晶格振動(dòng)聲子

第1頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.1一維晶格振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

晶體點(diǎn)陣中的質(zhì)點(diǎn)（原子、離子）總是圍繞著平衡位置作微小振動(dòng)，稱為晶格振動(dòng)，由于晶體內(nèi)原子間存在著相互作用力，因此各個(gè)原子的振動(dòng)并非是孤立的，而是相互聯(lián)系著的，這種相互聯(lián)系著的晶格振動(dòng)在晶體中形成了各種振動(dòng)模式的波。只有當(dāng)振動(dòng)甚為微弱時(shí)，原子間的非諧的相互作用才可以忽略，即只有在簡(jiǎn)諧近似下，這些模式才是相互獨(dú)立的。由于晶格的周期性，使得振動(dòng)的模式所取的能量值不是連續(xù)的，而是分立的。對(duì)于這些獨(dú)立而又分立的振動(dòng)模式，可以用一系列獨(dú)立的諧振子來描述，我們把晶格振動(dòng)的能量量子稱為聲子，其中為晶格振動(dòng)模式的角頻率。這樣處理后，我們就可把晶格振動(dòng)的總體看成是聲子的系綜。如可把原子間的非諧相互作用看成微擾項(xiàng)，則聲子間發(fā)生能量交換，并且在相互作用過程中，會(huì)有某種頻率的聲子產(chǎn)生，也會(huì)有某種頻率的聲子湮滅。又如晶格振動(dòng)破壞了晶格的周期性，使電子在晶格中的運(yùn)動(dòng)受到散射而增加電阻，這可以看成是電子受到聲子的碰撞。另外，光子與聲子的相互作用也會(huì)對(duì)晶體的光學(xué)性質(zhì)有重要影響。晶格振動(dòng)是三維的，可以根據(jù)空間力系將其分解成三個(gè)方向的線性振動(dòng)。為便于理解，我們先討論一維晶格的振動(dòng)問題，然后給出三維晶格振動(dòng)的一些結(jié)論。

第2頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.1.1一維簡(jiǎn)單晶格振動(dòng)的情形考慮圖3.1-1所示的一維原子鏈，設(shè)每個(gè)原子都具有相同的質(zhì)量m，平衡時(shí)原子間距（晶格常數(shù)）為a。由于熱運(yùn)動(dòng)使得各個(gè)原子離開了它的平衡位置，用xn代表第n個(gè)原子離開平衡位置的位移，第n個(gè)原子和第n+1個(gè)原子間的相對(duì)位移是xn+1-xn。設(shè)在平衡位置時(shí)，兩個(gè)原子間的互作用勢(shì)能為U(a)，令，則產(chǎn)生相對(duì)位移后，相互作用勢(shì)能變成。將在平衡位置附近用泰勒級(jí)數(shù)展開，得到圖3.1-1一維原子鏈的振動(dòng)n-2nn-1n+1n+2xn-2xn-1xnxn+1xn+2（3.1-1）第3頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五式中第一項(xiàng)為常數(shù)，第二項(xiàng)為零（因?yàn)樵谄胶鈺r(shí)勢(shì)能取最小值）。當(dāng)很小，即振動(dòng)很微弱時(shí)，勢(shì)能展開式中可只保留到項(xiàng)，則恢復(fù)力為（3.1-2）（3.1-3）這叫做簡(jiǎn)諧近似。上式中的稱為恢復(fù)力常數(shù)，又稱為微觀彈性模量或準(zhǔn)勁度系數(shù)。當(dāng)，則恢復(fù)力為負(fù)，相互作用力為引力；當(dāng)，則恢復(fù)力為正，相互作用力為斥力。第4頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五對(duì)第n個(gè)原子除受n+1、n-1相鄰原子作用外，還受其它原子的作用，即受晶格中所有原子的作用。為了簡(jiǎn)化起見，如果只考慮相鄰原子的互作用，則第n個(gè)原子所受到的總作用力是：（3.1-4）假設(shè)原子的運(yùn)動(dòng)遵循經(jīng)典力學(xué)，根據(jù)牛頓第二定律。第n個(gè)原子質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為

(n=1,2,3,…,N)（3.1-5）

式中N為一維原子鏈的原子數(shù)。對(duì)于每一個(gè)原子都有一個(gè)類似式（3.1-5）的運(yùn)動(dòng)方程，因此方程的數(shù)目和原子數(shù)相同。方程（3.1-5）是關(guān)于位移的差分方程，它具有行波解。設(shè)方程組（3.1-5）的試探解為（3.1-6）式中A為振幅；為角頻率；t為時(shí)間；為第n個(gè)原子振動(dòng)的位相因子。第5頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五把式（3.1-6）代入方程組（3.1-5），可得利用恒等式，得

（3.1-7）

這樣，點(diǎn)陣波以波矢表示的頻率為：（3.1-8）

式（3.1-7）或式（3.1-8）稱為一維簡(jiǎn)單晶格振動(dòng)的色散關(guān)系（頻率與波矢的關(guān)系）。需要指出的是，如果忽略原子排列的周期性，即當(dāng)時(shí)的情形，便可把晶體看成連續(xù)介質(zhì)，在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，形成沿一定方向傳播的彈性波的之間形成線性關(guān)系。圖3.1-2代表式（3.1-8）所表示的關(guān)系，即是一維簡(jiǎn)單晶格的振動(dòng)頻譜，其中取介于之間。圖6.1-2一維簡(jiǎn)單晶格的振動(dòng)頻譜0q-第6頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五如果第m個(gè)和第n個(gè)原子的位相因子之差(qma-qna)為2的整數(shù)倍，即（s為整數(shù)）時(shí),換言之，當(dāng)?shù)趍個(gè)原子和第n個(gè)原子的距離為的整數(shù)倍時(shí)，原子因振動(dòng)而產(chǎn)生的位移相等。由此可見晶格中各個(gè)原子間的振動(dòng)相互間都存在著固定的位相關(guān)系，這說明，在任一時(shí)刻，原子的位移有一定的周期分布，也即原子的位移構(gòu)成了波，或者說在晶格中存在著角頻率為W的平面波，這種波稱為格波。圖3.1-3所示。圖3.1-3格波nn+1n+2n-1n-2第7頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五格波的波長(zhǎng)。若令n代表沿格波傳播方向的單位矢量，則q=n，就是格波的波矢。波速（相速）。由此可見，格波的傳播速度是波長(zhǎng)的函數(shù)，波長(zhǎng)不同的格波傳播速度不同，這與可見光通過三棱鏡時(shí)的情況相似，不同波長(zhǎng)的光在三棱鏡中傳播的速度不同，折射角就不同，從而導(dǎo)致色散。所以稱與的關(guān)系為色散關(guān)系，也稱振動(dòng)頻譜或振動(dòng)譜。此外，由式（3.1-8）或圖3.1-2可以看出，當(dāng)，即波長(zhǎng)很長(zhǎng)時(shí)，，這時(shí)波速是常數(shù)，同時(shí)即某一原子周圍若干原子都以相同的振幅和位相振動(dòng),當(dāng)即時(shí)，有最大值，。第8頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五當(dāng)波矢（其中s為任意整數(shù)），代入式（3.1-6）則得（3.1-9）由于s，n均為正整數(shù)，故乘積ns也是整數(shù)，所以，于是式（3.1-9）化為（3.1-10）

可見當(dāng)（s為任意整數(shù)），兩者對(duì)同一原子所引起的振動(dòng)完全相同。這就是說，對(duì)應(yīng)某一確定的振動(dòng)狀態(tài)，可以有無限多個(gè)波矢，它們之間都相差的整數(shù)倍。所以，為了保證的單值性，把一維簡(jiǎn)單晶格的波矢q值限制在，其中a是該格子的晶格常數(shù)。第9頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五前面的討論中，我們沒有考慮到一維晶體的邊界問題，認(rèn)為一維晶體是無限的。但實(shí)際上晶體總是有限的，總存在著邊界，并且邊界對(duì)晶體內(nèi)部原子的振動(dòng)狀態(tài)會(huì)有所影響。玻恩（Born）和卡門（Karman）把邊界對(duì)內(nèi)部原子振動(dòng)狀態(tài)的影響考慮成如下面所述的周期性邊界條件。設(shè)想在一長(zhǎng)為Na的有限晶體邊界之外，仍然有無窮多個(gè)相同的晶體，并且各塊晶體內(nèi)相對(duì)應(yīng)的原子的運(yùn)動(dòng)情況一樣，即第j個(gè)原子和第tN+j個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)情況一樣，其中t=1,2,3…。這樣設(shè)想的無限晶體中的原子和原來實(shí)際的有限晶體中的原子，兩者所受到的互作用勢(shì)能確是有差別的。但是進(jìn)一步的分析表明，由于互作用主要是短程的，實(shí)際的有限晶體中只有邊界上極少數(shù)原子的運(yùn)動(dòng)才受到相鄰的假想晶體的影響，就有限晶體而言，絕大部分原子的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上不會(huì)受到這些假想晶體的影響。這樣，對(duì)于一維簡(jiǎn)單晶格的格子，第一個(gè)原胞的原子應(yīng)和第N+1個(gè)原胞的原子振動(dòng)情況相同，第10頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五即而,

因此要上式成立，必須有或(為整數(shù))

即描述晶格振動(dòng)狀態(tài)的波矢只能取一些分立的值。因?yàn)榻橛冢越橛?。把限制在?.1-11）

則限制在（3.1-12）由此可知，只能取N個(gè)不同的值，因而也只能取N個(gè)不同的值。這里N是原胞的數(shù)目。因此可以得出一個(gè)結(jié)論：晶格振動(dòng)的波矢數(shù)目等于晶體的原胞數(shù)目。,第11頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.1.2一維復(fù)式格子振動(dòng)的情形考慮圖3.1-4(a)所示的一維復(fù)式格子，相鄰?fù)N原子間的距離為2a（2a是這復(fù)式格子的晶格常數(shù)）。設(shè)質(zhì)量為m的原子位于…2n-1，2n+1，2n+3…各點(diǎn)；質(zhì)量為M的原子位于…2n-2，2n，2n+2…各點(diǎn)，且設(shè)。類似于方程式（3.1-5）得到（3.1-13）

與方程組（3.1-5）的解法相似，方程組（3.1-13）的試探解也可以是角頻率為的簡(jiǎn)諧振動(dòng)2n-12a2n2n-22n+12n+2(a)圖3.1-4一維復(fù)式格子及其振動(dòng)頻譜(a)一維復(fù)式格子;(b)一維復(fù)式格子的振動(dòng)頻譜0光頻支聲頻支q-(b)第12頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（3.1-14）由于這里包含兩種不同的原子，這兩種不同原子振動(dòng)的振幅A、B一般地說也不相同。把解（3.1-14）代入方程組（3.1-13）得（3.1-15）即（3.1-16）

若A、B有非零解，則其系數(shù)行列式必須等于零，即（3.1-17）

由此可以解得（3.1-18）第13頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五由上式可以看出，如果m=M，則式（3.1-18）與式（3.1-7）一樣。如果m≠M(fèi)，則與q之間存在著兩種不同的色散關(guān)系，即對(duì)一維復(fù)式格子，可以存在兩種獨(dú)立的格波，并且這兩種格波各有自己的色散關(guān)系（3.1-19）（3.1-20）對(duì)于一維復(fù)式格子同樣可以證明，波矢q值限制在。因?yàn)閷?duì)于相同的色散分支，對(duì)應(yīng)于波矢為q的某一確定的振動(dòng)狀態(tài)，與q相差整數(shù)倍倒格矢的波矢，兩者所對(duì)應(yīng)的角頻率相同，即。因此q和所對(duì)應(yīng)的振動(dòng)狀態(tài)是等價(jià)的。色散關(guān)系的這一性質(zhì)表明，q可以限制在范圍內(nèi)。第14頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五在周期性邊界條件下，波矢q也只能取N個(gè)不同的值。對(duì)于一維復(fù)式格子，設(shè)晶體有N個(gè)原胞（每個(gè)原胞含有兩個(gè)不同的原子），根據(jù)周期性邊界條件有（3.1-21）得到，即（為整數(shù)）。式（3.1-11）同樣適用，這里限制在（3.1-22）所以，一維復(fù)式格子的波矢q也只能取N個(gè)不同的值。波矢q的數(shù)目亦即等于振動(dòng)狀態(tài)的數(shù)目，等于原胞的數(shù)目N。必須指出的是，對(duì)于一維復(fù)式格子，由于對(duì)應(yīng)于每個(gè)波矢q值有兩個(gè)不同的(,)，因此其角頻率數(shù)為2N，既然每一角頻率對(duì)應(yīng)于一個(gè)格波，那么格波數(shù)必為2N。這就是說，在一維雙原子復(fù)式格子中，每個(gè)原胞有兩個(gè)原子，晶體的自由度數(shù)是2N，因此得到這樣的結(jié)論

晶格振動(dòng)波矢的數(shù)目=晶體原胞的數(shù)目晶格振動(dòng)頻率的數(shù)目=晶體的自由度數(shù)這些結(jié)論同樣適用于三維晶格振動(dòng)的情形。第15頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五下面我們?cè)龠M(jìn)一步討論一維復(fù)式格子的兩個(gè)色散分支。因?yàn)椴ㄊ竡值限制在，即2qa介于，所以當(dāng)時(shí)，,的最大值為（3.1-23）

而當(dāng)時(shí)，的最小值為（3.1-24）

因，從而的最小值比的最大值還要大。換句話說，-支的格波頻率總比-支的頻率低。實(shí)際上，

-支的格波可以用光來激發(fā)，所以常稱為光頻支格波，簡(jiǎn)稱光學(xué)波。而-支則稱聲頻支格波，簡(jiǎn)稱聲學(xué)波。-支的色散關(guān)系可寫為第16頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（3.1-25）如果，則上式近似地化為（3.1-26）比較式（3.1-26）、式（3.1-8）可見，-支的色散關(guān)系與一維簡(jiǎn)單晶格振動(dòng)頻譜在形式上是相同的，也具有圖6.1-2所示的特征。這也就是說，由完全相同的原子所組成的晶格振動(dòng)只有聲學(xué)波。-支的色散關(guān)系可寫為（3.1-27）第17頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五如果，則上式近似地化為

（3.1-28）

由式（3.1-28）可見，當(dāng)，即波長(zhǎng)很大時(shí)，光學(xué)波的頻率具有最大值

（3.1-29）式中是兩種原子的折合質(zhì)量。而當(dāng)時(shí)，由（3.1-26）式看出，，這時(shí)，聲學(xué)波頻率最小。一維雙原子復(fù)式格子中，聲學(xué)波與光學(xué)波的色散關(guān)系如圖3.1-4(b)。

第18頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五此外，由式（3.1-16）可以得到聲學(xué)波和光學(xué)波的兩相鄰原子的振幅之比分別為（3.1-30a）（3.1-30b）對(duì)于聲學(xué)波，即式（3.1-30a），因?yàn)?，而一般，所以。這就是說，相鄰兩種不同原子的振幅都有相同的正號(hào)或負(fù)號(hào)，即對(duì)于聲學(xué)波，相鄰原子都是沿著同一方向振動(dòng)的，如圖3.1-5(a)所示。當(dāng)波長(zhǎng)相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)，聲學(xué)波實(shí)際上代表原胞質(zhì)心的振動(dòng)。對(duì)于光學(xué)波，即式（3.1-30b），因?yàn)?，而一般，所以。由此可見，?duì)于光學(xué)波，相鄰兩種不同原子的振動(dòng)方向是相反的。而當(dāng)q很小時(shí)，，又，得出，因此對(duì)于波長(zhǎng)很長(zhǎng)的光學(xué)波（長(zhǎng)光學(xué)波），，即原胞中不同原子作相對(duì)振動(dòng)，質(zhì)量大的振幅小，質(zhì)量小的振幅大，原胞的質(zhì)心保持不動(dòng)。由此也可定性地看出，光學(xué)波是保持原胞質(zhì)心不動(dòng)的一種振動(dòng)模式，代表原胞中兩個(gè)原子的相對(duì)振動(dòng)。如圖3.1-5(b)。圖3.1-5一維雙原子振動(dòng)的格波(a)聲學(xué)波;(b)光學(xué)波(b)(a)第19頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.2晶格振動(dòng)的量子化聲子由于晶格振動(dòng)是晶體中諸多原子（離子、分子）的集體運(yùn)動(dòng)，其結(jié)果表現(xiàn)為晶格中的格波。因此系統(tǒng)的總能量亦即總的哈密頓量必然包含諸多原子的速度和坐標(biāo)，例如勢(shì)能函數(shù)中包含有依賴于兩原子坐標(biāo)的交叉項(xiàng)，這就帶來了數(shù)學(xué)運(yùn)算的難度。一般而言，格波不一定是簡(jiǎn)諧的，但總可以展成各種不同波矢、不同模式的格波（簡(jiǎn)諧平面波）的線性迭加。當(dāng)振動(dòng)微弱時(shí)，即相當(dāng)于簡(jiǎn)諧近似的情形，格波直接就是簡(jiǎn)諧波。這時(shí)，格波之間的相互作用可以忽略，從而可以認(rèn)為它們的存在是相互獨(dú)立的，稱為獨(dú)立的模式。這樣，每一個(gè)獨(dú)立的模式對(duì)應(yīng)一個(gè)振動(dòng)態(tài)(q)。因此對(duì)晶格振動(dòng)的描述通常可以采用兩種不同的方法。第一種方法即是確定晶體中各個(gè)原子的空間坐標(biāo)隨時(shí)間的變化情況，這樣顯然是非常麻煩的，因?yàn)榫w中各個(gè)原子間都是相互關(guān)聯(lián)的，需要解決的是一個(gè)相互間存在有相互作用的多體問題。第二種方法是從格波（集體振蕩）的角度出發(fā)，討論晶格振動(dòng)中各個(gè)不同波矢、不同模式格波的振幅有多大。如果各個(gè)不同波矢、不同模式的格波的振幅確定了，那么晶體中的各個(gè)原子的振動(dòng)情況也就完全確定了。晶格的周期性又給予了格波以一定的邊界條件（玻恩-卡門條件），使得獨(dú)立的模式亦即獨(dú)立的振動(dòng)態(tài)是分立的。也就是說，晶體中格波的模式可以表述為穩(wěn)定的獨(dú)立模式。為此，引進(jìn)正則坐標(biāo)，通過正則變換，把原來的坐標(biāo)系變換成正則坐標(biāo)系，就可能消去勢(shì)能中的交叉項(xiàng)，使得系統(tǒng)的哈密頓量能夠表述成標(biāo)準(zhǔn)式（法式），即哈密頓量對(duì)角化了。這樣就可以把晶格振動(dòng)的總能量表述為獨(dú)立簡(jiǎn)諧振子能量之和。下面我們從理論力學(xué)的質(zhì)點(diǎn)系微振動(dòng)的正則坐標(biāo)入手，繼而討論晶格振動(dòng)的正則坐標(biāo)，再引出聲子的概念。第20頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.2.1質(zhì)點(diǎn)系微振動(dòng)的正則坐標(biāo)在理論力學(xué)中，我們?cè)懻撨^質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)。這里我們用同樣的方法討論質(zhì)點(diǎn)系的微振動(dòng)問題。設(shè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成質(zhì)點(diǎn)系，由于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有3個(gè)自由度，因而在描述整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的微振動(dòng)時(shí)必須要用3n個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)。如果各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能可表示為（3.2-1）質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能可以在平衡位置附近展開為泰勒級(jí)數(shù)，即為（3.2-2）第21頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五式中表示某一質(zhì)點(diǎn)在某一方向上的位移；下角標(biāo)0表示質(zhì)點(diǎn)處于平衡位置時(shí)所具有的值。如果取平衡位置為勢(shì)能的原點(diǎn)，同時(shí)考慮到質(zhì)點(diǎn)處于平衡位置時(shí)，質(zhì)點(diǎn)所受的力為零，即有（3.2-3）對(duì)于微振動(dòng)的情形，所有的都很小，以致可以略去二階以上的高次項(xiàng)，得到（3.2-4）

為了使上述的動(dòng)能和勢(shì)能的表達(dá)式具有簡(jiǎn)單的形式，我們可以利用線性代數(shù)的理論，選擇適當(dāng)?shù)木€性變換（3.2-5）將動(dòng)能和勢(shì)能的表達(dá)式（3.2-1）和（3.2-4）進(jìn)行簡(jiǎn)化。第22頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五選擇式（3.2-5）的變換中的系數(shù)，使之滿足正交條件：（3.2-6）（3.2-7）將式（3.2-5）代入式（3.2-1）得到（3.2-8）所以有（3.2-9）同樣，利用線性變換式（3.2-5）也可以將式（3.2-4）化為法式。第23頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

（3.2-10）式中為以為元素所組成的矩陣的本征值；而則為與之對(duì)應(yīng)的本征矢組成的矩陣的元素。事實(shí)上，如果令。則式（3.2-4）化為（3.2-11）

式中。采用矩陣表示，可將勢(shì)能記為（3.2-12）第24頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五而

首先應(yīng)當(dāng)求得矩陣的本征值和本征矢，即求解。上式即為（3.2-13）

要使上式有異于零的解，系數(shù)行列式必須為零，即（3.2-14）其中為一單位矩陣。由式（3.2-14）可解得個(gè)的解。顯然，對(duì)應(yīng)于本征值的本征矢可記為（3.2-15）第25頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五代入矩陣方程得到（3.2-16）式中中包含一個(gè)待定常數(shù)。根據(jù)矩陣的元素的定義可知，為一厄密矩陣（3.2-17）其本征值為實(shí)數(shù)，即（3.2-18）且本征矢互相正交。因而可以選擇中的待定實(shí)數(shù)，使之滿足正交歸一化條件，（3.2-19）即（3.2-20）如果是實(shí)數(shù)，則式（3.2-20）可寫成（3.2-21）第26頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五令或（3.2-22）利用式（6.2-16）及正交化條件，則式（6.2-11）的勢(shì)能表達(dá)式變?yōu)?/p>

（6.2-23）又由于，則動(dòng)能表示式成為（6.2-24）

其中利用了式（6.2-5）正交條件。如果及為復(fù)數(shù)矩陣，則變換可寫為（6.2-25）式中。這個(gè)變換稱為幺正變換。（6.2-26）

由此可見，可以選為質(zhì)點(diǎn)系的正則坐標(biāo)；而則為與之對(duì)應(yīng)的正則頻率。第27頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.2.2晶格振動(dòng)的正則坐標(biāo)根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系微振動(dòng)的正則坐標(biāo)，可以分析晶格振動(dòng)的正則坐標(biāo)。為了簡(jiǎn)單起見，我們先討論一維布喇菲格子和一維復(fù)式格子的情形，然后再討論三維復(fù)式格子的情形。

一、一維布喇菲格子和一維復(fù)式格子的情形1．一維布喇菲格子的情形首先，我們以一維布喇菲格子為例，來說明它的晶格振動(dòng)等價(jià)于N個(gè)獨(dú)立諧振子的振動(dòng)，諧振子的振動(dòng)頻率就是晶格振動(dòng)的頻率。由于周期性的邊界條件，波矢取分立的不同值，所以晶格中每一原子的振動(dòng)是一些獨(dú)立振動(dòng)模式的迭加。于是，任意格點(diǎn)在時(shí)刻的位移應(yīng)表示為（6.2-27）第28頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五式中為t時(shí)刻振動(dòng)模式為q的振幅；，而L所取的值為，；代表一些獨(dú)立的模式（q取正代表前進(jìn)的簡(jiǎn)諧波，

q取負(fù)代表后退的簡(jiǎn)諧波）。顯然式（3.2-27）是具有周期的函數(shù)的傅立葉展式。由于位置變量局限于N個(gè)點(diǎn)，展式只包含N項(xiàng)，N也就是一維晶體的原胞數(shù)。證明的正交性，即證明（3.2-28）式（3.2-28）所表示的意義是：按狀態(tài)求和，只要看一個(gè)格點(diǎn)就行了，每個(gè)格點(diǎn)的獨(dú)立狀態(tài)總數(shù)是N，換句話說，獨(dú)立狀態(tài)總數(shù)就是原胞總數(shù)。同樣可以證明（3.2-29）式（3.2-29）表示的意義是：按格點(diǎn)求和只要看一種狀態(tài)，格點(diǎn)總數(shù)也就是原胞總數(shù)。第29頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一般而言，晶格中的格波可以展為各種獨(dú)立振動(dòng)模式的線性迭加，即把展為（3.2-30）式中稱為波矢的振動(dòng)模式的正則坐標(biāo)（又稱簡(jiǎn)正坐標(biāo)），它表示了格波的振幅。引入正則坐標(biāo)后，應(yīng)用式（3.2-28）和式（3.2-29），一維簡(jiǎn)單晶格的勢(shì)能可表示為（3.2-31）第30頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（3.2-32）其中，正是一維布喇菲格子的色散關(guān)系。再把式（3.1-7）代入上式，得到（3.2-33）由于原子的位移是實(shí)數(shù)，因此有，則晶格振動(dòng)的勢(shì)能最后可化為（3.2-34）同樣，利用式（6.2-30）的變換關(guān)系，一維簡(jiǎn)單晶格的動(dòng)能用正則坐標(biāo)可表示為

（3.2-35）第31頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五同樣，因?yàn)椋瑒t動(dòng)能最后可化為（3.2-36）采用正則坐標(biāo)后，晶格振動(dòng)的總能量，亦即哈密頓量可寫成標(biāo)準(zhǔn)式（法式）為（3.2-37）

式中。顯然上式中的右邊每項(xiàng)代表一個(gè)諧振子的能量，包含有2項(xiàng)，所以一維布喇菲格子的總能量是每個(gè)獨(dú)立諧振子能量之和。根據(jù)量子力學(xué)的結(jié)果，一個(gè)諧振子的能量本征值為（3.2-38）

式中。所以一維布喇菲格子晶格振動(dòng)的總能量可表示為（3.2-39）

第32頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2．一維復(fù)式格子的情形與一維布喇菲晶格相似，作為式（3.1-13）的一般解，與式（3.2-27）相對(duì)應(yīng)的式子可表示成（3.2-40）這里對(duì)求和表示對(duì)聲學(xué)支及光學(xué)支兩種模式的格波求和。作坐標(biāo)變換得到（3.2-41）

把式（3.2-40）與式（3.2-41）相比較，可知第33頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（3.2-42）

這里已把波矢為q第j支格波（聲學(xué)支或光學(xué)支格波）的角頻率寫成。而即表示波矢為q，第j支格波的包含有時(shí)間因子的振幅，也就是正則坐標(biāo)。采用正則坐標(biāo)后，一維復(fù)式格子晶體的哈密頓量可寫成（3.2-43）式中。同討論一維布喇菲格子的情形一樣，可以得到一維復(fù)式格子晶格振動(dòng)的本征能量為（3.2-44）

式中可取一系列正整數(shù)。第34頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、三維復(fù)式格子的情形對(duì)于三維復(fù)式格子，可以將其看作是由原子組成的質(zhì)點(diǎn)系。設(shè)晶體的基矢為，沿基矢方向各有個(gè)原胞。因此，整個(gè)晶體共有個(gè)原胞。每個(gè)原胞中設(shè)有n個(gè)原子，令表示原胞中心位矢為的原胞內(nèi)，第s個(gè)原子離開平衡位置在方向的位移，將系統(tǒng)的勢(shì)能U在平衡位置附近用泰勒級(jí)數(shù)展開，有（3.2-45a）

如取平衡位置的勢(shì)能作為能量原點(diǎn)，即。在簡(jiǎn)諧近似下，可以將第35頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二次以上的項(xiàng)略去，則勢(shì)能可寫為（3.2-45b）

式中。將上式同式（3.2-4）對(duì)照，得到（3.2-46）為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化，引進(jìn)動(dòng)力學(xué)矩陣元（3.2-47）及變換（3.2-48）第36頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五因此，勢(shì)能式（3.2-45b）可以改寫成（3.2-49）

式中符號(hào)及分別表示及。同樣，系統(tǒng)的動(dòng)能為（3.2-50）

式中為第s個(gè)原子的質(zhì)量。因?yàn)樗紤]的系統(tǒng)具有3nN個(gè)自由度，從而可適當(dāng)?shù)剡x取描寫系統(tǒng)的正則坐標(biāo)，以使式（3.2-49）及（3.2-50）中所表示的對(duì)坐標(biāo)求得的和具有3nN個(gè)獨(dú)立簡(jiǎn)諧振子的哈密頓量的形式。第37頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五利用倒格子空間來討論晶格振動(dòng)，把倒格矢理解為格波波矢在三維晶格的情況下，式（3.2-39）和式（3.2-44）應(yīng)寫成下面的形式（3.2-51）或（3.2-52）

式中是格波的角頻率。由此可見，每一格波（簡(jiǎn)正模）的能量總是以量子為單位不連續(xù)地改變。由于式（3.2-52）和量子諧振子的能量形式完全一樣，因此可以說：一個(gè)晶格振動(dòng)系統(tǒng)在能量狀態(tài)上等效于一個(gè)具有個(gè)獨(dú)立的量子諧振子的系統(tǒng)，也就是說，在簡(jiǎn)諧近似（微振動(dòng)）的條件下，晶格振動(dòng)可以用一系列獨(dú)立的諧振子來描述。第38頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.2.3聲子從式（3.2-39）、式（3.2-44）和式（3.2-51）或式（3.2-52）可以看出，波矢為q，第j支格波的能量可以是的倍，再加上。所以晶格振動(dòng)的能量量子化了，除了以外，它只能是的整數(shù)倍。這里不同的相應(yīng)于一系列不同的能量，對(duì)應(yīng)于這支格波的各個(gè)不同的狀態(tài)。這支格波的基態(tài)能量（即最低的能量），顯然應(yīng)該是，常稱為零振動(dòng)能量（又稱零點(diǎn)能），相應(yīng)于。而最低的激發(fā)態(tài)應(yīng)該是；其次的激發(fā)態(tài)應(yīng)該是。從這里可以清楚地看到，可以作為格波的激發(fā)單元（激元），常稱它為“元激發(fā)”，通常把它形象地看成是一種“準(zhǔn)粒子”。例如相應(yīng)于的狀態(tài)，可以認(rèn)為在此狀態(tài)中存在三個(gè)準(zhǔn)粒子，與此狀態(tài)相對(duì)應(yīng)的能量為。所以也就是這種準(zhǔn)粒子的“粒子數(shù)”。在晶格振動(dòng)中，這種準(zhǔn)粒子稱為“聲子”，也就是說，聲子是晶格振動(dòng)的簡(jiǎn)諧振子的能量量子。引入聲子概念以后，晶格振動(dòng)也可以用聲子系綜來描述，并且用諧振子概念和用聲子概念描述晶格振動(dòng)是兩種等效的方式。第39頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五由于w和q相同的各聲子之間不可區(qū)分且自旋為零，所以聲子是玻色子。有了聲子的概念，格波的狀態(tài)可以用聲子數(shù)來描述，與此相應(yīng)的能量為，而整個(gè)晶格振動(dòng)的狀態(tài)可以用一組聲子數(shù)來描述，它表示波矢為，第支格波

的聲子數(shù)為；波矢為，第支格波的聲子數(shù)為，其總的能量即由式（3.2-51）或式（3.2-52）表示。用上述方式來描述晶格振動(dòng)，使得原來有相互作用的原子（離子）耦合振蕩系統(tǒng)，即所有真實(shí)粒子作集體振動(dòng)的多粒子系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧近似下約化成為相互獨(dú)立的玻色子系統(tǒng)?？梢詰?yīng)用相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)物理方法，使處理這類多體問題時(shí)大為簡(jiǎn)化。晶格振動(dòng)對(duì)晶體的力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)和光學(xué)等許多性質(zhì)有重要影響。第40頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五引入聲子的概念以后，把聲子當(dāng)作有能量、動(dòng)量的玻色粒子可以很簡(jiǎn)便地說明許多問題。例如，按玻色統(tǒng)計(jì)分布求出平均聲子數(shù)后可以導(dǎo)出比熱公式；考慮原子間非簡(jiǎn)諧的相互作用時(shí)，可以引入聲子-聲子相互作用的概念；晶格振動(dòng)破壞了晶格的周期性，使電子在晶格中的運(yùn)動(dòng)受到散射而增加電阻，這可以看作是電子受到聲子的碰撞，可用聲子-電子相互作用來描述；晶體的光學(xué)性質(zhì)也與晶格振動(dòng)密切相關(guān)，光在晶體中的散射可以看作是由于光子與聲子的相互作用乃至強(qiáng)烈的耦合所產(chǎn)生的。必須指出的是，聲子并不是真實(shí)的粒子，它可以產(chǎn)生和湮滅；有相互作用時(shí)聲子數(shù)并不守恒；聲子動(dòng)量的守恒律不同于真實(shí)粒子；聲子不能脫離固體而存在，因?yàn)樗从车氖窃拥募w運(yùn)動(dòng)，不屬于某個(gè)原子而屬于整個(gè)晶體所有等等。所以說聲子是一種假想的粒子，它只是格波（簡(jiǎn)正模）激發(fā)態(tài)的量子——基本的激發(fā)單元，在量子場(chǎng)論中稱為元激發(fā)?？傊?，建立了聲子的概念對(duì)于理解和處理固體中的很多問題帶來了很大的方便，實(shí)踐證明，這樣的概念是正確的。第41頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.3長(zhǎng)波近似由前面的討論，我們已經(jīng)知道，聲學(xué)波中相鄰原子都沿同一方向振動(dòng)，光學(xué)波中原胞中不同的原子作相對(duì)地振動(dòng)。當(dāng)波長(zhǎng)比原胞的線度大得多時(shí)（即波矢時(shí)），聲學(xué)波和光學(xué)波各自的特點(diǎn)更加顯著，這時(shí)聲學(xué)波代表原胞質(zhì)心的振動(dòng)，而光學(xué)波中原胞的質(zhì)心保持不動(dòng)。通常把波長(zhǎng)很長(zhǎng)的聲學(xué)波和波長(zhǎng)很長(zhǎng)的光學(xué)波分別稱為長(zhǎng)聲學(xué)波和長(zhǎng)光學(xué)波。第42頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.3.1長(zhǎng)聲學(xué)波由式（3.1-26）可知，對(duì)于一維復(fù)式格子，當(dāng)波長(zhǎng)很長(zhǎng)，即q很小時(shí)，長(zhǎng)聲學(xué)波的角頻率與波矢的關(guān)系可化為（3.3-1）從而得到長(zhǎng)聲學(xué)波的波速（3.3-2）

式中為晶體的恢復(fù)力常數(shù)；m、M分別為兩種不同原子的質(zhì)量；為晶格常數(shù)。式（3.3-2）表明長(zhǎng)聲學(xué)波的角頻率與波矢存在線性關(guān)系，即它的波速為一常數(shù)。第43頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五另一方面，恢復(fù)力（3.3-3）式C中為楊氏模量。對(duì)于一維復(fù)式格子，應(yīng)變是（3.3-4）式中及分別是第們m+1個(gè)及m第個(gè)原子的位移。因此恢復(fù)力又可表示成（3.3-5）根據(jù)式（3.1-2），得因第m+1個(gè)原子的位移而引起的對(duì)第m個(gè)原子產(chǎn)生的恢復(fù)力為（3.3-6）式中。第44頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五比較式（3.3-5）及式（3.3-6）可得到彈性模量C與恢復(fù)力常數(shù)間的關(guān)系為（3.3-7）對(duì)于一維復(fù)式格子，原子鏈的線質(zhì)量密度為（3.3-8）將式（3.3-7）及式（3.3-8）代入式（3.3-2）得到長(zhǎng)聲學(xué)波的波速（相速度）為（3.3-9）實(shí)際上，當(dāng)時(shí)，即對(duì)于長(zhǎng)聲學(xué)波，不僅相鄰原胞中原子振動(dòng)的位相差趨于零，而且振幅也近于相等，這是由于長(zhǎng)聲學(xué)波的波長(zhǎng)比原胞線度大得多時(shí)，在半個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)就已包括了許多原胞，這些原胞都整體地沿同一方向運(yùn)動(dòng)。因此對(duì)于長(zhǎng)聲學(xué)波，晶格可以近似地看成連續(xù)介質(zhì)，而長(zhǎng)聲學(xué)波也就可以近似地被認(rèn)為是連續(xù)介質(zhì)時(shí)的彈性波，這也就是為什么稱支為聲學(xué)波的原因。第45頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.3.2長(zhǎng)光學(xué)波由于對(duì)于長(zhǎng)光學(xué)波，當(dāng)時(shí)，兩種原子振動(dòng)有完全相反的位相，因此在離子晶體中長(zhǎng)光學(xué)波有特別重要的作用。為明確起見，現(xiàn)考慮由兩種不同正、負(fù)離子所組成的復(fù)式格子。因?yàn)閷?duì)于光學(xué)波，相鄰的不同離子相對(duì)振動(dòng)方向相反。當(dāng)波長(zhǎng)比原胞的線度大得多時(shí)，相鄰的同一種離子的位移將趨于相同，這樣在半波長(zhǎng)的范圍內(nèi)，正離子所組成的布喇菲原胞同向地位移，而負(fù)離子所組成的另一些布喇菲原胞將產(chǎn)生反向的位移，使晶體中產(chǎn)生一定的電偶極矩，即發(fā)生宏觀的極化，所以長(zhǎng)光學(xué)波又稱為極化波。我們知道長(zhǎng)聲學(xué)波就是把晶體看成連續(xù)介質(zhì)時(shí)的彈性波，彈性波滿足在彈性理論基礎(chǔ)之上建立的宏觀運(yùn)動(dòng)方程。這里對(duì)其運(yùn)動(dòng)方程我們不再做詳細(xì)闡述，可課后自己參閱書上推導(dǎo)。第46頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§3.4.晶格振動(dòng)的模式密度我們知道，根據(jù)波恩-卡門邊界條件，波矢q并不是任意的，允許的q值在波矢q空間形成均勻分布的點(diǎn)子，如圖3.4-1所示。在q到體積元內(nèi)的數(shù)目為（3.4-1）從而得（3.4-2）圖3.4-1振動(dòng)模在空間的分布第47頁(yè)，共54頁(yè)，2023年，2月20日，星期五其中V為晶體體積；稱為波矢q標(biāo)度下的狀態(tài)密度，簡(jiǎn)稱狀態(tài)密度。

q雖然不能取任意值，但由于V是一個(gè)宏觀體積，允許的q值在波矢q空間是十分密集的，可以看成是準(zhǔn)連續(xù)的。由于角頻率w與格波波矢q間存在一一對(duì)應(yīng)的色散關(guān)系，當(dāng)晶格振動(dòng)的色散關(guān)系給定后，對(duì)于這樣的準(zhǔn)連續(xù)分布的振動(dòng)，可以一般地把振動(dòng)頻率包含在w到w+dw內(nèi)的振動(dòng)模的數(shù)目