孟生旺《金融數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》2015版課件（4）收益率

1收益率

YieldRate孟生旺中國人民大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院/mengshw2主要內(nèi)容收益率與凈現(xiàn)值幣值加權(quán)收益率時間加權(quán)收益率再投資與修正收益率收益分配投資組合法投資年度法3

問題：已知一個項目的現(xiàn)金流，如何評價其收益的高低？方法一：凈現(xiàn)值法（netpresentvalue，NPV）凈現(xiàn)值大于零，表示項目可行。凈現(xiàn)值越大，表示收益越高。收益率的定義4方法二：收益率法收益率（yieldrate）：使得資金流入的現(xiàn)值與資金流出的現(xiàn)值相等時的利率。也稱為內(nèi)部報酬率（internalrateofreturn，IRR）資金流入的現(xiàn)值與資金流出的現(xiàn)值之差就是凈現(xiàn)值，所以收益率也是使得凈現(xiàn)值等于零的利率：收益率越高，表示項目的投資價值越高。5例:

如果期初投資20萬元，可以在今后的5年內(nèi)每年末獲得5萬元的收入。

假設(shè)投資者A的資金成本為5%，投資者B的資金成本為10%。

請通過凈現(xiàn)值法和收益率法分別分析投資者A和投資者B的投資決策。解：（1）該項目的凈現(xiàn)值為注：NPV函數(shù)中不含0點的現(xiàn)金流，需要單獨加上。6（2）令凈現(xiàn)值等于零，即可以計算出該項目的收益率為7.93%，大于A的資金成本（5%），可行小于B的資金成本（10%），不可行7ProjectPrequiresaninvestmentof4000attime0.Theinvestmentpays1000attime1and4000attime2.ProjectQrequiresaninvestmentofxattime2.Theinvestmentpays2000attime0and4000attime1.Thenetpresentvaluesofthetwoprojectsareequalataninterestrateof10%.CalculatetheyieldrateofprojectQ.

Examplet012P-400010004000Q20004000-x8Solution:

f=

function(x){

v=

1.1^(-1)

-4000+

1000*

v+

4000*

v^2-

2000-

4000*

v+

x*

v^2

}

x0=

uniroot(f,c(0,10000))$root

x0##[1]6560f2=

function(i){

v=

1/(1+

i)

2000+

4000*

v-

x0*

v^2

}

uniroot(f2,c(0,1))$root##[1]0.06889例（不存在）：，求收益率。解:凈現(xiàn)值為由于，方程無實數(shù)解，不存在收益率（見下頁圖示）。收益率的唯一性10i=seq(-0.1,1,0.001)v=(1+i)^(-1)NPV=-100+230*v-133*v^2plot(i,NPV,type='l',col=2,ylim=c(-10,5),lwd=2,xlab='利率',ylab='凈現(xiàn)值',main='收益率不存在')abline(h=0,col=3,lty=2)11Example（不唯一）：Consideratransactioninwhichapersonmakespaymentsof$100immediatelyand$132attheendoftwoyearsinexchangeforapaymentinreturnof$230attheendofoneyear.解：價值方程為

10013223012要求10%以下的收益率，不可行。要求10%~20%的收益率，可行！要求20%以上的收益率，不可行。多重收益率下的凈現(xiàn)值：不可行可行不可行13

收益率唯一性的條件準(zhǔn)則一：資金凈流入只改變過一次符號。準(zhǔn)則二：用收益率計算資金凈流入的累積值，始終為負(fù)，直至最后一年末才等于零。14######多重收益率條件下的資金凈流入net及其累積值cum例：多重收益率（續(xù)前例）tOutInnetcum01000-100-10010230230109.121320-1320t=

0:2

Out=

c(100,0,132)#流出

In=

c(0,230,0)

#流入

net=

In-

Out

#凈流入

i=

0.1

#多重收益率

cum=

round(cumsum(net*

(1+

i)^(-t)),2)#凈流入的累積值

pander::pander(cbind(t,Out,In,net,cum))15>######多重收益率條件下的資金凈流入net及其累積值cumt=

0:2

Out=

c(100,0,132)

#流出

In=

c(0,230,0)

#流入

net=

In-

Out

#凈流入

i=

0.2

#多重收益率

cum=

round(cumsum(net*

(1+

i)^(-t)),2)#凈流入的累積值

pander::pander(cbind(t,Out,In,net,cum))tOutInnetcum01000-100-1001023023091.6721320-132016年度資金流出資金流入資金凈流入Rt資金凈流入的累積值010-10–10.0011-1–10.912143–8.433143–6.174143–4.125143–2.266440合計15205例：收益率是唯一的（計算過程見下頁）17tfoutfinnetcum0100-10-10110-1-10.912143-8.4293143-6.1744143-4.1235143-2.25960440.001t=

0:6

fout=

c(10,rep(1,5),0)#流出

fin=

c(0,0,rep(4,5))

#流入

net=

fin-

fout

#凈流入

f=

function(i){

v=

1/(1+

i)

sum(net*

v^t)

}

i=

uniroot(f,c(0,1))$root

i#收益率##[1]0.0998cum=

round(cumsum(net*

(1+

i)^(-t)),3)#凈流入的累積值

pander::pander(cbind(t,fout,fin,net,cum))18

基金的收益率：

基金的利息度量(Interestmeasurementofafund)幣值加權(quán)收益率(dollar-weightedyieldrate)：度量投資者的業(yè)績時間加權(quán)收益率(time-weightedyieldrate)：度量基金經(jīng)理人的業(yè)績19幣值加權(quán)收益率：精確計算假設(shè)：期初的本金為A0，在時刻t的新增投資為Ct，投資收益率為i，在期末的累積值可表示為（僅考慮一個時期）

用A1表示期末的累積值，則有注：Ct>0表示增加投資；Ct<0表示減少投資。由此可求得收益率i20幣值加權(quán)收益率：近似計算對于不足一個時期的新增投資，用單利近似復(fù)利:21對近似公式的解釋：（1）分母是加權(quán)計算的本金余額，以本金產(chǎn)生利息的時間長度為權(quán)數(shù)。（2）如果假設(shè)新增投資發(fā)生在期中，即

t

=0.5，則注：分母上是期初本金與期末本金的平均值Example:Atthebeginningoftheyear,aninvestmentfundwasestablishedwithaninitialdepositof1000.Anewdepositof1000wasmadeattheendof4months.Withdrawalsof200and500weremadeattheendof6monthsand8months,respectively.Theamountinthefundattheendoftheyearis1500.Calculatethedollar-weightedyieldrateearnedbythefundduringtheyear.1000100020050015004/126/128/1223解：年初本金A0：1000新增投資Ct：1000，－200，－500新增合計：C

=

300年末累積值A(chǔ)1：1500當(dāng)年利息：I

=

A1－A0－C=1500－1000－300=2001000100020050015004/126/128/12精確計算？精確計算結(jié)果14.33%，誤差大約為0.4%f=

function(i){

1000*

(1+

i)+

1000*

(1+

i)^(8/12)-

200*

(1+

i)^(6/12)-

500*

(1+

i)^(4/12)-

1500

}

uniroot(f,c(0,1))$root##[1]0.1433241000100020050015004/126/128/1225時間加權(quán)收益率（time-weightedratesofinterest）幣值加權(quán)收益率：受本金增減變化的影響。而本金的增減由投資者決定?？梢院饬客顿Y者的收益，但不能衡量經(jīng)理人的業(yè)績。時間加權(quán)收益率：扣除了本金增減變化的影響后所計算的收益率。衡量經(jīng)理人的業(yè)績。26set.seed(111)x=seq(0,1,0.05)y=50+x*12+rnorm(length(x),0,2)plot(x,y,type='o',xlab="時間",ylab='股價',col=2,pch=16)27時間加權(quán)收益率（i）的一般公式：期初的本金為

A(0)在第k個時間區(qū)間末的累積值為Ak新增投資為

Ck（k=1,2,…,n）在年末

的累積值為

A(1)28A(0)A1A2A3C1C2C3累積值新增投資A1+C1A2+C2A3+C3收益率AnCnAn+CnA(1)………僅考慮1年的情形，T=129Example:OnJanuary1aninvestmentaccountisworth$100,000.OnMay1thevaluehasincreasedto$112,000and$30,000ofnewprincipalisdeposited.OnNovember1thevaluehasdeclinedto$125,000and$42,000iswithdrawn.OnJanuary1ofthefollowingyeartheinvestmentaccountisagainworth$100,000.Computetheyieldrateby:(1)thedollar-weightedmethod;(2)thetime-weightedmethod.30解：（1）幣值加權(quán)收益率由A1＝A0＋C＋I(xiàn)有100000＝100000+(30000

42000)

+

II=12000故31（2）時間加權(quán)收益率問題：兩種收益率差距為何這么大？10.62%與18.79%(1.12)(0.88)(1.20)1.120.881.20Example:1000isdepositedintoafundonJanuary1,2013.AnotherdepositismadeintothefundonJuly1,2013.OnJanuary1,2014,thebalanceinthefundis2000.Thetime-weightedyieldrateis10%andthedollar-weightedyieldrateis9%.Calculatetheannualeffectiveinterestrateearnedonthefundduringthefirstsixmonthof2013.1000A0.5C0.52000？33解：幣值加權(quán)收益率時間加權(quán)收益率故1000A0.5C0.5200034Exercise:Youaregiventhefollowinginformationabouttheactivityintwodifferentinvestmentaccounts:35AccountLDateFundvaluebeforeactivityActivityDepositWithdrawalJanuary1,20013100.0July1,2013125.0xDecember31,20013105.8During2013,thedollar-weightedreturnforinvestmentaccountKequalsthetime-weightedreturnforinvestmentaccountL,whichequalsi.Calculatei.AccountKDateFundvaluebeforeactivityActivityDepositWithdrawalJanuary1,2013100.0July1,2013125.0xOctober1,2013

110.02xDecember31,2013

125.036AmountofinterestI=125–100–2x+x=25–xForaccountL:Sox=10i=15%ForaccountK:37再投資與修正收益率再投資：前期投資的收入按新的利率再次進(jìn)行投資。例：考慮兩種可選的投資項目A）投資5年，每年的利率為9％B）投資10年，每年的利率為8％如果兩種投資在10年期間的收益無差異，項目A在5年后的再投資收益率應(yīng)為多少？38例：有一筆1000萬元的貸款，期限為10年，年實際利率為9%，有下面三種還款方式：本金和利息在第10年末一次還清；每年末償還當(dāng)年的利息，本金在第10年末歸還。在10年內(nèi)每年末償還相同的金額。假設(shè)償還給銀行的款項可按7％的利率再投資，請比較在這三種還款方式下銀行的年收益率。39解:（1）無需再投資，收益率為i＝9％（2）所有付款在第10年末的累積值為價值方程：（3）所有付款在第10年末的累積值為

價值方程：40ExerciseMaryinvests1000attheendofeachyearfor5yearsatanannualeffectiverateof9%,andreinveststheinterestatanannualeffectiverateof9%.Attheendof5years,herinvestmenthasvalueofX.Johninvests1000atthebeginningofeachyearfor5yearsatanannualeffectiverateof10%andreinveststheinterestatanannualeffectiverateof8%.

Attheendof5years,hisinvestmenthasvalueY.CalculateY?X

andyieldrateofJohn’sinvestment.41Solution:Thefuturevalueattime5ofMary’sinvestmentsis42yieldrateofJohn’sinvestment:Hence,theinterestpaymentsJohngetsare:Theaccumulationoftheseinterestpaymentsattime5is:ThetotalaccumulationofJohn’sinvestmentsis6669.91.43Exercise:Attimet=0,Johninvests2000inafundearningannualeffectiverateof8%.Hereinvestseachinterestpaymentinindividualseparatefundseachearning

annualeffectiverateof9%.Theinterestpaymentsfromtheseparatefundsareaccumulatedinasidefundthatguaranteesanannualeffectiverateof7%.Determinethetotalvalueofallfundsatt=10.44時間0123

91010年末的累積值fund2000

2000separatefunds

160

160

160

…

160

160160*10

sidefund

160*9%2*160*9%

9*160*9%160*9%*(Is)945Solution:Theinterestearnedeachyearis(2000)(0.08)=160.Theinterestobtainedfrom160investedataneffectiveannualrateof9%is(160)(0.09)=15.4.So,thecashflowgoingintotheaccountpayinganannualeffectiverateof7%istime0123…10contributions0015.42(15.4)…9(15.4)46ThefuturevalueofthiscashflowisThetotalvalueofallfundsis

2000+(10)(160)+839.62

=4439.6247修正收益率:如果再投資的利率與籌集資金的利率不同時，則評價項目應(yīng)該使用修正收益率（modifiedrateofinternalrate）。在計算修正收益率時，對資金流出使用籌資的利率計算其現(xiàn)值，而對資金流入使用再投資的利率計算其累積值。48例：投資者以8%的利率借入資金進(jìn)行投資，在時點0的投資額為10000元，在第2年末的投資額為11550元。在第1年末獲得了21500元的收益。投資者對收益進(jìn)行再投資的利率為5%。請計算該項投資的修正收益率?！窘狻炕I資利率為8%，資金流出的現(xiàn)值為

投資收入以5%的利率再投資，故在第2年末的累積值為令修正收益率為i，則有計算修正收益率的EXCEL函數(shù)：=MIRR({-10000,21500,-11550},8%,5%)49Exercise（課外）:Paymentsof1000areinvestedattheendofeachyearfor5years.Thepaymentsearninterestatanannualeffectiverateof10%.Theinterestcanbereinvestedatanannualeffectiverateof6%inthefirst4yearsandatanannualeffectiverateof

k

thereafter.Theamountinthefundattheendof5yearsis6090.Calculatek.50Solution:k=10.51%Hence,theinterestpaymentsare:51Exercise（課外）Ericdeposits12intoafundattime0andanadditional12intothesamefundattime10.Thefundcreditsinterestatanannualeffectiverateofi.Interestispayableannuallyandreinvestedatanannualeffectiverateof0.75i.Attime20,theaccumulatedamountofthereinvestedinterestpaymentsisequalto64.Calculatei,i>0.52Thefuturevalueattime20ofthiscashflowis53Exercise:Victorinvests300intoabankaccountatthebeginningofeachyearfor20years.Theaccountpaysoutinterestattheendofeveryyearatanannualeffectiveinterestrateofi.Theinterestisreinvestedatanannualeffectiverateof(i/2).Theyieldrateontheentireinvestmentoverthe20yearperiodis8%annualeffective.Determinei.54Solution:

Sincetheyieldrateontheentireinvestmentoverthe20yearperiodis8%annualeffective,theaccumulatedvalueattheendof20yearsisThecashflowoftheinterestsisSo,thefuturevalueattime20ofthiscashflowis55Exercise:SusaninvestsZattheendofeachyearforsevenyearsatanannualeffectiveinterestrateof5%.Theinterestcreditedattheendofeachyearisreinvestedatanannualeffectiverateof6%.TheaccumulatedvalueattheendofsevenyearsisX.LoriinvestsZattheendofeachyearfor14yearsatanannualeffectiveinterestrateof2.5%.Theinterestcreditedattheendofeachyearisreinvestedatanannualeffectiverateof3%.Theaccumulatedvalueattheendof14yearsisY.CalculateY/X.56Solution:WemayassumethatZ=1.Susan’saccumulatedvalueconsistsofher$7investedplusthecashflowforherinterest.ThecashflowofherinterestpaymentsareTheaccumulatedvalueofthiscashflowisSo,Susan’saccumulatedvalueisX=8.1653.57TheaccumulatedvalueofthiscashflowisSo,Susan’saccumulatedvalueisY=16.5719.WehavethatY/X=2.0296.Lori’saccumulatedvalueconsistsofher$14investedplusthecashflowforherinterest.Thecashflowofherinterestpaymentsare收益分配(Allocatinginvestmentincome)基金（Fund）：從廣義上說，基金是指為了某種目的而設(shè)立的具有一定數(shù)量的資金。如：信托投資基金、公積金、保險基金、退休基金，各種基金會的基金。狹義：證券投資基金。分類：開放型基金，封閉型基金股票基金，債券基金，貨幣市場基金，混合基金5859基金的收益：收入：利息（債券，銀行存款）股息資本利得（股票價格上漲）收入減去費用后是基金的凈收益，可供基金持有人分配。問題：基金包括不同時期的投資。如何把基金的收入分配給不同時期的投資？分配方法：投資組合法(portfoliomethod)投資年度法(investmentmethod)60投資組合法(portfoliomethods)適用情況：基金的收益率水平一直保持恒定方法：按照基金的平均收益率分配投資收入。例：如果基金的收益率一直保持在6%的水平，某個投資者的投資額是10000元，存入基金的時間是9個月，那么應(yīng)該分配給他的利息收入應(yīng)該是復(fù)利法：10000(1+0.06)9/12–10000=446.71單利法：10000×6%×9/12=450

61問題：投資期限較長時，可能不公平。例：假設(shè)：基金去年的收益率為8％，今年的收益率為10％，平均為8.5%。如果對今年的新投資按8.5％分配收益，對新投資者不公平，也不能吸引新投資。如何解決？用投資年度方法分配收益。如：今年初的新增投資，按10%分配收益。去年初的投資，本金按照8%分配收益，但其利息在今年再投資按照10%分配收益，相當(dāng)于平均按照8.148%分配收益，即(0.08+0.08*0.1)/1.08=8.148%62投資年度法(investmentyearmethod，newyearmethod)適用情況：收益率波動較大。方法：新投入的資金在若干年內(nèi)按投資年度利率分配收益，超過一定年數(shù)以后，再按組合利率分配收益。投資年度利率：投資的年度不同，利率不同。組合利率：不同年度的投資享有的平均利率。63投資年度利率：例64Exercise：Youaregiventhefollowingtableofinterestrates.Apersondeposits1000onJanuary1,2007.Letthefollowingbetheaccumulatedvalueofthe1000onJanuary1,2010:

P:undertheinvestmentyearmethodQ: