分?jǐn)?shù)階微積分理論

分?jǐn)?shù)階微積分理論引言一般我們熟知的微積分理論都是整數(shù)階的，比如一階微分方程，二階微分方程，一重積分、二重積分等等，而分?jǐn)?shù)階微積分，指的是微積分的階次可以為包括整數(shù)以內(nèi)的其它任意數(shù)，比如小數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)等，可以說分?jǐn)?shù)階微積分可以描述任何對(duì)象，它的作用要遠(yuǎn)超常規(guī)整數(shù)階微積分。雖然在無數(shù)的學(xué)者前赴后繼地努力下，分?jǐn)?shù)階微積分理論方面的研究成果豐碩，而關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分的定義，不同的學(xué)者表述上有所區(qū)別，綜合各個(gè)理論層面的評(píng)估，同時(shí)具有實(shí)際工程上的應(yīng)用可行性的分?jǐn)?shù)階微積分定義只剩下三種，分別是Grdnwald-Letnikov定義，Caputo定義，Riemann-Liouville定義［64。分?jǐn)?shù)階微積分的定義分?jǐn)?shù)階微積分的研究對(duì)象是分?jǐn)?shù)階微分和分?jǐn)?shù)階積分，分?jǐn)?shù)階微積分定義是整合和統(tǒng)一分?jǐn)?shù)階微分和分?jǐn)?shù)階積分得到的。首先介紹常用的三種分?jǐn)?shù)階微分定義，具體為：Grunwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階微分定義若f(t)函數(shù)在區(qū)間［a,t］存在m+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，當(dāng)a>0時(shí)…至少取到［a］則其次數(shù)為a(m<a<m+1)的分?jǐn)?shù)階微分定義為：[(t中)/h]Daf(t)=limht2.1)-a乙?af(t—ih)

Daf(t)=limht2.1)其中，a表示階次，h為采樣步長(zhǎng)，a表示初始時(shí)間，卜］表示取整,fa\?afa\?a=(-1)i 是多項(xiàng)式系數(shù),'Ii丿=a(a—1)(a—2)???(a-i+1)<i丿i!，我們可以用以下遞推公式直接求出該系數(shù)：①a=①a=1,?a0iC0a,i=1,2,...,ni—12.2)進(jìn)一步對(duì)式(2.1)求極限，可得到其詳細(xì)定義：Daf(t)Daf(t)二atlim h-ahTO,nh=t-a(a).f(t-ih)11丿丄化冊(cè)+帀爲(wèi)A心）fm-a憶皿◎2.3)i=O其中，r（?）為歐拉gamma函數(shù)，r（z）=J“e-ttz-idt，當(dāng)aeR，上述定義O也稱為Grtinwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階微積分定義。若：fi（t）=0,q,peR，則微分算子D滿足式（2.4）：Dq(Dpf(t))=Dq+pf(t) (2.4)atat at(2)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分定義對(duì)于m一1<a<m,meN，有2.5)Daf(t)= 1 dm 血 dT2.5)at r(m—a)dtma(t—t)a-m+l其中，當(dāng)aeR，上述定義也稱為Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分定義。通常情況下，為了方便使用Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分定義，要對(duì)其取拉普拉斯變換，假設(shè)F（s）表示f（s）的原函數(shù)，則式（2.5）經(jīng)過拉普拉斯變換后的結(jié)果如下：{Daf{Daf(t)}=SaF(s)-S-1atk=0Da-k-1f(t)|at t=0+2.6)在零初始條件下，上式的結(jié)果變?yōu)椋?.7){Daf(t)}=SaF(S)2.7)0t進(jìn)一步由式（2.7）得到a階微積分算子的傳遞函數(shù)表示為：1H（s）= （2.8）sa（3）Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義在工程實(shí)際中，不能用物理含義詮釋的數(shù)學(xué)概念是不能應(yīng)用于實(shí)際的，所以，在針對(duì)實(shí)際問題研究分?jǐn)?shù)階微積分時(shí)，我們需要著重關(guān)注它能與實(shí)際應(yīng)用相接軌的部分，這正是分?jǐn)?shù)階Riemann-Liouville微分定義的不足。如式（2.5）盡管在初始條件下具備數(shù)學(xué)理論層面的可解釋性，但不具備實(shí)際工程上的物理意義可解釋性［65,正因?yàn)槿绱?，于是就有了Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義，其形式為：Daf(t)=atDaf(t)=at1Jtfm(T)r(m—a)a(t—T)1+a-mdT,(m-1<a<m)2.9)同理，當(dāng)aeR,上述定義也稱為Caputo分?jǐn)?shù)階微積分定義，該定義也有對(duì)應(yīng)的拉普拉斯變換，其形式為：L{Daf(t)}二SaF(s)—曠s-k—(3.1)

at dtkt=0+k=0其次，分?jǐn)?shù)階積分定義為：aIt=D-a= Jt(t-T)a-if(T)dT(aeR+) (3.2)aat r(a)a其中，I定義為積分符號(hào)。分?jǐn)?shù)階微積分的性質(zhì)根據(jù)上述三種分?jǐn)?shù)階微積分的定義，可以得到分?jǐn)?shù)階微積分一些性質(zhì)如下[66：記憶屬性。當(dāng)t在時(shí)刻時(shí)，函數(shù)f(t)的分?jǐn)?shù)階微分值由初始時(shí)刻到t時(shí)刻的所有時(shí)刻的函數(shù)值取值。當(dāng)D卩i算子的卩|是整數(shù)時(shí)，整數(shù)階微積分和分?jǐn)?shù)階微積分二者為等at 1同關(guān)系，卩]為任意階時(shí)，整數(shù)階微積分被包含在分?jǐn)?shù)階微積分內(nèi)。分?jǐn)?shù)階微積分算子D卩i是線性的，符合線性系統(tǒng)中的齊次特性和迭at加特性，即對(duì)任意常數(shù)a,b均滿足：D料af(t)+bg(t)]=aoD,f(t)+bo伴g(t)4)解析函數(shù)f(t)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)D卩if(t)對(duì)t和a4)0t2.4分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的模型描述2.4分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的模型描述實(shí)際生活中，大多數(shù)的對(duì)象的內(nèi)在特性都能通過整數(shù)階微分方程的形式來表征，比如物理特性、化學(xué)特性等。但往往存在一些特別的對(duì)象其特性無法靠整數(shù)階微分方程精確表征，但分?jǐn)?shù)階次的微分方程剛好能考慮到整數(shù)階次微分方程所忽略的特性，所以，用分?jǐn)?shù)階微分方程描述的系統(tǒng)，其內(nèi)在特性反應(yīng)更真實(shí)、更全面。TOC\o"1-5"\h\z一個(gè)典型的單輸入單輸出分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)的微分方程可用如下形式來表示：aDaiy(t)+aDa2y(t)+aD?y(t)+???+aDQ”y(t) z、L_ j 1 _ 上一 (2.10)=bD片u(t)+bD卩2u(t)+bD卩3u(t)+ +bDPnu(t)1 2 2 n其中,a(i=1,2,…,m),b(j=1,2,…,n)分別表示輸出和輸入相應(yīng)的系數(shù),i ja<a ，卩<卩<??.<卩分別表示輸出和輸入分?jǐn)?shù)階的階次，u(t)、y(t)1 2 m1 2 n分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出。結(jié)合前面的式(2.6)和式(2.10)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行拉普拉斯變換，得到系統(tǒng)的傳

遞函數(shù)模型為：遞函數(shù)模型為：2.11)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"bs片+bs卩2H—bsPn

G(s) 2 n-2.11)as%+asa2h—has^m12 m1 2 m若a=ia(i=1,2,…,m),P.=z0(i=1,2,…,n)，該系統(tǒng)可稱為“同源次”分i i數(shù)階系統(tǒng)，則上式進(jìn)一步可表示為：工bsj卩2.12)2.12)區(qū)asiaii=12.5分?jǐn)?shù)階近似方法要實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階控制，分?jǐn)?shù)階模型必須近似相應(yīng)的整數(shù)階模型或者差分輸入輸出模型，再配合傳統(tǒng)的整數(shù)階控制理論的運(yùn)用。使用分?jǐn)?shù)階定義可將分?jǐn)?shù)階模型直接近似為差分輸入輸出模型，而間接近似中，通常使用Oustaloup近似法將分?jǐn)?shù)階模型近似為高階整數(shù)階模型，下面介紹Oustaloup近似法［67：Sa1Sa1心knNS±Wn出 S+Wn=1 n2.13)其中，a為表示分?jǐn)?shù)階階次，0<a<1，N表示近似階次，K=W1 1 a1 hW=WW(2n-1-ai)/N,W=WW(2n-l+aj/N,W=W/W，W,W