喀興林高等量子力學EX1andEX2

練習1.1試只用條件（1）~（8）證明2，0和（1）。（完成人：梁立歡審核人：高思澤）證明：由條件（5）、（7）得11（1）12(1)這兩式互相等價只需證明0和根據(jù)條件（7）0(00)00現(xiàn)在等式兩邊加上(0)，得0(0)(00)(0)根據(jù)條件（4），上式左0(0)根據(jù)條件（4）、（2）上式右0(00)000由0，根據(jù)條件（4）、（7）得0(11)(1)(1)#。練習1.2證明在內(nèi)積空間中若,,對任意成立，則必有1212（完成人：谷巍審核人：肖鈺斐）題意可知，在內(nèi)積空間中若,,對任意成立，則有12證明由,－,=0(1)(2)12于是有,012,則有12由于在內(nèi)積空間中,,對任意成立，則可取12

=0成立,（3）1212根據(jù)數(shù)乘的條件（12）可知，則必有012（4）即12故命題成立，即必有.12#練習1.3矢量空間運算的12個條件是不是獨立的？有沒有一條或兩條是其余各條的邏輯推論？如有，試證明之。（完成人：趙中亮審核人：張偉）解：矢量空間運算的12個條件是獨立的。#練習1.4（1）在第二個例子中若將加法的規(guī)定改為：和矢量的長度為二矢量長度之和，方向為二矢量所夾角180的分角線方向，空間是否仍為內(nèi)積空間？（2）在第二個例子中若將二矢量A和B內(nèi)積的定義改為ABsin或12ABsin，空間是否仍為內(nèi)積空間？（3）在第三個例子的空間中，若將內(nèi)積的定義改為l,ml*m2l*m3l*m4l*m11223344空間是否仍為內(nèi)積空間？（4）在第四個例子的函數(shù)空間中，若將內(nèi)積的定義改為f(x),g(x)f*(x)g(x)xdx或baf(x),g(x)f*(x)g(x)x2dxba空間是否仍為內(nèi)積空間？（完成人：張偉審核人：趙中亮）解：（1）在第二個例子中若將加法的規(guī)定改變之后，空間不是內(nèi)積空間。因為將規(guī)定改之后對于任意的矢量不一定存在逆元，如一個不為零的矢量設(shè)為A，則任意矢量和它相加后，得到的矢量的長度不為零，所以一定不能得到零矢量，即找不到逆元。所以空間不是內(nèi)積空間。（2）在第二個例子中若將內(nèi)積的定義改之后，空間不是一個內(nèi)積空間。證明如下：一般情況下，BCBC,即有A,BC,,ABCsinABsinACsin=ABAC所以內(nèi)積的定義改變之后不是內(nèi)積空間。（3）在第三個例子中若將內(nèi)積的定義改之后，空間仍然是一個內(nèi)積空間。證明如下：im,l*(m*l2ml3ml4m3l)4lm2l1m3l2m4l3ml,m********11223412344ii．l,mnl(mn)2l(mn)3l(mn)4l(mn)***11222333444*1(lm2lm3l*m4l*m)(l*n2l*n3l*n4l*n)**2l,ml,n112334411223344iii．l,malma2l1ma3l2ma4l3ma4****1234a(lm2lm3l2m4l3m)4****al,m11234iv.l,l|l|22|l|23|l|24|l|20，對任意l成立1234若l,l0,則必有l(wèi)lll0,即l01234綜上所述，新定義的內(nèi)積規(guī)則符合條件（9）—條件（12），所以仍為內(nèi)積空間（4）在第四個例子的函數(shù)空間中，若將內(nèi)積的定義改為f(x),g(x)f(x)g(x)xdx后，空間不是內(nèi)積空間。b*a因為f*(x)f(x)xdxf(x)2xdx，積bf(x),f(x)分號內(nèi)的函數(shù)是一個baa奇函數(shù)，它不能保證對于任意的fx積分出來后都大于零，即不符合條件(12)，所以不是內(nèi)積空間。在第四個例子的函數(shù)空間中，若將內(nèi)積的定義改為f(x),g(x)bf*(x)g(x)x2dx后，空間是內(nèi)積空間。a證明如下:f(x),g(x)g(x),f(x)*bf*(x)g(x)x2dxbg*(x)f(x)x2dx*iaaiif(x),g(x)hxf(x),hxbf*(x)g(x)x2dxbf*(x)h(x)x2dxf(x),g(x)aaiiiivf(x),g(x)abf*(x)g(x)ax2dxabf*(x)g(x)x2dxaf(x),g(x)aaf(x),f(x)bf(x)2x2dx0,對任意成立af(x)2x2dx0，則必有fx0b若f(x),f(x)a綜上所述，新定義的內(nèi)積規(guī)則符合條件（9）—條件（12），所以仍為內(nèi)積空間。#練習1.5若a為復(fù)數(shù)，證明若a時，Schwartz不等式中的等號成立。（完成人：肖鈺斐審核人：谷?。┳C明：當若a時，分別帶入Schwartz不等式的左邊和右邊。2左邊=,aa右邊=aa2左邊=右邊，說明當a時，Schwartz不等式中的等號成立。#練習1.6證明當且僅當|a||a|對一切數(shù)成立時，與正交。并a在三維位形空間討論這一命題的幾何意義。（完成人：趙中亮審核人：張偉）證明：解：當|a||a|對一切數(shù)成立時，有a|a|2|a|2即(a,a)(a,a)(,)(,a)(a,)(a,a)(,)(,a)(a,)(a,a)得即(,a)(a,)(,)aa(,)因為可以取一切數(shù)a,所以當取純虛數(shù)時，即aaa(,)(,)得由此得(,)只能是實數(shù)當取非零實數(shù)時，即aaa(,)(,)只有(,)0時，即與正交時才成立a成立時，與正交所以當|a||a|對一切數(shù)。(,)0當與正交時，則(,)(,)0取為a任意數(shù)則(,)aa(,)0(,a)(a,)2(,a)2(a,)(,)2(,a)(a,a)(,)2(a,)(a,a)(,)(,a)(a,)(a,a)(,)(,a)(a,)(a,a)(a,a)(a,a)|a|2|a|2得|a||a|即|a||a|對一切數(shù)成立a|a||a|對一切數(shù)成立時，與正交。綜上，當且僅當a在三維位形空間中，這一命題的幾何意義是：對角線相等的平行四邊形是矩形。#練習1.7證明：當且僅當對一切數(shù)成立時，與正交。（完成人：班衛(wèi)華審核人：何賢文）證明：因為，兩邊平方得22)222(22)(02則構(gòu)成以為要使對一切成立，變量的二次函數(shù)，判別式恒小于等于零，即()20只需即得0(,)(,)0(,)0所以當對一切數(shù)成立時，與正交。練習1.8在四維列矩陣空間中，給定四個不正交也不全歸一的矢量：11110111,,,001112340001它們構(gòu)成一個完全集，試用Schmidt方法求出一組基矢。人：肖鈺斐審核人：谷?。┙猓河蒘chmidt方法，所求基矢：（完成1010110110011012,100002211122000011000010103,,11100113311322333000001100001010,,,1111001044114224334100010404041#練習1.9在上題中，改變四個的次序，取11110111,,1,00112340100重新用Schmidt方法求出一組基矢。（完成人：何賢文審核人：班衛(wèi)華）不滿足正交歸一這個空間的一條件的完全集{,,,}，求解：由空間中1234{,,,}.組基矢1234為歸一化的：（1）首先取111010101a使與正交，即（2）取a，選擇常數(shù)2211212210(,)(,)a121212得01a1，12121取為歸一化的：22011212321a，選擇常數(shù)a和a使與,正交，即a（3）取331132231323312023(,)(,)133113223133歸一化的為3012313613已選aaa（4）取，選擇常數(shù)a,a,a使與441142243341424344定的,,正交，即123001(,)(,)(,)24411422433412歸一化的為40410124414則找到一組基矢為{,,,}.123#練習1.10在三維位形空間中，i，j，k是在互相垂直的x，y，z三個軸上的單位矢量。取三個歸一化的矢量：（高思澤）i121(ij)213(jk)2在內(nèi)積就是點乘積的定義下它們并不正交?，F(xiàn)在改變正交的定義：定義這三個矢量，，互相正交。3121.證明：定義一個歸一化的完全集里面的矢量彼此互相正交，等于定有一種內(nèi)積規(guī)則。2.求出這個新的內(nèi)積規(guī)則，即將任意兩個矢量rixjykz，1111rixjykz的內(nèi)積表為x,y,z和x,y,z的函數(shù)。11122222223.驗證所求的內(nèi)積規(guī)則符合條件（9）～（12）。ij4.用(，)=驗證所求出的內(nèi)積規(guī)則。ij1證明：在一個歸一化的完全集里面的矢量集合里，任意的兩個矢量正交，根據(jù)矢性定義，兩個矢量ψ和φ的內(nèi)積為零，即,0。量的正交2解：由i，j，k與，，的關(guān)系，可得到如下變換：123i1j221k22321由上面的關(guān)系得：rx(2)y(22)z(xyz)(2y2z)2z3rx(2)y(22)z(xyz)(2y2z)1112113211111121112z2122123212122222232由此，2z,(xyz)(2y2z)(r,r)((xyz)(2y2z)2z)22212111121131122223(xyz)*(xyz)(,)2(yz)*(yz)(,)4z*z(,)111222111122221233{2(xyz)*(yz)2(xyz)*(yz)}(,){2z(xyz)*2z(xy111222221112211112{2z(yz)*2z(yz)*}(,)21112223定義，，互相正交，有矢量的正交性，得123(,)(,)(,)1311333(,)(,)(,)0121323由此可得(r,r)(xyz)*(xyz)2(yz)*(yz)4z*z212111222112213證明：(r,r)*((xyz)*(xyz)2(yz)*(yz)4z*z)*21222111221121(xyz)*(xyz)2(yz)*(yz)4z*z2(r1,r)112221122112(r,ra)(xyz)*(xyz)a2(yz)*(yz)a4z*za(r,r)a1211122211221212(r,r)|(xyz)|22|(yz)|24|z|20當(,)0rr時，只有x,y,z都同時等于0才能滿足，即r0。綜上所述，所求的內(nèi)積規(guī)則符合條件（9）～（12）。4，見（2）#練習1.11在n維空間中，已知{}，i=1,2,3.....,n是一組完全集（不一定正交），i現(xiàn)在有n個矢量{}，i=1,2,3.....,n（也不一定正交），定義i(,)(,)(,)11121n(,)(,)(,)D=21222n(,)(,)(,)n1n2nn證明{}線性相關(guān)的必要和充分條件維D=0。i（完成人：何賢文審核人：班衛(wèi)華）nD0，此式是關(guān)于n{}，有解：對于矢量空間的n個矢量的集合iiii1個矢量的集合{}的齊次方程組i(,)(,)01(,)111122nn(,)(,)(,)0（1）2112222nn(,)(,)(,)0n11n22nnnn若{}線性相關(guān)，則滿足D0至少有一組非零解，則要求：iiii1(,)(,)(,)11121n(,)(,)(,)021222n(,)(,)(,)n1n2nn即D=0若D=0，則方程（1）必有非零解，即滿足有一組不為零的復(fù)數(shù)使得nD0iii1故{}線性相關(guān)。i#練習1.12一個矢量空間有兩個不同的子空間S1和S2，證明除去以下兩種情況外，包括S1的全部元和S2的全部元的那個集合并不是子空間：（1S1是S2的子空間或S2是S1的子空間；（2S1和S2其中之一只含有零矢量一個元。（完成人：張偉審核人：趙中亮）證明：（1）設(shè)子空間S1和S2的維數(shù)分別為m，n，它們共同的基矢的個數(shù)為llm,ln個，當S1不是S2的子空間且S2不是S1的子空間時，它們之間含有不同的基矢。則當S1空間的一個矢量和S2空間的一個矢量做加法的時，它們得到的矢量并不能一定在包括S1的全部元和S2的全部元的那個集合中找到，因為加法后得到的矢量的維數(shù)可以大到mnl維，而mnlm,且mnln所以包括S1的全部元和S2的全部元的那個集合并不是矢量空間，從而不是子空間。（2）當S1和S2其中之一只含有零矢量一個元時，它必然是另一個子空間的子空間，由此可見(2)只不過是（1）的特例，顯然得證。#練習1.13閱讀狄拉克的《量子力學原理》§6，分析他建立左矢空間的方法與我們的方法有什么共同點和不同點.（完成人：梁立歡審核人：高思澤）分析：本書從空間的方向入手建立左矢量。我們對現(xiàn)有的一個矢量空間定義了其中矢量的加法、數(shù)乘和標量積運算，稱此空間為單一空間?，F(xiàn)在對照這個空間再建以下兩個空間。一個叫右矢空間，它的構(gòu)造同單一空間完會一樣，每一個矢量（即右矢）都與單一空間里的矢量相對其定義和規(guī)則與單一空間相同。第二空間比照右欠空間來建立，稱為左矢空間，其實右矢空間的每一個矢量在左矢空間都有一個左矢與其相對應(yīng)。，左矢空間應(yīng)，這些右矢有加法和數(shù)乘的運算，中的事情不能隨意去規(guī)定，需要同右矢空間的事情相互協(xié)調(diào)，它們通過標量積聯(lián)系起來。這樣建立的左矢空間是一個完全確定的（即有明確加法和數(shù)乘運算規(guī)則的）欠量空間。狄拉克是從對偶矢量的方向入手建立左矢量。假定有一個數(shù)C。它是右矢量的函數(shù)，就是說，對每一個右矢量有一個函數(shù)C與之相應(yīng)，并且進一步假定此函數(shù)是線性函數(shù)，其意義是，相應(yīng)于的數(shù)等于相應(yīng)于的數(shù)與相應(yīng)于的數(shù)之和，相應(yīng)于a的數(shù)是相應(yīng)于的數(shù)的a倍，其中a是任意的數(shù)字因子。這樣，相應(yīng)于任何的數(shù)C，就可以看成是與某個新矢量的標量積，對右矢量的每一線性函數(shù)就有一個這樣的新矢量。我們把這種新矢量稱為“左矢量”或簡稱“左矢”。在此引入的左矢量，是與右矢量完全不同的另一類矢量，而且直到現(xiàn)在。除了左矢量與右矢量之間存在著標量積以外，兩者之間還沒有任何聯(lián)系。現(xiàn)在作一個假定：在左矢量與右矢量之間有一一對使得相應(yīng)于的左矢是相應(yīng)于的應(yīng)關(guān)系。左矢與相應(yīng)于的左矢之和。而相應(yīng)于的左矢則是相應(yīng)于的左矢乘以c，c是c的共軛復(fù)數(shù)，相c應(yīng)的左矢可寫成。從以上兩種方法來看，它們是從不同的方向來建立左矢空間的，在此過程中，都對矢量關(guān)系和運算問題進行了一些假定（或規(guī)定），并且所建立的左矢空間和右矢空間都是通過定義的標量積聯(lián)系起來。#練習1.14證明：與~（12））的右矢是一個確定的右矢人：谷巍審核人：肖鈺斐）所有左矢的內(nèi)積均已給定（但給定值應(yīng)滿足內(nèi)積條件（9）（即必定存在而且只有一個）。（完成所有證明設(shè)右矢和與左矢均已給定,且內(nèi)積均為C.則有的內(nèi)積12C1（1）C2（2）根據(jù)內(nèi)積條件（10）的第一式，由（1）－（2），則有012（3）因為是任意的左矢，故知括號內(nèi)為0，即012(4)12(5)故與所有左矢的內(nèi)積均已給定的右矢是一個確定的右矢（即必定存在而且只有一個）.定理得證.2.1證明下列常用公式（陳玉輝解答項鵬核對）（1）[A,BC]B[A,C][A,B]C證明：[A,BC]ABCBCABACBCAABCBACB[ACCA][ABBA]CB[A,C][A,B]C（2）[AB,C]A[B,C][A,C]B證明：[AB,C]ABCCABABCACBACBCABA[BCCB][ACCA]BA[B,C][A,C]B2.2若算符B與[A,B]對易，證明：（陳玉輝解答項鵬核對）[A,Bn]nBn1[A,B]證明：[A,Bn][A,BBn1][A,B]Bn1B[A,Bn1]將n換成（n-1）,就有[A,Bn1][A,B]Bn2B[A,Bn2][A,Bn][A,B]Bn1[A,B]Bn1B2[A,Bn2]2[A,B]Bn1B2[A,Bn2]重復(fù)這種遞推過程（n-1）次，即得[A,Bn](n1)[A,B]Bn1Bn1[A,Bn(n1)](n1)[A,B]Bn1Bn1[A,B]nB[A,B]n1#練習2.3證明：（輸入人：杜花偉核對人：王俊美）（1）若A有逆，a≠0，則aA也有逆，且(aA)1A1；1aABB1A1；（2）若A,B都有逆，則AB也有逆，且()1ABA1{1B(AB)1}；（3）()1（4）(AB)1A1A1BA12A1BA1BA1.(為復(fù)數(shù)1）若A有逆，a≠0，滿足AA1,aa11，則aAa1A1aa1AA11);證明：（1所以aA有逆,且(aA)11A1.a(2)若A,B都有逆,滿足AA1,BB11,則1ABB1A1AA11所以AB有逆,且(AB)1B1A1.(3)(AB)1A1A(AB)1A1{A(AB)1}A1{(ABB)(AB)1}A1{(AB)(AB)1B(AB)1}A1{1B(AB)1}(1)1（x極小(4)由于,即x→0時）展為級數(shù):23(1)11(AB)1[A(1BA1)]1A1(1BA1)故(A1(1BA12BA1BA1)A1A1BA12A1BA1BA1#2.4若線性算符A有逆，{|μ>}（i=1,2,3,?，n）是A的有限維的定義域的中的一組完全集。證明在A的值域中{A|μ>}也是一組完全集，從而證明值域的維數(shù)與定義域相同。證明：已知A為可逆算符得AA1A1A1μ>{|}（i=1,2,3,?，n）是A的有限維的定義域中的一組完全集A|Ψ>=|μ>定義域|μ>為n維的假設(shè)值域|Ψ>不是一組完全集，那么值域中的每一個|Ψ>在定義域中有且只有一個|μ>所以的|Ψ>為數(shù)肯定小于n。又因為A算符是可逆的，所以得A-1|Ψ>=|μ>定義域|Ψ>維數(shù)小于n的那么不論|μ>是否為完全集都應(yīng)該小于或等于n維的。這樣的話|μ>的維數(shù)與題目相矛盾由此得之A的值域中{A|μ>}也是一組完全集，而值域的維數(shù)與定義域相同。AB1BA1練習2.5有逆算符A的定義域是有限維的，若已知,證明。證明：（何建賢解答項朋核對）已知A是可逆算符，所以AA11和A1A1又因為AB1，即ABAA1兩邊同時右乘得ABAAA1A兩邊同時左乘A1得1ABAA1AA1AA所以得：AB1#練習2.6證明任何線性算符作用于零矢量上，必得零矢量。證明：（高召習解答孟祥海核對）設(shè)A為任意線性算符，由線性算符的性質(zhì)得：A(|)(A|)令0，由于||，0|0所以A|0(A|)令A(yù)||，所以A|0|00|0#練習2.7（2.7）式與（2.8）式還各有一個用,型多重對易式表示的式BAi子，試把它們求出來。（高召習解答孟祥海核對）解：（1）由于[B,A(0)]B[B,A(1)][B,A][B,A(2)][[B,A],A]顯然，對于[B,A(1)]型多重對易式有[[B,A(i)],A][B,A(i1)][B,A(1)]AA[B,A(1)][B,A(i1)]即[B,A(1)]A[B,A(i1)]A[B,A(1)]（2）由于[A(i),B][B,A(i)]（1）（2）nn!n且AnBnABA[,]1(ni)!i![,]ABA()in()n1iii1i1把（1）代入（2）得n!nAnBnBAA[,]n1(ni)!i![,]nBAAi()()n1iii1i1#練習2.8試用數(shù)學歸納法證明：（陳玉輝解答項鵬核對）[A,Bn]Bn1[A,B]Bi1ni1證明：用數(shù)學歸納法，當n=1時原式成為[A,B][A,B]原式顯然成立；現(xiàn)設(shè)原式對n成立，推出它對n+1也成立：[A,Bn1][A,BBn]B[A,Bn][A,B]BnBnBn1[A,B]Bi1[A,B]Bni1nB(n1)1[A,B]Bi1B(n1)(n1)[A,B]B(n1)1i1n1B(n1)1[A,B]Bi1i1這就證明了原式對n+1也成立，所以[A,Bn]Bn1[A,B]Bi1ni1#2.92.10若算符A有逆，證明A的伴算符也有逆，而且AA11證明：取一任意BAB1A可見對于任意，確有存在，這個就是B。若AA,用C作用在此式兩邊122CACA1，所以。1存在，因此A的伴算符也有逆A但此式就是12又因A有逆，即AA11則AA1AA1由于AA1則1AA又因A有逆，所以11#可否改成對任意有：2.11伴算符的定義式（2.24）或BBBB？（許中平核對：田軍龍）B證明：取一任意，都有B式中的B是右矢空間的算符，此式右邊的B的右矢與左矢B的內(nèi)積，單用右矢空間的話說，就是右矢與右矢的內(nèi)積，在單一空間B中，此式正是伴算符B的定義式，寫成單一空間的形式就是：,BB,因此，BB可改成對任意有：BB#練習2.12本節(jié)提到的由A0斷定A0的定理對于實空間（即數(shù)乘中的數(shù)是實數(shù)）是不成立的。試在三維位行空間（內(nèi)積定義為標量積舉出一xy）中邱鴻廣解答田軍龍個反例，證明此定理對實空間不成立。（審核）證明：在實空間中只要算符A為一個把矢量逆時針旋轉(zhuǎn)90度的變換矩陣。則當它作用到任何一個位行空間矢量上后再與原來的矢量點積都為零。但A不為零。所以不成立。010A100例:001#2.13證明：若A,B是厄米算符，則當且僅當A,B對易時，算符AB才是厄米算符。（李澤超解答董廷旭核對）證明：充分性：A,B對易，則BAAB;A,B為厄米算符，則AA,BB現(xiàn)任取一，BAAB則：ABBA即：AB是實數(shù)。即：AB是厄米算符。必要性：；AB為厄米算符：則ABABBA.A,B為厄米算符，則AA,BB現(xiàn)任取一，BAABABAB則：即：算符ABBA0A與B對易。#2.14證明，有逆的等距算符是幺正算符。（李澤超解答董廷旭核對A是等距算符，則:AA1……………(1)）證明:設(shè)算符由題意知算符A有逆，則：AA1………………...(2)1用A1右乘式（1）AA1……………(3)得：由（3）式得A為幺正算符。#練習2.15設(shè)H是厄米算符，U是幺正算符，A是任意算符，問下列算符是厄米的還是幺正的？（孟祥海解答高召習核對）（1）UHU1，（2）AHA，（3）eiH，（4）11iHiH，（5）iUU11證明：（1）先證:UHU1是否為厄米算符，對任意矢量|有：|UHU1|U|H|UU|H|U*|UHU||UHU1|*即得證。再證：UHU1是否為(UHU)UHU則(UHU)UHUUHHU幺正算符，由上可知，只有當HH1時上式才為1，即只有當HH1時UHU1為幺正算符。（2）厄米性的證明：|AHA|A|H|AA|H|A*|AHA|*即得證。幺正性的證明：由（1）中幺正性的證明（一般性與特殊性的關(guān)系）可知，AHA亦不是幺正的。iHH（3）公式：eiH12iH31!2!3!厄米性的證明：|eiH||i|H|由于|H|為實數(shù)，所以i|H|為復(fù)數(shù)?？梢奺iH為非厄米算符。幺正性的證明：|(eiH)eiH|(12iH3)|(12iH3)|iHHiHH1!2!3!1!2!3!即(eiH)eiH1，可見eiH為幺正的。（4）厄米性的證明：1iH||1iH|(1iH)(1iH)1||(2iH1iH)(1iH)1||iH(1iH)1||(1iH)(1iH)1||iH(1iH)1||由于|是任意選取的，所以|取復(fù)數(shù)。1iH為非厄米的?？傻?，1iH幺正性的證明：由練習2.3（4）的公式得，(1iH)11iHHiHH1所以，1iH1iH1iH1iH|()|)(|(1iH)(1iH)|||H2|1iH即為非幺正算符。1iH（5）厄米性的證明：若iUU11為厄米算符，則U1|(iU1)|U1|iU1U1*i|U1U1*|U1U1U1|U1U1也就是說，|(iU1)|是i的實數(shù)倍。可得|(iU1)|不是實數(shù)。即U1為非iU1厄米算符。幺正性的證明：設(shè)iUU11為幺正算符，則U1U1|(i)|U1U1)(iU1U1|(iU1)iU1U1U1|(UU11)