IIR數(shù)字濾波器設(shè)計及其MATLAB實現(xiàn)

/IIR數(shù)字濾波器設(shè)計及其MATLAB實現(xiàn)摘要：IIR數(shù)字濾波器在設(shè)計上可以借助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和橢圓濾波器等。在設(shè)計一個IIR數(shù)字濾波器時，我們依據(jù)指標先寫出模擬濾波器的設(shè)計方法設(shè)計一個滿意數(shù)字濾波器指標的模擬濾波器，然后通過確定的變換，將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。本文介紹了IIR數(shù)字濾波器設(shè)計，主要分析了其在滿意上述要求下的工程方法，沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。通過理論和實踐的分析對比，表明白兩種方法的優(yōu)弊端。關(guān)鍵詞：IIR數(shù)字濾波器；沖激響應(yīng)不變法；雙線性變換法1引言IIR數(shù)字濾波器的最通用的方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計方法。模擬濾波器設(shè)計已經(jīng)有了相當(dāng)成熟的技術(shù)和方法，有完整的設(shè)計公式，還有比較完整的圖表可以查詢，因此設(shè)計數(shù)字濾波器可以充分利用這些豐富的資源來進行。對于IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計詳細步驟：(1)依據(jù)確定的規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標。

(2)依據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標設(shè)計模擬低通濾波器G(s)(G(s)是低通濾波器的傳遞函數(shù))。(3)再依據(jù)確定的規(guī)則將G(s)轉(zhuǎn)換成H(z)(H(z)是數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)).下面從原理分析在到實踐來分析設(shè)計用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法來設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的過程。2原理分析我們書本上重點介紹了巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計，但巴特沃斯濾波器的頻率特性無論在通帶還是在阻帶豆歲頻率而單調(diào)改變，因此，假如在通帶邊緣滿意指標，則在通帶內(nèi)確定會有富有量，也就是超過指標的要求，因而并不經(jīng)濟。所以，更有效果的方法是將指標的精度要求歐勻稱地分布在通帶內(nèi)，或勻稱分布在阻帶內(nèi)，或同時勻稱分布在通帶和阻帶內(nèi)。這樣在同樣通帶，阻帶性能要求下，就可以設(shè)計出階數(shù)較低的濾波器。下面分析典型的濾波器切比雪夫1。2.1切比雪夫1低通濾波器的原理設(shè)計IIR濾波器的基礎(chǔ)是設(shè)計模擬濾波器的原型，其中切比雪夫1就是一種。切比雪夫1低通濾波器的原理：幅度平方函數(shù)為式中，ε為小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動的程度，ε愈大，波動幅度也愈大。Ωp稱為通帶截止頻率。令λ=Ω/Ωp，稱為對Ωp的歸一化頻率。CN(x)稱為N階切比雪夫多項式，定義為切比雪夫的特性：(1)切比雪夫多項式的過零點在|x|≤1的范圍內(nèi)；(2)當(dāng)|x|<1時，|CN(x)|≤1,在|x|<1范圍內(nèi)具有等水紋性；(3)當(dāng)|x|>1時，CN(x)是雙曲線函數(shù)，隨x單調(diào)上升。Matlab信號工具箱供應(yīng)了幾個干脆設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的函數(shù)，干脆調(diào)用這些函數(shù)就可以很便利地對濾波器進行設(shè)計。他們?yōu)閏heblap,cheblord,cheby1.2.2沖激響應(yīng)不變法顧名思義，所謂沖激響應(yīng)不變法，就是使離散時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于連續(xù)時間系統(tǒng)沖激響應(yīng)的抽樣值，即(1)這樣，假如連續(xù)時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為則依據(jù)式子（1），離散時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)就等于（2）由式子（2）可得連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)可見，在（2）中，pi是系統(tǒng)函數(shù)的極點，或者系統(tǒng)微分方程的特征根。這里，我們假設(shè)pi都是一階極點，而Ai是和每個極點相對應(yīng)的系數(shù)，其值為（3）.而從式子（3）可求得離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù).依據(jù)s平面和z平面之間的映射關(guān)系可知：s平面上的j軸將映射成z平面上的單位園；而左半s平面將映射為單位園內(nèi)部分；右半s平面將映射為單位園外部分，如圖z6.1所示。而且，從連續(xù)時間頻率到離散時間頻率是一個多值映射。依據(jù)這種映射關(guān)系可知，左半s平面上的極點將映射到z平面上的單位園內(nèi)，由此而可得到一個基本結(jié)論，即沖激響應(yīng)不變法可以將一個穩(wěn)定的連續(xù)時間系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為一個穩(wěn)定的離散時間系統(tǒng)。此外，由于可以將離散時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)看作是連續(xù)時間系統(tǒng)的抽樣，于是，依據(jù)抽樣定理和連續(xù)時間頻率和離散時間頻率之間的關(guān)系，可以求得離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)和連續(xù)時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)滿意下述關(guān)系此式表明，假如連續(xù)時間系統(tǒng)的頻率特性不是一個限帶頻譜，則轉(zhuǎn)換為離散時間系統(tǒng)后將出現(xiàn)頻譜混疊，從s平面到z平面的映射來看，多值映射是造成頻譜混疊的緣由。2.3雙線性變換法雙線性變換法是在沖激響應(yīng)不變法的基礎(chǔ)上采納不同的變換，分為兩步：第一步：將整個S平面壓縮到S1平面的一條橫帶里；其次步：通過標準變換關(guān)系將此橫帶變換到整個Z平面上去。為了將s平面的jΩ軸壓縮到s1平面jΩ軸上的-一段上，可通過以下的正切變換實現(xiàn)：。經(jīng)過這樣的頻率變，當(dāng)Ω1由時，Ω由，即映射了整個jΩ軸。將這一解析關(guān)系延拓至整個s平面，則得到s平面平面的映射關(guān)系再將s1平面通過標準變換關(guān)系映射到z平面，即單值映射關(guān)系，令，最終得S平面和Z平面的關(guān)系3目標分析沖激響應(yīng)不變法是一種簡潔的轉(zhuǎn)換方法，它可以將一個穩(wěn)定的連續(xù)時間系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為一個穩(wěn)定的離散時間系統(tǒng)，而且可以使離散時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)形態(tài)和連續(xù)時間系統(tǒng)相同，但是，由于連續(xù)時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)往往不是限帶頻譜，因此，這種方法存在著頻譜混疊的現(xiàn)象。這種混疊將造成頻譜高端的嚴峻失真，從而使得這種方法只適用于低通濾波器或者頻譜限帶的高通或帶通。和脈沖響應(yīng)不變法相比，雙線性變換的主要優(yōu)點：靠頻率的嚴峻非線性關(guān)系得到S平面和Z平面的單值一一對應(yīng)關(guān)系，整個jΩ軸單值對應(yīng)于單位圓一周，這個關(guān)系就是式所表示的，其中ω和Ω為非線性關(guān)系。如圖圖中看到，在零頻率旁邊，Ω～ω接近于線性關(guān)系，Ω進一步增加時，ω增長變得緩慢，(ω終止于折疊頻率處)，所以雙線性變換不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象。雙線性變換法的缺點：Ω和ω的非線性關(guān)系，導(dǎo)致數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變，(使數(shù)字濾波器和模擬濾波器在響應(yīng)和頻率的對應(yīng)關(guān)系上發(fā)生畸變)。下面通過實例來分析兩種方法設(shè)計IIR低通濾波器。4實例分析設(shè)計低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2πrad時，允許幅度誤差在1dB以內(nèi)，在頻率0.3πrad到πrad之間的阻帶衰減大于15dB。用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字濾波器。T＝1。,要求利用-切比雪夫濾波器原型來設(shè)計IIR低通濾波器。須要對信號做頻譜分析，為了簡便對比，對信號進行頻譜分析時，這里統(tǒng)一采納無綱量的歸一化頻率單位，即模擬頻率對采樣頻率歸一化；模擬角頻率對采樣角頻率歸一化；數(shù)字頻率對2π歸一化。方法步驟先將技術(shù)指標轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標，再求出階數(shù)N，查表，得出模擬低通濾波器G(s)，按確定規(guī)則G(s)轉(zhuǎn)換成H(z)，并作出頻譜分析的圖像，利用MATLAB實現(xiàn)上述分析過程的程序如下：沖激響應(yīng)不變法：wp=0.2*pi;wr=0.3*pi;Ap=1;Ar=15;T=1;Omegap=wp/T;Omegar=wr/T;[cs,ds]=afd_chb1(Omegap,Omegar,Ap,Ar)%切比雪夫1型[C,B,A]=sdir2cas(cs,ds);%模擬濾波器級聯(lián)型[db,mag,pha,Omega]=freqs_m(cs,ds,pi);%模擬濾波器響應(yīng)subplot(224);plot(Omega/pi,mag);title('模擬濾波器幅度響應(yīng)|Ha(j\Omega|');[b,a]=imp_invr(cs,ds,T);%脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計[C,B,A]=dir2par(b,a)%數(shù)字低通濾波器并聯(lián)[db,mag,pha,w]=freqz_m(b,a);%數(shù)字濾波器響應(yīng)subplot(2，2，1);plot(w/pi,mag);title('數(shù)字濾波器幅度響應(yīng)|H(ej\omega|');subplot(2，2，2);plot(w/pi,db);title('數(shù)字濾波器幅度響應(yīng)(dB)');subplot(2，2，3);plot(w/pi,pha/pi);title('數(shù)字濾波器相位響應(yīng)');雙線性變換法：wp=0.2*pi;wr=0.3*pi;Ap=1;Ar=15;T=1;Omegap=(2/T)*tan(wp/2);Omegar=(2/T)*tan(wr/2);[cs,ds]=afd_chb1(Omegap,Omegar,Ap,Ar)%切比雪夫原型[C,B,A]=sdir2cas(cs,ds);%模擬濾波器級聯(lián)型[db,mag,pha,Omega]=freqs_m(cs,ds,pi);%模擬濾波器響應(yīng)subplot(224);plot(Omega/pi,mag);title('模擬濾波器幅度響應(yīng)|Ha(j\Omega|');[b,a]=bilinear(cs,ds,T);%雙線性變換法設(shè)計[C,B,A]=dir2cas(b,a)%數(shù)字低通濾波器級聯(lián)型[db,mag,pha,w]=freqz_m(b,a);%數(shù)字濾波器響應(yīng)subplot(2，2，1);plot(w/pi,mag);title('數(shù)字濾波器幅度響應(yīng)|H(ej\omega|');subplot(2，2，2);plot(w/pi,db);title('數(shù)字濾波器幅度響應(yīng)(dB)');subplot(2，，23);plot(w/pi,pha/pi);title('數(shù)字濾波器相位響應(yīng)');delta_w=2*pi/1000;Ap=-(min(db(1:1:wp/delta_w+1)))Ar=-round(max(db(wr/delta_w+1:1:501)))程序設(shè)計清楚，簡潔理解，脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的切比雪夫1型數(shù)字濾波器，雙線性變換法設(shè)計的切比雪夫1型數(shù)字濾波器，運行結(jié)果如圖1,2。從結(jié)果圖像1中可以看到脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計會造成頻響的混疊，不宜用來設(shè)計高通，帶阻濾波器，運用于基本上市限帶的濾波器，如低通和帶通濾波器，當(dāng)強調(diào)以限制時間響應(yīng)為目的來設(shè)計濾波器，采納這種方法比較適合。從結(jié)果圖像2可以看到雙線性變換法設(shè)計克服了頻響的混疊，但頻率變換關(guān)系不是線性的。5結(jié)束語本次課程設(shè)計是用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法來設(shè)計IIR濾波器，仔細閱讀數(shù)字信號處理課本的相關(guān)內(nèi)容，但在設(shè)計的過程中遇到了一些問題，通過查閱資料，對一些問題由了進一步的相識。本次課程設(shè)計不僅考察了我對專業(yè)學(xué)問的理解程度，也熬煉了我的動手實力，提高了自己的獨立思索問題，解決問題的實力，所以，整個過程我覺得學(xué)到不少東西。參考文獻：[1]錢同惠.數(shù)字信號處理[M].機械工業(yè)出版社,2005[2]叢玉良王宏志數(shù)字信號處理原理及其MATLAB實現(xiàn)[M].北京:電子工業(yè)出版社,2006[3]周輝董正宏數(shù)字信號處理基礎(chǔ)及MAATLAB實現(xiàn)[M]中國林業(yè)出版社,2006[4]樓順天劉小東