人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十二章全等三角形專項(xiàng)攻克練習(xí)題（詳解）

八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十二章全等三角形專項(xiàng)攻克

考試時(shí)間：90分鐘；命題人：數(shù)學(xué)教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘

2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新

的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計(jì)30分）

1、如圖是用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖，說明=的依據(jù)是（)

A.SASB.SSSC.AASD.ASA

2、下列各組的兩個(gè)圖形屬于全等圖形的是（）

@?B-nHc-

3、下列語句中正確的是（）

A.斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等

B.有兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等

C.有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等

D.有一直角邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等

4、如圖，把AABC沿線段OE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處；若AC〃DE,ZA=70°,AB=AC,則

NCEF的度數(shù)為（）

A.40°B.60°C.70°D.80°

5、已知圖中的兩個(gè)三角形全等，AD與CE是對(duì)應(yīng)邊，則A的對(duì)應(yīng)角是（）

A.NBCEB.ZEC.ZACDD.DB

6、如圖，C為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,E重合），在同側(cè)分別作等邊三角形/蛇和等邊三角

形CDE,AD與廢交于點(diǎn)0,AD與a'交于點(diǎn)P,BE與必交于點(diǎn)Q,連結(jié)PQ.以下結(jié)論錯(cuò)誤的是

（）

R

A.N4仍=60°B.AP=BQ

C.PQ//AED.DE=DP

7、如圖，在△45C中，/〃是員'邊上的高，N朋后NCA伍90°,AB=AF,A（=AG,連接用，交加的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)￡,連接BG,CF,則下列結(jié)論：①除5②80；③NEA2NABC；④E六EG,其中正確

的有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

8、如圖，49是AABC的角平分線，DFVAB,垂足為凡DE=DG,AAOG和.AED的面積分別為

60和35,則AEDF的面積為（)

A.25B.5.5C.7.5D.12.5

9、如圖，已知NABC=NDCB.添加一個(gè)條件后，可得比也△〃/則在下列條件中，不能添加的

是()

A.AC=DBB.AB=DCC.4A=4DD.NABD=/DCA

10、如圖，在AA8C和“JEF中，點(diǎn)A,E,B,。在同一直線上，AC//DF,AC=DF,只添加一

個(gè)條件，能判定的是（）

AC

fD

A.BC=DEB.AE=DBC.ZA=ADEFD.ZABC=ZD

第n卷（非選擇題70分）

二、填空題（5小題，每小題4分，共計(jì)20分）

1、如圖，在AABC中，按以下步驟作圖：

①以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB、BC于點(diǎn)D、E.

②分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于goE的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F.

③作射線BF交AC于點(diǎn)G.

如果A3=8,BC=12,AABG的面積為18,則ACBG的面積為_______.

2、在△/比中，/年90°,是△/6C的角平分線，BO6、/1（=8.AB=10,則點(diǎn)。到力6的距離為

3、如圖，四邊形力比原四邊形/6'<7。'，則N4的大小是—

4、如圖，AB1BC于B,DC1BC千C,AB=(5,BO8,G9=2,點(diǎn)尸為比1邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BP=

時(shí)，形成的周△力斯與"an力全等.

BP

5、如圖，AABC中，AB=BC,ZABC=90°,F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE=CF,若

ZBAE=25°,則NACF=度.

三、解答題(5小題，每小題10分，共計(jì)50分)

1、4ABC、△/個(gè)都是等邊三角形.

(1)如圖1,求證：AP=BD；

⑵如圖2,點(diǎn)。在△/6C內(nèi)，"為然的中點(diǎn)，連PM、PA、PB,若PA工PM,1.PB=2PM.

①求證：BP1BD；

②判斷PC與PA的數(shù)量關(guān)系并證明.

2、在AABC中，4=90。，〃為比1延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)后為線段4G切的垂直平分線的交點(diǎn)，連接

EA,EC,ED.

(1)如圖1,當(dāng)Nfi4C=50。時(shí)，貝______0；

(2)當(dāng)N8AC=60。時(shí)，

①如圖2,連接力〃判斷△血＞的形狀，并證明；

②如圖3,直線行■與口交于點(diǎn)F，滿足NCQ=NCAE.。為直線CF上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)PE-PE)的值最大

時(shí)，用等式表示陽融與46之間的數(shù)量關(guān)系為,并證明.

3、小明的學(xué)習(xí)過程中，對(duì)教材中的一個(gè)有趣問題做如下探究：

圖1圖2圖3

(1)【習(xí)題回顧】已知：如圖1,在AABC中，ZACB=90°,AE是角平分線，8是高，AE.CD相

交于點(diǎn)F.求證：NCFE=/CEF；

(2)【變式思考】如圖2,在AA8C中，ZACB=90°,以＞是A8邊上的高，若A4BC的外角N8AG的平

分線交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,其反向延長(zhǎng)線與8c邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,若N3=40。，求NCEF和

NCFE的度數(shù)；

(3)【探究延伸】如圖3,在AABC中，在A8上存在一點(diǎn)。，使得NAC￡)=N3,角平分線AE交CO于

點(diǎn)尸.AA5C的外角/B4G的平分線所在直線MN與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)用.若/"=35。，求NCFE

的度數(shù).

4、如圖1,點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形ABC的邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A,點(diǎn)Q

從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為lcm/s.

(1)連接AQ、CP交于點(diǎn)M,則在P,Q運(yùn)動(dòng)的過程中，證明AAJ3。絲△CAP；

(2)NCMQ會(huì)發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；

(3)P、Q運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，公心。是直角三角形？

(4)如圖2,若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M,則

NCMQ變化嗎？若變化說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)。

5、(1)如圖①，AABC和△C0E都是等邊三角形，且點(diǎn)B,C,E在一條直線上，連結(jié)BD和AE,

直線3。，AE相交于點(diǎn)P.則線段80與AE的數(shù)量關(guān)系為—8。與AE相交構(gòu)成的銳角

的度數(shù)為__________.

(2)如圖②，點(diǎn)B,C,E不在同一條直線上，其它條件不變,上述的結(jié)論是否還成立.

“C匕5c

圖①圖②圖③

(3)應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)8,C,E不在同一條直線上，其它條件依然不變，此時(shí)恰好有

ZAEC=30\設(shè)直線AE交CD于點(diǎn)Q,請(qǐng)把圖形補(bǔ)全.若PQ=2,貝1」。尸=.

-參考答案-

一、單選題

1、B

【解析】

【分析】

由作法易得0I>0'D',0(=0'C,CD=CD',依據(jù)SSS可判定屋0D.

【詳解】

解：由作法易得O'D',000'C,CD=CD',

依據(jù)SS5可判定△神星ZkC0D,

故選B.

【考點(diǎn)】

本題主要考查了尺規(guī)作圖一作已知角相等的角，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的判定條

件.

2、D

【解析】

【分析】

根據(jù)全等圖形的定義，逐一判斷選項(xiàng)，即可.

【詳解】

解：A、兩個(gè)圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意，

B.兩個(gè)圖形不能完全重合，不是全等圖形，符合題意，

C.兩個(gè)圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意,

D.兩個(gè)圖形能完全重合，是全等圖形，不符合題意,

故選D.

【考點(diǎn)】

本題主要考查全等圖形的定義，熟練掌握“能完全重合的兩個(gè)圖形，是全等圖形”是解題的關(guān)鍵.

3、A

【解析】

【分析】

根據(jù)全等三角形的判定定理，用排除法以每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析從而確定最終答案.

【詳解】

A、正確，利用AAS來判定全等；

B、不正確，兩邊的位置不確定，不一定全等；

C、不正確，兩個(gè)三角形不一定全等；

D、不正確，有一直角邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等不一定能推出兩直角三角形全等，沒有相關(guān)判定方法對(duì)

應(yīng).

故選A

【考點(diǎn)】

本題考核知識(shí)點(diǎn)：全等三角形的判定.解題關(guān)鍵點(diǎn)：熟記全等三角形的相關(guān)判定.

4、C

【解析】

【分析】

由于折疊，可得三角形全等，運(yùn)用三角形全等得出NB=NC=55。，利用平行線的性質(zhì)可得出

ADEB=NC=55。則ZCEF即可求.

【詳解】

解：???△ABC沿線段OE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)尸處,

...WDEMAFDE,

：.4DEB=ZDEF,

VZA=70°,AB=AC,

，NB=NC=gx(180°-70°)=55°,

'：AC//DE,

：.ZDEB=NC=55°=ZDEF,

：.ZFEC=180°-ZDEB-ZDEF=70°,

故選：C.

【考點(diǎn)】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是，理解折疊就是得

到全等的三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等就可以解決.

5、A

【解析】

【分析】

觀察圖形，AD與CE是對(duì)應(yīng)邊，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊去找對(duì)應(yīng)角.

【詳解】

觀察圖形知，AD與CE是對(duì)應(yīng)邊

.?.NB與NACD是對(duì)應(yīng)角

又ND與NE是對(duì)應(yīng)角

...NA與/BCE是對(duì)應(yīng)角.

故選：A.

【考點(diǎn)】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

6、D

【解析】

【分析】

利用等邊三角形的性質(zhì)，比〃龍,，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/―于是

/A0B=NDAC+NBEONBEC+/DEO=NDEO6C,得出A正確；根據(jù)△(%質(zhì)△例1(ASA),得出B正

確；由△力的△以萬得NCS跳NZMG加之N/%=N，?60°,AOBC,得到△C。儂△”4(ASA),

再根據(jù)/胤060°推出為等邊三角形，又由/&)俏/腔，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，得

出C正確；根據(jù)/切辰60°,/DQ序4EC6/CE與60°+/CEQ,可知NDQEWNCDE,得出D錯(cuò)誤.

【詳解】

解：?.?等邊△46。和等邊△。町

：.AOBC,CD=CE,NACB=NDC&6G,

/AC於/BCD-NDCE+/BCD,即NACA4BCE,

在與△腔中，

AC=BC

-ZACD=ZBCE,

CD=CE

：./\ACD^/\BCE(SAS),

：.^CBE=ADAC,

又,：NACB=NDC打60°,

:.NBCD=6Q°,即//華N8C0,

又,：AOBC,

在與中,

ZACP=ZBCQ

<AC=BC,

ZPAC=ZCBQ

J△第屋△⑦4(ASA),

:?C4CQ,

又???NAC06O°可知為等邊三角形，

:?/PQ人DC左琳,

:?PQ〃AE,

故C正確，

<XCQ痛XCPA,

:?A六BQ,

故B正確，

*：AFBE,AP-BQ,

:.AD-A4B&BQ,

即D4QE,

■：/DQ序ZEO/CEgN+4CEQ,NCD氏60°,

:"DQE"2CDE,故D錯(cuò)誤；

VZACB=ZDCE-60°,

：.ZBCD=60°,

???等邊△〃*,

Z￡Z?^60°=/BCD,

:.BC〃DE,

：?/CBB〃DEO,

：.乙A0B=/DAC+4BEC=乙BEC+/DEO-NDEO6G，

故A正確.

故選：D.

【考點(diǎn)】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)不變性，解題的關(guān)鍵是找到不變

量.

7、D

【解析】

【分析】

證得走△G46（必S）,從而推得①正確；利用及三角形內(nèi)角和與對(duì)頂角，可判斷

②正確；證明△":儂△掰〃（A4S）,得出FM=AD,AFAM=ZABD,則③正確，同理△及皿△如，得

出A份加9,則用后愴證明△月修△凝（44S）.可得出結(jié)論④正確.

【詳解】

解：?：ZBA/^ZCAG=90°,

二/BA及NBAO/CAG+/BAC,即/CA六/GAB,

又,：AB=AF=AC=AG,

:ZAF2XGAB（必S）,

：.BG=CF,故①正確；

?：AFAC^ABAG,

：.ZFCA=ZBGA,

又,：BC與/G所交的對(duì)頂角相等，

.?.加與笈所交角等于/的。，即等于90°,

：.BGVCF,故②正確;

過點(diǎn)丹乍FWE于點(diǎn)、M,過點(diǎn)G作GMLAE交力￡的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

NG

?：NFMA=/FA斤/AD斤90°,

???/用冊(cè)N氏"=90°,ZFA^ZAElf-900,

：.ABAD=AAFM,

又?：AF=AB,

:.XAFN但XBAD(A4S),

：.FM=AD,/FA的/ABD,

故③正確，

同理必△如，

：.NG=AD,

:?FM;NG,

?：FM_LAE,NGLAE,

:"FM"/ENG^9N,

,//AE六/NEG,

:ZME^XGNE(AAS).

：.EF=EG.

故④正確.

故選：D.

【考點(diǎn)】

本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的三線合一性質(zhì)與互余、對(duì)頂角，三角形內(nèi)角

和等幾何基礎(chǔ)知識(shí).熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8、D

【解析】

【分析】

過點(diǎn)D作DHLAC于H,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DF=DH,再利用“HL”證明

RtAADF和RtZ\ADH全等，RtADEF和RtADGIl全等，然后根據(jù)全等三角形的面積相等列方程求解即

可.

【詳解】

如圖，過點(diǎn)D作DHLAC于H,

?.?AD是AABC的角平分線，DF_LAB,

..DF=DH,

fAD=AD

在RSADF和RSADH中，，

[DF=DH

RtAADFgRlAADH(HL),

?Q-Q

?,°RtADF一°RtADH，

AA

‘工上fDE=DG

在Rt^DEF和RSDGH中，2八口

[DF=DH

...RtADEF^RtADGH(HL),

?Q-Q

-ORIADEF—°RtADGH，

△ADG和AAED的面積分別為60和35,

35+SRI,DEF=60—SRLH，

SRMDEF=12.5,

故選D.

【考點(diǎn)】

本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記掌握相關(guān)性

質(zhì)、正確添加輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

9、A

【解析】

【分析】

先要確定現(xiàn)有已知在圖形上的位置，結(jié)合全等三角形的判定方法對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證，排除錯(cuò)誤的選項(xiàng).

【詳解】

解：,:NABC=/DCB,

"：BC=BC,

A,添加40=如，不能得△46店△小、符合題意；

B、添加利用必S可得不符合題意；

a添加N4=N〃，利用A4s可得△46莊△河,不符合題意；

D、添加N45ZH/ZO,:./ACB=NDBC,利用/力可得△48巨△ZO,不符合題意;

故選：A.

【考點(diǎn)】

本題主要考查三角形全等的判定，熟練掌握判定方法是解題的關(guān)鍵.

10、B

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形全等的判定做出選擇即可.

【詳解】

A、BC=DE,不能判斷△ABC絲△￡)￡■F，選項(xiàng)不符合題意；

B、AE=DB,利用必S定理可以判斷AABC段選項(xiàng)符合題意；

C、ZA=ADEF,不能判斷△A5C/選項(xiàng)不符合題意；

D、ZABC=ZD,不能判斷△ABCgaOEF,選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【考點(diǎn)】

本題考查三角形全等的判定，根據(jù)SSS、SAS,ASA,小IS判斷三角形全等，找出三角形全等的條件是

解答本題的關(guān)鍵.

二、填空題

1、27

【解析】

【分析】

由作圖步驟可知BG為/ABC的角平分線，過G作GH±BC,GM±AB,可得GM=GH

,然后再結(jié)合已知條件和三角形的面積公式求得GH,最后運(yùn)用三角形的面積公式解答即可.

【詳解】

解：由作圖作法可知：BG為NABC的角平分線

過G作GH±BC,GM±AB

.\GM=GH

...S1MtGh18

S?BCG1BCGH123SiBCC

2

?1'S、BCG=27

故答案為27.

【考點(diǎn)】

本題考查了角平分線定理和三角形面積公式的應(yīng)用，通過作法發(fā)現(xiàn)角平分線并靈活應(yīng)用角平分線定理

是解答本題的關(guān)鍵.

2、g或2：

【解析】

【分析】

作場(chǎng)1于￡,如圖，先根據(jù)勾股定理計(jì)算出除8,再利用角平分線的性質(zhì)得到止ZT,設(shè)

D^DOx,利用面積法得到10戶6(8-x),然后解方程即可.

【詳解】

解：作施上48于E,如圖,

是的一條角平分線，DCVAC,DELAB,

:.際DC,

設(shè)D^DOx,

s4MlpWDE?AB^AOBD,

Q

即10產(chǎn)8（6-入），解得A=Q,

即點(diǎn)。到四邊的距離為Q,

故答案為：I.

【考點(diǎn)】

本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，由已知能夠注意到〃到AB

的距離即為座長(zhǎng)是解決的關(guān)鍵.

3、95°

【解析】

【分析】

根據(jù)兩個(gè)多邊形全等，則對(duì)應(yīng)角相等四邊形以及內(nèi)角和即可完成

【詳解】

?.?四邊形4完屋四邊形"B'CD'

：.4D=ND'=130°

:四邊形46口的內(nèi)角和為360°

.?.N4=360°-N力/廿N少95°

故答案為：95°

【考點(diǎn)】

本題考查了多邊形全等的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和定理，掌握多邊形全等的性質(zhì)是關(guān)鍵.

4,2

【解析】

【分析】

當(dāng)上2時(shí)，RtAAB2Rt4PCD,由於8可得。J6,進(jìn)而可得4生例BP=CD,再結(jié)合AB工BC、

■可得/生Nt>90°,可利用SAS判定△ABP^APCD.

【詳解】

當(dāng)於2時(shí)，杜小ABP^RtAPCD.理由如下：

,:BO8,B六2,

:.PO6,

J.AB-PC.

'：ABVBC,DCVBC,

：.Z^=ZO90°.

在△/即和an力中，

AB=PC=6

?.,(NB=NC=90。，

BP=CD=2

：./\ABP^/\PCDkSAS).

故答案為：2.

【考點(diǎn)】

本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS.ASA,A4S和血）是解題

的關(guān)鍵.注意：AAA.5S4不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若

有兩邊一角相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.

5、70

【解析】

【分析】

先利用HL證明AABE之ACBF,可證NBCF=NBAE=25°,即可求出NACF=45°+25°=70°.

【詳解】

VZABC=90°,AB=AC,

AZCBF=180°-ZABC=90°,ZACB=45°,

在RSABE和RSCBF中，

jAB=CB

[AE=CF'

.,.RtAABE^RtACBF（HL）,

AZBCF=ZBAE=25°,

AZACF=ZACB+ZBCF=45°+25°=70°,

故答案為70.

【考點(diǎn)】

本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

三、解答題

1、（1）證明過程見解析;

(2)①證明過程見解析；②PO2PA,理由見解析.

【解析】

【分析】

(1)證明4員廬(必5),可得結(jié)論；

(2)①如圖2中，延長(zhǎng)百V到《，使得掰仁切/,連接區(qū)證明修△&新(SIS),推出物^第

AP-CK,/加游/的90°,再證明△以儂△尸次(SSS),可得結(jié)論；

②結(jié)論：PO2PA.想辦法證明/勿作30°,可得結(jié)論.

(1)

證明：如圖1中，

'：XABC,△&!八都是等邊三角形，

：.CB=CA,CD=CP,/A?/DCP=6G,

：.4BC人ACP,

在△靦和中，

CB=CA

"NBCD=ZACP,

CD=CP

:.XBC恒XACP(弘S),

：.BFAP；

(2)

證明：如圖2中，延長(zhǎng)到K,使得劭佇連接CK.

圖2

*：APLPM,

???//!￡滬90°,

在△兒外和中，

MA=MC

，Z.XMP=NCMK,

MP=MK

：./\AMP^/\CMK(SAS\

C.MP-MK,A4CK,N/l/游/於90°,

同法可證△aZ運(yùn)△4例

:?BFP歸CK,

■:PF2PM,

J.PB^PK,

■:P2PC,

:?叢PDB^/\PCK(SSS),

???N必廬N斤90°,

②解：結(jié)論：PO2PA.

'：/\PDB^/\PCK,

：.ADPB=ACPK,

設(shè)./DPFLCP仁x,則/加片90°-x,

?：4APO4CDB,

，90°+A=60°+90°-x,

A=30°,

：.ZDPB=30°,

■:NPBD=90°,

PF2BD,

,：POPD,BD=PA,

：.P（=2PA.

【考點(diǎn)】

本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形30°角

的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，關(guān)注全等三角形解決問題.

2、（1）80；（2）△血）是等邊三角形；（3）PE-PD=2AB.

【解析】

【分

（1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知AE=EC=E￡>,再結(jié)合等腰三角形性質(zhì)可得NE4C=NEC4,

ZEDC=ZECD,利用平角定義和四邊形內(nèi)角和定理可得Z4匹=2ZACB,由此求解即可；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出N/?=2NAC8=60。即可證明是等邊三角形；

（3）根據(jù)利用對(duì)稱和三角形兩邊之差小于第三邊，找到當(dāng)PE-PO的值最大時(shí)的。點(diǎn)位置，再證明

對(duì)稱點(diǎn)小與4〃兩點(diǎn)構(gòu)成三角形為等邊三角形，利用旋轉(zhuǎn)全等模型即可證明AACD三AE。。，從而可知

PE-PD=PE-PD'=ED=AC,再根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)可知AC=2AB即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：（1）??,點(diǎn)￡為線段〃；W的垂直平分線的交點(diǎn),

/.AE=EC=ED,

：.ZEAC=ZECA,NEDC=NECD,

：.ZEAC+ZEDC=ZACE+ZECD=ZACD,

「ZEAC+ZEDC+ZACD+ZAED=360°,

：.2ZACD+ZAED=360。,

?/ZACD+ZACB=180°,

???ZAED=2ZACB,

???在△ABC中，ZB=90°,ZBAC=50°,

/.ZACB=40°,

???ZAED=2ZACB=S0°,

故答案為：80°.

(2)①結(jié)論：小山是等邊三角形.

證明：???在“IBC中，ZB=90°,ZfiAC=60°,

JZACB=30°,

由(1)得：ZAED=2ZACB=6O09AE=EC=ED,

???△血＞是等邊三角形.

②結(jié)論：PE-PD=2AB.

證明：如解圖1,取〃點(diǎn)關(guān)于直線力尸的對(duì)稱點(diǎn)。內(nèi)連接P。、PDf；

E

BCD

解圖1

/.PD=PD,

'：\PE-PD'\<Eiy,等號(hào)僅只E、次三點(diǎn)在一條直線上成立,

如解圖2,P、E、加三點(diǎn)在一條直線上，

解圖2

由(1)得：ZCAE+ZEDC=ZACD,

又,:NCFD=NCAE,

：.ZCFD+ZCDE=ZACD,

又,?ZACD+ZACB=180°,NCFD+ZCDE+ZPCD=18()°,

二ZPCD=ZACB=30°,

???點(diǎn)。、點(diǎn)以是關(guān)于直線47的對(duì)稱點(diǎn)，

,CD=CD',ZD'CD=2ZPCD=60°,

是等邊三角形,

ACD=DD',/CW'=60°,

：是等邊三角形，

二AD=￡D,ZADE=60°,

ZADC+ZD'DA=ZD'DA+NEDD,

,ZADC=NEDD,

在448和AEDO中，

AD=ED

"ZADC=NEDD',

CD=D'D

：.AACD三AEDD(SAS)

：.AC=ED',

'：PD=PD,

：.PE—PD=PE-PD=ED=AC,

在AABC中，ZB=90°,48=30。，

AC=2AB,

二PE-PD=2AB

【考點(diǎn)】

本題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形性質(zhì)和判定等

知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是利用對(duì)稱將PE-9轉(zhuǎn)化為三角形三邊關(guān)系找到。的位置，并證明對(duì)稱點(diǎn)康與

/〃兩點(diǎn)構(gòu)成三角形為等邊三角形.

3、(1)見解析；

(2)25°,25°；

(3)55"

【解析】

【分析】

(1)由余角的性質(zhì)可得N5=N4切，由角平分線的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可得結(jié)論；

(2)由三角形內(nèi)角和定理可求N勿產(chǎn)=130°,由角平分線的性質(zhì)可求/勿465°,由余角的性質(zhì)可

求解；

(3)由平角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可求/￡加-90°,由外角的性質(zhì)可求解.

(1)

證明：'：ZACB=90°,必是高，

屏NG46=90°,ZAC/)^ZCAB=90°,

:.2B=/ACD,

是角平分線，

：.ZCAF=ADAF,

ZCFE=ZCAF+ZACDZCEF=ZDAF+AB,

:./CEF=/CFE；

(2)

解：VZi9=40°,N/==90°,

ZGAB=AAACB=400+90°=130°,

?.3尸為/胡G的角平分線，

：.ZGAF=ZDAF=-xl30°=65°,

2

?.?修為四邊上的高，

:.NADF=NACE=9G°,

：.ZCFE=90°-N&b=90°-65°=25°,

又?.?/?！?/②尸=65°,ZACS=90°,

處=90°-ZC4￡=90°-65°=25°；

(3)

證明：???，、爾G三點(diǎn)共線，AE、4V為角平分線，

/仁90°,

又,：NCAM,

於/儂1=90°,

,：ACEF=AEAB-yAB,ACFE=AEAC+Z.ACD,￡ACD=￡B,

：.ACEF=ACFE,

；./，%/姓9=0°.

:.NCFE=9Q°-Z^90°-35°=55°.

【考點(diǎn)】

本題考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，余角的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問

題是解題的關(guān)鍵.

48

4、(1)見解析；(2)ZCMQ=60°,不變；(3)當(dāng)?shù)凇烀牖虻?秒時(shí)，△PBQ為直角三角形；(4)

ZCMQ=120°,不變.

【解析】

【分析】

(1)利用SAS可證全等；

(2)先證△ABQ^^CAP,得出NBAQ=NACP,通過角度轉(zhuǎn)化，可得出NCMQ=60°；

(3)存在2種情況，一種是NPQB=90°,另一種是NBPQ=90°,分別根據(jù)直角三角形邊直角的關(guān)系

可求得t的值；

(4)先證4PBC0△ACQ,從而得出NBPC=NMQC,然后利用角度轉(zhuǎn)化可得出/CMQ=120°.

【詳