解線性方程組的直接解法

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一、試驗(yàn)?zāi)康募耙?/p>

關(guān)于線性方程組的數(shù)值解法一般分為兩大類：直接法與迭代法。直接法是在沒有舍入誤差的狀況下，通過有限步運(yùn)算來求方程組解的方法。通過本次試驗(yàn)的學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)把握各種直接法，如：高斯列主元消去法，LU分解法和平方根法等算法的基本思想和原理，了解它們各自的優(yōu)缺點(diǎn)及適用范圍。二、相關(guān)理論知識(shí)

求解線性方程組的直接方法有以下幾種：1、利用左除運(yùn)算符直接求解

線性方程組為Ax?b，則輸入x?A\\b即可。2、列主元的高斯消元法程序流程圖：

輸入系數(shù)矩陣A，向量b，輸出線性方程組的解x。

根據(jù)矩陣的秩判斷是否有解，若無解中止；否則，順序進(jìn)行；對(duì)于p?1:n?1

選擇第p列中最大元，并且交換行；消元計(jì)算；

回代求解。（此部分可以參看課本第150頁相關(guān)算法）3、利用矩陣的分解求解線性方程組（1）LU分解

調(diào)用matlab中的函數(shù)lu即可，調(diào)用格式如下：

[L,U]=lu（A）

注意：L往往不是一個(gè)下三角，但是可以經(jīng)過行的變換化為單位下三

角。

（2）平方根法

調(diào)用matlab中的函數(shù)chol即可，調(diào)用格式如下：

R=chol（A）

輸出的是一個(gè)上三角矩陣R，使得A?RTR。

三、研究、解答以下問題

問題1、先將矩陣A進(jìn)行楚列斯基分解，然后解方程組Ax?b(即利用平方根

法求解線性方程組，直接調(diào)用函數(shù))：

1??12?32?6??????323?7?33????，A??b????2?799?6?16?????1?3?619??7?????解答：程序：

A=[12-321;-323-7-3;2-799-6;1-3-619];R=chol(A)b=[63-167]';y=inv(R')*b%y=R'\\bx=inv(R)*y%x=R\\y

結(jié)果：

R=3.4641-0.86600.57740.288704.7170-1.3780-0.5830009.8371-0.70850004.2514y=1.73210.9540-1.59451.3940x=0.54630.2023-0.13850.3279

問題2、先將矩陣A進(jìn)行LU分解，然后解方程組Ax?b（直接調(diào)用函數(shù)）：

3?1?276?4?31?30?7?3A??560?13??2165?78?23765162???5?????89??，b???13???15???81???2??5??2?3??51?5??71?解答：程序：

A=[1/3-2763/45;31/sqrt(3)0-789;560-1313;2165-7815;2376516281];

b=[2/sqrt(5);-2;3;51;5/sqrt(71)];[L,U]=lu(A)y=inv(L)*bx=inv(U)*y

結(jié)果：

L=0.0060-0.02631.0000000.05360.0076-0.00440.17471.00001.000000000.37500.8553-0.65401.000000.41071.0000000U=56.00000-1.00003.000013.0000076.000051.410760.767975.66070077.35892.33136.9137000-43.5728-50.0631000096.5050y=3.0000-0.63880.859850.9836-11.0590x=0.13670.90040.0526-1.0384-0.1146

問題3、利用列主元的高斯消去法，求解以下方程組：??x1?20x2?x3?0.001x4?0??2x1?5x2?30x3?0.1x4?1?5x1?x2?100x3?10x4?0??2x1?100x2?x3?x4?0解答：

程序：

function[RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)B=[Ab];n=length(b);RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;ifzhica>0

disp('??×￠òa￡oRA~=RB￡??ùò?′?·?3ì×é?T?a?￡')returnend

ifRA==RBifRA==n

disp('??×￠òa￡oòò?aRA=RB=n,?ùò?′?·?3ì×éóD?¨ò??a?￡')X=zeros(n,1);C=zeros(1,n+1);forp=1:n-1

[Y,j]=max(abs(B(p:n,p)));C=B(p,:);fork=p+1:nm=B(k,p)/B(p,p);B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1)endend

b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n);forq=n-1:-1:1

X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelse

disp('??×￠òa￡oòò?aRA=RB?′n￡??ùò?′?·?3ìóD?T???à?a?￡')endend

鍵入

A=[120-10.0012-530-0.151-100-102-100-11];b=[0;1;0;0];

[RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)

結(jié)果：

請(qǐng)注意：由于RA=RB=n,所以此方程組有唯一解。

B=1.000020.0000-1.00000.001000-45.000032.0000-0.10201.00005.00001.0000-100.0000-10.000002.0000-100.0000-1.00001.00000B=1.000020.0000-1.00000.001000-45.000032.0000-0.10201.00000-99.0000-95.0000-10.005002.0000-100.0000-1.00001.00000B=1.000020.0000-1.00000.001000-45.000032.0000-0.10201.00000-99.0000-95.0000-10.005000-140.00001.00000.99800B=1.000020.0000-1.00000.001000-45.000032.0000-0.10201.000000.0000-165.4000-9.7806-2.20000-140.00001.00000.99800

B=1.000020.0000-1.00000.001000-45.000032.0000-0.10201.000000.0000-165.4000-9.7806-2.200000-98.55561.3153-3.1111B=1.000020.0000-1.00000.001000-45.000032.0000-0.10201.000000.0000-165.4000-9.7806-2.20000007.1432-1.8002RA=4RB=4n=4

X=0.0604-0.00160.0282-0.2520

請(qǐng)注意：由于RA=RB=n,所以此方程組有唯一解。

B=1.000020.0000-1.00000.001000-45.000032.0000-0.10201.00005.00001.0000-100.0000-10.000002.0000-100.0000-1.00001.00000B=1.000020.0000-1.00000.001000-45.000032.0000-0.10201.00000-99.0000-95.0000-10.005002.0000-100.0000-1.00001.00000B=1.000020.0000-1.00000.001000-45.000032.0000-0.10201.00000-99.0000-95.0000-10.005000-140.00001.00000.99800B=1.000020.0000-1.00000.001000-45.000032.0000-0.10201.000000.0000-165.4000-9.7806-2.20000-140.00001.00000.99800B=1.000020.0000-1.00000.001000-45.000032.0000-0.10201.000000.0000-165.4000-9.7806-2.200000-98.55561.3153-3.1111B=1.000020.0000-1.00000.001000-45.000032.0000-0.10201.0000