間，f(x)稱

為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，dx稱為積分微元。

根據(jù)定積分的定義，例1變速直線運(yùn)動的路程S可表示為

S??v(t)dt?lim?v(?i)?t，

an??i?1bn關(guān)于定積分的定義，需說明以下幾點(diǎn)：

（1）定積分與被積函數(shù)f(x)及積分區(qū)間[a,b]有關(guān)，而與積分變量的記號無關(guān)，即

?（2）規(guī)定

baf(x)dx??f(t)dt??f(u)du

aabb?aaf(x)dx?0，

?abf(x)dx???f(x)dx

ab（3）若f(x)在[a,b]上連續(xù)或只有有限個第一類休止點(diǎn)，則f(x)在[a,b]上可積.三、定積分的幾何意義

從前面的探討中已經(jīng)知道，若在[a,b]上f(x)?0，則定積分

?baf(x)dx表示由曲線y?f(x)、

直線x?a、x?b以及x軸所圍成的圖形的面積（圖3-1a）.若在[a,b]上f(x)?0，由定積分

b的定義，有

?f(x)dx??A

a（a）

圖3-1

（b）

若在[a,b]上，f(x)有正有負(fù)，則由曲線

y?f(x)、直線x?a、x?b以及x軸所圍成的平面

圖形，既有在x軸上方，又有在x軸下方，這時，定積分

?baf(x)dx表示[a,b]上各個曲邊梯形面積的代數(shù)和.

（圖3-2）。

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?baf(x)dx?A1?A2?A3圖3-2

例2試用定積分表示由直線y?x?1，x?0，x?3以及x軸所圍成的平面圖形的面積A.

解由圖3-3可知

A???(x?1)dx??(x?1)dx

0113圖3-3四、定積分的性質(zhì)

設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)在[a,b]上可積，則有以下性質(zhì).

bb性質(zhì)1

?abkf(x)dx?k?fx(dx)（k為常數(shù)）

a性質(zhì)2

?a[f(x)?g(x)]d?x?baf(x)?d?xbag(x)dx此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)代數(shù)和的情形性質(zhì)3對任意三個實(shí)數(shù)a,b,c，總有

?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accb

當(dāng)點(diǎn)c位于區(qū)間[a,b]之外時，可以證明此性質(zhì)依舊成立.圖3-4

性質(zhì)4假使在[a,b]上f(x)?1，則

?1dx?b?a

ab性質(zhì)5假使在區(qū)間[a,b]上恒有f(x)?g(x)，則

ee2?baf(x)dx??g(x)dx

ab例3比較lnxdx與lnxdx

11??9e29e2解由于在區(qū)間[1,e]上，0?lnx?1，lnx?lnx，所以lnxdx?ln9xdx

?1?1性質(zhì)6（估值定理）設(shè)M與m分別是函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值與最小值，則

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m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)

a2b例4估計定積分edx值的所在范圍.

12?x解由于在區(qū)間[1,2]上，e?e?e，所以e?x2x2edx?e?1性質(zhì)7（積分中值定理）假使函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上至少存在一點(diǎn)?，使得下式成立：

?baf(x)dx?f(?)(b?a)(a???b)

積分中值定理的幾何解釋是：設(shè)f(x)?0，則在區(qū)間[a,b]上至少存在一點(diǎn)?，使得以[a,b]為底，f(?)為高的矩形面積正好等于區(qū)間[a,b]上以f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積（圖3-5）.

f(?)?b1f(x)dx稱為f(x)在區(qū)間[a,b]上的平均值.?ab?a圖3-5（需修改）

習(xí)題3-1

1．用定積分表示由曲線y?x,y?0,x?2所圍成的平面圖形的面積A.2．利用定積分的幾何意義說明以下等式成立

42（1）xdx?8（2）

0??101?x2dx??4

3．利用定積分的性質(zhì)比較以下各組定積分值的大小

（1）

?10xdx與?x2dx（2）?lnxdx與?ln3xdx

0331664．估計以下定積分的值

（1）

?120(1?x)dx（2）?1?x4dx

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§3-2不定積分

一、不定積分的概念

例1曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率為k?2x，且經(jīng)過點(diǎn)P(1,3)，求此曲線方程。解設(shè)所求曲線方程為y?F(x)，由題意知k?F'(x)?2x由于(x2?C)'?2x(C為任意常數(shù))，故可得曲線方程為y?x2?c將條件P(1,3)代入，得y?x?2

定義1設(shè)函數(shù)f(x)是已知函數(shù)，假使存在函數(shù)F(x)，滿足F?(x)?f(x)，則稱函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，稱F(x)?C為f(x)的不定積分，記作

2?f(x)dx，即

?f(x)dx?F(x)?C

其中，“

?〞稱為積分符號，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，C

稱為積分常數(shù)。

求函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，就是對求導(dǎo)作一個逆運(yùn)算，求函數(shù)f(x)的不定積分，就是求函數(shù)

f(x)的全體原函數(shù)。

定理1若函數(shù)f(x)有二個原函數(shù)F(x)、G(x)，則

F(x)?G(x)?C

例2求以下函數(shù)的不定積分

2（1）f(x)?cosx；（2）f(x)?3x

解（1）由于(sinx)??cosx，s